人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊學(xué)案：§6 1　第2課時　兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.進(jìn)一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別.2.會正確應(yīng)用這兩個計數(shù)原理計數(shù)．知識點(diǎn)一兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點(diǎn)回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題不同點(diǎn)針對的是“分類”問題不同點(diǎn)各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個步驟中的方法互相依存，只有每一個步驟都完成才算做完這件事知識點(diǎn)二兩個計數(shù)原理的應(yīng)用用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn)：一、要完成的“一件事”是什么；二、需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“不重不漏”，分類后再分別對每一類進(jìn)行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“步驟完整”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．思考分類“不重不漏”的含義是什么？〖答案〗“不重”即各類之間沒有交叉點(diǎn)，“不漏”即各類的并集是全集．1．一個科技小組中有4名女同學(xué)、5名男同學(xué)，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有不同的選派方法______種，若從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有不同的選派方法______種．〖答案〗920〖解析〗根據(jù)分類加法計數(shù)原理，從中任選1名同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有5＋4＝9(種)選派方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從中任選1名女同學(xué)和1名男同學(xué)參加學(xué)科競賽，共有4×5＝20(種)選派方法．2．有一排四個信號顯示窗，每個窗可亮紅燈、綠燈或不亮燈，則這排信號顯示窗所發(fā)出的信號種數(shù)是________．〖答案〗81〖解析〗每個信號顯示窗都有3種可能，故有3×3×3×3＝34＝81(種)不同信號．3．十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，共有________種行車路線．〖答案〗12〖解析〗起點(diǎn)為4種可能性，終點(diǎn)為3種可能性，則行車路線共有4×3＝12(種)．4．多項式(a1＋a2＋a3)(b1＋b2)＋(a4＋a5)(b3＋b4)展開式共有________項．〖答案〗10〖解析〗共有3×2＋2×2＝10(項)．一、組數(shù)問題例1用0,1,2,3,4五個數(shù)字．(1)可以排成多少個三位數(shù)字的電話號碼？(2)可以排成多少個三位數(shù)？(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0，數(shù)字也可以重復(fù)，每個位置都有5種排法，共有5×5×5＝53＝125(個)．(2)三位數(shù)的首位不能為0，但可以有重復(fù)數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(個)．(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4，因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是0，則有4×3＝12(種)排法；一類是末位數(shù)字不是0，則末位有2種排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2×3×3＝18(種)排法．因而有12＋18＝30(種)排法．即可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．延伸探究由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？解完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1,3中任取一個，有2種方法；第二步定首位，從1,2,3,4中除去用過的一個，從剩下的3個中任取一個，有3種方法；第三步，第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位有3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理知共有2×3×3×2＝36(個)．反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問題，應(yīng)掌握以下原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字，是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵．一般按特殊位置(末位或首位)分類，分類中再按特殊位置(特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)或兩位數(shù)以上的數(shù)的最高位．跟蹤訓(xùn)練1用0,1,2,3,4,5可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？解完成這件事可分為三類：第一類是個位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，只有2,3,4,5可以選擇，有4種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，還有4個數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，這類數(shù)的個數(shù)為4×4×3＝48.第二類是個位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，可以分三步完成：第一步，選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0只有3個數(shù)字可以選擇，有3種選法；第二步，選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的首尾2個數(shù)字之后，還有4個數(shù)字可以選擇，有4種選法；第三步，選取十位上的數(shù)字，有3種選法．由分步乘法計數(shù)原理知，這類數(shù)的個數(shù)為3×4×3＝36.第三類是個位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同第二類．對以上三類用分類加法計數(shù)原理，得所求無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)有48＋36＋36＝120(個)．二、占位模型中標(biāo)準(zhǔn)的選擇例2(1)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？(2)4名同學(xué)選報跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個項目，每項限報一人，且每人至多報一項，共有多少種報名方法？(3)4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？解(1)要完成的是“4名同學(xué)每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，4人都報完才算完成，所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81(種)報名方法．(2)每項限報一人，且每人至多報一項，因此跑步項目有4種選法，跳高項目有3種選法，跳遠(yuǎn)項目只有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得不同的報名方法有4×3×2＝24(種)．(3)要完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，所以應(yīng)以“確定三項冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4×4×4＝64(種)可能的結(jié)果．反思感悟在占位模型中選擇按元素還是按位置進(jìn)行分解的標(biāo)準(zhǔn)是“唯一性”，即元素是否選、選是否只選一次，位置是否占、占是否只占一次．解題時一般選擇具有“唯一性”的對象進(jìn)行分解．跟蹤訓(xùn)練2某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編，但規(guī)定從左數(shù)第2個號碼只能從字母B，C，D中選擇，其他四個號碼可以從0～9這10個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù))．若某車主第1個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3,5,6,8,9中選擇，其他號碼只想在1,3,6,9中選擇，則他可選的車牌號碼的所有可能情況有()A．180種B．360種C．720種D．960種〖答案〗D〖解析〗按照車主的要求，從左到右第1個號碼有5種選法，第2個號碼有3種選法，其余3個號碼各有4種選法，因此共有5×3×4×4×4＝960(種)情況．三、涂色問題例3將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復(fù)使用，共有多少種不同的涂色方法？解第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有4×3＝12(種)不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3＝180(種)不同的涂法．②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰兩格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4＝80(種)不同的涂法．由分類加法計數(shù)原理可得共有180＋80＝260(種)不同的涂法．延伸探究本例中的區(qū)域改為如圖所示，其他條件均不變，則不同的涂法共有多少種？解依題意，可分兩類情況：①④不同色；①④同色．第一類：①④不同色，則①②③④所涂的顏色各不相同，我們可將這件事情分成4步來完成．第一步涂①，從5種顏色中任選一種，有5種涂法；第二步涂②，從余下的4種顏色中任選一種，有4種涂法；第三步涂③與第四步涂④時，分別有3種涂法和2種涂法．于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(種)．第二類：①④同色，則①②③不同色，我們可將涂色工作分成三步來完成．第一步涂①④，有5種涂法；第二步涂②，有4種涂法；第三步涂③，有3種涂法．于是由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(種)．綜上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(種)．反思感悟解決涂色問題的一般思路(1)按區(qū)域的不同，以區(qū)域為主分步計數(shù)，用分步乘法計數(shù)原理分析．(2)以顏色為主分類討論，適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問題，用分類加法計數(shù)原理分析．(3)將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題．跟蹤訓(xùn)練3如圖所示，將四棱錐S－ABCD的每一個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，現(xiàn)有5種顏色可供使用，求不同的染色方法．解由題意知，四棱錐S－ABCD的頂點(diǎn)S，A，B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60(種)染色方法．當(dāng)S，A，B染色確定時，不妨設(shè)其顏色分別為1,2,3，剩余2種顏色分別為4和5.若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法；若C染5，則D可染3或4，有2種染法．由分類加法計數(shù)原理知，當(dāng)S，A，B染法確定時，C，D有7種染法．由分步乘法計數(shù)原理得，不同的染色方法有60×7＝420(種)．四、種植問題例4將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有________種．〖答案〗42〖解析〗分別用a，b，c代表3種作物，先安排第一塊田，有3種方法，不妨設(shè)放入a，再安排第二塊田，有2種方法b或c，不妨設(shè)放入b，第三塊也有2種方法a或c.(1)若第三塊田放c：abc第四、五塊田分別有2種方法，共有2×2＝4(種)方法．(2)若第三塊田放a：aba第四塊有b或c2種方法，①若第四塊放c：abac第五塊有2種方法；②若第四塊放b：abab第五塊只能種作物c，共1種方法．綜上，共有3×2×(2×2＋2＋1)＝42(種)方法．反思感悟種植問題按種植的順序分步進(jìn)行，用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類，用分類加法計數(shù)原理計數(shù)．跟蹤訓(xùn)練4從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．解方法一(直接法)若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2＝6(種)不同的種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2＝6(種)不同的種植方法．故不同的種植方法共有6×3＝18(種)．方法二(間接法)從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24(種)，其中不種黃瓜有3×2×1＝6(種)，故共有不同的種植方法24－6＝18(種)．1．現(xiàn)有6名同學(xué)去聽同時進(jìn)行的5個課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個講座，則不同選法的種數(shù)是()A．56 B．65C.eq\f(5×6×5×4×3×2,2) D．6×5×4×3×2〖答案〗A〖解析〗每位同學(xué)都有5種選擇，共有5×5×5×5×5×5＝56(種)．2．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，則滿足條件的不同的有序自然數(shù)對(x，y)的個數(shù)是()A．5B．12C．15D．4〖答案〗C〖解析〗當(dāng)x＝1時，y的取值可能為0,1,2,3,4,5，有6種情況；當(dāng)x＝2時，y的取值可能為0,1,2,3,4，有5種情況；當(dāng)x＝3時，y的取值可能為0,1,2,3，有4種情況．根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，滿足條件的(x，y)的個數(shù)為6＋5＋4＝15.3．已知集合S＝{a1，a2}，T＝{b1，b2}，則從集合S到T的對應(yīng)關(guān)系共有()A．1個B．2個C．3個D．4個〖答案〗D〖解析〗可分兩步，第一步，集合S中a1對應(yīng)到集合T中的元素有2個不同的對應(yīng)關(guān)系；第二步，集合S中a2對應(yīng)到集合T中的元素，有2個不同的對應(yīng)關(guān)系，由分步乘法計數(shù)原理知，從集合S到T的對應(yīng)關(guān)系共有2×2＝4(個)，故選D.4.如圖所示，用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個格子顏色不同，則不同的涂色方法共有________種．(用數(shù)字作答)〖答案〗750〖解析〗首先給最左邊的一個格子涂色，有6種選擇，左邊第二個格子有5種選擇，第三個格子有5種選擇，第四個格子也有5種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理