人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊學案：6 2 3-6 2 4 第1課時 組合及組合數(shù)的定義

人教A版(新教材)高中數(shù)學選擇性必修第三冊PAGEPAGE16.2.3組合6.2.4組合數(shù)第1課時組合及組合數(shù)的定義學習目標1.理解組合的定義，正確認識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.會用組合知識解決一些簡單的組合問題．知識點一組合及組合數(shù)的定義1．組合一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．2．組合數(shù)從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．知識點二排列與組合的關系相同點兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素不同點排列問題中元素有序，組合問題中元素無序關系組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)與排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)間存在的關系Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)1．從a1，a2，a3三個不同元素中任取兩個元素作為一組是組合問題．(√)2．“abc”“acb”與“bac”是三種不同的組合．(×)3．組合數(shù)Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(A\o\al(3,5),A\o\al(3,3)).(√)4．兩個組合相同，則其對應的元素一定相同．(√)一、組合概念的理解例1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？(3)從全班種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？解(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題．(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題．(3)3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題．(4)3人參加某項活動，沒有順序，是組合問題．反思感悟排列、組合辨析切入點(1)組合的特點是只選不排，即組合只是從n個不同的元素中取出m(m≤n)個不同的元素即可．(2)只要兩個組合中的元素完全相同，不管順序如何，這兩個組合就是相同的組合．(3)判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關，與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題．跟蹤訓練1判斷下列問題是組合問題還是排列問題：(1)某鐵路線上有4個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票？(2)把5本不同的書分給5個學生，每人一本；(3)從7本不同的書中取出5本給某個學生．解(1)因為一種火車票與起點、終點順序有關，如甲→乙和乙→甲的車票是不同的，所以它是排列問題．(2)由于書不同，每人每次拿到的書也不同，有順序之分，因此它是排列問題．(3)從7本不同的書中，取出5本給某個學生，在每種取法中取出的5本并不考慮書的順序，故它是組合問題．二、組合的個數(shù)問題例2在A，B，C，D四位候選人中．(1)如果選舉正、副班長各一人，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結果；(2)如果選舉兩人負責班級工作，共有幾種選法？寫出所有可能的選舉結果；(3)類比上述兩個結果間的等量關系，你能找出排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)間的等量關系嗎？解(1)從四位候選人中選舉正、副班長各一人是排列問題，有Aeq\o\al(2,4)＝12(種)選法，所有可能的選舉結果：AB，AC，AD，BC，BD，CD，BA，CA，DA，CB，DB，DC.(2)從四位候選人中選舉兩人負責班級工作是組合問題，有Ceq\o\al(2,4)＝6(種)選法，所有可能的選舉結果：AB，AC，AD，BC，BD，CD.(3)由(1)(2)我們發(fā)現(xiàn)，(2)中每一個組合都對應Aeq\o\al(2,2)個排列，即Aeq\o\al(2,4)＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2).類比可知，從n個不同元素選出m個元素的排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)間的等量關系為Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m).反思感悟組合個數(shù)的求解策略(1)枚舉法：書寫時常以首字母為切入點，相同元素的不必重復列舉，如本例中，先枚舉以字母A開頭的組合，再枚舉以字母B開頭的組合，直到全部枚舉完畢．(2)公式法：利用排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)之間的關系Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))求解．跟蹤訓練2從5個不同元素a，b，c，d，e中取出2個，共有多少種不同的組合？請寫出所有組合．解先將圖所示：由此可得所有的組合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共有10種．三、簡單的組合問題例3有10名教師，其中6名男教師，4名女教師．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有________種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有________種不同的選法；(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有________種不同的選法．〖答案〗(1)45(2)21(3)90〖解析〗(1)從10名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(A\o\al(2,10),A\o\al(2,2))＝eq\f(10×9,2×1)＝45.(2)可把問題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師有Ceq\o\al(2,6)種方法；第2類，選出的2名是女教師有Ceq\o\al(2,4)種方法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))＋eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)＋eq\f(4×3,2×1)＝15＋6＝21(種)不同的選法．(3)從6名男教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,6)種，從4名女教師中選2名的選法有Ceq\o\al(2,4)種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的選法Ceq\o\al(2,6)×Ceq\o\al(2,4)＝eq\f(A\o\al(2,6),A\o\al(2,2))×eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,2))＝eq\f(6×5,2×1)×eq\f(4×3,2×1)＝90(種)．反思感悟利用排列與組合之間的關系，建立起排列數(shù)與組合數(shù)之間的計算方法，借助排列數(shù)求組合數(shù)．跟蹤訓練3一個口袋內裝有大小相同的7個白球和1個黑球．(1)從口袋內取出3個球，共有多少種取法？(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,8)＝eq\f(A\o\al(3,8),A\o\al(3,3))＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＝56.(2)從口袋內取出3個球有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是Ceq\o\al(2,7)＝eq\f(A\o\al(2,7),A\o\al(2,2))＝eq\f(7×6,2×1)＝21.(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是Ceq\o\al(3,7)＝eq\f(A\o\al(3,7),A\o\al(3,3))＝eq\f(7×6×5,3×2×1)＝35.1．(多選)下面四組元素，是相同組合的是()A．a，b，c—b，c，a B．a，b，c—a，c，bC．a，c，d—d，a，c D．a，b，c—a，b，d〖答案〗ABC2．從5名同學中推選4人去參加一個會議，則不同的推選方法種數(shù)是()A．10B．5C．4D．1〖答案〗B〖解析〗組合問題，可從對立面考慮，選出一人不參加會議即可，故有5種方法．3．在橋牌比賽中，發(fā)給4名參賽者每人一手由52張牌的四分之一(即13張牌)組成的牌，一名參賽者可能得到的不同的牌為()A．4×13手 B．134手C．Aeq\o\al(13,52)手 D．Ceq\o\al(13,52)手〖答案〗D〖解析〗本題實質上是從52個元素中取13個元素為一組，故一名參賽者可能得到Ceq\o\al(13,52)手不同的牌．4．下列問題中，組合問題有________，排列問題有________．(填序號)①從1,3,5,9中任取兩個數(shù)相加，所得不同的和；②平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段的條數(shù)；③從甲、乙、丙三名同學中選兩名同學參加不同的兩項活動．〖答案〗①②③〖解析〗①②為組合問題，③為排列問題．5．已知a，b，c