2024-2025學年高中數(shù)學第二章變化率與導數(shù)1變化的快慢與變化率課后作業(yè)含解析北師大版選修2-2

PAGE其次章改變率與導數(shù)[A組基礎鞏固]1．在平均改變率的定義中，自變量的增量Δx滿意()A．Δx>0 B．Δx<0C．Δx≠0 D．Δx＝0解析：由平均改變率的定義可知，Δx＝x2－x1.由于x2，x1的大小不確定，故Δx的取值狀況不確定．又∵Δx在分母位置，∴Δx≠0.答案：C2．已知函數(shù)f(x)，區(qū)間[x0，x1]，當自變量由x0變到x1時，函數(shù)值的增量與相應的自變量的增量的比是函數(shù)()A．在區(qū)間[x0，x1]上的平均改變率B．在x0處的改變率C．在x1處的改變率D．以上結(jié)論都不對解析：依據(jù)平均改變率的定義可知，函數(shù)在區(qū)間[x0，x1]上的平均改變率為eq\f(fx1－fx0,x1－x0).答案：A3．將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加ΔR，則球的體積增加量Δy約為()A.eq\f(4π,3)R3ΔR B．4πR2ΔRC．4πR2 D．4πRΔR解析：Δy＝eq\f(4π,3)(R＋ΔR)3－eq\f(4π,3)R3＝eq\f(4π,3)[3R2ΔR＋3R(ΔR)2＋(ΔR)3]≈eq\f(4π,3)·3R2ΔR＝4πR2·ΔR.答案：B4．一塊木頭沿某一斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關系式為s＝eq\f(1,8)t2，則t＝2時，此木頭在水平方向的瞬時速度為()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)解析：因為Δs＝eq\f(1,8)(2＋Δt)2－eq\f(1,8)×22＝eq\f(1,2)Δt＋eq\f(1,8)(Δt)2，所以eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt，當Δt無限趨近于0時，eq\f(1,2)＋eq\f(1,8)Δt無限趨近于eq\f(1,2)，因此t＝2時，木塊在水平方向的瞬時速度為eq\f(1,2)，故選C.答案：C5．函數(shù)f(x)＝(x＋1)2在x＝2處的瞬時改變率為______．解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝(3＋Δx)2－32＝(Δx)2＋6Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝Δx＋6，Δx趨于0時，eq\f(Δy,Δx)趨于6.答案：66．函數(shù)y＝x2－2x＋1在x＝－2旁邊的平均改變率為________．解析：當自變量從－2改變到－2＋Δx時，函數(shù)的平均改變率為eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－2＋Δx2－2－2＋Δx＋1－4＋4＋1,Δx)＝Δx－6.答案：Δx－67．質(zhì)點的運動方程是s(t)＝eq\f(1,t2)，則質(zhì)點在t＝2時的速度為__________．解析：因為eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(s2＋Δt－s2,Δt)＝eq\f(\f(1,2＋Δt2)－\f(1,4),Δt)＝－eq\f(4＋Δt,42＋Δt2)，當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→－eq\f(1,4)，所以質(zhì)點在t＝2時的速度為－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)8．若一物體運動方程如下：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋1，0≤t<3，,2＋3t－32，t≥3，))則此物體在t＝1和t＝3時的瞬時速度分別為________、________.解析：∵t＝1時，0≤t<3，∴s＝3t2＋1.eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st＋Δt－st,Δt)＝eq\f(6Δt＋3Δt2,Δt)＝6＋3Δt.當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于6，故物體在t＝1時的瞬時速度為6.∵t＝3時，t≥3，∴s＝2＋3(t－3)2，＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2＋33＋Δt－32－2－33－32,Δt)＝3Δt.當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于0，故物體在t＝3時的瞬時速度為0.答案：609．一輛汽車按規(guī)律s＝at2＋1做直線運動，若汽車在t＝2時的瞬時速度為12，求a.解析：∵s＝at2＋1，∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1.于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)＝4a·Δt＋a·(Δt)2.∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(4a·Δt＋a·Δt2,Δt)＝4a＋a·Δt.當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→4a.依據(jù)題意有4a＝12，∴a＝3.10．將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，須要對原油進行冷卻和加熱，假如在第xh時，原油的溫度(單位：℃)為f(x)＝x2－7x＋15(0≤x≤8)．計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時改變率，并說明它們的意義．解析：依據(jù)導數(shù)的定義，當x＝2時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f2＋Δx－f2,Δx)＝eq\f(2＋Δx2－72＋Δx＋15－22－7×2＋15,Δx)＝Δx－3，當Δx趨近于0時，eq\f(Δy,Δx)趨近于－3，所以原油在第2h的瞬時改變率為－3.同理可得，原油在第6h的瞬時改變率為5.即在第2h與第6h時，原油溫度的瞬時改變率分別為－3與5.它說明在第2h旁邊，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；在第6h旁邊，原油溫度大約以5℃/h的速率上升．[B組實力提升]1．假如某物體做運動方程為s＝2(1－t2)的直線運動(s的單位為m，t的單位為s)，那么其在1.2s末的瞬時速度為()A．－4.8m/s B．－0.88m/sC．0.88m/s D．4.8m/s解析：eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2[1－1.2＋Δt2]－21－1.22,Δt)＝－4.8－2Δt.當Δt→0時，eq\f(Δs,Δt)→－4.8.答案：A2．曲線y＝eq\f(1,x2)上兩點P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)，當Δx＝eq\f(1,2)時，直線PQ的斜率為()A．－eq\f(5,3) B．－eq\f(10,9)C.eq\f(5,3) D.eq\f(5,6)解析：∵Δx＝eq\f(1,2)，x＝1，∴Δy＝f(1＋eq\f(1,2))－f(1)＝eq\f(4,9)－1＝－eq\f(5,9).∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(－\f(5,9),\f(1,2))＝－eq\f(10,9).答案：B3．已知函數(shù)y＝f(x)＝－x2＋x在區(qū)間[t,1]上的平均改變率為2，則t＝________.解析：因為Δy＝f(1)－f(t)＝(－12＋1)－(－t2＋t)＝t2－t，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(t2－t,1－t)＝－t.又因為eq\f(Δy,Δx)＝2，所以t＝－2.答案：－24．如圖所示為一圓錐形容器，底面圓的直徑等于圓錐母線長，水以每分鐘9.3升的速度注入容器內(nèi)，則注入水的高度在t＝eq\f(1,27)分鐘時的瞬時改變率為________分米/分鐘．(注：π≈3.1)解析：由題意知，圓錐軸截面為等邊三角形，設經(jīng)過t分鐘后水面高度為h，則水面的半徑為eq\f(\r(3),3)h，t分鐘時，容器內(nèi)水的體積為9.3t，因為9.3t＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2·h，所以h3＝27t，所以h＝3eq\r(3,t).因為eq\f(Δh,Δt)＝eq\f(3\r(3,\f(1,27)＋Δt)－3\r(3,\f(1,27)),Δt)＝eq\f(3Δt,Δt[\r(3,\f(1,27)＋Δt2)＋\f(1,3)\r(3,\f(1,27)＋Δt)＋\f(1,9)])，＝eq\f(3,\r(3,\f(1,27)＋Δt2)＋\f(1,3)\r(3,\f(1,27)＋Δt)＋\f(1,9))，所以當Δt趨于0時，eq\f(Δh,Δt)趨于9，即h(t)在t＝eq\f(1,27)處的瞬時改變率為9.答案：95．某物體的運動方程如下：s＝s(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2＋10≤t<3，,28＋3t－32t≥3.))(1)求此物體在t0＝1到t1＝1＋Δt(0<Δt<2)這段時間內(nèi)的平均速率eq\o(v,\s\up6(－))；(2)求此物體在t0＝1時刻的瞬時速度．解析：(1)當0<Δt<2,1<t1＝1＋Δt<3時，s＝3t2＋1，所以Δs＝s(1＋Δt)－s(1)＝3(1＋Δt)2＋1－(3＋1)＝3(Δt)2＋6Δt，所以eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(Δs,Δt)＝3Δt＋6.(2)當Δt→0時，eq\o(v,\s\up6(－))近似地趨于t0＝1時刻的瞬時速度，即在t0＝1時刻的瞬時速度為6.6．已知氣球的表面積S(單位：cm2)與半徑r(單位：cm)之間的函數(shù)關系是S(r)＝4πr2.求：(1)氣球表面積S由10cm2膨脹到20cm2時的平均膨脹率即氣球膨脹過程中半徑的增量與表面積增量的比值；(2)氣球表面積S由30cm2膨脹到40cm2時的平均膨脹率．解析：由S(r)＝4πr2，r>0，把r表示成表面積S的函數(shù)：r(S)＝eq\f(1,2π)eq\r(πS).(1)當S由10cm2膨脹到20cm2時，氣球表面積的增量ΔS＝20－10＝10(cm2)，氣球半徑的增量Δr＝r(20)－r(10)＝eq\f(1