全國統(tǒng)考2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第二章函數(shù)2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案理含解析北師大版

2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值必備學(xué)問預(yù)案自診學(xué)問梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮,假如對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的隨意兩個(gè)自變量的值x1,x2當(dāng)x1<x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí),都有,那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖像描述自左向右看圖像是

自左向右看圖像是

(2)單調(diào)區(qū)間的定義假如函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是或,那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,叫作函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,假如存在實(shí)數(shù)M滿意條件(1)對(duì)于隨意x∈I,都有;

(2)存在x0∈I,使得

(3)對(duì)于隨意x∈I,都有;

(4)存在x0∈I,使得

結(jié)論M為最大值M為最小值1.函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)定義法x1<x2?f(x1)<f(x2)x1<x2?f(x1)>f(x2)圖像法從左到右函數(shù)圖像上升從左到右函數(shù)圖像下降導(dǎo)數(shù)法導(dǎo)數(shù)大于零導(dǎo)數(shù)小于零運(yùn)算法增加的+增加的削減的+削減的復(fù)合函數(shù)法內(nèi)外層單調(diào)性相同內(nèi)外層單調(diào)性相反考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)函數(shù)y=1x在(-∞,0)∪(0,+∞)內(nèi)是削減的.()(2)函數(shù)f(x)=log5(2x+1)的遞增區(qū)間是(0,+∞).()(3)函數(shù)y=f(x)在[a,+∞)上是增加的,則函數(shù)的遞增區(qū)間是[a,+∞).()(4)設(shè)隨意x1,x2∈[a,b],且x1≠x2,那么f(x)在[a,b]上是增加的?f(x1)-f(x(5)全部的單調(diào)函數(shù)都有最值.()2.(2024廣東潮州檢測(cè))下列函數(shù)在區(qū)間(0,1)上為增加的是()A.y=-x3+1 B.y=cosxC.y=log12x D.3.(2024廣東佛山一中月考)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=ax,x≥1,ax+A.(1,+∞) B.(0,1) C.(1,2) D.(1,2]4.已知函數(shù)f(x)=2x+1x-1,其定義域是[-A.f(x)有最大值53B.f(x)有最大值53,最小值C.f(x)有最大值75D.f(x)有最大值2,最小值75.(2024湖南三湘名校十月聯(lián)考,14)已知函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)遞增,則不等式f(2x)>f(1-x)的解集為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)證明或推斷函數(shù)的單調(diào)性【例1】探討函數(shù)f(x)=x+ax(a>0)在(0,+∞)內(nèi)的單調(diào)性思索推斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法有哪些?解題心得1.推斷函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法;(2)圖像法;(3)利用已知函數(shù)的單調(diào)性;(4)導(dǎo)數(shù)法.2.證明函數(shù)在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法(1)定義法:基本步驟為取值、作差或作商、變形、推斷;(2)可導(dǎo)函數(shù)可以利用導(dǎo)數(shù)證明.3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的推斷方法復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的單調(diào)性,應(yīng)依據(jù)外層函數(shù)y=f(t)和內(nèi)層函數(shù)t=g(x)的單調(diào)性推斷,遵循“同增異減”的原則.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1推斷并證明函數(shù)f(x)=axx-1(a≠0)在(考點(diǎn)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】(1)函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|的遞增區(qū)間是()A.3B.1,32和[2,C.(-∞,1]和3D.-∞,32(2)函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的遞增區(qū)間是()A.(-∞,-2) B.(-∞,1)C.(1,+∞) D.(4,+∞)(3)函數(shù)f(x)=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是;遞減區(qū)間是.

思索求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有哪些方法?解題心得求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與確定函數(shù)單調(diào)性的方法一樣,常用以下方法:(1)利用已知函數(shù)的單調(diào)性,即轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)的和、差或復(fù)合函數(shù),求單調(diào)區(qū)間.(2)定義法:先求定義域,再利用單調(diào)性的定義.(3)圖像法:假如f(x)是以圖像形式給出的,或者f(x)的圖像易作出,可由圖像的直觀性寫出它的單調(diào)區(qū)間.(4)導(dǎo)數(shù)法:利用導(dǎo)數(shù)取值的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=log2(x2-3x-4)的遞減區(qū)間為()A.(-∞,-1) B.-C.32,+∞ D.(2)已知函數(shù)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x),則()A.f(x)在(2,6)上遞增B.f(x)在(2,6)上的最大值為2ln2C.f(x)在(2,6)上遞減D.y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(4,0)對(duì)稱(3)已知函數(shù)y=|x|(1-x)在區(qū)間A上遞增,則區(qū)間A是()A.(-∞,0) B.0,C.[0,+∞) D.1考點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(多考向探究)考向1利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域或最大(小)值【例3】(1)(2024河南駐馬店二模,文13)函數(shù)f(x)=9x2+x-1的最小值為(2)函數(shù)y=2-xx+1,x∈(m,n]的最小值為0,則A.(1,2) B.(-1,2)C.[1,2) D.[-1,2)解題心得函數(shù)最大(小)值的幾何意義函數(shù)的最大值對(duì)應(yīng)圖像最高點(diǎn)的縱坐標(biāo),函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)圖像最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).利用單調(diào)性求解最大(小)值問題,應(yīng)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(2024遼寧大連模擬,文10)在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中,我們補(bǔ)充新運(yùn)算“”,定義如下,當(dāng)a≥b時(shí),ab=a;當(dāng)a<b時(shí),ab=b2,則函數(shù)f(x)=(1x)·x-(2x)(x∈[-2,2])的最大值等于()A.-1 B.1 C.12 D.6考向2利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小【例4】(1)(2024全國1,理12)若2a+log2a=4b+2log4b,則()A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2(2)e416,A.e4B.eC.e5D.e解題心得對(duì)已知函數(shù)解析式比較函數(shù)值大小的問題,應(yīng)先將自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),再利用函數(shù)的單調(diào)性解決;對(duì)沒有給出函數(shù)解析式的比較大小問題,須要先構(gòu)造函數(shù),再求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,最終利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(2024天津和平一模,7)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對(duì)隨意兩個(gè)正數(shù)x1,x2(x1<x2),都有f(x1)x1>f(x2)x2,記a=25f(0.22),b=f(1),c=-log5A.c>b>a B.b>c>aC.a>b>c D.a>c>b考向3利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式【例5】(2024新高考全國1,8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-∞,0)上遞減,且f(2)=0,則滿意xf(x-1)≥0的x的取值范圍是()A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞) D.[-1,0]∪[1,3]解題心得求解含“f”的不等式,應(yīng)先將不等式轉(zhuǎn)化為f(m)<f(n)的形式,再依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”,應(yīng)留意m,n應(yīng)在定義域內(nèi)取值.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5已知函數(shù)f(x)為(0,+∞)上是增加的,若f(a2-a)>f(a+3),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

考向4利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的值(或取值范圍)【例6】(2024山西太原三模,文10)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上遞增.若實(shí)數(shù)a滿意f(log2a)+f(log12a)≤2f(1),則a的取值范圍是(A.12,1 B.[1,2] C.12,2 D.(0,2]解題心得利用單調(diào)性求參數(shù)時(shí),應(yīng)依據(jù)問題的詳細(xì)狀況,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,列出與參數(shù)有關(guān)的不等式,或把參數(shù)分別出來求解.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6已知函數(shù)f(x)=log13(x2-ax+3a)在[1,+∞)上遞減,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.-12,2 D.-12,21.函數(shù)單調(diào)性判定的常用方法:圖像法、定義法、導(dǎo)數(shù)法、利用已知函數(shù)的單調(diào)性.2.求函數(shù)值域或最值的常用方法:(1)先確定函數(shù)的單調(diào)性,再由單調(diào)性求值域或最值.(2)圖像法:先作出函數(shù)在給定區(qū)間上的圖像,再視察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn),求出值域或最值.(3)配方法:對(duì)于二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)形式的函數(shù),可用配方法求解.(4)換元法:對(duì)比較困難的函數(shù),可通過換元轉(zhuǎn)化為熟識(shí)的函數(shù),再用相應(yīng)的方法求值域或最值.(5)基本不等式法:先對(duì)解析式變形,使之具備“一正、二定、三相等”的條件后,再用基本不等式求出值域或最值.(6)導(dǎo)數(shù)法:首先求導(dǎo),然后求在給定區(qū)間上的極值,最終結(jié)合端點(diǎn)值,求出值域或最值.3.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可依據(jù)“同增異減”的規(guī)律求解.4.解決分段函數(shù)的單調(diào)性問題時(shí),要高度關(guān)注:(1)抓住對(duì)變量所在區(qū)間的探討.(2)保證各段上同增(減)時(shí),要留意上段、下段的端點(diǎn)值之間的大小關(guān)系.(3)弄清最終結(jié)果取并還是取交.1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,應(yīng)先確定函數(shù)的定義域,脫離定義域探討函數(shù)的單調(diào)性是常見的錯(cuò)誤.2.不同的單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào)“∪”連接.雙變量問題中一般穿插有兩個(gè)及以上的“隨意”或“存在”量詞,學(xué)生往往因?yàn)椴恢廊绾蔚葍r(jià)轉(zhuǎn)換致使解題走向迷茫,部分學(xué)生甚至機(jī)械地背誦結(jié)論導(dǎo)致走入誤區(qū).解決雙變量“存在性或隨意性”問題,關(guān)鍵是將含有全稱量詞和存在量詞的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域之間的關(guān)系(或兩個(gè)函數(shù)最值之間的關(guān)系),旨在落實(shí)邏輯推理核心素養(yǎng).類型1形如“對(duì)隨意x1∈A,都存在x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立”【例1】已知函數(shù)f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x,g(x)=196x-13,若對(duì)隨意x1∈[-1,1],總存在x2∈[0,2],使得f'(x1)+2ax1=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)a解由題意知,g(x)在[0,2]上的值域?yàn)?13,6.令h(x)=f'(x)+2ax=3x2+2x-a(a+2),則h'(x)=6x+2,由h'(x)=0得x=-13當(dāng)x∈-1,-13時(shí),h'(x)<0;當(dāng)x∈-13,1時(shí),h'(x)>0.所以[h(x)]min=h-13=-a2-2a-13.又由題意可知,h(x)的值域是-13,6的子集,所以h(-1)≤6,-思維突破此類問題求解的策略是“等價(jià)轉(zhuǎn)化”,即“函數(shù)f(x)的值域是g(x)的值域的子集”從而利用包含關(guān)系構(gòu)建關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式組,求得參數(shù)的取值范圍.類型2形如“存在x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立”【例2】已知函數(shù)f(x)=2x3x+1,x∈(12,1],-13x+16,x∈[0,12],函數(shù)g(x)=k解由題意,易得函數(shù)f(x)在[0,1]上的值域?yàn)閇0,1],g(x)在[0,1]上的值域?yàn)?-2k,2-3k2,并且兩個(gè)值域有公共部分.先求沒有公共部分的狀況,即2-2k>1或2-32k<0,解得k<12或k>43,所以要使兩個(gè)值域有公共部分,實(shí)數(shù)k的取值范圍是1思維突破本類問題的實(shí)質(zhì)是“兩函數(shù)f(x)與g(x)的值域的交集不為空集”,上述解法的關(guān)鍵是利用了補(bǔ)集思想.另外,若把此種類型中的兩個(gè)“存在”均改為“隨意”,則“等價(jià)轉(zhuǎn)化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”來求解參數(shù)的取值范圍.類型3形如“對(duì)隨意x1∈A,都存在x2∈B,使得f(x1)<g(x2)成立”【例3】已知函數(shù)f(x)=x+4x,g(x)=2x+a,若隨意x1∈12,1,存在x2∈[2,3],使得f(x1)≤g(x2),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案12,+∞解析依題意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)=x+4x在12,1上遞減,∴f(x)max=f12=172.又g(x)=2x+a在[2,3]上遞增,∴g(x)max=8+a,因此172≤8+a,解得a≥1思維突破理解量詞的含義,將原不等式轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[g(x)]max,利用函數(shù)的單調(diào)性,求f(x)與g(x)的最大值,得關(guān)于a的不等式,求得a的取值范圍.思索1:在[例3]中,若把“存在x2∈[2,3]”變?yōu)椤半S意x2∈[2,3]”時(shí),其他條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

提示問題“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為[f(x)]max≤[g(x)]min,請(qǐng)讀者自行求解.思索2:在[例3]中,若把“隨意x1∈12,1”改為“存在x1∈12,1”,其他條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

提示問題“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為f(x)min≤g(x)max,請(qǐng)讀者自行求解.思索3:在[例3]中,若把“使得f(x1)≤g(x2)”變?yōu)椤癴(x1)≥g(x2)”,其他條件不變,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

提示問題“等價(jià)轉(zhuǎn)化”為f(x)min≥g(x)min,請(qǐng)讀者自行求解.2.2函數(shù)的單調(diào)性與最值必備學(xué)問·預(yù)案自診學(xué)問梳理1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(2)增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D2.f(x)≤Mf(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M考點(diǎn)自診1.(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2.Dy=-x3+1,y=cosx,y=log12x在區(qū)間(0,1)上都是削減的,y=x-13.D因?yàn)閍>0且a≠1,f(x)=ax,x≥1,ax+a4.Af(x)=2x+1x-1=3x-1+2在[-8,-4)上是削減的,故f(5.(-∞,-1)∪13,+∞結(jié)合題意,f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)遞增,要滿意f(2x)>f(1-x),則要求|2x|>|1-x|,即(2x)2>(1-x)2,解得x<-1或x>13.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1解(方法1)設(shè)x1,x2是隨意兩個(gè)正數(shù),且0<x1<x2,則f(x1)-f(x2)=x1+ax1-x2+ax2=x1-x當(dāng)0<x1<x2≤a時(shí),0<x1x2<a.又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函數(shù)f(x)在(0,a]上是削減的.當(dāng)a≤x1<x2時(shí),x1x2>a.又x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).所以函數(shù)f(x)在[a,+∞)上是增加的.(方法2)因?yàn)閒(x)=x+ax,所以f'(x)=1-a由f'(x)>0,得1-ax2>0,即x2解得x>a;由f'(x)<0,得1-ax2<0,即x2解得0<x<a.所以f(x)在(0,a)內(nèi)是削減的,在(a,+∞)內(nèi)是增加的.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-1,1)上遞減,當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(-1,1)上遞增.證明如下:(方法1定義法)任取x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,因?yàn)閒(x)=ax-1+1x-1=a1+1x-1,則f(x1)-f(x2)=a1+1x1-1-a1+由于-1<x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,故當(dāng)a>0時(shí),f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞減;當(dāng)a<0時(shí),f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),函數(shù)f(x)在(-1,1)上遞增.(方法2導(dǎo)數(shù)法)f'(x)=a(x-1)-ax(x-1)2=-a(x-1)2,所以當(dāng)a>0時(shí),f'(x)<0,當(dāng)a<0時(shí),f'(例2(1)B(2)D(3)(-3,1)(-∞,-3),(1,+∞)(1)y=|x2-3x+2|=x如圖所示,函數(shù)的遞增區(qū)間是1,32和[2,(2)函數(shù)y=x2-2x-8=(x-1)2-9圖像的對(duì)稱軸為直線x=1,由x2-2x-8>0,解得x>4或x<-2,所以(4,+∞)為函數(shù)y=x2-2x-8的一個(gè)遞增區(qū)間.依據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知,函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-8)的遞增區(qū)間為(4,+∞).(3)f'(x)=-2x·ex+ex(3-x2)=ex(-x2-2x+3)=ex[-(x+3)(x-1)],當(dāng)-3<x<1時(shí),f'(x)>0,當(dāng)x>1或x<-3時(shí),f'(x)<0,所以函數(shù)y=(3-x2)ex的遞增區(qū)間是(-3,1),遞減區(qū)間是(-∞,-3),(1,+∞).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)A(2)B(3)B(1)由x2-3x-4>0,得f(x)的定義域?yàn)閤>4或x<-1,由y=log2x是增函數(shù),知f(x)的遞減區(qū)間即y=x2-3x-4的遞減區(qū)間,當(dāng)x∈-∞,32時(shí),函數(shù)y=x2-3結(jié)合f(x)的定義域,可得函數(shù)f(x)=log2(x2-3x-4)的遞減區(qū)間為(-∞,-1).故選A.(2)f(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)],定義域?yàn)?2,6),令t=(x-2)(6-x),則y=lnt,二次函數(shù)t=(x-2)(6-x)的對(duì)稱軸為直線x=4,所以f(x)在(2,4)上遞增,在(4,6)上遞減,A錯(cuò),C也錯(cuò),D明顯是錯(cuò)誤的;當(dāng)x=4時(shí),t有最大值,所以f(x)max=ln(4-2)+ln(6-4)=2ln2,B正確.(3)y=|x|(1-x)=-畫出函數(shù)的圖像如圖所示.由圖易知原函數(shù)在0,12上遞增例3(1)9(2)D(1)∵f(x)的定義域?yàn)閇1,+∞),且f(x)在定義域上遞增,∴f(x)min=f(1)=9.故答案為9.(2)函數(shù)y=2-xx+1=3-(當(dāng)x=2時(shí),y=0.依據(jù)題意x∈(m,n]時(shí),ymin=0.所以m的取值范圍是[-1,2).故選D.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3D因?yàn)閍b=a,a≥b,b2,a<b,所以f(x)=(1x)·x-(2x)=x-例4(1)B(2)A(1)由指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算可得,2