新課標人教版高中數(shù)學必修五教案合集

新課標人教版高中數(shù)學必修五教案合集第一章解三角形章節(jié)總體設計（一）課標要求本章的中心內容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上。通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。（2）能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的生活實際問題。（二）編寫意圖與特色1．數(shù)學思想方法的重要性數(shù)學思想方法的教學是中學數(shù)學教學中的重要組成部分，有利于學生加深數(shù)學知識的理解和掌握。本章重視與內容密切相關的數(shù)學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行具體示范、引導。本章的兩個主要數(shù)學結論是正弦定理和余弦定理，它們都是關于三角形的邊角關系的結論。在初中，學生已經(jīng)學習了相關邊角關系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全”等。教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題。”設置這些問題，都是為了加強數(shù)學思想方法的教學。2．注意加強前后知識的聯(lián)系加強與前后各章教學內容的聯(lián)系，注意復習和應用已學內容，并為后續(xù)章節(jié)教學內容做好準備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學效益，并有利于學生對于數(shù)學知識的學習和鞏固。本章內容處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們仍然從量化的角度來研究這個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！边@樣，從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結構?！墩n程標準》和教科書把“解三角形”這部分內容安排在數(shù)學五的第一部分內容，位置相對靠后，在此內容之前學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內容，這使這部分內容的處理有了比較多的工具，某些內容可以處理得更加簡潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？”，并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”3．重視加強意識和數(shù)學實踐能力學數(shù)學的最終目的是應用數(shù)學，而如今比較突出的兩個問題是，學生應用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造能力較弱。學生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學問題，不能把所學的數(shù)學知識應用到實際問題中去，對所學數(shù)學知識的實際背景了解不多，雖然學生機械地模仿一些常見數(shù)學問題解法的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題，最后把數(shù)學知識應用于實際問題。（三）教學內容及課時安排建議1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）1.2應用舉例（約4課時）1.3實習作業(yè)（約1課時）（四）評價建議1．要在本章的教學中，應該根據(jù)教學實際，啟發(fā)學生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應該因勢利導，根據(jù)具體教學過程中學生思考問題的方向來啟發(fā)學生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應用兩個定理解決有關的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應該鼓勵學生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學生設計應用的程序，得到在實際中可以直接應用的算法。2．適當安排一些實習作業(yè)，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題的解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學語言表達實習過程和實習結果能力，增強學生應用數(shù)學的意識和數(shù)學實踐能力。教師要注意對于學生實習作業(yè)的指導，包括對于實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。第1課時課題:§1．1．1正弦定理●教學目標知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一?！窠虒W重點正弦定理的探索和證明及其基本應用?！窠虒W難點已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)?！窠虒W過程Ⅰ.課題導入如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉動。A思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？CBⅡ.講授新課[探索研究](圖1．1-1)在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又,A則bc從而在直角三角形ABC中，CaB(圖1．1-2)思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1．1-3，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則，C同理可得，ba從而AcB(圖1．1-3)思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。（證法二）：過點A作，C由向量的加法可得則AB∴∴，即同理，過點C作，可得從而類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即[理解定理]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，；（2）等價于，，從而知正弦定理的基本作用為：①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如；②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。[例題分析]例1．在中，已知，，cm，解三角形。解：根據(jù)三角形內角和定理，；根據(jù)正弦定理，；根據(jù)正弦定理，評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理，因為＜＜，所以，或⑴當時，，⑵當時，，評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。Ⅲ.課堂練習第4頁練習第1（1）、2（1）題。[補充練習]已知ABC中，，求（答案：1：2：3）Ⅳ.課時小結（由學生歸納總結）（1）定理的表示形式：；或，，（2）正弦定理的應用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。Ⅴ.課后作業(yè)第10頁[習題1.1]A組第1（1）、2（1）題。第2課時課題:§1.1.2余弦定理●教學目標知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。●教學重點余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用；●教學難點勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用?！窠虒W過程Ⅰ.課題導入C如圖1．1-4，在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊cbaAcB(圖1．1-4)Ⅱ.講授新課[探索研究]聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A如圖1．1-5，設，，，那么，則CB從而(圖1．1-5)同理可證于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？（由學生總結）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。[例題分析]例1．在ABC中，已知，，，求b及A⑴解：∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴評述：解法二應注意確定A的取值范圍。例2．在ABC中，已知，，，解三角形（見課本第7頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）解：由余弦定理的推論得：cos；cos；Ⅲ.課堂練習第8頁練習第1（1）、2（1）題。[補充練習]在ABC中，若，求角A（答案：A=120）Ⅳ.課時小結（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。Ⅴ.課后作業(yè)①課后閱讀：課本第8頁[探究與發(fā)現(xiàn)]②課時作業(yè)：第11頁[習題1.1]A組第3（1），4（1）題。第3課時課題:§1．1．3解三角形的進一步討論●教學目標知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。過程與方法：通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關性質求解三角形問題。情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數(shù)的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯(lián)系?！窠虒W重點在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用?！窠虒W難點正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。●教學過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情景]思考：在ABC中，已知，，，解三角形。（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。Ⅱ.講授新課[探索研究]例1．在ABC中，已知，討論三角形解的情況分析：先由可進一步求出B；則從而1．當A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解。2．當A為銳角時，如果≥，那么只有一解；如果，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若，則有兩解；（2）若，則只有一解；（3）若，則無解。（以上解答過程詳見課本第910頁）評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。[隨堂練習1]（1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況。（2）在ABC中，若，，，則符合題意的b的值有_____個。（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。（答案：（1）有兩解；（2）0；（3））例2．在ABC中，已知，，，判斷ABC的類型。分析：由余弦定理可知（注意：）解：，即，∴。[隨堂練習2]（1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型。（2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。（答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形）例3．在ABC中，，，面積為，求的值分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理解：由得，則=3，即，從而Ⅲ.課堂練習（1）在ABC中，若，，且此三角形的面積，求角C（2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C（答案：（1）或；（2））Ⅳ.課時小結（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形各種類型的判定方法；（3）三角形面積定理的應用。Ⅴ.課后作業(yè)（1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況。（2）設x、x+1、x+2是鈍角三角形的三邊長，求實數(shù)x的取值范圍。（3）在ABC中，，，，判斷ABC的形狀。（4）三角形的兩邊分別為3cm，5cm,它們所夾的角的余弦為方程的根，求這個三角形的面積。第4課時課題:§2.2解三角形應用舉例●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結合學生的實際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結規(guī)律——反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內容之間的內在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力●教學重點實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解●教學難點根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖●教學過程Ⅰ.課題導入1、[復習舊知]復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？2、[設置情境]請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。Ⅱ.講授新課（1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解[例題講解](2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m)啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得=AB====≈65.7(m)答:A、B兩點間的距離為65.7米變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于akm,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。解略：akm例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=， ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，應用正弦定理得AC==BC==計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離AB=分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。學生閱讀課本4頁，了解測量中基線的概念，并找到生活中的相應例子。Ⅲ.課堂練習課本第13頁練習第1、2題Ⅳ.課時小結解斜三角形應用題的一般步驟：（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解Ⅴ.課后作業(yè)課本第19頁第1、2、3題第5課時課題:§2.2解三角形應用舉例●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題過程與方法：本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導——討論——歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力●教學重點結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題●教學難點能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件●教學過程Ⅰ.課題導入提問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶?？今天我們就來共同探討這方面的問題Ⅱ.講授新課[范例講解]例3、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。分析：求AB長的關鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD=a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得AC=AB=AE+h=AC+h=+h例4、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3m,求出山高CD(精確到1m)師:根據(jù)已知條件,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在ABD中求CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根據(jù)正弦定理,=所以AB==解RtABD中,得BD=ABsinBAD=將測量數(shù)據(jù)代入上式,得BD==≈177(m)CD=BD-BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.師：有沒有別的解法呢？生：若在ACD中求CD，可先求出AC。師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC？生：同理，在ABC中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過程略）例5、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD.師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？生：在BCD中師：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長？生：BC邊解:在ABC中,A=15,C=25-15=10,根據(jù)正弦定理,=,BC==≈7.4524(km)CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m)答:山的高度約為1047米Ⅲ.課堂練習課本第15頁練習第1、2、3題Ⅳ.課時小結利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕?。?課后作業(yè)課本第19頁練習第6、7、8題為測某塔AB的高度，在一幢與塔AB相距20m的樓的樓頂處測得塔頂A的仰角為30，測得塔基B的俯角為45，則塔AB的高度為多少m？答案：20+(m)第6課時課題:§2.2解三角形應用舉例●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關內容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應通過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強調知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神?！窠虒W重點能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系●教學難點靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題●教學過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情境]提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。Ⅱ.講授新課[范例講解]例6、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5nmile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0nmile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01nmile)學生看圖思考并講述解題思路教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根據(jù)余弦定理，AC==≈113.15根據(jù)正弦定理,=sinCAB==≈0.3255,所以CAB=19.0,75-CAB=56.0答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15nmile補充例1、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。師：請大家根據(jù)題意畫出方位圖。生：上臺板演方位圖（上圖）教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，=。因為sin4=2sin2cos2 cos2=,得2=30 =15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法二：（設方程來求解）設DE=x，AE=h在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)兩式相減，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==2=30,=15答：所求角為15，建筑物高度為15m解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8，由題意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中，sin2=---------①在RtADE中，sin4=,---------②②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角為15，建筑物高度為15m補充例2、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x,AB=14x,AC=9,ACB=+=(14x)=9+(10x)-2910xcos化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)所以BC=10x=15,AB=14x=21,又因為sinBAC===BAC=38,或BAC=141（鈍角不合題意，舍去），38+=83答：巡邏艇應該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船.評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關現(xiàn)實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解Ⅲ.課堂練習課本第16頁練習Ⅳ.課時小結解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。Ⅴ.課后作業(yè)1、課本第20頁練習第9、10、11題2、我艦在敵島A南偏西相距12海里的B處,發(fā)現(xiàn)敵艦正由島沿北偏西的方向以10海里/小時的速度航行.問我艦需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小時追上敵艦？（角度用反三角函數(shù)表示）第7課時課題:§2.2解三角形應用舉例●教學目標知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題,掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗●教學重點推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目●教學難點利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題●教學過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情境]師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們如何用已知邊和角表示？生：h=bsinC=csinBh=csinA=asinCh=asinB=bsinaA師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S=ah,應用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？生：同理可得，S=bcsinA,S=acsinB師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解Ⅱ.講授新課[范例講解]例7、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5;（2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm;（3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應用S=acsinB，得S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm)(2)根據(jù)正弦定理，=c=S=bcsinA=bA=180-(B+C)=180-(62.7+65.8)=51.5S=3.16≈4.0(cm)(3)根據(jù)余弦定理的推論，得cosB==≈0.7697sinB=≈≈0.6384應用S=acsinB，得S≈41.438.70.6384≈511.4(cm)例8、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，cosB==≈0.7532sinB=0.6578應用S=acsinBS≈681270.6578≈2840.38(m)答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。例3、在ABC中，求證：（1）（2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC）分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設===k顯然k0，所以左邊===右邊（2）根據(jù)余弦定理的推論，右邊=2(bc+ca+ab)=(b+c-a)+(c+a-b)+(a+b-c)=a+b+c=左邊變式練習1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。答案：a=6,S=9;a=12,S=18變式練習2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，acosA=bcosBsinC=提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。生1：（余弦定理）得a=bc=根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形或直角三角形生2：（正弦定理）得sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,2A=2B,A=B根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形師：根據(jù)該同學的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？生：第一位同學的正確。第二位同學遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補，即2A+2B=180，A+B=90(2)（解略）直角三角形Ⅲ.課堂練習課本第18頁練習第1、2題Ⅳ.課時小結利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。Ⅴ.課后作業(yè)課本第20頁練習第12、14、15題第8課時(復習課)一．教學重點理解正弦定理及余弦定理的推導證明過程，能夠熟練運用正、余弦定理解三角形。根據(jù)實際情況設計測量距離、高度、角度等的測量方案，并能利用正、余弦定理解決實際問題靈活運用正、余弦定理進行邊角轉化求角度、判斷三角形形狀等有關三角形的問題。二．教學難點：①正、余弦定理的推導證明，應用定理解三角形。②設計測量距離、高度、角度等的測量方案，并能利用正、余弦定理解決實際問題，③在現(xiàn)實生活中靈活運用正、余弦定理解決問題。進行邊角轉化三．教學過程1.本章知識結構框圖用正弦定理知兩角及一邊解三角形用正弦定理知兩角及一邊解三角形知兩邊及其中一邊所對的角解三角形（要討論解的個數(shù)）知兩邊及其中一邊所對的角解三角形（要討論解的個數(shù)）解三角形解三角形用余弦定理知三邊求三角用余弦定理知三邊求三角知道兩邊及這兩邊的夾角解三解形知道兩邊及這兩邊的夾角解三解形解三角形的應用舉例解三角形的應用舉例兩點間距離的測量物體高度的測量角度的測量2、例題講解：例1．在中，已知，，。試求最長邊的長度。例2．在中，已知，試判斷此角形的形狀并求出最大角與最小角的和。例3．如圖，我炮兵陣地位于A處，兩觀察所分別設于C、D，已知為邊長等于a的正三角形，當目標出現(xiàn)于B時，測得，，試求炮擊目標的距離AB。三、鞏固練習1．在中，試試判斷此角形的形狀并求出最小角。2．在中，a,b,c分別是，，的對邊，且（1）求角的大??；（2）若，求的值。3．a,b,c分別是的三邊，若，則角為-------度。4．測一塔（底不可到達）的高度，測量者在遠處向塔前進，在A處測得塔頂C的仰角，再前進20米到B點，這時測得C的仰角為，試求此塔的高度CD。（第1課時）課題§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法●教學目標知識與技能：理解數(shù)列及其有關概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系；了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。過程與方法：通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力．情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣?！窠虒W重點數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用●教學難點根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式●教學過程Ⅰ.課題導入三角形數(shù)：1，3，6，10，…正方形數(shù)：1，4，9，16，25，…Ⅱ.講授新課⒈數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列.注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn).⒉數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項.各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n項，….例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“9”是這個數(shù)列中的第6項.⒊數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項結合上述例子，幫助學生理解數(shù)列及項的定義.②中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，“”是這個數(shù)列的第“3”項，等等下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系：項↓↓↓↓↓序號12345這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：來表示其對應關系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應的各項結合上述其他例子，練習找其對應關系⒋數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列④；⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是，也可以是.⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項.數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．5.數(shù)列與函數(shù)的關系數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)、f(2)、f(3)、f(4)…，f(n)，…6．數(shù)列的分類：1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6…是無窮數(shù)列2）根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列觀察：課本P33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列？[范例講解]課本P34-35例1Ⅲ.課堂練習課本P36[練習]3、4、5[補充練習]：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,9,17,33,……；(2),,,,,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,……；解：(1)＝2n＋1；(2)＝；(3)＝；(4)將數(shù)列變形為1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,……,∴＝n＋；Ⅳ.課時小結本節(jié)課學習了以下內容：數(shù)列及有關定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前n項求一些簡單數(shù)列的通項公式。Ⅴ.課后作業(yè)課本P33習題2.1A組的第1題（第２課時）題:§2.1數(shù)列的概念與簡單表示法●教學目標知識與技能：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n項和與的關系過程與方法：經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程。情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣。●教學重點根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項●教學難點理解遞推公式與通項公式的關系●教學過程Ⅰ.課題導入[復習引入]數(shù)列及有關定義Ⅱ.講授新課數(shù)列的表示方法通項公式法如果數(shù)列的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。如數(shù)列的通項公式為；

的通項公式為；的通項公式為；圖象法啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項數(shù)為橫坐標，相應的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．遞推公式法知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題．觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型．模型一：自上而下：第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7）運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律）模型二：上下層之間的關系自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。即；；依此類推：（2≤n≤7）對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。定義：遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89遞推公式為：數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第一項，……，用表示第項，依次寫出成為4、列表法．簡記為．[范例講解]例3設數(shù)列滿足寫出這個數(shù)列的前五項。解：分析：題中已給出的第1項即，遞推公式：解：據(jù)題意可知：，[補充例題]例4已知，寫出前5項，并猜想．法一：，觀察可得法二：由∴即∴∴Ⅲ.課堂練習課本P31練習2[補充練習]1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式(1)＝0,＝＋(2n－1)(n∈N)；(2)＝1,＝(n∈N)；(3)＝3,＝3－2(n∈N).解：(1)＝0,＝1,＝4,＝9,＝16,∴＝(n－1);(2)＝1,＝,＝,＝,＝,∴＝;(3)＝3＝1+2,＝7＝1+2,＝19＝1+2,＝55＝1+2,＝163＝1+2,∴＝1＋2·3;Ⅳ.課時小結本節(jié)課學習了以下內容：1．遞推公式及其用法；2．通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系.Ⅴ.課后作業(yè)習題2。1A組的第4、6題（第3課時）課題:§2.2等差數(shù)列●教學目標知識與技能：了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列;正確認識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項過程與方法：經(jīng)歷等差數(shù)列的簡單產生過程和應用等差數(shù)列的基本知識解決問題的過程。情感態(tài)度與價值觀：通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識?！窠虒W重點等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式?！窠虒W難點等差數(shù)列的性質●教學過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情境]上兩節(jié)課我們學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列和表示的數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點。下面我們看這樣一些例子。課本P41頁的4個例子：①0，5，10，15，20，25，…②48，53，58，63③18，15.5，13，10.5，8，5.5④10072，10144，10216，10288，10366觀察：請同學們仔細觀察一下，看看以上四個數(shù)列有什么共同特征？·共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等——應指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等差數(shù)列Ⅱ.講授新課1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求；⑵．對于數(shù)列{},若－=d(與n無關的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d為公差。思考：數(shù)列①、②、③、④的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？2．等差數(shù)列的通項公式：【或】等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據(jù)其定義可得：即：即：即：……由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得：∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。由上述關系還可得：即：則：=即等差數(shù)列的第二通項公式∴d=[范例講解]例1⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項⑵-401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？解：⑴由n=20，得⑵由得數(shù)列通項公式為：由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項例3已知數(shù)列{}的通項公式，其中、是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看（n≥2）是不是一個與n無關的常數(shù)。解：當n≥2時,（取數(shù)列中的任意相鄰兩項與（n≥2））為常數(shù)∴{}是等差數(shù)列，首項，公差為p。注：①若p=0，則{}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，…②若p≠0,則{}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q.③數(shù)列{}為等差數(shù)列的充要條件是其通項=pn+q(p、q是常數(shù))，稱其為第3通項公式。④判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足3個通項公式中的一個。Ⅲ.課堂練習課本P39練習1、2、3、4[補充練習]1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項與第10項.分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項.解：根據(jù)題意可知：=3,d=7－3=4.∴該數(shù)列的通項公式為：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15,=4×10－1=39.評述：關鍵是求出通項公式.（2）求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項.解：根據(jù)題意可知：=10,d=8－10=－2.∴該數(shù)列的通項公式為：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性.（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得等于這一數(shù).解：根據(jù)題意可得：=2,d=9－2=7.∴此數(shù)列通項公式為：=2+（n－1）×7=7n－5.令7n－5=100,解得：n=15,∴100是這個數(shù)列的第15項.（4）－20是不是等差數(shù)列0，－3，－7，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：由題意可知：=0,d=－3∴此數(shù)列的通項公式為：=－n+,令－n+=－20,解得n=因為－n+=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這個數(shù)列的項.Ⅳ.課時小結通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學表達式：－=d，（n≥2，n∈N）.其次，要會推導等差數(shù)列的通項公式：，并掌握其基本應用.最后，還要注意一重要關系式：和=pn+q(p、q是常數(shù))的理解與應用.Ⅴ.課后作業(yè)課本P40習題2.2[A組]的第1題（第4課時）課題:§2.2等差數(shù)列●教學目標知識與技能：明確等差中項的概念；進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導公式,能通過通項公式與圖像認識等差數(shù)列的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題。過程與方法：通過等差數(shù)列的圖像的應用，進一步滲透數(shù)形結合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想。情感態(tài)度與價值觀：通過對等差數(shù)列的研究，使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點?！窠虒W重點等差數(shù)列的定義、通項公式、性質的理解與應用●教學難點靈活應用等差數(shù)列的定義及性質解決一些相關問題●教學過程Ⅰ.課題導入首先回憶一下上節(jié)課所學主要內容：1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d，（n≥2，n∈N），這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）2．等差數(shù)列的通項公式：(或=pn+q(p、q是常數(shù)))3．有幾種方法可以計算公差d①d=－②d=③d=Ⅱ.講授新課問題：如果在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應滿足什么條件？由定義得A-=-A，即：反之，若，則A-=-A由此可可得：成等差數(shù)列[補充例題]例在等差數(shù)列{}中，若+=9,=7,求,.分析：要求一個數(shù)列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式入手……解：∵{an}是等差數(shù)列∴+=+=9=9－=9－7=2∴d=－=7－2=5∴=+(9－4)d=7+5*5=32 ∴

=2,=32[范例講解]課本P38的例2解略課本P39練習5已知數(shù)列{}是等差數(shù)列（1）是否成立？呢？為什么？（2）是否成立？據(jù)此你能得到什么結論？（3）是否成立？？你又能得到什么結論？結論：（性質）在等差數(shù)列中，若m+n=p+q，則，即m+n=p+q(m,n,p,q∈N)但通常①由推不出m+n=p+q，②探究：等差數(shù)列與一次函數(shù)的關系Ⅲ.課堂練習1.在等差數(shù)列中，已知，，求首項與公差2.在等差數(shù)列中,若求Ⅳ.課時小結節(jié)課學習了以下內容：1．成等差數(shù)列2．在等差數(shù)列中，m+n=p+q(m,n,p,q∈N)Ⅴ.課后作業(yè)課本P41第4、5題（第5課時）課題:§2.3等差數(shù)列的前n項和●教學目標知識與技能：掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路；會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題過程與方法：通過公式的推導和公式的運用，使學生體會從特殊到一般，再從一般到特殊的思維規(guī)律，初步形成認識問題，解決問題的一般思路和方法；通過公式推導的過程教學，對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練，發(fā)展學生的思維水平.情感態(tài)度與價值觀：通過公式的推導過程，展現(xiàn)數(shù)學中的對稱美?！窠虒W重點等差數(shù)列n項和公式的理解、推導及應●教學難點靈活應用等差數(shù)列前n項公式解決一些簡單的有關問題●教學過程Ⅰ.課題導入“小故事”:高斯是偉大的數(shù)學家，天文學家，高斯十歲時,有一次老師出了一道題目,老師說:“現(xiàn)在給大家出道題目:1+2+…100=?”過了兩分鐘,正當大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦樂乎時，高斯站起來回答說：“1+2+3+…+100=5050。教師問：“你是如何算出答案的？高斯回答說：因為1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050”這個故事告訴我們：（1）作為數(shù)學王子的高斯從小就善于觀察，敢于思考，所以他能從一些簡單的事物中發(fā)現(xiàn)和尋找出某些規(guī)律性的東西。（2）該故事還告訴我們求等差數(shù)列前n項和的一種很重要的思想方法，這就是下面我們要介紹的“倒序相加”法。Ⅱ.講授新課1．等差數(shù)列的前項和公式1：證明：①②①+②：∵∴由此得：從而我們可以驗證高斯十歲時計算上述問題的正確性2．等差數(shù)列的前項和公式2：用上述公式要求必須具備三個條件：但代入公式1即得：此公式要求必須已知三個條件：（有時比較有用）[范例講解]課本P43-44的例1、例2、例3由例3得與之間的關系：由的定義可知，當n=1時，=；當n≥2時，=-，即=.Ⅲ.課堂練習課本P45練習1、2、3、4Ⅳ.課時小結本節(jié)課學習了以下內容：1.等差數(shù)列的前項和公式1：2.等差數(shù)列的前項和公式2：Ⅴ.課后作業(yè)課本P46習題[A組]2、3題（第6課時）課題:§2.3等差數(shù)列的前n項和●教學目標知識與技能：進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式；了解等差數(shù)列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題；會利用等差數(shù)列通項公式與前項和的公式研究的最值；過程與方法：經(jīng)歷公式應用的過程；情感態(tài)度與價值觀：通過有關內容在實際生活中的應用，使學生再一次感受數(shù)學源于生活，又服務于生活的實用性，引導學生要善于觀察生活，從生活中發(fā)現(xiàn)問題，并數(shù)學地解決問題?！窠虒W重點熟練掌握等差數(shù)列的求和公式●教學難點靈活應用求和公式解決問題●教學過程Ⅰ.課題導入首先回憶一下上一節(jié)課所學主要內容：1.等差數(shù)列的前項和公式1：2.等差數(shù)列的前項和公式2：Ⅱ.講授新課探究：——課本P51的探究活動結論：一般地，如果一個數(shù)列的前n項和為，其中p、q、r為常數(shù)，且，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項與公差分別是多少？由，得當時===2p對等差數(shù)列的前項和公式2：可化成式子：，當d≠0，是一個常數(shù)項為零的二次式[范例講解]等差數(shù)列前項和的最值問題課本P45的例4解略小結：對等差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:利用:當>0，d<0，前n項和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值當<0，d>0，前n項和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值利用：由利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值Ⅲ.課堂練習1．一個等差數(shù)列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數(shù)列的通項公式。2．差數(shù)列{}中,＝－15,公差d＝3,求數(shù)列{}的前n項和的最小值。Ⅳ.課時小結1．前n項和為，其中p、q、r為常數(shù)，且，一定是等差數(shù)列，該數(shù)列的首項是公差是d=2p通項公式是2．差數(shù)列前項和的最值問題有兩種方法:（1）當>0，d<0，前n項和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值。當<0，d>0，前n項和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值。（2）由利用二次函數(shù)配方法求得最值時n的值Ⅴ.課后作業(yè)課本P46習題[A組]的5、6題（第7課時）課題:§2.4等比數(shù)列●教學目標知識與技能：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項公式及推導；過程與方法：通過實例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項公式、性質，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關系，提高數(shù)學建模能力；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系。情感態(tài)度與價值觀：充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學是來源于現(xiàn)實生活，并應用于現(xiàn)實生活的，數(shù)學是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學習的興趣?！窠虒W重點等比數(shù)列的定義及通項公式●教學難點靈活應用定義式及通項公式解決相關問題●教學過程Ⅰ.課題導入復習：等差數(shù)列的定義：－=d，（n≥2，n∈N）等差數(shù)列是一類特殊的數(shù)列，在現(xiàn)實生活中，除了等差數(shù)列，我們還會遇到下面一類特殊的數(shù)列。課本P41頁的4個例子：①1，2，4，8，16，…②1，，，，，…③1，20，，，，…④，，，，，……觀察：請同學們仔細觀察一下，看看以上①、②、③、④四個數(shù)列有什么共同特征？共同特點：從第二項起，第一項與前一項的比都等于同一個常數(shù)。Ⅱ.講授新課1．等比數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）1“從第二項起”與“前一項”之比為常數(shù)(q)｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0）2隱含：任一項“≠0”是數(shù)列｛｝成等比數(shù)列的必要非充分條件．3q=1時，{an}為常數(shù)。2.等比數(shù)列的通項公式1:由等比數(shù)列的定義，有：；；；…3.等比數(shù)列的通項公式2:4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列探究：課本P56頁的探究活動——等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系：等比數(shù)列｛｝的通項公式,它的圖象是分布在曲線（q>0）上的一些孤立的點。當，q>1時，等比數(shù)列｛｝是遞增數(shù)列；當，，等比數(shù)列｛｝是遞增數(shù)列；當，時，等比數(shù)列｛｝是遞減數(shù)列；當，q>1時，等比數(shù)列｛｝是遞減數(shù)列；當時，等比數(shù)列｛｝是擺動數(shù)列；當時，等比數(shù)列｛｝是常數(shù)列。[范例講解]課本P50例1、例2、P58例3解略。Ⅲ.課堂練習課本P52練習1、2[補充練習]2.（1）一個等比數(shù)列的第9項是，公比是－，求它的第1項（答案：=2916）（2）一個等比數(shù)列的第2項是10，第3項是20，求它的第1項與第4項（答案：==5,=q=40）Ⅳ.課時小結本節(jié)學習內容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項公式．Ⅴ.課后作業(yè):課本P53習題A組1、2題（第8課時）課題:§2.4等比數(shù)列●教學目標知識與技能：靈活應用等比數(shù)列的定義及通項公式；深刻理解等比中項概念；熟悉等比數(shù)列的有關性質，并系統(tǒng)了解判斷數(shù)列是否成等比數(shù)列的方法過程與方法：通過自主探究、合作交流獲得對等比數(shù)列的性質的認識。情感態(tài)度與價值觀：充分感受數(shù)列是反映現(xiàn)實生活的模型，體會數(shù)學是來源于現(xiàn)實生活，并應用于現(xiàn)實生活的，數(shù)學是豐富多彩的而不是枯燥無味的，提高學習的興趣?！窠虒W重點等比中項的理解與應用●教學難點靈活應用等比數(shù)列定義、通項公式、性質解決一些相關問題●教學過程Ⅰ.課題導入首先回憶一下上一節(jié)課所學主要內容：1．等比數(shù)列：如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）2.等比數(shù)列的通項公式:，3．｛｝成等比數(shù)列=q（,q≠0）“≠0”是數(shù)列｛｝成等比數(shù)列的必要非充分條件4．既是等差又是等比數(shù)列的數(shù)列：非零常數(shù)列Ⅱ.講授新課1．等比中項：如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，那么稱這個數(shù)G為a與b的等比中項.即G=±（a,b同號）如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,G，b成等比數(shù)列，則，反之，若G=ab,則，即a,G,b成等比數(shù)列。∴a,G,b成等比數(shù)列G=ab（a·b≠0）[范例講解]課本P58例4證明：設數(shù)列的首項是，公比為;的首項為，公比為，那么數(shù)列的第n項與第n+1項分別為：它是一個與n無關的常數(shù)，所以是一個以q1q2為公比的等比數(shù)列拓展探究：對于例4中的等比數(shù)列{}與{}，數(shù)列{}也一定是等比數(shù)列嗎？探究：設數(shù)列{}與{}的公比分別為，令，則，所以，數(shù)列{}也一定是等比數(shù)列。課本P53的練習4已知數(shù)列{}是等比數(shù)列，（1）是否成立？成立嗎？為什么？（2）是否成立？你據(jù)此能得到什么結論？是否成立？你又能得到什么結論？結論：2．等比數(shù)列的性質：若m+n=p+k，則在等比數(shù)列中，m+n=p+q，有什么關系呢？由定義得：，則Ⅲ.課堂練習課本P53的練習3、5Ⅳ.課時小結1、若m+n=p+q，2、若是項數(shù)相同的等比數(shù)列，則、{}也是等比數(shù)列Ⅴ.課后作業(yè)課本P53習題2.4A組的3、5題（第9課時）課題:§2.5等比數(shù)列的前n項和●教學目標知識與技能：掌握等比數(shù)列的前n項和公式及公式證明思路；會用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關等比數(shù)列的一些簡單問題。過程與方法：經(jīng)歷等比數(shù)列前n項和的推導與靈活應用，總結數(shù)列的求和方法，并能在具體的問題情境中發(fā)現(xiàn)等比關系建立數(shù)學模型、解決求和問題。情感態(tài)度與價值觀：在應用數(shù)列知識解決問題的過程中，要勇于探索，積極進取，激發(fā)學習數(shù)學的熱情和刻苦求是的精神?！窠虒W重點等比數(shù)列的前n項和公式推導●教學難點靈活應用公式解決有關問題●教學過程Ⅰ.課題導入[創(chuàng)設情境][提出問題]課本P62“國王對國際象棋的發(fā)明者的獎勵”Ⅱ.講授新課[分析問題]如果把各格所放的麥粒數(shù)看成是一個數(shù)列，我們可以得到一個等比數(shù)列，它的首項是1，公比是2，求第一個格子到第64個格子各格所放的麥粒數(shù)總合就是求這個等比數(shù)列的前64項的和。下面我們先來推導等比數(shù)列的前n項和公式。等比數(shù)列的前n項和公式：當時，①或②當q=1時，當已知,q,n時用公式①；當已知,q,時，用公式②.公式的推導方法一：一般地，設等比數(shù)列它的前n項和是由得∴當時，①或②當q=1時，公式的推導方法二：有等比數(shù)列的定義，根據(jù)等比的性質，有即（結論同上）圍繞基本概念，從等比數(shù)列的定義出發(fā)，運用等比定理，導出了公式．公式的推導方法三：＝＝＝（結論同上）[解決問題]有了等比數(shù)列的前n項和公式，就可以解決剛才的問題。由可得==。這個數(shù)很大，超過了。國王不能實現(xiàn)他的諾言。[例題講解]課本P56-57的例1、例2例3解略Ⅲ.課堂練習課本P58的練習1、2、3Ⅳ.課時小結等比數(shù)列求和公式：當q=1時，當時，或Ⅴ.課后作業(yè)課本P61習題A組的第1、2題（第10課時）課題:§2.5等比數(shù)列的前n項和●教學目標知識與技能：會用等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式解決有關等比數(shù)列的中知道三個數(shù)求另外兩個數(shù)的一些簡單問題；提高分析、解決問題能力過程與方法：通過公式的靈活運用，進一步滲透方程的思想、分類討論的思想、等價轉化的思想.情感態(tài)度與價值觀：通過公式推導的教學，對學生進行思維的嚴謹性的訓練，培養(yǎng)他們實事求是的科學態(tài)度.●教學重點進一步熟練掌握等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式●教學難點靈活使用公式解決問題●教學過程Ⅰ.課題導入首先回憶一下前一節(jié)課所學主要內容：等比數(shù)列的前n項和公式：當時，①或②當q=1時，當已知,q,n時用公式①；當已知,q,時，用公式②Ⅱ.講授新課1、等比數(shù)列前n項，前2n項，前3n項的和分別是Sn，S2n，S3n，求證：2、設a為常數(shù)，求數(shù)列a，2a2，3a3，…，nan，…的前n項和；（1）a=0時，Sn=0（2）a≠0時，若a=1，則Sn=1+2+3+…+n=若a≠1，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan），Sn=Ⅲ.課堂練習課本P61習題A組的第4、5題Ⅳ.課時小結Ⅴ.課后作業(yè)課本P61習題A組的第6題（第11--12課時）課題：數(shù)列復習小結教學目的：1．系統(tǒng)掌握數(shù)列的有關概念和公式。2．了解數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關系。3．