湖南省長沙市雅禮教育集團2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

雅禮教育集團2024年下學(xué)期期中考試試卷高一數(shù)學(xué)時量：120分鐘分值：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若,則集合B中元素的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出集合B，進而可得集合B中元素的個數(shù)．【詳解】由題意得集合，所以集合B中共有4個元素．故選：D．2.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件及必要條件的定義來判斷即得．【詳解】由可得，或，∴“”是“”的充分不必要條件.故選：A．3.命題“，有實數(shù)解”的否定是（）A.，有實數(shù)解 B.，無實數(shù)解C.，無實數(shù)解 D.，有實數(shù)解【答案】C【解析】【分析】存在量詞命題（又稱特稱命題）的否定為全稱量詞命題（又稱全稱命題），即變?yōu)?【詳解】“，有實數(shù)解”的否定是“，無實數(shù)解”，故選：C.4.已知集合，，給出下列四個對應(yīng)關(guān)系：①，②，③，④，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（）A.①② B.①③ C.②④ D.③④【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的定義一一判斷即可.【詳解】對于①，，當時，，故①不滿足題意；對于②，，當時，，故②不滿足題意；對于③，，當時，，當時，，故③滿足題意；對于④，，當時，，當時，，故④滿足題意.故選：D.5.汽車經(jīng)過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程看作時間的函數(shù)，其圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析各個階段的路程與時間之間的關(guān)系可得結(jié)論.【詳解】解析：由這一過程中汽車的速度變化可知，速度由小變大→保持勻速→由大變?。俣扔尚∽兇髸r，路程隨時間變化的曲線上升得越來越快，曲線顯得越來越陡峭；勻速行駛時路程隨時間變化的曲線上升速度不變；速度由大變小時，路程隨時間變化的曲線上升得越來越慢，曲線顯得越來越平緩．故選：A.6.若，，且，則下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】取可判斷ABD是否正確；再利用基本等式判斷C.【詳解】因為，，當，時，，，，所以ABD選項錯誤.由基本不等式，得，當且僅當時取等號，故選：C.7.已知定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性判斷函數(shù)在各區(qū)間的正負，考慮和兩種情況，將不等式轉(zhuǎn)化為的正負，計算得到答案.【詳解】定義在R上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故，函數(shù)在和上滿足，在和上滿足.，當時，，即；當時，，即.綜上所述：.故選：A8.若函數(shù)，為在上的單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】由題意可得，，解得.所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.二、多選題：本題共3題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.9.對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.若，則函數(shù)的最小值為2B.若，則函數(shù)上單調(diào)遞增C.若，則函數(shù)的值域為D.若，則函數(shù)是奇函數(shù)【答案】BCD【解析】【分析】當時，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性及性質(zhì)判斷AB；當時，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義可判斷D，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及圖象可判斷C.【詳解】當時，，函數(shù)在和0,1上單調(diào)遞減，在和1,+∞上單調(diào)遞增，如圖，所以函數(shù)沒有最小值，故A錯誤，B正確；當時，，，則，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故D正確，又因為函數(shù)在和0,+∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在和0,+∞上單調(diào)遞增，如圖，所以函數(shù)的值域為，故C正確.故選：BCD.10.已知二次函數(shù)（，，為常數(shù)，且）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.C.D.不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】由二次函數(shù)圖象可得，，進而代入各選項判斷即可.【詳解】由圖象可知，該二次函數(shù)開口向上，故，與軸的交點為，，故，即，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D：不等式可化為，即，即，其解集為，故D正確.故選：ACD.11.定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，則下列說法正確的是（）AB.為奇函數(shù)C.在區(qū)間上有最大值D.的解集為【答案】ABD【解析】【分析】A.由，利用賦值法求解判斷；B.由，令，由奇偶性的定義判斷；C.判斷函數(shù)的單調(diào)性求解；D.利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解判斷.【詳解】解：因為函數(shù)滿足，所以，即，則；令，則，故為奇函數(shù)，設(shè)，且，則，即，所以在R上是減函數(shù)，所以在區(qū)間上有最大值，由，得，由在R上是減函數(shù)，得，即，解得，所以的解集為，故選：ABD三、填空題，本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，，則的范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)求解即可.【詳解】由，得，又，則，即的范圍為.故答案為：.13.定義在R上的函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)；②在0,+∞上單調(diào)遞減；③，請寫出一個滿足條件的函數(shù)______．【答案】(不唯一)【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過即可考慮指數(shù)型函數(shù)得出答案.【詳解】由函數(shù)滿足：①為偶函數(shù)②在0,+∞單調(diào)遞減；②，則.故答案為：14.對于一個由整數(shù)組成的集合，中所有元素之和稱為的“小和數(shù)”，的所有非空子集的“小和數(shù)”之和稱為的“大和數(shù)”.已知集合，則的“小和數(shù)”為________，的“大和數(shù)”為________.【答案】①.5②.80【解析】【分析】根據(jù)給定定義直接求出的“小和數(shù)”；求出集合的所有非空子集中含有每個元素的子集個數(shù)即可求出的“大和數(shù)”.【詳解】依題意，的“小和數(shù)”為；集合的所有非空子集中，含有數(shù)的子集，可視為集合的每個子集與的并集，因此含有數(shù)的子集個數(shù)為，同理含有數(shù)的子集個數(shù)均為，所以的“大和數(shù)”為.故答案為：5；80四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合，集合或，全集.（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若命題“，”是真命題，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直接根據(jù)兩個集合的交集是空集求解即可；（2）根據(jù)題意可得，進而結(jié)合包含關(guān)系求解即可.【小問1詳解】因為對任意恒成立，所以，又，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為【小問2詳解】若，是真命題，則有，則或，所以或，即實數(shù)的取值范圍為或.16.已知冪函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).（1）求的解析式；（2）在區(qū)間上，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義可得，解得的值，再根據(jù)常見冪函數(shù)的奇偶性即可求解；（2）轉(zhuǎn)化問題為對恒成立，即，進而根據(jù)基本不等式求解即可.【小問1詳解】因為是冪函數(shù)，所以，解得或，又函數(shù)為偶函數(shù)，故，.【小問2詳解】由（1）知，，則原題可等價轉(zhuǎn)化為對恒成立，分離參數(shù)得，因為對恒成立，則，當時，，當且僅當，即時取得最小值，即，所以實數(shù)的取值范圍為.17.已知關(guān)于的不等式.（1）當時，求關(guān)于的不等式的解集；（2）當時，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】（1）或.（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求解即可；（2）根據(jù)含參一元二次不等式的解法求解即可.【小問1詳解】當時，不等式可化為，解得或，所以當時，不等式解集是或.【小問2詳解】當時，原式可化為，解得；當時，原式可化為，令，解得或1（舍去）；①當時，，故原不等式的解為；②當時，原不等式為，解得；③當時，，原不等式的解為；當時，原式可化為，令,解得（舍去）或1；①當時，，原不等式的解為或；②當時，不等式，解得x∈R；③當時，，原不等式的解為或.綜上所述，當時，原不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，不等式的解集是或；當時，不等式的解集為R；當時，解集是或.18.為促進消費，某電商平臺推出階梯式促銷活動：第一檔：若一次性購買商品金額不超過元，則不打折；第二檔：若一次性購買商品金額超過元，不超過元，則超過元部分打折；第三檔：若一次性購買商品金額超過元，則超過元，不超過元的部分打8折，超過元的部分打折.若某顧客一次性購買商品金額為元，實際支付金額為元.（1）求關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）若顧客甲、乙購買商品金額分別為、元，且、滿足關(guān)系式，為享受最大的折扣力度，甲、乙決定拼單一起支付，并約定折扣省下的錢平均分配.當甲、乙購買商品金額之和最小時，甲、乙實際共需要支付多少錢？并分析折扣省下來的錢平均分配，對兩人是否公平，并說明理由．（提示：折扣省下的錢甲購買商品的金額乙購買商品的金額甲乙拼單后實際支付的總額）【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分，，三種情況求解即可；（2）根據(jù)題意及基本不等式可確定的最小值，及取得最小值時的值，進而結(jié)合題意分析即可求解.【小問1詳解】由題意，當時，；當時，；當時，.綜上所述，y=x,0<x≤300【小問2詳解】甲乙購買商品的金額之和為，而（元），當且僅當，即時，原式取得最小值.此時（元），因為，則拼單后實付總金額（元）故折扣省下來的錢為（元）.則甲乙拼單后，甲實際支付（元），乙實際支付（元）而若甲乙不拼單，因為，故甲實際應(yīng)付（元）；，乙應(yīng)付（元）.因為420元422.5元，若按照“折扣省下來的錢平均分配”的方式，則乙實付金額比不拼單時的實付金額還要高，因此該分配方式不公平.所以當甲、乙的購物金額之和最小時，甲、乙實際共需要支付495元.若按“折扣省下來的錢平均分配”的方式拼單，則拼單后乙實付422.5元，比不拼單時的實付420元還要高，因此這種方式對乙不公平.19.經(jīng)過函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們知道：“函數(shù)的圖象關(guān)于原點成中心對稱圖形”的充要條件是“是奇函數(shù)”．（1）若為定義在上的奇函數(shù)，且當時，，求的解析式；（2）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組針對上述結(jié)論進行探究，得到一個真命題：“函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形”的充要條件是“為奇函數(shù)”．若定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形，且當時，．（i）求的解析式；（ii）若函數(shù)滿足：當定義域為時值域也是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間，若函數(shù)在上存在保值區(qū)間，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由奇偶性的定義求解即可；（2）（i）由題意可知為奇函數(shù)，進而，由此可求出時解析式，即可求解；（ii）由的單調(diào)性結(jié)合“保值”區(qū)間的定義，分類討論即可求解【小問1詳解】為定義在上的奇函數(shù)，當時，，所以，