中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習(xí)訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)（原卷版+解析）

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一

《核心考點+重點題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測》

（全國通用版）

第23年銳角三龜茂照

:銳角三角函數(shù)的定義

1、銳角三角函數(shù)的定義

在RtZ\Z6。中，4。=90°,AB=c、BC=a,AC=b,

NA的對邊a?JZA的鄰邊bNA的對邊a

正弦：sin/=—；余弦:cos/l=；正切:tan/l=

斜邊b

根據(jù)定義求三角函數(shù)值時，一定根據(jù)題目圖形來理解，嚴(yán)格按照三角函數(shù)的定義求解，有時需要通過輔助

線來構(gòu)造直角三角形.

:特殊角的三角函數(shù)值

asinacosatana

￡

30°旦此

223

V2

45°也1

22

j_

60°同73

22

:解直角三角形

L在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知

元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形.

2.解直角三角形的常用關(guān)系：在Rt^/l6C中，乙。=90。，則：

1）三邊關(guān)系：3+//二。2；2）兩銳角關(guān)系：4/8二90。；3）邊與角關(guān)系：sin/二cos8=@,cosA=s\r\B-

c

b。\22

—,tan/l=—；4）sin/l+cosA=1.

cb

3）科學(xué)選擇解直角三角形的方法口訣：

已知斜邊求直邊，正弦、余弦很方便；已知直邊求直邊，理所當(dāng)然用正切；

已知兩邊求一邊，勾股定理最方便；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要記牢；

已知銳角求銳角，互余關(guān)系不能少；已知直邊求斜邊，用除還需正余弦.

核4:解直角三角形的應(yīng)用：

L.仰角和俯角

仰角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角.

俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線下方的角叫做俯角.

2..坡度和坡角

h

坡度：坡面的鉛直高度力和水平寬度/的比叫做坡面的坡度（或坡比），記作/=].

坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a/=tana.坡度越大，cr角越大，坡面越陡.

3.方向角（或方位角）

指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90。的水平角叫做方向角.

4.解直角三角形實際應(yīng)用的一般步驟

（1）弄清題中名詞、術(shù)語，根據(jù)題意畫出圖形，建立數(shù)學(xué)模型；

（2）將條件轉(zhuǎn)化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題;

（3）選擇合適的邊角關(guān)系式，使運(yùn)算簡便、準(zhǔn)確；

（4）得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，從而得到問題的解.

三角函數(shù)不僅是非常重要的一塊內(nèi)容，更是一種重要的解題方法，主要題型有三大種，其一是求某

個角的某個三角函數(shù)；其二是利用三角函數(shù)求線段長；其三是三角函數(shù)的應(yīng)用。

81?求某角的三角函數(shù)

1.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為L每個小正方形的頂點稱為格點，AABC的

頂點均在格點上，則sin44c的值是（）.

萼

A/B.C.—D.-

52

倒【分析】延長AC到點。，連接3D,

由網(wǎng)格可得人療+或）？=鉆2即//位汨=90。，即可求出答案.

【詳解】解：延長AC到點。，連接8Z）,如圖：

D

?/AD2=20,BD2=5,AB2=25

AD2+BD2=AB2

.\ZADB=90°,

sin/BAC=^=6,

AB5

故選A.

【反思】本題考查網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)、解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造直角三角形.

2.如圖，在正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點均在格點上，貝IJtanA的值為（）

I一——44'———1-1——

kO_y__J

'B

A.亞B.亞CTD.l

31043

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的定義，即在直角三角形中,一個角的正切值等于這個角的對邊與鄰邊的比

值，即可求解.

【詳解】解：由圖可知：tanA=“

故選：C.

【反思】本題考查了正切函數(shù)的定義，熟練掌握和運(yùn)用正切函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

2——利用三角函數(shù)求線段長度

4

3.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AS=10,cosB=~,則8C的長為（）

A-

?【分析】在Rt^ABC中，COSB=4^=7'又由鉆=10，代入可求得8C.

徵AB5

【詳解】解：在Rt^ABC中，

cosB==—,AB=10,

AB5

BC=8,

故選：A.

【反思】此題主要考查銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是掌握銳角三角函數(shù)定

義.

?特殊角的三角函數(shù)

4.在△ABC中，若sinA=匹，tanB=^-＞則這個三角形一定是（）.

23

A.銳角三角形B.等腰三角形C,鈍角三角形D.直角三角形

【答案】C

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和三角形的內(nèi)角和定理求出角的度數(shù)，再進(jìn)行判斷.

【詳解】解：..飛皿人二吏^tanB=,

23

ZA=45°,4=30。，

ooo

ZA=45°,ZB=30°,ZC=180°-ZA-ZB=180-45-30=105°）

△ABC是鈍角三角形，

故選：C.

【反思】本題考查特殊角三角函數(shù)值，三角形分類，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握根據(jù)特殊角三角函數(shù)

值求角度是解題的關(guān)鍵.

2

5.若AABC中，銳角A、8滿足|sinA-，|+(cosB-^-

I=0,貝LABC是(

A.鈍角三角形B,直角三角形C.等腰直角三角形D.等邊三角形

窗【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，A和N3的度數(shù)，即可判斷的形狀.

【詳解】解：；|sinA-42

|+]cosB-；I=0,

sinA-=0,且cos8—=0,

22

ZA=60°,/3=60°,

"=60°,

44BC為等邊三角形,

故選：D.

【反思】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值、三角形的分類、等邊三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是掌握

幾個特殊角的三角函數(shù)值.

4——三角函數(shù)與函數(shù)、幾何的綜合

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A30C的頂點。在坐標(biāo)原點，邊80在x軸的負(fù)半軸上,

NBOC=60。，頂點C的坐標(biāo)為（。,3）,反比例函數(shù)y的圖像與菱形對角線40交于點D連接3D,

當(dāng)軸時，左的值是（）

A.-273B.-3A/3C.-4石D.-6A/3

倒【分析】過點0作CEU軸于點E根據(jù)點C的坐標(biāo),求出m=2G根據(jù)菱形性質(zhì)求出

OB=OC=26,NBOD=gNBOC=30。,解直角三角形求出DB=tan30。=2退x]=2,得出點。

的坐標(biāo)為：卜2后2),代入函數(shù)關(guān)系式，即可求出左的值.

【詳解】解：過點C作CEJ_x軸于點E,如圖所示：

?.?頂點C的坐標(biāo)為(。,3),

OE=—a,CE=3,

.?NBOC=6。。

OC=CE=2百,

cos60°

0?,四邊形ABOC為菱形，

OB=OC=2y/3,/BOD=g/BOC=30°,

軸，

???DB=OBtan30°=2V3x—=2,

3

二點。的坐標(biāo)為：(-2^,2),

?.-反比例函數(shù)y=2的圖象與菱形對角線4。交于點D,

X

k=xy=-2百x2=-48,故C正確.

故選：C.

【反思】本題主要考查了解直角三角形，求反比例函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助

線，求出點。卜26,2).

5?三角函數(shù)的實際應(yīng)用

7.長沙市推出新型智慧城市和數(shù)字政府建設(shè)的工作涉及多個領(lǐng)域，其中智慧校園建設(shè)也開展得如火如

茶，規(guī)劃部門在某學(xué)校的辦公樓頂部新建了一塊大型數(shù)字展示屏.如圖郡郡同學(xué)為測量展示屏的高度

AB,他站在距離辦公樓底部E處12米遠(yuǎn)的地面C處，測得宣傳牌的底部8的仰角為53。，同時測得辦

公樓窗戶。處的仰角為30。（4B、D、E在同一直線上），然后，郡郡沿坡度為1=1:0.75的斜坡從C走

到E處，此時DF正好與地面平行，在/處又測得宜傳牌頂部A的仰角為

43

45°.sin53°?—,cos53°?—,tan53°

55

⑴求點尸距離水平地面的高度和它距窗戶。的距離；（保留根號）

⑵求數(shù)字顯示屏AB的高度（結(jié)果精確到0.1米，應(yīng)a1.414,3^1.732）

@【分析】⑴如圖所示，過點P作FGLCE交EC延長線于G,則四邊形DEGF是矩形，則

FG=DE,FD=GE,解RtZkCDE得到PG=OE=46111,再解Rt^PCG求出CG=36m,則

DF=GE=CG+CE=(3A/3+12)m;

(2)先解在Rt&EBC中，得到3E=16m,貝再解RtZkAF。，得至1JAD，17.2m,則

AB=AD-BD=8.1m.

【詳解】(1)解：如圖所示，過點尸作PGLCE交EC延長線于G則四邊形OEGP是矩形，

FG=DE,FD=GE,

在RtZkCDE中，ZCED=90°,ZDCE=30°,CE=12m,

???DE=CE-tanZDCE=46m,

???FG=DE=4后m,

???斜坡CP的坡度為，=1:0.75,

,FG_1

"~CG~0J5'

???CG=3A/3HI,

DF^GE=CG+CE-(373+12)m,

，點廠距離水平地面的高度為46m,它距窗戶。的距離為（3』+12）m;

(2)解：在RMEBC中，ZBEC=90°,ZBCE=53°

4

BE=CE-tanZBCE?12x—=16m,

3

???BD=BE-DE=16-4A/3?9.Im,

在RtzXA/。中，NAD尸=90°,ZAFD=45°,

???AD=DF-tanZAFD=3^+12?17.2m,

*'-AB=AD—BD=8.1m,

,數(shù)字顯示屏A3的高度為&lm.

【反思】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的性質(zhì)與判定，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角

形是解題的關(guān)鍵.

——從不同角度思考問題，你會有不同收獲

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，做數(shù)學(xué)題的過程中，我們對待一個問題或者說一個幾何問題或代數(shù)問題，可以從不同

角度出發(fā)，從不同角度思考問題，收獲會更多，比如，平面幾何問題中，經(jīng)常會遇到計算線段長度的問

題，我們可以從四個不同角度處理和思考這個問題，其一，我們從勾股定理方面想，可以構(gòu)造直角三角

形解決；其二，我們從相似三角形的角度出發(fā)，可以構(gòu)造相似三角形解決；其三，我們也可以利用三角

函數(shù)解決；其四，有時我們利用等積法來處理計算線段長度問題很簡單的，從不同角度出發(fā)，收獲會更

大。

秘籍十五：從不同角度思考問題，你會有不同收獲

一、選擇題

1.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A,B,。在格點上，以為直徑的圓過C,。兩點，則

sin/3C。的值為（）

2.如圖，在2x2正方形網(wǎng)格（小正方形的邊長均為1）中，AA5c的頂點均在格點上，貝1JsinNC4B=

（）

A.|GB.|C.萼D*

3.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC的三個頂點均在格點上，貝1JsinA的值為（）

4.如圖，在網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，則NC4B的正弦值是（）

A.—B.-C.—D.2

525

5.如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、E在格點上，過A、B、E三點的圓交BC于點。，則

ZAED的正切值是（）

6.如圖，在AABC中，tan3=l,sinC=1,AB=舊則邊BC的長為（）

A.273-1B.73+1C.72+1D.2直-1

7.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,BC=石，將A/RC繞點B旋轉(zhuǎn)到△AAC的位置，此

時C,B,4在同一直線上，則點A經(jīng)過的最短路徑長為（）

.-------D.--------------=.--------------L/.-------

6633

8.如圖，OC平分/AQB,且NAO3=60。，點P為OC上任意一點，尸河，Q4于A/,PD//OA,交OB

于。，若OAf=3,則尸。的長為（）

A.2B.1.5C.3D.2.5

9.如圖，在"LBC中，Zfi4c=60。，ZABC=90°,直線4〃乙〃4,4與4之間距離是L6與4之間距

離是2,且hL4分別經(jīng)過點AB,C,則邊AC的長為（）

A.26B.而C.岸口?雪

10.如圖，A3為。。的直徑，AB=10cm,C、。為。。上兩點，若/3CD=60。，則的長為（）

A.5cmB.5-V3cmC.-cmD.-s/3cm

22

_3

11.如下圖所示，在矩形A3CO中，DE1AC于點E,設(shè)NADE=a,且cosa=g,AB=4,則"）的

長為（）

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等邊AaLB的邊06在x軸正半軸上，點A（3,m）,m>0,點D、E分

別從8、。以相同的速度向。、A運(yùn)動，連接AD、BE,交點為F,M是>軸上一點，則成f的最小值

是（）

13.如圖，尸為等邊AABC外的一個動點（P點與A點分別在8c所在直線的不同側(cè)），且4AP8=60。,

AB=1,則P8+PC的最大值為（）

14.如圖，在MAABC中，=90°,cosA=g,點。是48邊的中點，以CD為底邊在其右側(cè)作等

DF

腰三角形CDE,使acr比二44則=的值為（）

4

15.如圖，在RtzXABC中，延長斜邊到點D使AB=2BD,連接。C,若tanA=§,貝han/DCB的

值為（）

A

B

A.-B.且C.-D.立

3344

16.如圖，一次函數(shù)，=6+方的圖象與x軸交于點A（4,0）,與y軸交于點B,與反比例函數(shù)y=:（x>0）

的圖象交于點C,。.若tan/BAO=2,BC=3AC,則點。的坐標(biāo)為（）

A.（2,3）B.（6,1）C.（1,6）D.（1,5）

17.在AABC中，（石tanA-3）2+|2COSB一百卜0,貝IJAABC為（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.含60。的任意三角形D.是底角為30。的等腰三角形

18.在AABC中，ZA,乙B都是銳角，且sinA=；,cosB--,則AABC是（）

A.直角三角形B.鈍角三角形C.銳角三角形D.不能確定

二、填空題

19.如圖，在中，ZC4B=90°,以點8為圓心、8C為半徑作弧交射線胡于點D若BC=4,

4

S扇BCD=§乃,貝UsinB的值為

20.如圖，在網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則—ABC的正切值是

21.如圖，等腰AABC內(nèi)接于。。，已知鉆=AC,ZABC=30°,3￡）是。。的直徑，如果。。=：石，則

AD=.

22.如圖，C。是△ABC的角平分線，過點。分別作AC8C的平行線，交BC于點E,交AC于點

尸.若乙AC8=60°,CD=48,則四邊形CELS'的周長是

將“WE沿AE折疊后點B的對應(yīng)點落在對角線AC上的

3

4則班的長是一

24.如圖，AABC的頂點在正方形網(wǎng)格的格點上，貝1JtanNABC的值為

25.如圖，點E,F,G,〃分別位于正方形ABCD的四條邊上（AE<AH）,四邊形EFG”也是正方

形，連接AC交于點M,設(shè)NAHE=e,若AfC=4A〃，則tana的值為

三、解答題

26.某風(fēng)景區(qū)，風(fēng)軒亭8在翠微閣A的正南方向，兩個景點被一座小山阻隔，計劃在A、8之間修建一條

直通景觀隧道（如圖）.為測量A、8兩點之間距離，在一條東西方向的公路/上選擇產(chǎn)、。兩點分別觀測

A、B,已知點A在點尸的北偏東45。方向上，點B在點。的北偏東30。方向上，8。=1200米，

尸。=2000米，試求A、8兩點之間的距離.（精確到1米，其中友=1.41,豆=1.73）

27.如圖1是小明在健身器材上進(jìn)行仰臥起坐鍛煉時的情景，圖2是小明鍛煉時上半身由QN位置運(yùn)動到

底面。垂直的加位置時的示意圖，已知AC=0.8米，BD=0.2米，a=30°（參考數(shù)據(jù)：有“73,

V2?1.41)

圖1圖2

⑴求A3的長；

⑵若QV=0.7米，求M、N兩點的距離（精確到0.1米）.

28.某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘.道閘關(guān)閉時，如圖①，四邊形ABCD為矩形，A3長6米，長

2米，點。距地面為0.4米.道閘打開的過程中，邊AO固定，連桿。分別繞點A,。轉(zhuǎn)動，且邊

3C始終與邊AD平行.如圖②，當(dāng)?shù)篱l打開至/ADC=60。時，邊8上一點P到地面的距離PE為2.4

米，求點P到MN的距離PF的長；

3I“I/

DIIIIlc

圖①圖②

29.在某海域開展的“海上聯(lián)合”反潛演習(xí)中，我方軍艦要到達(dá)C島完成任務(wù).已知軍艦位于B市的南

偏東25。方向上的A處，且在C島的北偏東58。方向上，8市在C島的北偏東28。方向上，且距離C島

312km,此時，我方軍艦沿著AC方向以30b”/h的速度航行，問：我方軍艦大約需要多長時間到達(dá)C

l434

島？（參考數(shù)據(jù)：75^1.73,sin53°?—,cos53°?-,tan53°?—）

30.某廣場舉行無人機(jī)表演，如圖，點，E處各有一架無人機(jī)，它們在同一水平線上，與地面A3的距

離為60m.此時，點E到點A處的俯角為60。，點E到點C處的俯角為30。，點。到點C處的俯角為

45°,點A到點C處的仰角為30。.點A,民COE均在同一平面內(nèi)，求兩架無人機(jī)之間的距離。E的

長.（結(jié)果保留根號）

□口

口

目

昌

AB

一、選擇題

1.如圖，在RtZiACB中，ZC=90°,。是AC的中點，AC=8,tanZC4B=-,貝IJsin/DBA等于

2

2.如圖，點A,B,C都在正方形網(wǎng)格的格點上，則sin/BAC的值是（）

B

A.正B.1C.-D.近

222

3.如圖，若將“103繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)50。后，得到△A'C?,且A4'=6,則。4的長為（）.

33

A.3sin25°B.3cos25°C.------D.------

sin25°cos25°

4.如圖，中，AB=AC=1Q,BE_LAC于點E,BE=2AE,。是線段班上的一個動點，則

+的最小值是（）

5

A.26B.46C.575D.10

5.如圖，點P（12,a）在反比例函數(shù)、=一（無＞0）的圖象上，軸于點H貝hosNOPH的值為（）

o\HX

1205八12「

AA.—B.—C.—D

13135

6.如圖，AABC的頂點都是正方形網(wǎng)格中的格點，則cosNACB等于（

To-

_3

7.如下圖所示，在矩形A3co中，DE1工AC于點E,設(shè)NADE=c,且cosa=w，AB=4,則AD的長

為（）

8.如圖，A3是半圓的直徑，/ABC的平分線分別交弦AC和半圓于E和。，若BE=2DE、AB=4,

則AE長為（）

B-72+1C.娓

9.如圖，點4是反比例函數(shù)y=-l圖像上一動點，連接A。并延長交圖像另一支于點8.又C為第一象

4

限內(nèi)的點，且AC=3C,當(dāng)點A運(yùn)動時，點。始終在函數(shù)y=—的圖像上運(yùn)動.則乙CA3的正切值為

y

A.2B.4C.—D.上

52

10.如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點A,B,。都在格點上，以AB為直徑的圓經(jīng)過點

N2A/13

CL/.----------------

T13

11.如圖，在AABC中，ZC=90°AC=8cm,A5的垂直平分線MN交AC于。，連接50,若

A.6cmB.5cmC.4cmD.2限m

12.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,BC=5點。是AC上一點，連接.若tanNA=g,

tanZABD=1,則C￡）的長為（）

D

AB

A.275B.3C.V5D.2

二、解答題

計算后-4sin30°-(J+(2023+6.12)°

13.

2020

14.計算：(-l)+^8-Q^+V2sin45°

15.計算：-(^-3.14)°+|l-V2|-2sin45o

16.計算：(萬-1)°-囪+應(yīng)《?45。+1)

17.計算：(-1)2023-2cos300+11-731+.

18.計算：2一1+|指一3|+2/sin45。.

19.計算：花一2sin30。-卜-行|++(A/3-1)°,

20.計算：(一J-173-2|+3tan30°-6^|+(2023-

21.圖1是某簡易座椅，圖2是其側(cè)面示意圖，固定點。為椅腿A3和。的中點，靠背E尸的一端固定

在A0上的點E處，將班'繞點E順時針旋轉(zhuǎn)180。后與EB重合，此時靠背收攏.已知AB=CD=40cm,

AE,=10cm,ZAOC=74°.

圖1

⑴求坐墊AC的長.

（2）在收攏靠背的過程中，求點尸到點C距離的最小值.（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：

sin37°=cos53°~0.6,sin53°=cos37°~0.8,tan37°?0.75,tan53°~1.33,^/97?9.85)

22.某居民樓緊挨一座山坡A3,經(jīng)過地質(zhì)人員勘測，當(dāng)坡度不超過45。時，可以確保山體不滑坡，如圖

所示，已知AE/BD、斜坡AB的坡角NASD=60。，為防止滑坡，現(xiàn)對山坡進(jìn)行改造，改造后，斜坡

5c與地面應(yīng)＞成45。角,AC=20米.求斜坡5c的長是多少米？（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：

V2?1.41,6a1.73)

23.如圖，海面上有A,8兩個小島，A在8的正東方向.有一艘漁船在點尸處，從A處測得漁船在北偏

西60。的方向，從2處測得漁船在其東北方向，且測得尻尸兩點之間的距離為30海里.

⑴求小島A,8之間的距離（結(jié)果保留根號）；

⑵漁船在尸處發(fā)生故障，在原地等待救援.一艘救援船以每小時45海里的速度從A地出發(fā)先沿正西方向

前往B點去取修理的材料（取材料的時間忽略不計）,再沿射線斯方向以相同的速度前往P點進(jìn)行救

援.救援船從A點出發(fā)的同時，一艘補(bǔ)給船從C點出發(fā)，以每小時30海里的速度沿射線CP方向前往尸

點，已知AP,C三點在同一直線上，從8測得C在B的北偏西15。方向.請通過計算說明救援船能否

在補(bǔ)給船到達(dá)P點后的40分鐘之內(nèi)趕到P點.（參考數(shù)據(jù)：點a1.41,A/3?1.73,76?2.45）

24.應(yīng)天門是隋唐洛陽城中軸建筑群上著名的“七天建筑”之一，是古代舉行重大國事慶典與外交活動

的重要場所.

問題提出：如何測量應(yīng)天門東闕樓的高度？

方案設(shè)計：如圖，某數(shù)學(xué)課題研究小組通過調(diào)查研究和實地測量，他們在B處測得東闕樓樓頂A的仰角

為41。，沿8C向前走了20m至點C處（8,C,D三點在同一水平線上），測得東闕樓樓頂A的仰角為60。.

問題解決：根據(jù)上述方案和數(shù)據(jù)，求應(yīng)天門東闕樓AQ的高度.（結(jié)果精確到1m,參考數(shù)據(jù)：

sin41°?0.66,cos41°?0.75,tan41°a0.87,73?1.73）

25.圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的

標(biāo)桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)桿垂直的長尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽照

射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天

定為夏至.圖2是一個根據(jù)某市地理位置設(shè)計的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC,已知該市冬至正

午太陽高度角（即NABC）為37。，夏至正午太陽高度角（即ZADC）為84。，圭面上冬至線與夏至線

3

之間的距離（即。3的長）為4米.求表AC的長（最后結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?-,

cos37°,tan37°?,tan84°q—)

542

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料五合一

《核心考點+重點題型+高分秘籍+題組特訓(xùn)+過關(guān)檢測》

（全國通用版）

第沙年銳角三龜?shù)褎?/p>

敦殂特制律解

一、選擇題

1.如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，點A,B,。在格點上，以A2為直徑的圓過C,

。兩點，則sin/3CD的值為（）

~~A

【答案】A

【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得N3CD=N3A。，根據(jù)直徑所對的圓周角為90度

可得ABDA=90°,因此解RUBDA求出sin/BAD即可.

【詳解】解：連接A￡＞、BD

???/BCD,ZBAD都是BD所對的圓周角,

ZBCD=ZBAD,

A3為直徑，

NBZM=90。，

由圖可知30=3,AD=4,

AB^JAD2+BD2=5.

7?力3

sinZBAD=——二一

AB5

3

/.sinZBCD=sinZBAD=-

5

故選A.

【點睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)等，利用同弧所對的圓周角相等

得出ZBCD=ZBAD是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在2x2正方形網(wǎng)格（小正方形的邊長均為1）中,AABC的頂點均在格點上，則

sinZCAB=(

A/。?半D/

【答案】B

【分析】如圖，作CD，AB于點D,根據(jù)題意有求出AC、AB,接著因為有

4ABeS正方物M/G—S即-S^CG—與SVABC=]XABxCD,聯(lián)合求解即可求出CD,

CD

最后根據(jù)sin/?！本图纯汕蟪龃鸢?

【詳解】如圖，作CDLAB于點D,

根據(jù)題意有,

AC=AB=V22+12=\/5,

..c_c_c_c_c

,4ABe—正方形&ABNt^ACG&BCN'

即S=2x2--x2xl-lx2xl--xlxl,

aABC222

.C,3

…一

SvABC=/xABxCD,

-X45XCD=-

22

，ZZ-ADCD53.

si?nACAB=——==-

ACy/55

故答案為：B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、三角形的面積公式以及勾股定理的應(yīng)用，牢記

以上知識點是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC的三個頂點均在格點上，貝IJsinH

的值為（）

【答案】D

【分析】由三角函數(shù)定義即可得出答案.

【詳解】如圖所示：

由圖可得：AD=3,CD=4,

由勾股定理得AC=^AD2+CD2=5，

,“4

sinA=—.

5

故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形.構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.

4.如圖，在網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，則/C鉆的正弦值是（）

A.立B.1C.述D.2

525

【答案】A

【分析】取格點。，連接8,證明AACD是直角三角形，且/ADC=90。，進(jìn)而即可求

解.

【詳解】解：如圖所示，取格點D,連接C。，

???AC2=12+32=10,CD2=12+12=2,A￡>2=22+22=8

???AD2+CD2=AC2,

??.△ACD是直角三角形，且/ADC=90。

CD=y/2,AC=Vio,

CDV2

sinZCAB^—_45

ACA/10-5

故選：A.

【點睛】本題考查了求正弦，勾股定理與網(wǎng)格問題，掌握正弦的定義是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、E在格點上，過A、B、E三點的圓交

BC于點。，則上4ED的正切值是（）

A.1B.2C.好D.亞

225

【答案】A

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NC4B=90。，再根據(jù)等角的正切相等即可求得的正

切值.

【詳解】解：；根據(jù)題意可知：OA=OB=OE,

二.AC與。。相切，

NC4B=90°,

..在放△ABC中，tanZABC=——,

AB

vAB=1,AC=2,

…巾AC1

??tanN_A5c--—

AB2

vZAED=ZABC

tanZAED=—,

2

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角的性質(zhì)，正切值的定義，利用圓周角的性質(zhì)進(jìn)行

等量轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在AABC中，tanB=l,sinC=1,AB=42,則邊8C的長為（）

A

B

A.273-1B,73+1C.72+1D.2A/2-1

【答案】B

【分析】過點A作AD13C于點。，根據(jù)三角函數(shù)值和勾股定理求出AD=m=l,再根

1Ar\CD=]=]=./g

據(jù)sinC=5，求出NC=30。，根據(jù)tan/C=——求出一tan30。一百一,最后求出

結(jié)果即可.

【詳解】解：過點A作于點。，如圖所示：

AD=BD,

AB=^2,

AD2+BD2^AB2^2,

即2BD2=2,

解得：3￡>=1或班>=-1（舍去）,

AD=BD=1,

???在RtAACD中，sinC=-,

2

???ZC=30°,

AD

*/tanC=-----

CD

tan30°=—

CD

CD=----------=-產(chǎn)=A/3

'''tan30°6，

BC=BD+CD=l+43,故B正確.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形，特殊角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握特

殊角的三角函數(shù)值，求出/C=30°.

7.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=60°,BC=6將AABC繞點8旋轉(zhuǎn)到

的位置，此時C,B,A在同一直線上，則點A經(jīng)過的最短路徑長為（）

A.—B,§扃C.$瓜D.—

6633

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和銳角三角函數(shù)，得出NABC=30。，AB=2,再根據(jù)

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合角之間的數(shù)量關(guān)系，得出乙43=150。，再根據(jù)弧長公式計算，即可得

出答案.

【詳解】解：；在Rt^ABC中，NC=90。，ZA=60。，BC=?,

ZABC=90°-60°=30°,sinZA=—,

ABAB2

AB=2,

又???將AABC繞點3旋轉(zhuǎn)到與G的位置，此時CB,A在同一直線上，

ZABA,=180°-ZABC=180°-30°=150°,

.,口卜一口\yMn兀丫150x?x25TT

二點A經(jīng)過的最短路徑長為：--=———=—,

1801803

故選：D

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式，解本

題的關(guān)鍵在熟練掌握弧長公式.

8.如圖，OC平分/A03,且NAO3=60。，點尸為OC上任意一點，于"，

PD//OA,交OB于D,若OM=3,則的長為（）

A.2B.1.5C.3D.2.5

【答案】A

【分析】過點尸作PELOB于點E,根據(jù)角平分線的定義可得到/尸。加=30。，再根據(jù)平

行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到PE的長度，進(jìn)而利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到尸。

的長度.

【詳解】解：過點尸作PE，OB于點E,

.OC平分/A03,且ZAO3=60°,

?BOC?AOC-?AOB30?,PE=PM,

2

；PMJ_OA于M,OM=3,

二在放AOMP中，PM=tan30°OM=—X3=A/3,

3

???PD//OA,

NPr>E=ZAOB=60。，

???PE=PM=6

；.在R^PED中,PD=—^-=V3-—=2,