2024-2025學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)：二次函數(shù)（原卷版）

二次函數(shù)（考題猜想，15種常考題型）

強(qiáng)型大宗合

＞二次函數(shù)的圖象在解題中的應(yīng)用＞利用對(duì)稱求二次函數(shù)解析式

＞二次函數(shù)圖象的平移在解題中的應(yīng)用＞線段最值問題

＞二次函數(shù)的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用A面積最值問題

＞二次函數(shù)圖象上的三角形在解題中的應(yīng)用＞全等三角形問題

＞二次函數(shù)圖象上的四邊形在解題中的應(yīng)用＞特殊三角形存在性問題

＞二次函數(shù)圖象上的平行線在解題中的應(yīng)用＞平行四邊形存在性問題

＞利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式＞角度問題

＞利用平移求二次函數(shù)解析式

驗(yàn)型大通關(guān)

一.二次函數(shù)的圖象在解題中的應(yīng)用（共4小題）

1.（22-23九年級(jí)上?遼寧鞍山?期中）二次函數(shù)卜=辦2+樂+。的圖象如圖所示，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.Q>0B.2a+b<0

C.a+b+c<0D.b1+4ac>0

2.（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?期中）如圖，拋物線〉=ax2與直線V=bx+c的兩個(gè)交點(diǎn)分別為4（-2,4）,5（1,1）,

則關(guān)于X的方程ox,-bx-c=O的解為（）

B.X]-5,%2=2

C.再=-2,x2=1D.玉=-3,x2=2

3.（23-24九年級(jí)上?河南信陽(yáng),期中）如圖函數(shù)>=辰2+樂+4（°>0,4ac>0）圖象是由函數(shù)

的圖像無(wú)軸上方部分不變，下方部分沿x軸向上翻折而成，如圖所示，則

下列結(jié)論正確的是

①2。+6=0

②c=3

③abc>0；

④將圖像向上平移1個(gè)單位后與直線y=5有3個(gè)交點(diǎn).

4.（23-24九年級(jí)上?新疆伊犁,期中）如圖，已知二次函數(shù)y=/+6x+c經(jīng)過/,8兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)C,

且點(diǎn)/(TO),C(4,0),AC=BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與4,2重合)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)R當(dāng)線段環(huán)的長(zhǎng)度

最大時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

二.二次函數(shù)圖象的平移在解題中的應(yīng)用(共4小題)

5.(22-23九年級(jí)上?廣西賀州?期中)拋物線>=-(x+l)2-4向上平移4個(gè)單位后的解析式為()

A.y-—(x+1)B.y——(x+5)--4

C.y=-(x-3)~-4D.y=-(x-1)"

6.(22-23九年級(jí)上,安徽蕪湖,期中)拋物線必=a/+6x+c是由拋物線乂=X2-4x+5先向左平移3個(gè)單位

再向上平移4個(gè)單位而得，則4a-26+c=.

7.(23-24九年級(jí)上?廣東廣州,期中)已知拋物線>-2ax+3(awO).

⑴求拋物線的對(duì)稱軸；

(2)把拋物線沿y軸向下平移3同個(gè)單位，若拋物線的頂點(diǎn)落在X軸上，求a的值.

8.(22-23九年級(jí)上廣東廣州?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)〉=-2/+樂+，的圖象經(jīng)過點(diǎn)/(-2,4)

和點(diǎn)8(1,-2).

⑴求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）沿水平方向平移該二次函數(shù)的圖象，使其平移后的拋物線的頂點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為4,請(qǐng)直接寫出平移的方

向和距離.

三.二次函數(shù)的性質(zhì)在解題中的應(yīng)用（共4小題）

9.（23-24九年級(jí)上?浙江杭州?期中）己知三點(diǎn)（2,。），（-1,6）,（3,c）在拋物線y=/+x+2上，則。，b,c

的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.無(wú)法比較大小

10.（23-24九年級(jí)上?河南周口?期中）已知（-3,%），（2,%）,（5,蠢）是拋物線y=-2--4x+加上的點(diǎn),比較

弘，力，力的大小.

11.（23-24九年級(jí)上廣東云浮?期中）拋物線了=X2+瓜+,經(jīng)過（4,3）,（3,0）兩點(diǎn).

⑴求6,c的值；

（2）若點(diǎn)/（5,%），8（7必）都在該拋物線上，試比較必與劣的大小.

12.（23-24九年級(jí)上?北京朝陽(yáng),期中）在平面直角坐標(biāo)系X。了中，/（孫必），8（積%）在拋物線

y=ax2+2ax+c上，其中再<x2.

⑴求該拋物線的對(duì)稱軸；

（2）若。>0,西=一2,%=1，比較必，%的大?。?/p>

（3）若再+工2=1-。，且乂4%，求a的取值范圍.

四.二次函數(shù)圖象上的三角形在解題中的應(yīng)用（共4小題）

13.（21-22九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=辦2-4ax+4（a<0）交x軸正

半軸于點(diǎn)交了軸于點(diǎn)3,線段2CQ軸交此拋物線于點(diǎn)。，且CD=；2C,則的面積為（）

A.24B.12C.6D.3

14.（23-24九年級(jí)上?吉林長(zhǎng)春?階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線了=<2?-2<^+2（。<0）交工

軸正半軸于點(diǎn)C,交y軸于點(diǎn)/8〃x軸交拋物線于點(diǎn)瓦則△N8C的面積是.

15.（23-24九年級(jí)上?貴州六盤水?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)/在第二象限，以/為頂點(diǎn)的拋物

線經(jīng)過原點(diǎn)，與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)8,對(duì)稱軸為直線了=-2,點(diǎn)C在拋物線上，且位于點(diǎn)/、3之間（C不

與/、2重合）.若四邊形49BC的周長(zhǎng)為0,則△NBC的周長(zhǎng)為（用含a的代數(shù)式表示）.

16.（23-24九年級(jí)上?甘肅武威?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形O/BC的頂點(diǎn)/（O,3）,C（-1,O）,

得到矩形設(shè)直線8夕與x軸交于點(diǎn)/、與y軸交于點(diǎn)N,拋物線尸”+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)c、

M、N.

⑴點(diǎn)B的坐標(biāo)為—，點(diǎn)2'的坐標(biāo)為_；

（2）求拋物線的解析式；

⑶求AQWN的面積.

五.二次函數(shù)圖象上的四邊形在解題中的應(yīng)用（共4小題）

17.（22-23九年級(jí)上?黑龍江牡丹江?期中）如圖所示，已知拋物線y=*-2x+3與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為4B、

C三點(diǎn)，點(diǎn)。為此拋物線頂點(diǎn)，則四邊形A8DC的面積為.

18.（23-24九年級(jí)上?江蘇蘇州?期中）如圖，二次函數(shù)y=；x2-x+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),且

A點(diǎn)坐標(biāo)為（-4,0）,頂點(diǎn)/關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是.

⑴求二次函數(shù)的關(guān)系式；

(2)求四邊形的面積.

19.(23-24九年級(jí)上?遼寧鐵嶺?期中)如圖，拋物線了=x?+2x-3與無(wú)軸交于48兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)。,

拋物線的頂點(diǎn)為C.

⑴求4及。,。的坐標(biāo)；

(2)求四邊形的面積.

20.(20-21九年級(jí)上?廣西百色?期中)如圖，拋物線與x軸交于A(1,0)、B(-3,0)兩點(diǎn)，于y軸交于

點(diǎn)C(0,3),頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)請(qǐng)計(jì)算以A、B、D、C為頂點(diǎn)的四邊形的面積；

(3)在X坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)Q,使得Q點(diǎn)到C、D兩點(diǎn)的距離之和最短，若存在，請(qǐng)直接寫出Q點(diǎn)坐標(biāo),

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

六.二次函數(shù)圖象上的平行線在解題中的應(yīng)用(共4小題)

21.(21-22九年級(jí)上?福建莆田?期中)如圖，點(diǎn)A是V軸正半軸上一點(diǎn)，直線ZC平行于x軸，分別交拋物

線必=/520)與%=[(x20)于民c兩點(diǎn)，過點(diǎn)。作y軸的平行線交必的圖像于點(diǎn)。，直線。E〃/C,

交％的圖像于點(diǎn)則隼=—.

22.（22-23九年級(jí)上,黑龍江鶴崗?期中）如圖，拋物線＞=如2+云-44.#0）經(jīng)過，。（°，4）兩點(diǎn),

與x軸交于另一點(diǎn)3,連接/C,BC.

⑴求拋物線的解析式；

（2）平行于x軸的直線k-14與拋物線分別交于點(diǎn)口E,求線段DE的長(zhǎng).

23.(23-24九年級(jí)上,福建南平,期中)如圖，已知拋物線昨。龍2+法+3經(jīng)過3(3,0)二點(diǎn)，直線/是

⑵設(shè)點(diǎn)P是直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)APNC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的周長(zhǎng)；

⑶平行于8C的直線九W交拋物線于M,N兩點(diǎn)，點(diǎn)M在點(diǎn)N的上方，連接MC,NS交于點(diǎn)P,在圖二中

根據(jù)題意補(bǔ)全圖形并求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

24.（22-23九年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=f+3與y軸交于點(diǎn)￡與x軸

交于點(diǎn)2,拋物線了=--+6x+c過/、3兩點(diǎn).

⑴求拋物線的解析式；

（2）過點(diǎn)/作/C平行于x軸，拋物線于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)下在/C上方），作ED平行于y

軸交48于點(diǎn)。.問當(dāng)點(diǎn)尸在何位置時(shí)，四邊形/FCD的面積最大？并求出最大面積.

⑶當(dāng)tWxWf+3時(shí)，函數(shù)y=-x?+6x+c的最大值為4,求/的值.

七.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共4小題）

25.（22-23九年級(jí)上?云南昭通?期中）如圖，函數(shù)的解析式為（)

3

2C.y——%2+3D.y=—-x2

44

26.（23-24九年級(jí)上?吉林?期中）已知一條拋物線的形狀、開口方向均與拋物線y=-2/+9x相同，且它的

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,6）,則這條拋物線的解析式為.

27.（23-24九年級(jí)上?吉林?期中）已知拋物線了="2+/+。（"0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-2,-1）,且經(jīng)過點(diǎn)

/（0,3）.求該拋物線的解析式.

28.（23-24九年級(jí)上?北京房山?期中）二次函數(shù)了=/+瓜+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0,2）和點(diǎn)（1,5）,求此二次函數(shù)

解析式.

八.利用平移求二次函數(shù)（共4小題）

29.（22-23九年級(jí)上?山東濟(jì)寧?期中）把拋物線y=先向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，得

到的拋物線的解析式為（）

1n1

A.y=-(x+l)-3B.y=-(x-l)--3

C.y=g(x+l『+lD.p=g(x-+1

30.（23-24九年級(jí)上?廣西柳州,期中）將拋物線》=2x2向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到新的拋物線的解析式

是.

31.(23-24九年級(jí)上?吉林松原?期中)若二次函數(shù)y=；/+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)，(-2,0),其對(duì)稱軸為直線x=1,

與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C,與夕軸交于點(diǎn)也

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為_；

⑵將二次函數(shù)的圖象向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度，求平移后的二次函數(shù)的解析式.

32.(22-23九年級(jí)上?陜西安康?期中)在平面直角坐標(biāo)系中，己知拋物線C：y=x2+6x+c經(jīng)過點(diǎn)(L4)和

(0,7).

⑴求拋物線C的解析式；

(2)將拋物線C先向左平移5個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到拋物線C”求拋物線。的頂點(diǎn)坐標(biāo).

九.利用對(duì)稱求二次函數(shù)(共4小題)

33.（22-23九年級(jí)上?浙江嘉興?期中）與拋物線y=x2-2x-4關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式表示為（）

A.y=—x2+2x+4B.y=—x1+2,x—4C.y=x~-2元+4D.y=~x~~2x—4

34.（21-22九年級(jí)上?甘肅武威?期中）拋物線＞=2。+1）2+7關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式為.

35.（23-24九年級(jí)上?北京朝陽(yáng)?期中）已知8（2,-3）兩點(diǎn)在一次函數(shù)必=-》+加與二次函數(shù)

2

y2=ax+bx-3的圖象上.

（1）求機(jī)的值和二次函數(shù)的解析式；

⑵請(qǐng)直接寫出使時(shí)，自變量x的取值范圍為；

（3）直接寫出所求的拋物線%=a/+法-3關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線的解析式為.

36.（23-24九年級(jí)上?吉林?階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)為=-/+6x+c的圖象交x軸于點(diǎn)/（-3,0）和點(diǎn)

5（1,0）,交＞軸于點(diǎn)C,且點(diǎn)C、。是二次函數(shù)圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的一對(duì)點(diǎn)，一次函數(shù)％=?7X+”的圖

象經(jīng)過點(diǎn)8、D.

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式-r2+bx+c＜mx+n的解集為

十.線段最值問題（共3小題）

37.（22-23九年級(jí)上?山東東營(yíng)?階段練習(xí)）如圖，已知拋物線＞=”+臥+4的對(duì)稱軸是直線x=3,且與無(wú)

軸相交于43兩點(diǎn)（8點(diǎn)在/點(diǎn)右側(cè)），與了軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線的表達(dá)式和4,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)P是拋物線上5,C兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與8,C重合），過點(diǎn)尸作x軸的垂線交直線8C于點(diǎn)

D,求PD的最大值以及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

⑶在（2）的條件下，在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)。，使得QP+Q8的值最小，求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

38.（23-24九年級(jí)上?山東泰安?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線/與x軸交于點(diǎn)46,0）,與軸交于

點(diǎn)8（0,-6）,拋物線經(jīng)過點(diǎn)N,B,且對(duì)稱軸是直線x=l.

/II

⑴求直線/的解析式；

⑵求拋物線的解析式；

⑶點(diǎn)尸是直線/下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作尸C，x軸，垂足為C,交直線/于點(diǎn)。，過點(diǎn)P作

PM11,垂足為求行尸M+PZ)的最大值及此時(shí)尸點(diǎn)的坐標(biāo).

39.(23-24九年級(jí)上?遼寧營(yíng)口?期中)如圖，拋物線了=；/+8+。與x軸交于/(-2,0),8(4,0)兩點(diǎn)，與

＞軸交于點(diǎn)C;點(diǎn)P是第四象限拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，交x軸與點(diǎn)。，交BC與點(diǎn)、E.

⑵過點(diǎn)P作尸尸，3C交BC于點(diǎn)F,求斯的最大值及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶如圖②，點(diǎn)0是線段OC上一點(diǎn)，且連接。8,OR點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在。尸+3。

的值最小，若存在.請(qǐng)直接寫出。尸+5。的最小值.

十一.面積最值問題（共3小題）

40.（23-24九年級(jí)上?福建漳州?期中）如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于N（T,0）,5（2,0）,交V軸于

C（0,-2）.

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式的一般式；

（2）若點(diǎn)M為該二次函數(shù)圖象在第四象限內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，四邊形NCMB面積的最大值，并

求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

41.（23-24九年級(jí)上?浙江金華?期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=/+樂+。與x軸交于點(diǎn)

工（-1,0）"（3,0）,與y軸交于點(diǎn)C,作直線BC,點(diǎn)P是拋物線在第四象限上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)及c重

合），連結(jié)PS,PC,以尸5,PC為邊作口CPBD,點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加.

⑴求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）當(dāng)口CPBD有兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為

⑶當(dāng)口CP8D是菱形時(shí)，求機(jī)的值.

⑷當(dāng)m為何值時(shí)，口CPBD的面積有最大值？

42.（23-24九年級(jí)上?湖北襄陽(yáng)?期中）如圖，已知拋物線y=#+6x+3與x軸交于點(diǎn)4（-1，0）,點(diǎn)/3,0）,

（2）當(dāng)-2WxV2時(shí)，求二次函數(shù)了=ax2+bx+3的最大值和最小值；

⑶點(diǎn)P是第一象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作x軸的垂線/,交BC于點(diǎn)、H,連接3P,CP,求ABPC面積

的最大值及此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo).

十二.全等三角形問題（共2小題）

43.（23-24九年級(jí)上?河南周口?期中）如圖，拋物線y=/+6x+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,-4）,與x軸交于4B

兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式；

⑵拋物線的對(duì)稱軸為直線/，點(diǎn)尸是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作/的垂線，垂足為D,E是/上的點(diǎn)，要使以

P、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△NOC全等，求滿足條件的點(diǎn)尸和點(diǎn)E的坐標(biāo).

44.(23-24九年級(jí)上?寧夏石嘴山?期中)如圖，拋物線了=%2+法+0經(jīng)過點(diǎn)(-2,5)和(2,-3),與x軸交于

兩點(diǎn)，與，軸交于點(diǎn)C,它的對(duì)稱軸為直線/,頂點(diǎn)為N

(1)求該拋物線的解析式；

(2)連接BN,CN,求ABNC的面積；

⑶P是該拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作/的垂線，垂足為。,￡是/上的點(diǎn).要使以為頂點(diǎn)的三角形與小。。

全等，求滿足條件的點(diǎn)P,點(diǎn)E的坐標(biāo).

十三.特殊三角形存在性問題(共2小題)

79

45.(22-23九年級(jí)上，江蘇鹽城?階段練習(xí))平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a(x-l)-+5與x軸交于4

5(4,0),與y軸交于點(diǎn)C.

y,

圖i圖2

⑴求拋物線的解析式，并直接寫出點(diǎn)，，c的坐標(biāo)；

⑵在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)尸，使ABC尸是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，請(qǐng)說(shuō)明

理由；

⑶如圖，點(diǎn)朋r是直線3c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接是否存在點(diǎn)M使最小，若存在，求出點(diǎn)M

的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

46.（23-24九年級(jí)上?內(nèi)蒙古呼和浩特?期中）如圖1所示，已知拋物線v=-/+6x+c與x軸交于4（一2,0）,

B（4,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

⑴求拋物線解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑵如圖2所示，點(diǎn)尸是拋物線上第一象限的一點(diǎn)，4P交＞軸于點(diǎn)。，M.OA2=OCOQ,求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)N是直線了=2上一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D3中探究：拋物線在x軸上方的部分上是否存在點(diǎn)〃，使得ACW是

以點(diǎn)