跨階同構(gòu)-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題17跨階同構(gòu)

【方法點(diǎn)撥】

1.指對(duì)形式同時(shí)出現(xiàn)，可能需要利用指對(duì)同構(gòu)來(lái)解決問(wèn)題

2.跨階同構(gòu)的幾個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)：

(1)指對(duì)各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵，湊形是難點(diǎn).

(2)湊形的常用方法：為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時(shí)時(shí)對(duì)指對(duì)式進(jìn)行“改

頭換面”，常用的方法有：彳=6味xe'e1n*+'、%V=e21nY+x>—=e-taj+x>lnx+lna=lnox>

X

Inx-1=In—,有時(shí)也需要對(duì)兩邊同時(shí)加、乘某式等.

e

3.常見(jiàn)同構(gòu)式：

(1)xlnx與％e"型：xlnx=Inxelnx,xex=;

(2)無(wú)+lnx與x+e"型：x+lnx=lnx+^Inx,x+ex=einx+ex.

v.y.

——4—

—1

\—3-y=旄光——3-

y=ex-x

\/—2-

—2-T-1

----i-

—1/函數(shù)極值點(diǎn)/

函數(shù)極值點(diǎn))

-3-2-1O*4=:H~~~

-1-

-----'N

(0,1)—2-1T

--3-

-3

―4-—M-

【典型題示例】

例1（2022?江蘇天一中學(xué)期末?16）已知函數(shù)/（%）=〃/In%（〃。0）,若對(duì)于任意

xe（O,l）,/（九）＜/+行口。恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【答案】A

【解析】/(x)<x2+xln6z,即〃e"lnx<%2+1in〃

npxInx

兩邊同時(shí)除以%得-------<%+lna

x

…,Inxx+ln〃Inxx+]naInex+inaInaex

兩邊同時(shí)除以XZ得I=——<———,即Qn——<———=---------=——

xaexaeaeae

InY

設(shè)函數(shù)g(%)二——，易得g(X)在(。/)單增

X

1ex

所以x<uex,易知〃>0,故一<—

ax

XX

設(shè)/z(%)二一,易得一>e

XX

所以一We,故“2—,選A.

ae

例2(2022?江蘇省G4(揚(yáng)州中學(xué)、蘇州中學(xué)、鹽城中學(xué)、常州中學(xué))高三上學(xué)期12

月階段檢測(cè))若不等式2e'—2>—Hn(x+l)+(a+2)x對(duì)x￡(0,+刃)恒成立，其中e為自然對(duì)

數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

A.(—co,2)B.(—oo,2]C.(2,+co)D.[2,+co)

【答案】B

【分析】運(yùn)用同構(gòu)對(duì)不等式進(jìn)行變形，使得兩邊“結(jié)構(gòu)相同”，由于式子中含有以ln(x+l)

及關(guān)于元的一次式，故應(yīng)考慮“跨階同構(gòu)”，即對(duì)不等式變形時(shí)，應(yīng)使得不等式兩邊一邊含

e\另一邊含In(x+1).

【解析】對(duì)2e*—2>—qln(x+l)+(a+2)x變形得：2ex~ax>2(x+1)~aln(x+1)

一方面，2ex—ax=2^c—aInex,

所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2e%—〃Ine*>2(x+1)—aln(x+1)對(duì)x￡(0,+oo)恒成立

又因?yàn)閑^Ax+l,設(shè)丸x)=2e%—〃x,則危)在(0,+刃)為增函數(shù)

故/(%)=2鏟一〃三0恒成立，故“W2.

例3已知函數(shù)/(%)=ae"T-Inx+lna,若/(%)之1,則。的取值范圍是.

【答案】?>1

【解析】由/(%)=ae"T-Inx+lnaN1移項(xiàng)得：aex~l+\na>lnx+l

(說(shuō)明：將變量移至一邊的原則進(jìn)行變形)

Bp^a+x-l+]na>inx+l,兩邊同時(shí)加(x—1)^^a+x~l+x+lna-l>]nx+x

(說(shuō)明：系數(shù)升指數(shù)、按左右結(jié)構(gòu)相同的原則進(jìn)行變形)

即+(x+lntz-l)>lnx+"

設(shè)g(x)=x+e",貝ijgXx)=l+e*>0,所以g(x)單增

所以lna+九一1之Inx,BPx—Inx+lna-1>0

設(shè)〃(x)=x-lnx+lna-l,則"(元)=1一L所以〃(x)在(0,1)單減，在(1,+(?)單增，

X

所以=〃⑴=lna-l>0,所以aZl.

點(diǎn)評(píng)：

對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)、系數(shù)升指數(shù)等，把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩

邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù).

例4設(shè)a,b都是正數(shù)，若aea+i+(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則()

A.ab>e；B.b>ea+1；C.ab<e；D.b<ea+1.

【答案】B

【解析】由已知aea+i+b<61nb移項(xiàng)整理得aea+i<bln2,

e

為了實(shí)現(xiàn)“一邊一個(gè)變量”，兩邊同時(shí)除以e得aea<2inL

ee

為了實(shí)現(xiàn)“兩邊結(jié)構(gòu)相同”，對(duì)左邊“降階”得ae°=e。?lne0

故e。?Ine。V,In，(#)

ee

設(shè)/(%)=%?In%,(#)即為/(?。)<

Vtz>0,：.ea>l

V6(lnb—l)>0,b>0,/.lnb>l,故b>e,->1

e

當(dāng)％>1時(shí)，/'(%)=14-lnx>0,/(%)單增

：.ea<即e0+1<b,選R

e

例5已知函數(shù)/(x)=a/+ln，——2(a>0),若了(尤)>0恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值

x+2

范圍是.

【答案】(e,+8)

【解析】Vf(x)=aex+ln---2>0

%+2

ex+lnfl+lna>ln(x+2)+2

兩邊加上x(chóng)得*瓜“+(尤+In?)>In(尤+2)+(x+2)=In(九+2)+eln(x+2)

設(shè)g(x)=x+e"則其單增

x+In6Z>ln(x+2),即Ino>ln(x+2)-x

1x+[

令人(x)=ln(x+2)-x,貝ijk'(％)=--------1=----------

x+2x+2

???/(X)的定義域是(—2,+8)

.,.當(dāng)xe(—2,—l)時(shí)，k'(x)>0,女(x)單增；當(dāng)xe(—l,+co)時(shí)，k'(x)<0,女(x)單減

...當(dāng)％=—1時(shí)，?X)取得極大值即為最大值，且左(x)1mx=左(一1)=1

，In。>左(x)max=左(一1)=1,a〉e即為所求.

例6設(shè)實(shí)數(shù)4>0,若對(duì)任意的*6(0,+8),不等式6方一v20恒成立，貝小的取值范

圍是?

【答案】E，+8)

【解析】由e&一半之0得e"%>卓，即Axu">Inx'/九”對(duì)任意的％e(0,+8)恒成立.

設(shè)/(t)=貝行(2%)>/(仇%)對(duì)任意的久6(0,+8)恒成立，

又尸(。=tet+/=(《+l)ef,

???當(dāng)tv—i時(shí)，/(t)<o,/?)單調(diào)遞減；當(dāng)「>一1時(shí)，r(t)>o,/?)單調(diào)遞增.畫(huà)出圖

象為

①當(dāng)X時(shí)，tr=Ax>0/《2=ln%>-l,此時(shí)函數(shù)f(t)單調(diào)遞增，；?/(t1)>f(。)，

BP/(Ax)＞/(仇%)，所以4%＞仇%對(duì)任意的％e(0,+8)恒成立，???/1＞等對(duì)任意的％e(0,

+8)恒成立.

設(shè)g(x)=等，x>0,則g，(x)=W^,則當(dāng)0<%Ve時(shí)，“(%)>0,g(%)單調(diào)遞增；當(dāng)

x>e時(shí)，“(%)<0,9(%)單調(diào)遞減，=<9(e)=，>:

②當(dāng)0V%V，時(shí)，G=2%>0,t2=Inx<-1,

由f(0)=0-e°=0,結(jié)合函數(shù)f(t)的圖象可得/(G)>0>/(t2)，BP/(Ax)>f(lnx)

對(duì)任意的Xe(0,+8)恒成立.

綜上可得a之，.,.實(shí)數(shù)a的取值范圍是［卜+8).

【解析二】由e"“一錚之0得〃*>竽，即Axu雙>Inx1/九”對(duì)任意的汽G(0,+8)恒成立.

當(dāng)％G(0/1］時(shí)，總有人%e'%>0,xlnx<0.

只需考慮%>1的情形，亦即Axe'%>Inx■elnx.

設(shè)/1(t)=tet(t>0),則尸⑴=tel+e*=(t+l)ef>0,

/(t)在te(0,+8)上為增函數(shù).

由/(Ax)之/(伍二)得，Ax>Inx,即A2處，故4之(空)

x\%max

、r，、Inx…，，、1—Inx

設(shè)g(x)=一，X>0,則g'(x)=——2一'

XX

11

9(.x^max=

【解析三】由e"—?之o得>W，XeAx>Inx,即(入％)eXx>%仇》對(duì)任意的久G(0,

A.A.

+8)恒成立.

當(dāng)久e(0,1］時(shí)，總有Ax/*>0,xlnx<0.

只需考慮%>1的情形，亦即e",九〃">xlnx.

設(shè)f(t)=tlnt(t>l),則［⑴=1+Int>0,

在te(1,+8)上為增函數(shù).

由/(e&)2/(x)得，eAx>%,即22小，故42(處)

x'%max

、「/、Inx…、1—Inx

設(shè)g(x)=—,x>0,則g(x)=———,

9(.x^max=9(。)=-f??4Nj

【解析四】由e"%—華之0得e"%>XeAx>Inx,即(Ax)eXx>%仇》對(duì)任意的汽G(0,

+8)恒成立.

當(dāng)％G(0/1]時(shí)，總有人%u">0,xlnx<0.

只需考慮%>1的情形,得(Ax)+In(Ax)>Inx+In(Znx).

設(shè)/(t)=t+Znt(t>l),貝好'(t)=1+1>0,

/⑴在IE(1,+8)上為增函數(shù).

由/(尢r)之/工)得，Ax>Inx,即42處，故4之(處)

x'%max

…，、Inx…，，、1—Inx

設(shè)g(x)=—,x>0,貝ijg(x)=—m一,

9^)max=9(。)=-j??4N

例7對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>0,不等式-Inx+ln?！?。恒成立，則Q的取值范圍是.

【答案】?>—

2e

【解析一】將2ae2*-lnx+lna?0變形為2。/工21112,2^>-ln-(說(shuō)明：將參數(shù)移至一

aaa

邊)

兩邊同時(shí)乘x得2xe2xz2ln2(說(shuō)明：目的是湊右邊的結(jié)構(gòu))

aa

GP2xe2x>-ln-=e^ln-(說(shuō)明：目的是湊左右兩邊的結(jié)構(gòu)相同)(#)

aaa

設(shè)g(x)=xe",貝ijg'(x)=(l+x)/〉0,g(%)單增

故由(#)得2xNln—,InaNlnjr—2%

a

再令人(元)=ln尤—2x,則〃'(X)=!—2,易知當(dāng)為(工工以=/zd)=—ln2-l

x2

所以InaN—ln2-l,a>—.

2e

【解析二】將2。/尤_in%+in〃20變形為*2a+2x_[nx+ln〃20,BP+]n2a>\n2x

ein2a+2尤+2x+In>2x+In2x=eln2x+In2x

設(shè)g(x)=e"+x,易知g(x)單增

故2尤+ln2aNln2x(以下同解法一，從略).

點(diǎn)評(píng)：

(1)為了實(shí)現(xiàn)不等式兩邊“結(jié)構(gòu)”相同的目的，需時(shí)時(shí)對(duì)指對(duì)式進(jìn)行“改頭換面”，常用

的恒等變形的方法有：%=elnx(x>0),%=lnex{xG/?).

1.xex=ex+lnx；x+Inx=lnxex.

2.-elnx~x；

exx—Inx=In—x.

3.x2e34x=ex+2lnx；x+2lnx=lnx2ex.

4.=x-2lnx.x—2lnx=lnj.

X2eX2

有時(shí)也需要對(duì)兩邊同時(shí)加、乘某式等.

(2)%lnx與1/為常見(jiàn)同構(gòu)式：x]nx=kixelnx,xex=e[nxex；x+ln尤與l+/為常見(jiàn)同

inxxlnxx

構(gòu)式：x+inx=lnx+efx+e=e+e.

【鞏固訓(xùn)練】

Inx

L設(shè)實(shí)數(shù)相>0,若對(duì)任意的xe(0,+8),不等式e?7——20成立，則實(shí)數(shù)相的取值范

m

圍是()

A.[l,+oo)B.3，+0°]C.[e,+oo)D.L+℃]

m

2.設(shè)實(shí)數(shù)相>。，若對(duì)任意的xNe,不等式Vinx-me*20恒成立，則加的最大值是

().

1e

A.—B.—C.eD.2e

e3

3.若e'-。21nx+a對(duì)一切正實(shí)數(shù)尤恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A(-oo,-]B.(-°0,l]C,(-°°,2]D.(-8,e]

e

4.已知函數(shù)/(x)=e"-alnx,(其中〃為參數(shù))，若對(duì)任意%￡(0,+oo),不等式/(x)>alna

成立，則正實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x>0,不等式Unx20恒成立，則久的最大值是.

6.關(guān)于元的不等式加用28nx+Mx+l)對(duì)任意%>0(其中左>0)恒成立，則左的取值范圍

是.

7.關(guān)于x的不等式％2*^(左+3)工+21111+1對(duì)任意%>0恒成立，則左的取值范圍是.

8.已知函數(shù)/(%)=(xd-i)Inx,g(%)=Tne771%+m若對(duì)任意的％e(0，+oo),不等式

2/(%)-gM<。恒成立，則zn的取值范圍是.

9.(2022?江蘇數(shù)學(xué)基地校聯(lián)考-22改編)已知函數(shù)")=——huTna,當(dāng)x>0時(shí)，於)》|,

則a的取值范圍是.

10.(2022?江蘇天一中學(xué))己知關(guān)于x的不等式僅上處>[nx在((),”)上恒成立，

X+1

則實(shí)數(shù)X的取值范圍為

【答案與提示】

1.【答案】D

InX

【分析】把不等式e如——NO成立，轉(zhuǎn)化為爾6如〉％111%=*'?111%恒成立，設(shè)函數(shù)

m

g(x)=x/,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為g(mx)2g(lnx)恒成立，得出如21nx恒成立，構(gòu)造函數(shù)

丸(力1n=x?,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.

InxIny

【解析】因?yàn)榉?gt;0,不等式e蛆——20成立，即0儂2——成立，即〃記SNlnx，

mm

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為加xe"11?xlnx=.lnx恒成立，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=M,可得g'(x)=e*+x/=(x+l)e?,

當(dāng)x>0,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

InV

則不等式e如-----n0恒成立等價(jià)于g(mx)>g(lnx)恒成立，即mxNlnx恒成立,

m

進(jìn)而轉(zhuǎn)化為m>—恒成立，

x

設(shè)=可得/l'(x)=^~,

XX

當(dāng)0<x<e時(shí)，"(x)>0,單調(diào)遞增;

當(dāng)x>e時(shí)，"(x)<0,/i(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e,函數(shù)/i(x)取得最大值，最大值為/z(e)=(,

所以m2L，即實(shí)數(shù)，〃的取值范圍是-,+?.故選：D.

eeJ

2.【答案】C

mm

【提示】冗21n%一根"20變形為Inxd%n生,構(gòu)造函數(shù)g(x)=xe"(x>0),等價(jià)

X

轉(zhuǎn)化為lnx2—,即加<xlnx,只需znW(xlnx).=e,答案為C.

%\/min

3.【答案】B

【解析】(利用同構(gòu))由e*T21nx+。得e>"-aNlnx,兩邊同時(shí)加+x-a21n元+x

即ex-a+(x-a)>etaA+lnx

設(shè)/(x)=e*+x,則/(x)=e*+1>0,/(x)=e*+x單增

ex~a+(x-a)>elax+Inx,BPf{x-d)>/(Inx),故x-aNlnx恒成立

aVx—Inx恒成立

設(shè)g(x)=x-lnx,易得g(x)1mx=g(l)=l,所以a41.

4.【答案】(°，e)

【解析】構(gòu)建同構(gòu)式處理不等式

由/(x)>aIna得J一ina〉Inx,即ex~lna—Ina>Inx，

a

兩邊同時(shí)力口X得ex-lna+x-lna>e'nx+lnx

令g?)=e'+/,則g(x—lna)>g(lnx),

：g?)為單調(diào)增函數(shù)x-lna>Inx,即lna<x-lnx,

令h(x)=x-Inx,貝i]h'(x)=

x

/.g)在(°』)上單調(diào)遞減，在(1，+