2024-2025學(xué)年湖北省武漢市華中師大一附中高三上學(xué)期10月檢測(cè)數(shù)學(xué)試題及答案

華中師大一附中2024-2025學(xué)年度十月月度檢測(cè)數(shù)學(xué)試題時(shí)限：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一1A={(x,y)|y|x|},B=(x,y)|y=|x|AB=，則（1.已知集合）?1{(?+∞)A.B.C.D.()=?n∈*，則“n=1”“()是增函數(shù)的（）fx(x2),nNfx2.已知函數(shù)A.充分不必要條件C.充要條件B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件abπ()=+圖像的一條對(duì)稱軸為，則（）fxasinxbcosxx==3.3333A.B.?3C.D.?3319a?x()，且ξ~N2,σ2Pξ≤=Pξ≥a)+<<4.已知隨機(jī)變量，則(0xa)的最小值為（）x11203A.5B.C.D.23π()=+()的圖象向左平移fxsin2xacos2xfx5.已知函數(shù)6()的圖象的對(duì)稱軸可以為（fxππA.x=B.x=1265ππC.x=D.x=3123376設(shè)a=，b2，=c=sin，則（）7A.b>c>aB.a>c>bC.a>b>cb>a>cD.πfx2cosωx?(sinxx)(()=ω?ω2ω>的圖象關(guān)于直線0)=軸對(duì)稱，且()在fx7.已知函數(shù)x12π3上沒有最小值，則ω的值為（）1232A.B.1C.D.2321()，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有(?)?+=，()=．若f2024fxfxfx08.定義在R上的奇函數(shù)xe1()+′(?)>，則不等式(+)>的解集是（）fxfx1fx0ex+∞)(),3+∞)(?∞),1A.B.C.D.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得09.下列等式成立的是（）12A.=°?°)(22B.sin222.5°?22.5°=?2212C.cos28cos32°?cos62cos58°=?3()D.°?3cos50°=?210.已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過C的焦點(diǎn)F作直線l:x=ty+1，若Cl,B與交于兩點(diǎn)，=2，則下列結(jié)論正確的有（）p=2A.B.AF=3C.t=22或?2254D.線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()是曲線C:x+y=y?x上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（0）Px,y33已知0A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱x∈Rx=0與曲線C有唯一交點(diǎn)PB.對(duì)任意C.對(duì)任意，直線01y0∈?]x<0，恒有2π?1≤y≤1的部分與y軸圍成圖形的面積小于D.曲線C在4三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）π4πα∈?α=α+α=__________.12.若,0，且，則213.海上某貨輪在A處看燈塔B75306°A處看燈塔C的北偏西30，距離為203海里C處，貨輪由處向正北航行到D處時(shí)看燈塔°AB在東偏南30°，則燈塔C與D處之間的距離為______海里．π+sinxx≤2sinx??m恒成立，則x∈a,b]m214.若存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意的，不等式4a+bb?a取得最大值時(shí)，sin=__________．2577π6()=+,x∈R.fxx15.已知函數(shù)（1）求函數(shù)()的單調(diào)減區(qū)間;fxπ（2）求函數(shù)()在fx上的最大值與最小值.2()處的切線過點(diǎn)(?)16.b0，函數(shù)>f(x)=x2?x?(x?bx)f1)1.在點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)b的值；()上單調(diào)遞增；f(x)（2）證明：在（3）若對(duì)x≥f(x)≥a(x?恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．中，設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為17.在ABCABCa,b,c．，是否存在正整數(shù)，使得aN，且ABC為鈍角三角形？若存在，求=+c=a+4a∈*（1）ba2，a出；若不存在，說明理由．a(chǎn)=b=c=D為BCAB,AC上，且=90°，CDF=θ（2的中點(diǎn)，EF分別在線段0°<θ<90°)，求面積S的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的θ的值．x22y22+=a>b>0)的左右焦點(diǎn)分別為F,F=P,Q，點(diǎn)分別是橢圓的右18.已知橢圓，離心率e21ab223頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，POQ的邊上的中線長為．2（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；AF1⊥（2）過點(diǎn)（3）直線H(0)的直線交橢圓C于,B兩點(diǎn)，若，求直線的方程；11l,lF?l,l分別與橢圓交于點(diǎn)C,DE,F，設(shè)和．若12過右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為1222M,N分別是線段CD和EF的中點(diǎn)，求OMN面積的最大值．Ammm,mn={++++}mN,nN∈∈+n19.正整數(shù)集，其中.將集合A拆分成個(gè)三元子集，n這個(gè)集合兩兩沒有公共元素.若存在一種拆法，使得每個(gè)三元子集中都有一個(gè)數(shù)等于其他兩數(shù)之和，則稱集合A是“三元可拆集”.（1（2m=n=3，判斷集合A是否為“三元可拆集”，若是，請(qǐng)給出一種拆法；若不是，請(qǐng)說明理由；m=n=6，證明：集合A不是“三元可拆集”；（3n16，是否存在使得集合是三元可拆集”，若存在，請(qǐng)求出的最大值并給出一種拆法；=mAm若不存在，請(qǐng)說明理由.華中師大一附中2024-2025學(xué)年度十月月度檢測(cè)數(shù)學(xué)試題時(shí)限：120分鐘滿分：150分命題人：游林審題人：鐘濤一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一1A={(x,y)|y|x|},B=(x,y)|y=|x|AB=，則（1.已知集合）?1{(?+∞)A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解方程組，得出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出交集.y=x,=xx=y=11，或【詳解】，解得，y=y=1xAB={(所以，故選：．()=?n∈*，則“”“()是增函數(shù)的（）fx(x2),nNn=1fx2.已知函數(shù)A.充分不必要條件C.充要條件【答案】AB.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件【解析】n=2k+k∈Nf(x)=(x?2)n是增函數(shù)，即可得到答案.【分析】由當(dāng)時(shí)，?′?)≥0，可得【詳解】由f(x)=(x?2)n′()=fxn(x?2)n1，得，n=2k+k∈Nfx(x2)n是增函數(shù)，()=?則當(dāng)時(shí)，?′?)≥0，當(dāng)n1時(shí)，可得=()是增函數(shù)；fx當(dāng)()是增函數(shù)時(shí)，n=2k+k∈N，fx故“n1”是“=()是增函數(shù)”的充分不必要條件.fx故選：A.abπ()=+圖像的一條對(duì)稱軸為，則）fxasinxbcosxx==（3.3333A.B.?3C.D.?33【答案】A【解析】ab【分析】直接利用對(duì)稱性，取特殊值，即可求出.πfx=asinx+bcosxω>0【詳解】由()()的圖象關(guān)于x=對(duì)稱，32π2πa2π可知：f(0)f()，即=asin0+cos0=sin+b=3，則．333b故選：A．19a?x()，且ξ~N2,σ2Pξ≤=Pξ≥a)+<<4.已知隨機(jī)變量，則(0xa)的最小值為（）x11203A.5B.C.D.23【答案】D【解析】a【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性求得，利用基本不等式求得正確答案.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布的知識(shí)得a+1=2×2=4?a=3，則0<x3,3?x0，19119133?x9x+=+?x+x)=10++xa?x3x3?xx3?x133?x9x163≥10+2?=，x3?x3?x9x3?x34=x=.當(dāng)且僅當(dāng)故選：D，即時(shí)取等xπ()=+()的圖象向左平移fxsin2xacos2xfx5.已知函數(shù)6()的圖象的對(duì)稱軸可以為（fxππA.x=B.x=1265ππC.x=D.x=312【答案】D【解析】π3fx+f()?x=0a=?3π3fx=2x?公式化簡(jiǎn)得()，最后整體替換計(jì)算得到結(jié)果；π6【詳解】由題意可得()的圖象關(guān)于點(diǎn)fx,0對(duì)稱，π3即對(duì)任意x∈R，有f(x)+f?x=0，π3af(0)+f=+=0，即a=?3．取x0，可得=322πfx=sin2x?3cos2x=2x?故()，3ππ5ππ令2x?=+π，()的圖象的對(duì)稱軸為k∈Zfx，可得x=+，k∈Z．32122故選：D．336.設(shè)a=，b2，=c=sin，則（）77A.bca【答案】D【解析】>>B.a>c>bC.a>b>cb>a>cD.πf(x)=x?sinx(0<x<)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性并比較a,c，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性【分析】構(gòu)造函數(shù)2比較大小即得.π【詳解】當(dāng)0<x<時(shí)，令f(x)=x?sinxf(x)=1?x>0，求導(dǎo)得，2πf(x))f(x)>f(0)=0，即有x>sinx，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，有2331237a=>sin=c，顯然b=2>e=>=a，因此77所以b>a>c.故選：Dπfx2cosωx?(sinxx)(()=ω?ω2ω>的圖象關(guān)于直線=x0)軸對(duì)稱，且()在fx7.已知函數(shù)12π3上沒有最小值，則ω的值為（）1232A.B.1C.D.2【答案】C【解析】3πω=6k+,k∈Zf(x)在有最小值得ω上沒32范圍，建立不等式求解可得.fx=2cos()2ωx?sin(2ωx?2sinωxcosωx+ωx)2【詳解】=2cosωx+sin2ωx?1=ωx+sin2ωx2π=2sinωx+，4π因?yàn)?)的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱，fxx=12π12ωππ64f=2sin+=±2，所以ωπππ3+=π+,k∈Zω=6k+,k∈Z，即，故6422ππωx+=?+2πm∈Z，ω>0,當(dāng)，423ππx=?+,m∈Z()取得最小值，fx時(shí)，函數(shù)即當(dāng)ωω5πω=x=y為當(dāng)m1時(shí)，軸右側(cè)第1條對(duì)稱軸.5ππ3π158因?yàn)?)在≥，即ω≤，fx上沒有最小值，所以ω331511故由0<6k+≤?<k≤k∈Z，，解得284163=0，得ω=故k．2故選：C.321()，且對(duì)任意實(shí)數(shù)都有(?)?+=0，()=．若f2024fxfxfx8.定義在R上的奇函數(shù)xe1()+′(?)>，則不等式(+)>的解集是（）fxfx1fx0ex+∞)(),3+∞)(?∞),1A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由()是奇函數(shù)，可得′()fx是偶函數(shù)，得到()+′()>fxfx，令()=x()，得到fx0gxefx32′()>()(?x)?+=()fx得的周期為的周期函數(shù)，gx0出gxffx03在R1e()=()=g2(+)>()gx1g2，把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解f2024e.根據(jù)，得到【詳解】因?yàn)?)是奇函數(shù)，可得′()fx是偶函數(shù)，fx又因?yàn)?)+′?(x)>0，所以f(x)+f′(x)>0，fxf令g(x)=ex()，可得fxgx′()=()+′(fxfxe>0，所以在R上單調(diào)遞增，()gxx32因?yàn)閒(?x)?f+x=0f(x)奇函數(shù)，且32333可得()()，則(+)=fx3++=?+=()x)fx，f+x=f?x=?fxfx)]f(222所以()的周期為的周期函數(shù)，fx311()=(×+)=()=f67432()=×=g2e，f2024f2e2因?yàn)?，所以ee1(+)>fx1ex1fx1(+)>(+)>()gx1g2，即，e則不等式，即為ex又因?yàn)?)在R上單調(diào)遞增，所以x12，解得x>1，gx+>1(+)>的解集為+∞)．fx1所以不等式ex故選：．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得09.下列等式成立的是（）12(°?°)=2A.2B.sin222.5°?22.5°=?2212C.cos28cos32°?cos62cos58°=?3()D.°?3cos50°=?2【答案】AB【解析】【分析】應(yīng)用倍角正余弦、和差角正余弦公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，即可判斷各項(xiàng)的正誤.1【詳解】A：°?°)2=1?2sin15cos151sin30°=°°=?，成立；22B：sin222.5°?222.5°=?cos45°=?，成立；212C：cos28°cos32°?cos62°cos58°=cos28°cos32°?sin28°sin32°=cos(28°+32)=cos60°=，不成立；sin10°?3cos10°cos10°?2sin50cos50°?sin100°()D：°?3cos50°=?cos50°==cos10°cos10°cos10°cos10°=?=1，不成立.故選：AB10.已知拋物線C:y2=2px(p>0)，過C的焦點(diǎn)F作直線l:x=ty+1，若Cl,B與交于兩點(diǎn)，=2，則下列結(jié)論正確的有（）p=2A.B.AF=3C.t=22或?2254D.線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】由直線l:x=ty+1，可知焦點(diǎn)?(1,0)的值和拋物線方程，可判斷A選項(xiàng)；直線方程代入拋p物線方程，由韋達(dá)定理結(jié)合=2，求出,B兩點(diǎn)坐標(biāo)和的值，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長公式判斷選項(xiàng)tBCD.【詳解】拋物線C:y2=2pxp>0()的焦點(diǎn)F在軸上，xp過F作直線l:x=ty+1，可知?(1,0)，則=1，得p=2A選項(xiàng)正確；2y2=4x，直線l的方程代入拋物線方程，得y2?ty?4=0.拋物線方程為y+y=tyy=4設(shè)?(?,?)?(?,?)，由韋達(dá)定理有，12，112212=2，得1=2y2，解得y=22,y=2y=22,y=?2，或12121+y222t=，則t=或t=?C，選項(xiàng)錯(cuò)誤；444121+2x=x=x1+x254則，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D選項(xiàng)正確；==1222219229AB=x+x+p=+2+2=AF=AB=×=3B.，，選項(xiàng)正確1222332故選：ABD.()是曲線C:x+y=y?x上的一點(diǎn)，則下列選項(xiàng)中正確的是（0）Px,y33已知0A.曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱x∈Rx=0與曲線C有唯一交點(diǎn)PB.對(duì)任意C.對(duì)任意，直線01y0∈?]x<0，恒有2π?1≤y≤1的部分與y軸圍成圖形的面積小于D.曲線C在4【答案】ACD【解析】xy?x?yx=0計(jì)算即可判斷A；取，可判斷有三個(gè)交點(diǎn)即可判斷B；利用函數(shù)【分析】將，替換為，3f(x)=x3y0+x的單調(diào)性進(jìn)行求解即可判斷Cy=x?x3的單調(diào)性來得出0?圖象的對(duì)稱性和半圓的面積進(jìn)行比較即可判斷D．x+y3=y?x，將x，y替換為?x?y，，所得等式與原來等價(jià)，故A正確；3【詳解】A．對(duì)于=y=0y=1，y=1均可，故B錯(cuò)誤；Bx0，可以求得，∈?]y0Cx+03=0?y30，，函數(shù)=x?x3，故′=?13x，2yy0333′=?13x2=x∈?,1y′<0，函數(shù)單調(diào)遞減，令在y0，解得：1=±，在，時(shí)，333232333x∈?,y′>0y0?y30∈?,，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以3399152312又因?yàn)閒(x)=x3+x0<是增函數(shù)，f=>，所以有C正確；289y0∈[]0,1x0+03003=?≥0x0+x30≥2x，02D時(shí)，，又0?03≤20?2y20x20≤0?y20，所以．x=y?y2與軸圍成半圓，又曲線C的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，y2曲線πy則曲線C與軸圍成圖形的面積小于D正確．4故選：ACD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）π4πα∈?α=α+α=__________.12.若,0，且，則2π?【答案】【解析】π142πα∈?,0即可求解.sinα+=【分析】化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，求出，根據(jù)2π42α=α+，得cosα?(cosα?sinα).sinα=【詳解】由2π1πα∈?,02cosα?sinα≠0，則cosα+α=sinsinα+=因?yàn)椋?，則.2422πα∈?,0ππππππα+∈?,α+=，解得α=?由，得，則.24444612π?.故答案為：13.海上某貨輪在A處看燈塔B75306°處看燈塔CA偏西30，距離為203海里C處，貨輪由處向正北航行到D處時(shí)看燈塔°AB在東偏南30°，則燈塔C與D處之間的距離為______海里．【答案】203【解析】【分析】由正弦定理和余弦定理求解即可．【詳解】如圖：由題意=°，∠ADB=90?30°=60°，所以∠=180°?75°?60°=45°，sinsin306在△ABD中，由正弦定理=AD=60，所以=，即，sin45°sin60°在中，，所以=°CD=AC2+AD2?2AC?ADcos30°=(203)2+(60)?2?203?60cos30°=203.2故答案為：203．π4x∈a,b]m+sinxx≤2sinx??m214.若存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)于任意的，不等式恒成立，則a+bb?a取得最大值時(shí)，sin=__________．22【答案】【解析】212m為變量，結(jié)合一元二次不等式的存在性問題可得sin2x≤【分析】以，解不等式結(jié)合題意得7ππ12a,b]??+(∈)，由此可得答案,kZπ,π.12π4m2+sinxx≤2sinx??m【詳解】因?yàn)楹愠闪ⅲ?m2?2sinx??m+sinxx≤0恒成立，即πm，使得上式成立，則Δ=4sin2x??4sinxx≥0，若存在實(shí)數(shù)4?2sin2x=2?2sin2x?2sin2x=2?4sin2x≥0，πΔ=2?22x?則2127ππ可得sin2x≤，可得2π?≤2x≤2π+,k∈Z，667πππ?≤x≤π+,k∈Z解得，12127ππ12由a,b]??+(∈),kZπ,π，127ππ?a=π?,b=π+,(k∈Z)則ba取得最大值時(shí)，12+π+2127πππ?a+b221212sin=sin=,(k∈Z).此時(shí)22故答案為：.2m【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：雙變量問題的解題關(guān)鍵是一次只研究其中一個(gè)變量，本題先以為變量，轉(zhuǎn)化為存在性問題分析求解.577π6()=+x∈R.fxx15.已知函數(shù)（1）求函數(shù)()的單調(diào)減區(qū)間;fxπ2（2）求函數(shù)()在上的最大值與最小值.fxπ2π3π+,π+,k∈Z【答案】（）6（2）()=?2，fx()=1fx【解析】）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)()，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可得解；fxπx2x+（2的范圍求得【小問1詳解】的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可得解.6π6312fx=x+解：()=xx?sinx=2x?2x231π6=3sin2x+cos2x?1=2sin2x+cos2x?1=2x+?1，22，解得ππ2ππππ+2π2x≤+≤+2π,k∈Z+kπ≤x≤+kπ，令262632π所以函數(shù)()的單調(diào)減區(qū)間為π+,π+,k∈Z；fx63【小問2詳解】πππ7π解：因?yàn)?≤x≤，所以≤2x+，≤26661π6?≤sin2x+≤1，所以2π6?1≤2x+≤2?2≤f(x)≤1，，所以于是ππ2當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，fx()取最小值f(x)=f=?，22ππππ當(dāng)且僅當(dāng)2x+=，即x=時(shí)，fx()取最大值f(x)=f6=1.626()處的切線過點(diǎn)(?)16.b0，函數(shù)>f(x)=x2?x?(x?bx)f1)1.在點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)b的值；()上單調(diào)遞增；f(x)（2）證明：在（3）若對(duì)x≥f(x)≥a(x?恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（）b1（2）證明見解析【解析】=(?∞（））先求導(dǎo)函數(shù)再寫出切線方程代入點(diǎn)得出參數(shù)值；1′=+?x?2，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出f(x)≥f=1>0（2）求出導(dǎo)函數(shù)f(x)2x即可證明單調(diào)性；x=x>1兩種情況化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化為x?x≥ah(x)=x?x(x>恒成立，再求（3）根據(jù)函數(shù)解析式分x1和的單調(diào)性得出最值即可求出參數(shù)范圍.【小問1詳解】1+∞′=+?ln(bx)2?f(x)f(x)2x的定義域?yàn)?，xf=1?bf=0，故，又f(x)在點(diǎn)fy=?b)(x?，所以處的切線方程為將點(diǎn)代入得1?b=1，解得b=1．【小問2詳解】1f(x)=x2?x?(x?x，則f(x)2x′=+?x?2，由（）知x1=′g(x)f(x)2x=+=?x2?，令x112x?x?1(x?x+2則g(x)=2??=，x2xx2x2當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)<g(x)′單調(diào)遞減；當(dāng)′>x>1時(shí)，g(x)g(x)單調(diào)遞增，′≥′=>f(x)f10所以所以，f(x)在+∞)上單調(diào)遞增．【小問3詳解】對(duì)x≥f(x)≥a(x?恒成立，即對(duì)x≥x(x??(x?x≥a(x?恒成立，當(dāng)x1時(shí)，上式顯然恒成立；=當(dāng)x1時(shí)，上式轉(zhuǎn)化為>x?x≥a恒成立，1x?1h(x)=x?x(x>，則′(x)=1?=>0，h設(shè)xxh(x)在+∞)h(x)>h=1，所以上單調(diào)遞增；所以a≤1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?∞．故中，設(shè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為17.在ABCABCa,b,c．∈N*，且ABC，是否存在正整數(shù)，使得a（1）b=a+2，c=a+4a為鈍角三角形？若存在，求a出；若不存在，說明理由．a(chǎn)=b=c=D為BCAB,AC上，且90，CDF=θ（2的中點(diǎn)，EF分別在線段∠=°0°<θ<90°)，求面積S的最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的θ的值．【答案】（）存在,a4=（2）1263?【解析】）分析可知，角C為鈍角，由C0結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值；<a33=DE=（2）由正弦定理可得出，，再利用三角形的面積公式和兩角和sinθ+60°)sin150°?θ)(與差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【小問1詳解】a假設(shè)存在正整數(shù)滿足題設(shè)．ABC為鈍角三角形，因?yàn)閍<b<c，所以C為鈍角，a2+b2?c2根據(jù)題設(shè)，ba2，=+c=a+4，由余弦定理cosC=?,2aba2+(a+2)2?(a+4)(+)2aa22?1<cosC=<0，得a所以因?yàn)??<?2<a<64a120，解得．a(chǎn)∈N*,a∈N*，所以a=1或a=4，當(dāng)a=1時(shí)，ABC不存在，故存在a4滿足題設(shè)．=所以a4=【小問2詳解】∠EDF=90,∠CDF=θ0°<θ<90°()，所以BDE90∠=°?θ．如圖，因?yàn)?3在CDF中，因?yàn)?=，所以=sin60°sinθ+60°)sinθ+60°)23=DE在BDE中，因?yàn)?，所以．°sin150(°?θ)sin150°?θ)(sin6013S=×所以，θ+°)(°?θ)60sin1502sinfθ=sinθ+60°sin150°?θ設(shè)()()()，(°<θ<°)，1321232fθ)=sinθ+cosθcosθ+sinθ所以231+33=2θ+cosθsinθ+sinθ244431θ)=+sinθ化簡(jiǎn)可得：f42136S=×=≥12?63所以231+sinθ3+2θ42當(dāng)θ=45時(shí)，S取得最小值1263．°?x22y222+=ab0)的左右焦點(diǎn)分別為>>F,F=P,Q，點(diǎn)分別是橢圓的右18.已知橢圓，離心率e21ab23頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，POQ的邊上的中線長為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；．2AF1⊥（2）過點(diǎn)（3）直線H(0)的直線交橢圓C于,B兩點(diǎn)，若，求直線的方程；l,l分別與橢圓交于點(diǎn)C,DE,F．若11l,lF?過右焦點(diǎn)，且它們的斜率乘積為，設(shè)和122122M,N分別是線段CD和EF的中點(diǎn)，求OMN面積的最大值．x2+y=12【答案】（）2x?2y+2?0或x+2y+2=0（2）（3）28【解析】3c21△的邊上中線為得PQ=a2+b2=3e==,a2b2c2=+2a2即可求解；y=k(x+2)(k≠0)(x,y,(x,y)，聯(lián)立直線與橢圓方程得2（2）設(shè)直線的方程為，112x+x,xxAF1⊥AF?BF=0，再由，即，最后代入即可求解；12121111ly=k(x+,則直線ly=?(x+（3）設(shè)直線的方程為的方程為2，分別與橢圓方程聯(lián)立，通過韋達(dá)12k1M,NT(,0)x在軸上，則定理求出中點(diǎn)的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知，的中點(diǎn)坐標(biāo)21S=|||y?y|.整理后利用基本不等式即可得到面積的最值MN2【小問1詳解】P(a,0),Q(0,b)，△=a2b2=3.+由題意，因?yàn)闉橹苯侨切危訮Qc2x2又e==,a2=b2+c2，所以a=2,b=c=1，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y=1.2a22【小問2詳解】F(?0)1由（）知，,顯然直線的斜率存在，y=k(x+2)(k≠0)(x,y,(x,y)，2設(shè)直線的方程為，1122x+y=12y+++?2=0聯(lián)立2消去得，2k2)x28k2x8k2，y=k(x+12?=k2)2?+2k2k8k2?2)=?2k?22)>0<k2<，即0所以.8k1+2k22且12+=?,12=，21+2k2AF1⊥AF?BF=0因?yàn)樗运?，所以?11(?1?x,?y)(?1?x,?y)=01+x+x+xx+yy=0，即，11221212121+x+x+xx+k(x+2)?k(x+2)=0，121212整理得+2k2)(x+x)++k2)xx+1+4k2=0，12128k2+k2k1+2k2?2)+2k2)(?)++1+4k=0，2即1+2k221化簡(jiǎn)得4k2?1=0，即k=±滿足條件，211y=(x+2)y=?(x+2)所以直線的方程為或，22即直線的方程為x?2y+2=0或x+2y+2=0.【小問3詳解】F0)2由題意，,ly=k(x+C(x,yD(x,y),，3344設(shè)直線的方程為11則直線l的方程為y=?(x+E(x,yF(x,y)，，6225562kx+y=12y聯(lián)立2消去得+2k2)x2?4k2x+2k2?2=0，y=k(x?4k+22k?22所以34+=,34=12k21+2k2x+x2k+2k所以xM=34=,y=k(x?=?2MM1+2k212k22k2?k1+2k所以M(,)，1+2k222x+y2=12y+?2x+1?4k=0，2k2)x22同理聯(lián)立消去得1y=?(x?2k21?4k1+2k2所以56+=,56=12k+225+x611kx==,yN=?(xN?=所以所以N+21+2k2212k2k1kN(,)，21+2k21+2k1即的中點(diǎn)T(,0).2112k1|k|112S=|||y?y=|=×21+2k=×≤所以2MN41+2k22218，+2|k||k|122|k==±當(dāng)且僅當(dāng)，即k時(shí)取等號(hào)，|k