2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市百?gòu)?qiáng)校(SD)高一上期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市百?gòu)?qiáng)校(SD)高一上期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A=x0≤x≤3，B={xx<1或x≥3}，則圖中的陰影部分表示的集合為A.x1≤x≤3 B.x1<x<3 C.x1≤x<32.若集合M=(x?y,x+y)y=2x，則A.3,?1∈M B.?1,3∈M C.?1,2∈M3.設(shè)a，b∈R，則“2a=2b”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知函數(shù)f(x)的定義域是[?1,4]，則函數(shù)f(x+1)x?1的定義域是A.(1,5] B.(1,4] C.[1,3] D.(1,3]5.已知函數(shù)fx=?x2?ax?5,x≤1,ax,x>1,A.?∞,?2 B.?∞,0 C.?3,?2 D.?3,?26.已知fx=2x2?x+1，a=fA.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b7.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x1，x2∈R，x1≠x2，總有(x1A.[?1,2] B.[0,1]

C.(?∞,0)∪(1,+∞) D.(?∞,?1]∪[2,+∞)8.已知函數(shù)fx是定義在0,+∞上的增函數(shù)，當(dāng)n∈N?時(shí)，fn∈N?.A.4 B.5 C.7 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知甲、乙兩城相距80?km，兩個(gè)旅行者分別騎自行車和摩托車從甲城到乙城，他們所行駛的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，有人根據(jù)此圖，提出了如下觀點(diǎn)，其中正確的觀點(diǎn)有

A.騎自行車者和騎摩托車者都是變速運(yùn)動(dòng)

B.騎自行車者比騎摩托車者早出發(fā)3??，晚到1??

C.騎摩托車者在出發(fā)1.5??后追上了騎自行車者

D.騎摩托車者在出發(fā)1.5??后與騎自行車者速度一樣10.已知冪函數(shù)f(x)=(m?1)xα的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(8,1A.m=2

B.f(0)=0

C.f(x)是偶函數(shù)

D.若f(3?2x)>f(x+1)，則x∈(11.用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如，?1.2=?2，1.5=1.已知fxA.f23=23

B.fx為奇函數(shù)

C.?x1>三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.eln13.已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，滿足x+y=1，且不等式4x+xy≤14.已知函數(shù)f(x)為[?1,1]上的奇函數(shù)，函數(shù)g(x)=x2?4x+3，若g(f(x))在[?1,1]上的值域?yàn)閇?1,15]，則f(x)在[?1,1]四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題12分)已知函數(shù)fx=x(1)求集合M={xf(2)設(shè)N={xx∈?RM,x∈Z}，若N中恰好有16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=2ax+b4?x2是定義在區(qū)間(1)求a，b；(2)判斷f(x)在區(qū)間(?2,2)上的單調(diào)性，并用定義證明；(3)解關(guān)于t的不等式f(t?1)+f(t)<0．17.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=4x+a(1)當(dāng)a=1時(shí)，求f(x)在區(qū)間[1,+∞)上的最小值；(2)若?x1∈[1,4]，總存在x2∈[1,4]，使得18.(本小題12分)對(duì)1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：1?污物質(zhì)量物體質(zhì)量(含污物))為0.8，要求清洗完后的清潔度為0.99.有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗．該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是x+0.8x+1(x>a?1)，用y(1)分別求出方案甲以及c=0.95時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；(2)若采用方案乙，當(dāng)a為某固定值時(shí)，如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最??？19.(本小題12分)我們知道，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．類比奇函數(shù)的定義，我們可以定義中心對(duì)稱函數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈，若對(duì)?x∈D，都有f(2m?x)+f(x)=2n，則稱函數(shù)f(x)為中心對(duì)稱函數(shù)，其中(m,n)為函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心．比如，函數(shù)y=1x+1就是中心對(duì)稱函數(shù)，其對(duì)稱中心為(0,1).且中心對(duì)稱函數(shù)具有如下性質(zhì)：若(m,n)為函數(shù)f(x)(1)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,2)中心對(duì)稱，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)=x(x+1)，求f(0)，f(1)的值．(2)已知函數(shù)f(x)=1(3)求數(shù)組(a,b,c)的個(gè)數(shù)，其中?2024≤a<b<c≤2024，a，b，c∈Z，且g(x)=1x+1+1參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.D

6.A

7.C

8.C

9.BC

10.AC

11.ACD

12.6

13.(?∞,?2]∪[4,+∞)

14.[?2,2]

15.解：(1)f(x)=x2?bx+b?1=[x?(b?1)](x?1)．

?①當(dāng)b?1>1，即b>2時(shí)，由f(x)≥0得x≥b?1或x≤1，∴M={x|x≥b?1或x≤1}．

?②當(dāng)b?1=1，即b=2時(shí)，f(x)=(x?1)2≥0恒成立，∴M=R．

?③當(dāng)b?1<1，即b<2時(shí)，由f(x)≥0得x≥1或x≤b?1，∴M={x|x≥1或x≤b?1}．

綜上，當(dāng)b>2時(shí)，M={x|x≥b?1或x≤1};

當(dāng)b=2時(shí)，M=R;

當(dāng)b<2時(shí)，M={x|x≥1或x≤b?1}．

(2)?①當(dāng)b>2時(shí)，∵?RM=(1,b?1)，N中恰好有2個(gè)元素，∴3<b?1≤4，4<b≤5，

?②當(dāng)b=2時(shí)，M=R，N=?，不合題意;

?③當(dāng)b<2時(shí)，∵?RM=(b?1,1)，N16.解：(1)由函數(shù)f(x)=2ax+b4?x2是定義在(?2,2)上的奇函數(shù)知f(0)=b經(jīng)檢驗(yàn)，b=0時(shí)，f(?x)=?2ax4?x2=?2ax4?x2解得a=1

，故f(x)=2x4?x(2)fx在(?2,2)上為增函數(shù).

證明：在(?2,2)任取x1,則f(x因?yàn)閤2?x1>0，4+所以f(x2)?f(x1所以fx在(?2,2)(3)因?yàn)閒x為奇函數(shù)所以?f不等式f(t?1)+f(t)<0可化為f(t?1)<?f(t)，即f(t?1)<f(?t)，又fx在?2,2上是增函數(shù)，所以t?1<?t?2<t?1<2?2<?t<2所以關(guān)于t的不等式解集為?1,1

17.解：(1)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=4x+12x=2x+12x，

令t=2x，則由x∈[1,+∞)，可知t的取值范圍為[2,+∞)，

故原函數(shù)可化為y=t+1t(t≥2)，

由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，可知y=t+1t在[2,+∞)上單調(diào)遞增，

因此y=t+1t在t=2時(shí)取到最小值52，此時(shí)x=1，

所以當(dāng)x=1時(shí)，f(x)在[1,+∞)上取到最小值f(1)=52．

(2)依題意，g(x)=(x?2)2+2，

故當(dāng)x1∈[1,4]時(shí)，g(x)min=g(2)=2，g(x)max=g(4)=6．

因?yàn)?x1∈[1,4]，總存在x2∈[1,4]，使得f(x2)=g(x1)，

設(shè)f(x)在[1,4]上取值的集合為集合A，則有[2,6]?A.

當(dāng)a≤0時(shí)，顯然有f(x)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增，

此時(shí)f(x)18.解：(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z，由題設(shè)有

x+0.8x+1=0.99，

解得x=19．

由c=0.95得方案乙初次用水量為3，第二次用水量y滿足方程：

y+0.95ay+a=0.99，

解得y=4a，故z=4a+3．

即兩種方案的用水量分別為19與4a+3．

因?yàn)楫?dāng)1≤a≤3時(shí)，x?z=4(4?a)>0，

即x>z，

故方案乙的用水量較少．

(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y，類似(1)得

x=5c?45(1?c)，y=a(99?100c)(?)

于是

x+y=5c?45(1?c)+a(99?100c)

=

15(1?c)+100a(1?c)?a?1，

當(dāng)a為定值時(shí)，

x+y≥215(1?c)×100a(1?c)?a?1=?a+45a?1，

當(dāng)且僅當(dāng)

15(1?c)=100a(1?c)時(shí)等號(hào)成立．

此時(shí)

c=1+1105a(不合題意，舍去)或c=1?1105a，c∈(0.8,0.99)19.解：(1)由已知，f(2?x)+f(x)=4，令x=0，得f(2)+f(0)=4，又f(2)=6，故f(0)=?2，

令x=1，得2f(1)=4，故f(1)=2．

(2)對(duì)稱中心為(?2,0)，

證明：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠?1且x≠?3}，關(guān)于點(diǎn)(?2,0)對(duì)稱，

由已知f(?4?x)+f(x)

=1?4?x+1+1?4?x+3+1x+1+1x+3

=1?3?x+1?1?x+1x+1+1x+3=0，

故對(duì)稱中心為(?2,0)．

(3)先證明對(duì)實(shí)數(shù)a≤b≤c≤d≤f，若函數(shù)f(x)=1x+a+1x+b+1x+c+1x+d+1x+f為中心對(duì)稱函數(shù)，則a+f=b+d=2c，且對(duì)稱中心為(?c,0)，事實(shí)上，一方面，由f(x)為中心對(duì)稱函數(shù)知，其定義域{x|x≠?a,?b,?c,?d,?f}也必然對(duì)稱，故對(duì)稱