初三數(shù)學(xué)壓軸題及答案詳解

初三數(shù)學(xué)壓軸題及答案詳解一、選擇題1.若$a^2+b^2=5$且$ab=2$，則$a+b$的值為多少？答案：C解析：由$a^2+b^2=5$和$ab=2$，我們可以使用代數(shù)恒等式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$來(lái)求解$a+b$的值。將已知的$a^2+b^2$和$ab$的值代入，得到$(a+b)^2=5+2\times2=9$。因此，$a+b=\sqrt{9}=3$。2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)$B$的坐標(biāo)是多少？答案：D解析：點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)$B$的坐標(biāo)可以通過(guò)將$A$的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都取相反數(shù)得到。因此，$B$的坐標(biāo)為$(2,3)$。3.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，則第$10$項(xiàng)$a_{10}$的值為多少？答案：B解析：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為$a_n=a_1+(n1)d$。將已知的$a_1=3$和$d=2$代入，得到$a_{10}=3+(101)\times2=3+9\times2=3+18=21$。4.若函數(shù)$f(x)=x^24x+3$的圖像與$x$軸相交于兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是多少？答案：A解析：函數(shù)$f(x)=x^24x+3$與$x$軸相交于兩點(diǎn)，意味著$f(x)=0$有兩個(gè)解。根據(jù)韋達(dá)定理，這兩個(gè)解的和等于$\frac{a}$，其中$a$和$b$是二次方程$ax^2+bx+c=0$的系數(shù)。在這個(gè)例子中，$a=1$，$b=4$，所以解的和為$\frac{4}{1}=4$。5.若等比數(shù)列$\{b_n\}$的首項(xiàng)$b_1=2$，公比$r=3$，則第$5$項(xiàng)$b_5$的值為多少？答案：C解析：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為$b_n=b_1\timesr^{n1}$。將已知的$b_1=2$和$r=3$代入，得到$b_5=2\times3^{51}=2\times3^4=2\times81=162$。二、填空題6.已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為$A$、$B$、$C$，且$A=60^\circ$，$B=70^\circ$，求角$C$的度數(shù)。答案：$50^\circ$解析：三角形內(nèi)角和定理指出，任意三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于$180^\circ$。因此，我們可以通過(guò)$180^\circAB$來(lái)計(jì)算角$C$的度數(shù)。代入$A=60^\circ$和$B=70^\circ$，得到$C=180^\circ60^\circ70^\circ=50^\circ$。7.若一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)增加20%，則其面積增加多少百分比？答案：$44\%$解析：設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為$a$，則其面積為$a^2$。邊長(zhǎng)增加20%后，新的邊長(zhǎng)為$1.2a$，新面積為$(1.2a)^2=1.44a^2$。面積增加的百分比為$\frac{1.44a^2a^2}{a^2}\times100\%=44\%$。8.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$P(x,y)$滿足方程$x^2+y^2=25$，求點(diǎn)$P$到原點(diǎn)的距離。答案：5解析：點(diǎn)$P(x,y)$到原點(diǎn)的距離可以用勾股定理計(jì)算，即$\sqrt{x^2+y^2}$。由于已知$x^2+y^2=25$，因此點(diǎn)$P$到原點(diǎn)的距離為$\sqrt{25}=5$。9.若函數(shù)$g(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$處取得極值，且$g(1)=4$，求$a$、$b$、$c$的值。答案：$a=2$，$b=4$，$c=4$解析：由于$g(x)$在$x=1$處取得極值，因此$g'(1)=0$。計(jì)算$g'(x)=2ax+b$，然后代入$x=1$得到$2a+b=0$。又因?yàn)?g(1)=4$，代入$g(x)$得到$a+b+c=4$。聯(lián)立這兩個(gè)方程，解得$a=2$，$b=4$，$c=4$。10.若等差數(shù)列$\{c_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2+2n$，求該數(shù)列的首項(xiàng)$c_1$。答案：3解析：等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$S_n=\frac{n}{2}(2c_1+(n1)d)$。由于已知$S_n=n^2+2n$，我們可以將其與等差數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式進(jìn)行比較，從而解出$c_1$。將$n=1$代入$S_n$，得到$S_1=3$，即$c_1=3$。三、解答題11.已知函數(shù)$h(x)=\sqrt{1x^2}$，求函數(shù)的定義域。答案：函數(shù)的定義域?yàn)?[1,1]$。解析：由于函數(shù)$h(x)=\sqrt{1x^2}$包含根號(hào)，根號(hào)內(nèi)的表達(dá)式必須非負(fù)。因此，我們需要解不等式$1x^2\geq0$。這個(gè)不等式等價(jià)于$x^2\leq1$，即$1\leqx\leq1$。所以，函數(shù)的定義域?yàn)?[1,1]$。12.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$D$和$E$分別位于$x$軸和$y$軸上，且$OD=4$，$OE=3$，其中$O$為原點(diǎn)。求線段$DE$的長(zhǎng)度。答案：5解析：由于點(diǎn)$D$在$x$軸上，點(diǎn)$E$在$y$軸上，且$OD=4$，$OE=3$，我們可以將點(diǎn)$D$和$E$視為直角三角形的兩個(gè)直角邊。根據(jù)勾股定理，線段$DE$的長(zhǎng)度等于直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，即$\sqrt{OD^2+OE^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$。13.若等比數(shù)列$\{d_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$T_n=2^n1$，求該數(shù)列的首項(xiàng)$d_1$。答案：1解析：等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式為$T_n=d_1\times\frac{1r^n}{1r}$，其中$r$是公比。由于已知$T_n=2^n1$，我們可以將其與等比數(shù)列的前$n$項(xiàng)和公式進(jìn)行比較，從而解出$d_1$。將$n=1$代入$T_n$，得到$T_1=1$，即$d_1=1$。14.已知函數(shù)$f(x)=x^33x^2+2$，求函數(shù)的極值點(diǎn)。答案：極值點(diǎn)為$x=1$和$x=2$。解析：函數(shù)的極值點(diǎn)出現(xiàn)在其一階導(dǎo)數(shù)為零的位置。計(jì)算$f'(x)=3x^26x$，然后解方程$f'(x)=0$得到$x=1$和$x=2$。為了確定這些點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，我們可以使用二階導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)法。計(jì)算$f''(x)=6x6$，代入$x=1$和$x=2$得到$f''(1)=0$和$f''(2)=6$。由于$f''(1)=0$，我們需要進(jìn)一步檢驗(yàn)$x=1$是否為極值點(diǎn)。而$f''(2)>0$，表明$x=2$是極小值點(diǎn)。因此，函數(shù)的極值點(diǎn)為$x=1$和$x=2$。15.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$F$和$G$分別位于$x$軸和$y$軸上，且$OF=5$，$OG=12$，其中$O$為原點(diǎn)。求線段$FG$的長(zhǎng)度。答案：13解析：點(diǎn)$F$和$G$分別在$x$軸和$y$軸上，且$OF=5$，$OG=12$，我們可以將點(diǎn)$F$和$G$視為直角三角形的兩個(gè)直角邊。根據(jù)勾股定理，線段$FG$的長(zhǎng)度等于直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，即$\sqrt{OF^2+OG^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$。通過(guò)這些詳細(xì)的解答，我們可以更好地理解這些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法，從而在未來(lái)的學(xué)習(xí)中更加得心應(yīng)手。四、應(yīng)用題16.一個(gè)等差數(shù)列的前五項(xiàng)之和是35，且第二項(xiàng)比第一項(xiàng)大2。求這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差。答案：首項(xiàng)$a_1=5$，公差$d=2$。解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為$a_1$，公差為$d$。根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，第二項(xiàng)為$a_1+d$。題目中給出的條件是第二項(xiàng)比第一項(xiàng)大2，即$a_1+d=a_1+2$。同時(shí)，前五項(xiàng)之和為35，即$S_5=5a_1+10d=35$。聯(lián)立這兩個(gè)方程，解得$a_1=5$，$d=2$。17.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$H$和$I$分別位于$x$軸和$y$軸上，且$OH=8$，$OI=6$，其中$O$為原點(diǎn)。求線段$HI$的長(zhǎng)度。答案：10解析：點(diǎn)$H$和$I$分別在$x$軸和$y$軸上，且$OH=8$，$OI=6$，我們可以將點(diǎn)$H$和$I$視為直角三角形的兩個(gè)直角邊。根據(jù)勾股定理，線段$HI$的長(zhǎng)度等于直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，即$\sqrt{OH^2+OI^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$。18.已知函數(shù)$f(x)=x^33x^2+2$，求函數(shù)的極值點(diǎn)。答案：極值點(diǎn)為$x=1$和$x=2$。解析：函數(shù)的極值點(diǎn)出現(xiàn)在其一階導(dǎo)數(shù)為零的位置。計(jì)算$f'(x)=3x^26x$，然后解方程$f'(x)=0$得到$x=1$和$x=2$。為了確定這些點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，我們可以使用二階導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)法。計(jì)算$f''(x)=6x6$，代入$x=1$和$x=2$得到$f''(1)=0$和$f''(2)=6$。由于$f''(1)=0$，我們需要進(jìn)一步檢驗(yàn)$x=1$是否為極值點(diǎn)。而$f''(2)>0$，表明$x=2$是極小值點(diǎn)。因此，函數(shù)的極值點(diǎn)為$x=1$和$x=2$。19.一個(gè)等比數(shù)列的前五項(xiàng)之和是31，且第二項(xiàng)比第一項(xiàng)大2。求這個(gè)等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比。答案：首項(xiàng)$a_1=1$，公比$r=2$。解析：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為$a_1$，公比為$r$。根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，第二項(xiàng)為$a_1r$。題目中給出的條件是第二項(xiàng)比第一項(xiàng)大2，即$a_1r=a_1+2$。同時(shí)，前五項(xiàng)之和為31，即$S_5=a_1\times\frac{1r^5}{1r}=31$。聯(lián)立這兩個(gè)方程，解得$a_1=1$，$r=2$。20.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$J$和$K$分別位于$x$軸和$y$軸上，且$OJ=7$，$OK=24$，其中$O$為原點(diǎn)。求線段$JK$的長(zhǎng)度。答案：25解析：點(diǎn)$J$和$