立體幾何中的向量方法空間中的距離問(wèn)題

【溫故知新】平面的法向量：如果表示向量

的有向線段所在直線垂直于平面

，則稱這個(gè)向量垂直于平面,記作

⊥，如果

⊥，那么向量叫做平面的法向量.

給定一點(diǎn)A和一個(gè)向量,那么過(guò)點(diǎn)A,以向量為法向量的平面是完全確定的.lA注意：1.法向量一定是非零向量;2.一個(gè)平面的所有法向量都互相平行;向量法求法向量的步驟：外積法求法向量的步驟：),,(),,,()1(222111zyxbzyxa==向量的坐標(biāo)兩個(gè)不共線的找出（求出）平面內(nèi)的)2(利用行列式求解(3)?n就是平面的一個(gè)法向量=?n,21zzcbaddb-=2013年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷18題用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問(wèn)題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形）【新知學(xué)習(xí)】空間“距離”問(wèn)題1.空間兩點(diǎn)之間的距離

根據(jù)兩向量數(shù)量積的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算，利用公式或(其中)

，可將兩點(diǎn)距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求向量模長(zhǎng)問(wèn)題

例1：如圖1，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為四棱柱，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是60°，那么以這個(gè)頂點(diǎn)為端點(diǎn)的晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？A1B1C1D1ABCD圖1解：如圖1，設(shè)化為向量問(wèn)題依據(jù)向量的加法法則，進(jìn)行向量運(yùn)算所以回到圖形問(wèn)題這個(gè)晶體的對(duì)角線的長(zhǎng)是棱長(zhǎng)的倍。思考：教材P106（1）本題中四棱柱的對(duì)角線BD1的長(zhǎng)與棱長(zhǎng)有什么關(guān)系？

（2）如果一個(gè)四棱柱的各條棱長(zhǎng)都相等，并且以某一頂點(diǎn)為端點(diǎn)的各棱間的夾角都等于,那么有這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)嗎?A1B1C1D1ABCD分析:分析:∴這個(gè)四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)可以確定棱長(zhǎng)。（3）本題的晶體中相對(duì)的兩個(gè)平面之間的距離是多少？設(shè)AB=1（提示：求兩個(gè)平行平面的距離，通常歸結(jié)為求兩點(diǎn)間的距離）A1B1C1D1ABCDH

分析：面面距離點(diǎn)面距離解：∴所求的距離是問(wèn)題：如何求直線A1B1到平面ABCD的距離？2、向量法求點(diǎn)到平面的距離：DABCGFExyz分析:用幾何法做相當(dāng)困難,注意到坐標(biāo)系建立后各點(diǎn)坐標(biāo)容易得出,又因?yàn)榍簏c(diǎn)到平面的距離可以用法向量來(lái)計(jì)算,而法向量總是可以快速算出.例2:如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFG的距離.E當(dāng)E,F在公垂線同一側(cè)時(shí)取負(fù)號(hào)當(dāng)d等于0是即為“余弦定理”<>=π-θ（或θ），abCDABCD為a,b的公垂線則A，B分別在直線a,b上已知a,b是異面直線，n為a的法向量3.異面直線間的距離

即間的距離可轉(zhuǎn)化為向量在n上的射影長(zhǎng)，zxyABCC1即取x=1,則y=-1,z=1,所以EA1B1APDCBMNzxy解：如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則D(0,0,0),A(,0,0),B(,,0),C(0,,0),P(0,0,)

小結(jié)1、E為平面α外一點(diǎn),F為α內(nèi)任意一點(diǎn),為平面α