概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：參數(shù)估計(jì)

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當(dāng)總體分布中的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)未知時(shí)，如何利用獲取到的相關(guān)樣本對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的問(wèn)題，叫做參數(shù)估計(jì).參數(shù)估計(jì)：點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì).

例如，已知總體，其中，方差已知，但是均值未知.是取自總體X的樣本，而是取定的樣本值.根據(jù)此樣本值和已知方差

，采用某種方法估計(jì)未知均值的確定值或取值區(qū)間的問(wèn)題，就是典型的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題.3首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第一節(jié)點(diǎn)估計(jì)一、點(diǎn)估計(jì)簡(jiǎn)介二、矩估計(jì)法三、最大似然估計(jì)法§7.1點(diǎn)估計(jì)7.1.1點(diǎn)估計(jì)簡(jiǎn)介

點(diǎn)估計(jì)，又稱作定值估計(jì)，是指根據(jù)獲取的樣本估計(jì)總體分布中的未知參數(shù)的確定值.例7.1.1每分鐘平均一秒鐘內(nèi)進(jìn)入某商場(chǎng)的人數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其服從的泊松分布，即，其中，為未知參數(shù).已知在某小時(shí)進(jìn)入該商場(chǎng)的人數(shù)的樣本值見(jiàn)表7.1，試求參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值.每分鐘平均一秒鐘進(jìn)入該商場(chǎng)的人數(shù)01234567

分鐘數(shù)61817952210表7.1在某小時(shí)進(jìn)入某商場(chǎng)人數(shù)的統(tǒng)計(jì)情況

泊松分布的參數(shù)，如果用樣本均值估計(jì)總體均值，那么可以得到未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值.即的點(diǎn)估計(jì)值為2.13.

根據(jù)表7.1中的數(shù)據(jù)計(jì)算出每分鐘平均一秒鐘內(nèi)進(jìn)入某商場(chǎng)的樣本平均人數(shù)：解：

定義7.1

已知總體X服從分布函數(shù)為的分布，其中，為未知參數(shù).是從總體X中抽取的一個(gè)樣本，是該樣本的一個(gè)樣本值.選用合適的方法構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，其對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值為.和分別稱作參數(shù)的估計(jì)量和估計(jì)值.

因此，所謂未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題，就是設(shè)法為該參數(shù)構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，使其能在一定程度上對(duì)該參數(shù)做出合理的估計(jì).

本節(jié)學(xué)習(xí)兩種點(diǎn)估計(jì)方法：矩估計(jì)和最大似然估計(jì).7.1.2矩估計(jì)法

1894年，著名的英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜(K.Pearson)基于辛欽大數(shù)定律提出了矩估計(jì)法.

該方法比較簡(jiǎn)單，易于理解，只要總體矩存在，就可以使用該方法對(duì)分布中的未知參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì).當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，若總體X的前k階矩存在，則當(dāng)總體X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，若總體X的前k階矩存在，則依概率收斂的序列的性質(zhì)知，對(duì)于任意的連續(xù)函數(shù)，有

自然想到：

用樣本矩近似等于對(duì)應(yīng)的總體矩或用樣本矩的連續(xù)函數(shù)近似等于對(duì)應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)，即或

求解方程或方程組，就能得到待估參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量

若給定樣本一個(gè)樣本值，則待估參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)值為

定義7.2設(shè)隨機(jī)變量X的前k階總體矩和樣本矩分別為和，前k階總體矩和樣本矩的連續(xù)函數(shù)分別為和，其中，為k個(gè)待估計(jì)的參數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，令，求解方程(當(dāng)

時(shí))或方程組(當(dāng)

時(shí))，得到待估參數(shù)

的矩估計(jì)量若給定樣本一個(gè)樣本值，則待估參數(shù)的矩估計(jì)值為或

例7.1.2已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即，其中，為未知參數(shù)，試求參數(shù)的矩估計(jì)量.解：因?yàn)?，所以由于僅有一個(gè)未知參數(shù)，故僅列一個(gè)方程即可.因?yàn)楹?，所?/p>

例7.1.3設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間

中均勻取值，即

，其中，與均為未知參數(shù)，試求與的矩估計(jì)量.解：因?yàn)?，所以由于?個(gè)未知參數(shù)，故需要聯(lián)立2個(gè)方程因?yàn)樗缘玫铰?lián)立方程組解得待估參數(shù)與的矩估計(jì)量為其中，

例7.1.4設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為解：由于有2個(gè)未知參數(shù)，故需要聯(lián)立2個(gè)方程：其中，與均是未知參數(shù)，且，試求與的矩估計(jì)量.解得待估參數(shù)與的矩估計(jì)量為其中，

例7.1.5設(shè)在2021~2022學(xué)年第一學(xué)期，某高校某專業(yè)共有268名學(xué)生參加概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程期末考試.表7.2列出的是從中隨機(jī)抽取的20名學(xué)生的考試成績(jī)，試求該專業(yè)所有學(xué)生成績(jī)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值.序號(hào)12345678910成績(jī)72638891375369878276序號(hào)11121314151617181920成績(jī)69577884947571856780表7.2隨機(jī)抽取的20名學(xué)生的考試成績(jī)解：設(shè)隨機(jī)變量X為該專業(yè)268名學(xué)生的考試成績(jī)，與分別為這些學(xué)生成績(jī)的平均值與方差.由于有2個(gè)未知參數(shù)，故需要構(gòu)建2個(gè)方程因?yàn)樗砸虼?，該專業(yè)所有學(xué)生成績(jī)的平均值與標(biāo)準(zhǔn)差的矩估計(jì)值分別為73.90分與13.65分.7.1.3最大似然估計(jì)法1912年，著名英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)希爾(R.A.Fisher)基于似然函數(shù)提出了最大似然估計(jì)法.

該方法具有比較好的理論性質(zhì)，可以用于解決總體分布形式已知的參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問(wèn)題.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為或分布律為

，其中，為分布中的未知參數(shù).設(shè)為總體X的一個(gè)樣本，為其一個(gè)樣本值.樣本值的聯(lián)合概率密度函數(shù)為或樣本值的聯(lián)合分布律為

事實(shí)上，它們僅是參數(shù)的函數(shù)，稱為似然函數(shù)，記為，即或直觀想法：

在某個(gè)試驗(yàn)中，若某個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，則一般認(rèn)為該結(jié)果出現(xiàn)的概率最大.同理，若樣本取到了樣本值，則說(shuō)明取到該樣本值的概率最大.是有關(guān)參數(shù)的函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，概率最大，則將作為參數(shù)真值的估計(jì)值比較合理.似然函數(shù)

可以理解為度量參數(shù)更像其真值的程度.基本思想：

在給定的樣本值下，當(dāng)未知參數(shù)取何值時(shí)，此樣本值出現(xiàn)的概率最大.

定義7.3設(shè)總體X的分布函數(shù)為，其中，分布F的形式已知，為未知參數(shù)，為參數(shù)的取值空間.

為總體X的一個(gè)樣本，為其一個(gè)樣本值，(連續(xù)情形)或(離散情形)是參數(shù)的似然函數(shù).若在參數(shù)空間中存在使得達(dá)到最大值的統(tǒng)計(jì)值，即，則稱統(tǒng)計(jì)值為參數(shù)的最大似然估計(jì)值，對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量為參數(shù)的最大似然估計(jì)量.通常情況下的求解步驟(1)構(gòu)造參數(shù)的似然函數(shù)當(dāng)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，當(dāng)總體X為離散型隨機(jī)變量時(shí)，(2)為了便于求解參數(shù)，需要對(duì)似然函數(shù)取自然對(duì)數(shù)，將連乘轉(zhuǎn)換為連加，即或(3)似然函數(shù)與經(jīng)自然對(duì)數(shù)變換后的函數(shù)等價(jià)，即求的最大值點(diǎn)等價(jià)于求的最大值點(diǎn).函數(shù)對(duì)未知參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即(4)求解上述方程，得到參數(shù)的最大似然估計(jì)值對(duì)應(yīng)的最大似然估計(jì)量為

例7.1.6設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布，即

，其中，為未知參數(shù).當(dāng)總體X的一個(gè)樣本值為時(shí)，試求參數(shù)的最大似然估計(jì)值.解：根據(jù)泊松分布的分布律知，所以參數(shù)的似然函數(shù)為對(duì)似然函數(shù)取自然對(duì)數(shù)，得到函數(shù)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即求得參數(shù)的最大似然估計(jì)值為

例7.1.7已知某場(chǎng)遠(yuǎn)距離手槍射擊打靶比賽中，某位運(yùn)動(dòng)員10次射擊中有8槍擊中目標(biāo)，試求該運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率的最大似然估計(jì)值.解：設(shè)該運(yùn)動(dòng)員共射擊n次，其中，有m(m≤n)次擊中目標(biāo)，每次射擊擊中目標(biāo)的概率為p，具體射擊情況為

，其中，(1表示擊中，0表示未擊中).因?yàn)樵诿看紊鋼糁?，該運(yùn)動(dòng)員是否擊中目標(biāo)服從兩點(diǎn)分布，即所以參數(shù)p的似然函數(shù)為對(duì)似然函數(shù)取自然對(duì)數(shù)，得到函數(shù)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即求得參數(shù)的最大似然估計(jì)值為由于n=10和m=8，故因此，該運(yùn)動(dòng)員每次射擊擊中目標(biāo)的概率的最大似然估計(jì)值為0.80.

例7.1.8已知實(shí)際的軸承直徑與規(guī)定的軸承直徑的偏差服從正態(tài)分布，其中，與是未知均值與方差.從某軸承生產(chǎn)廠家生產(chǎn)的軸承中隨機(jī)抽取50件，測(cè)得其偏差為.經(jīng)計(jì)算，

試求參數(shù)與的最大似然估計(jì)值.解：設(shè)是取自該正態(tài)總體的樣本值.

構(gòu)造似然函數(shù)：對(duì)似然函數(shù)取自然對(duì)數(shù)，得到函數(shù)分別對(duì)與求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即解得因?yàn)樗詤?shù)與的最大似然估計(jì)值分別為

例7.1.9設(shè)總體X服從區(qū)間上的均勻分布，即，其中，與為未知參數(shù)，試求參數(shù)與的最大似然估計(jì)值.解：因?yàn)?，所以，其中，是示性函?shù).構(gòu)造似然函數(shù)：其中，若通過(guò)似然函數(shù)或經(jīng)自然對(duì)數(shù)變換后的似然函數(shù)對(duì)未知參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0的方式求解最大似然估計(jì)值，發(fā)現(xiàn)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都不可能為0，故需要換一種求最大值點(diǎn)的方法.若要使似然函數(shù)最大，則需要分子最大，分母最小.

故參數(shù)與的最大似然估計(jì)值分別為(1)當(dāng)時(shí)，示性函數(shù)取最大值1；(2)當(dāng)和時(shí)，取最小值，此時(shí)，似然函數(shù)

取到最大值通過(guò)似然函數(shù)(或其變換形式)對(duì)未知參數(shù)求導(dǎo)數(shù)(或偏導(dǎo)數(shù))并令其為0的手段求最大值點(diǎn)不一定總是可行的(如例7.1.9).即使通過(guò)此方法能夠獲得未知參數(shù)的值，該值也未必是最大值點(diǎn)，也有可能是最小值點(diǎn)，因而，最值點(diǎn)的情況需要進(jìn)一步驗(yàn)證.如果為參數(shù)的最大似然估計(jì)量，為定義在參數(shù)空間中的一個(gè)函數(shù)，那么是否為的最大似然估計(jì)量？事實(shí)上，當(dāng)是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，即有單值反函數(shù)(，為的取值空間)時(shí)，此結(jié)論成立.

定理7.1設(shè)總體X服從分布，其中，F(xiàn)為總體X的已知形式的分布函數(shù)，為未知的參數(shù)向量，為參數(shù)的取值空間.若為參數(shù)的最大似然估計(jì)量，是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則是的最大似然估計(jì)量.(該定理稱為最大似然估計(jì)的不變性原理)證明：由于是的最大似然估計(jì)量，故因?yàn)槭菄?yán)格單調(diào)函數(shù)，所以其存在單值反函數(shù)進(jìn)而，即這就證明了是的最大似然估計(jì)量.

例7.1.10故障設(shè)備的維修時(shí)間服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布.某廠家有多臺(tái)生產(chǎn)設(shè)備，在某月內(nèi)共發(fā)生故障14次，其維修時(shí)間(單位：min)見(jiàn)表7.3.試求平均維修時(shí)間與維修時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差的最大似然估計(jì)值.6271485795588882586953835645表7.3故障設(shè)備的維修時(shí)間(單位：min)解：設(shè)故障設(shè)備的維修時(shí)間為T，對(duì)數(shù)正態(tài)分布為因?yàn)?，所以?.3中的數(shù)據(jù)取自服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的總體T，若對(duì)該表中的數(shù)據(jù)分別做自然對(duì)數(shù)變換，則變換后的數(shù)據(jù)(見(jiàn)表7.4)取自服從正態(tài)分布的總體4.12714.26273.87124.04314.55394.06044.47734.40674.06044.23413.97034.41884.02543.8067表7.4故障設(shè)備的維修時(shí)間經(jīng)自然對(duì)數(shù)變換后的數(shù)值參數(shù)與的最大似然估計(jì)值分別為與總體T的均值與標(biāo)準(zhǔn)差和總體

的均值與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系為與因此，根據(jù)定理7.1(最大似然估計(jì)的不變性原理)，得到與的最大似然估計(jì)值：與因此，平均維修時(shí)間與維修時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)差的最大似然估計(jì)值分別為66.05min與14.92min.41首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第二節(jié)點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)一、相合性二、無(wú)偏性三、有效性

采用不同的方法對(duì)同一參數(shù)進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，所得的點(diǎn)估計(jì)量可能不相同.例如，例7.1.3與例7.1.9分別采用矩估計(jì)法與最大似然估計(jì)法對(duì)均勻分布中的未知參數(shù)與

進(jìn)行點(diǎn)估計(jì)，兩個(gè)參數(shù)的矩估計(jì)量與最大似然估計(jì)量:與

任何統(tǒng)計(jì)量都可以作為未知參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)量.在得到某個(gè)未知參數(shù)的不止一種點(diǎn)估計(jì)量時(shí)，更傾向于使用最佳的點(diǎn)估計(jì)量，那么哪種點(diǎn)估計(jì)量是最佳的呢？這就涉及到點(diǎn)估計(jì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：相合性、無(wú)偏性和有效性.7.2.1相合性

參數(shù)的估計(jì)量不僅與樣本的取值有關(guān)，而且與樣本量n有關(guān).給定樣本量n與閾值，當(dāng)樣本取不同的樣本值時(shí)，的值一般是不同的，事件

以一定的概率出現(xiàn).希望樣本量n越大，估計(jì)量在某種意義下越接近于參數(shù)的真實(shí)值，即估計(jì)量對(duì)真實(shí)值的估計(jì)越精確，事件的出現(xiàn)的概率就越小.下面給出估計(jì)量的相合性(或稱為一致性)定義：

定義7.4對(duì)于每個(gè)，設(shè)是未知參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量，為參數(shù)的取值空間，若對(duì)于，或則稱為的相合估計(jì)量，也稱為一致估計(jì)量.簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，若估計(jì)量序列依概率收斂于未知參數(shù)，則稱為的相合估計(jì)量.換句話說(shuō)，當(dāng)樣本容量n充分大時(shí)，估計(jì)量可以以任意的精確程度逼近被估計(jì)參數(shù)的真實(shí)值相合性是對(duì)估計(jì)量的基本要求，如果一個(gè)估計(jì)量連相合性都不滿足，那么這種估計(jì)量難以得到大眾的認(rèn)同.

定理7.2設(shè)是取自總體X的一個(gè)樣本，若總體X的階矩存在，則樣本k階矩

是總體k階矩的相合估計(jì)量；若總體X的k階中心矩存在，則樣本k階中心矩是總體k階中心矩的相合估計(jì)量.證明：因?yàn)槭侨∽钥傮wX的一個(gè)樣本(簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本)，所以是獨(dú)立同分布的，進(jìn)而其函數(shù)也是獨(dú)立同分布的.又因?yàn)榭傮wX的階矩存在，所以由辛欽大數(shù)定律知，樣本階矩是總體階矩的相合估計(jì)量.同理，樣本函數(shù)是獨(dú)立同分布的.因?yàn)殡A中心矩存在，所以由辛欽大數(shù)定律知，樣本階中心矩是總體階中心矩的相合估計(jì)量.

定理7.3設(shè)分別是的相合估計(jì)量，若是元連續(xù)函數(shù)，則是的相合估計(jì)量.證明：因?yàn)槭?/p>

元連續(xù)函數(shù)，所以對(duì)于，，當(dāng)時(shí)，有從而有事件成立.又因?yàn)榉謩e是的相合估計(jì)量，所以對(duì)于給定的和，，當(dāng)時(shí)，有由上述不等式和的任意性，得到是的相合估計(jì)量.成立.

定理7.4設(shè)是參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量，若

則是參數(shù)的相合估計(jì)量.證明：由切比雪夫不等式，得到由

得到

進(jìn)而

因此，是參數(shù)的相合估計(jì)量.

例7.2.1設(shè)總體X服從參數(shù)為的泊松分布其中，未知.為取自總體X的一個(gè)樣本，試分析的矩估計(jì)量的相合性.解：因?yàn)?，所以總體一階矩為樣本一階矩為

令，求得參數(shù)的矩估計(jì)量為

因?yàn)?，所以其矩估?jì)量為

由辛欽大數(shù)定律知，是參數(shù)的相合估計(jì)量.又因?yàn)槭怯嘘P(guān)參數(shù)的連續(xù)函數(shù)，所以由定理7.3知，矩估計(jì)量是的相合估計(jì)量.

例7.2.2設(shè)總體X服從均值為0、方差為的正態(tài)分布，即，其中，為未知標(biāo)準(zhǔn)差.為取自總體X的一個(gè)樣本，試證明估計(jì)量為總體方差的相合估計(jì)量.證明：因?yàn)?，所?/p>

因?yàn)闉槿∽钥傮wX的一個(gè)樣本，所以

由于故從而因此，由定理7.4知，估計(jì)量為總體方差的相合估計(jì)量.7.2.2無(wú)偏性

對(duì)于某參數(shù)的估計(jì)量，由于估計(jì)量與樣本相關(guān)，故賦予樣本不同的樣本值，得到的估計(jì)量的值一般是不同的.有些估計(jì)量的值相對(duì)于真實(shí)值偏大，有些則偏小.如果所有估計(jì)量的值的平均值(數(shù)學(xué)期望)等于該參數(shù)的真實(shí)值，那么估計(jì)量與真實(shí)值之間沒(méi)有實(shí)質(zhì)性的誤差.定義7.5設(shè)為取自總體X的一個(gè)樣本，

(是的取值范圍)是總體X的分布中的一個(gè)未知參數(shù)，是參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量.若估計(jì)量的數(shù)學(xué)期望存在，對(duì)于，都有成立，則稱估計(jì)量是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量.

是以作為參數(shù)的估計(jì)量的實(shí)質(zhì)性誤差，即系統(tǒng)誤差.若，即，則與之間存在系統(tǒng)誤差，這時(shí)將作為參數(shù)的估計(jì)量存在實(shí)質(zhì)性的風(fēng)險(xiǎn).定義7.5說(shuō)明參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量與真實(shí)值之間不存在系統(tǒng)誤差，一般僅存在隨機(jī)誤差.定理7.5設(shè)總體X的k階矩存在，為取自總體X的一個(gè)樣本，試證明k階樣本矩

是k階總體矩的無(wú)偏估計(jì)量.證明：因?yàn)闉槿∽钥傮wX的一個(gè)樣本，所以與總體X同分布，進(jìn)而與同分布，有因此，k階樣本矩是k階總體矩的無(wú)偏估計(jì)量.

例7.2.3設(shè)總體X的概率密度函數(shù)為其中，為未知參數(shù).為取自總體X的一個(gè)樣本，試證明參數(shù)的最大似然估計(jì)量是的無(wú)偏估計(jì)量.證明：構(gòu)造似然函數(shù)：其自然對(duì)數(shù)為函數(shù)對(duì)參數(shù)求導(dǎo)數(shù)，并令其為0，即解得最大似然估計(jì)值對(duì)應(yīng)的最大似然估計(jì)量為因此，參數(shù)的最大似然估計(jì)量是的無(wú)偏估計(jì)量.

例7.2.4設(shè)總體X服從均值為、方差為的正態(tài)分布，即

為取自總體X的一個(gè)樣本，試求常數(shù)k，使得估計(jì)量是方差的無(wú)偏估計(jì)量.解：因?yàn)闉槿∽钥傮wX的一個(gè)樣本，所以相互獨(dú)立，進(jìn)而因?yàn)闉槿∽钥傮wX的一個(gè)樣本，所以與X同分布，進(jìn)而與同分布，有成立.因此，7.2.3有效性

如果某參數(shù)有兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量與，當(dāng)樣本量n相同時(shí)，估計(jì)量的各個(gè)值比估計(jì)量的各個(gè)值更加密集地分布在真實(shí)值附近，那么相對(duì)于而言，自然就認(rèn)為更適合作為參數(shù)的估計(jì)量.而方差是刻畫(huà)數(shù)據(jù)分散性的重要特征，由上面的假設(shè)，很明顯，.因此，若與同為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，且，則一般認(rèn)為更為有效.

由此，可以得到估計(jì)量的有效性的定義：定義7.6設(shè)與都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，若對(duì)于，都有成立，且至少對(duì)于某一個(gè)(是參數(shù)的取值范圍)，使得上式中的不等號(hào)成立，則稱較有效.例7.2.5設(shè)總體X服從均值為的指數(shù)分布其中，未知，為取自總體X的一個(gè)樣本，構(gòu)造如下三個(gè)估計(jì)量：對(duì)于估計(jì)量，有兩個(gè)能作為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，請(qǐng)問(wèn)在這兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效？解：(1)因?yàn)榭傮wX服從均值為的指數(shù)分布，為取自總體X的一個(gè)樣本，所以

因此，在估計(jì)量中，與是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量.

(2)因?yàn)榭傮wX服從均值為的指數(shù)分布，為取自總體X的一個(gè)樣本，所以

因?yàn)?/p>

，所以估計(jì)量較有效.例7.2.6設(shè)總體X服從區(qū)間上的均勻分布，即

，其中，為未知參數(shù).為取自總體X的一個(gè)樣本.

(1)試證明與都為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)；(2)試分析估計(jì)量與哪個(gè)較為有效？

(1)證明：因?yàn)?，所以故為參?shù)的無(wú)偏估計(jì)量.令，則Z的分布函數(shù)為

Z的分布函數(shù)對(duì)z求導(dǎo)數(shù)，得到Z的概率密度函數(shù)故也為參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量.

(2)解：當(dāng)時(shí)，，估計(jì)量與同等有效，而當(dāng)時(shí)，，估計(jì)量較有效.77首頁(yè)返回退出首頁(yè)返回退出第三節(jié)置信區(qū)間一、區(qū)間估計(jì)二、單個(gè)正態(tài)總體的分布參數(shù)的置信區(qū)間三、兩個(gè)正態(tài)總體的分布參數(shù)的置信區(qū)間§7.3置信區(qū)間7.3.1區(qū)間估計(jì)定義7.7設(shè)總體

的分布函數(shù)含有一個(gè)未知參數(shù)，為取自總體

的一個(gè)樣本.若由樣本確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量

和滿足

則稱區(qū)間是的置信水平（置信度)為

的置信區(qū)間.和

分別稱為置信下限和置信上限.關(guān)于定義的說(shuō)明被估計(jì)的參數(shù)雖然未知，但它是一個(gè)常數(shù)，沒(méi)有隨機(jī)性，而區(qū)間是隨機(jī)的。隨機(jī)區(qū)間以的概率包含著參數(shù)的真值，而不能說(shuō)參數(shù)以的概率落入隨機(jī)區(qū)間.因此定義下述表達(dá)式的本質(zhì)是：若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等,都是n)，每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)間，每個(gè)這樣的區(qū)間或包含的真值或不包含的真值，按伯努利大數(shù)定理,在這樣多的區(qū)間中,包含真值的占，不包含的約占

可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高精度.1.要求以很大的可能被包含在區(qū)間內(nèi)，就是說(shuō)，概率要盡可能大.即要求估計(jì)盡量可靠.

2.估計(jì)的精度要盡可能的高.如要求區(qū)間長(zhǎng)度

盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則.置信區(qū)間有兩個(gè)要求:2.

求置信區(qū)間的一般步驟(共3步)（1）構(gòu)造一個(gè)樞軸量，它與樣本和待估計(jì)的參數(shù)有關(guān).而且該量服從不依賴任何未知參數(shù)的已知分布.（2）對(duì)于給定的置信度，給出兩個(gè)常數(shù)，使得（3）若能從得到等價(jià)的不等式其中和是統(tǒng)計(jì)量，那就是的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間。（一）正態(tài)總體均值的置信區(qū)間

并設(shè)為來(lái)自總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差.為已知此分布不依賴于任何未知參數(shù),是關(guān)于的樞軸量根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn),有可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為或例7.3.1已知實(shí)際的軸承直徑

服從正態(tài)布

其中，是總體

的未知均值.從某軸承生產(chǎn)廠家生產(chǎn)的軸承中隨機(jī)抽取7件，測(cè)得其直徑為36.32、36.38、36.41、36.39、36.43、36.35、36.39（單位：mm）.試求總體

的均值

的置信水平為95%的置信區(qū)間解：計(jì)算得樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本量n=7,查閱正態(tài)分布表因此，總體

的均值的置信水平為95%的置信區(qū)間為（36.31，36.46）.為未知可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為此分布不依賴于任何未知參數(shù),是關(guān)于

的樞軸量由分布的分位點(diǎn)有或例7.3.2某糕點(diǎn)生產(chǎn)廠家采用自動(dòng)裝箱機(jī)打包糕點(diǎn)，各箱糕點(diǎn)的重量服從正態(tài)分布,其中，與都為未知參數(shù).測(cè)得某批糕點(diǎn)其中8箱的重量為6.34、6.19、6.07、6.38、6.26、6.33、6.18、6.24（單位：kg），試求總體

的均值的置信水平為90%的置信區(qū)間.解：計(jì)算得因此，總體

的均值的置信水平為90%的置信區(qū)間為（6.1806，6.3170）.（二）正態(tài)總體方差的置信區(qū)間為已知此分布不依賴于任何未知參數(shù),是關(guān)于的樞軸量由

分布的分位點(diǎn)有可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為例7.3.3用游標(biāo)卡尺對(duì)某寬度13mm的汽車零部件重復(fù)測(cè)量5次，其數(shù)值為12.8、13.1、13.0、13.2、12.8（單位：mm）.已知測(cè)量的數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，其中，方差為未知參數(shù).試求方差的置信水平為99%的置信區(qū)間.解：由題知，，因此，方差的置信水平為99%的置信區(qū)間為（0.0078，0.3155）.為未知可得到

的置信水平為的置信區(qū)間為此分布不依賴于任何未知參數(shù),是關(guān)于的樞軸量根據(jù)

分布的分位點(diǎn)有例7.3.4為了測(cè)得某種醫(yī)用消毒酒精溶液中的酒精濃度，在同等條件下，抽取8個(gè)獨(dú)立的測(cè)定值，樣本平均值為75.06%，樣本標(biāo)