中考數(shù)學重難題型專項訓練：圓的綜合探究（原卷版+解析）

專題28圓的綜合探究

1.（2021?湖北隨州市?中考真題）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法.它是利

用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同

底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學問題，在解題中，靈活運用

等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷.

（圖2）

（1）在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為

其內(nèi)切圓的半徑長為

（2）①如圖1,尸是邊長為a的正6c內(nèi)任意一點,點。為的中心，設(shè)點P到

△ABC各邊距離分別為4,%，由，連接AP，BP,CP,由等面積法，易知

|a（/z+A+/z）=S可得%+用+%=

123AABC=3SAOAB,；（結(jié)果用含。的式子表示）

②如圖2,P是邊長為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，設(shè)點P到五邊形ABCDE各邊距

離分別為%,%,%,%,參照①的探索過程，試用含a的式子表示4+/22+H+4+/25

Q

的值.（參考數(shù)據(jù)：tan36°。.，tan54°4）

（圖3）（圖4）

（3）①如圖3,已知0。的半徑為2,點A為。。外一點，OA=4,AB切。。于點3,

弦BCHOA,連接AC,則圖中陰影部分的面積為；（結(jié)果保留"）

②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇A3CD",由于修路等原因需將花壇進行改造.若要將花壇形

狀改造成五邊形A3CDG,其中點G在AR的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不

變，試確定點G的位置，并說明理由.

2.（2021?北京中考真題）在平面直角坐標系X?！分?，。。的半徑為1,對于點A和線段8C,

給出如下定義：若將線段繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦8C(8',。分別是5c的對

應(yīng)點)，則稱線段是。O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點4片,。1,32，。2，4,。3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段與0,不。2,83c3中,

OO的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”是

(2)AABC是邊長為1的等邊三角形，點A(0/),其中two.若是OO的以點A為

中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求/的值;

(3)在AA6c中，AB=1,AC=2.若是OO的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接

寫出OA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長.

3.(2021?四川遂寧市?中考真題)如圖，。。的半徑為1,點A是。。的直徑BD延長線上

的一點，C為。。上的一點，AD=CD,NA=30°.

(1)求證：直線AC是。。的切線；

(2)求AABC的面積；

(3)點E在上運動(不與B、D重合)，過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點

①當點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；

②當點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長.

4.(2021?浙江中考真題)如圖1,四邊形A6CD內(nèi)接于O。，3。為直徑，上存在

點E,滿足AE=C￡)，連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F,BE與AD交于點G.

（1）若ZDBC=a,請用含a的代數(shù)式表列NAGfi.

（2）如圖2,連結(jié)CE,CE=BG.求證；EF=DG

（3）如圖3,在（2）的條件下，連結(jié)CG,AD=2.

①若tanZADB3,求AFG。的周長.

②求CG的最小值.

5.（2021?山東中考真題）如圖1,0為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點，且BQ=CQ.連

接AC并延長，與5D的延長線相交于點E.

圖1圖2圖3

（1）求證：CD=ED；

（2）AZ）與OC,分別交于點F,H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CFAF=FOAH；

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

6.（2021?浙江臺州市?中考真題）如圖，BD是半徑為3的。0的一條弦，BD=4jL點A

是。。上的一個動點（不與點B,D重合）,以A,B,D為頂點作平行四邊形ABCD.

AA

BD

圖1圖2

(l)如圖2,若點A是劣弧8°的中點.

①求證：平行四邊形ABCD是菱形；

②求平行四邊形ABCD的面積.

(2)若點A運動到優(yōu)弧BO上，且平行四邊形ABCD有一邊與。0相切.

①求AB的長；

②直接寫出平行四邊形ABCD對角線所夾銳角的正切值.

7.(2021?天津中考真題)已知4?18。內(nèi)接于00,43=4。,/區(qū)4。=42。，點》是。。

上一點.

D

圖①圖②

(I)如圖①，若30為。。的直徑，連接CD,求ND6C和NACD的大?。?/p>

(II)如圖②，若CD〃B4,連接AD,過點D作。。的切線，與0C的延長線交于點E,

求NE的大小.

8.(2021?浙江中考真題)如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于。。，NR4c的平分線AG交。。

于點G,交邊于點連接BG.

（1）求證：AABGs^AFC.

（2）已知=AC=AF^b,求線段FG的長（用含。，〃的代數(shù)式表示）.

（3）已知點E在線段A/上（不與點A,點R重合），點。在線段AE上（不與點A,點、E

重合），ZABD=NCBE,求證：BG2=GEGD.

9.（2021?湖北中考真題）如圖，在菱形ABCD中，。是對角線3。上一點（60>DO）,

OE±AB,垂足為E,以O(shè)E為半徑的0。分別交OC于點〃，交￡0的延長線于點

EF與DC交于點G.

(1)求證：BC是。。的切線；

(2)若G是纖的中點，OG=2,DG=1.

①求HE的長；

②求的長.

10.(2021?四川中考真題)如圖，。。的半徑為1,點A是。0的直徑BD延長線上的一點，

C為。。上的一點，AD=CD,ZA=30°.

(1)求證：直線AC是。。的切線；

(2)求△ABC的面積；

(3)點￡在防。上運動(不與B、D重合)，過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點

F.

①當點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長;

②當點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長.

11.(2021?四川中考真題)如圖，點D在以AB為直徑的。0上，過D作。。的切線交AB

延長線于點C,4后_18于點￡,交。。于點F,連接AD,FD.

(1)求證：ZDAE=ADAC

(2)求證：DFAC^ADDC；

(3)若sinNC=:,AD=4^/10)求EF的長.

12.(2021?四川中考真題)如圖，AB為。。的直徑，C為上一點，連接AC3C,D

為A3延長線上一點，連接CD,且/BCD=/A.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若。。的半徑為笈。的面積為2百，求8的長；

EF1

(3)在(2)的條件下，E為。。上一點，連接CE交線段OA于點F,若一=—,求BF

CF2

的長.

13.(2021?浙江中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，0/經(jīng)過原點0,分別交了軸、

》軸于A(2,0),5(0,8),連結(jié)A3.直線CN分別交。取于點。，E(點。在左側(cè))，

交》軸于點。(17,0),連結(jié)AE.

(1)求0M的半徑和直線CN的函數(shù)表達式.

(2)求點￡的坐標.

(3)點P在線段AC上，連結(jié)/>￡.當/4EP與△OBD的一個內(nèi)角相等時，求所有滿足

條件的0P的長.

專題28圓的綜合探究

1.(2021?湖北隨州市?中考真題)等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法.它是利

用“同一個圖形的面積相等”、“分割圖形后各部分的面積之和等于原圖形的面積”、“同

底等高或等底同高的兩個三角形面積相等”等性質(zhì)解決有關(guān)數(shù)學問題，在解題中，靈活運用

等面積法解決相關(guān)問題，可以使解題思路清晰，解題過程簡便快捷.

(1)在直角三角形中，兩直角邊長分別為3和4,則該直角三角形斜邊上的高的長為,

其內(nèi)切圓的半徑長為;

(2)①如圖1,尸是邊長為“的正6c內(nèi)任意一點，點。為ATWC的中心，設(shè)點P到

△A6C各邊距離分別為4,%,由，連接心，BP,CP,由等面積法，易知

+4+4)=S^ABC=，可得4+為+%=；(結(jié)果用含a的式子表示)

②如圖2,尸是邊長為a的正五邊形ABCDE內(nèi)任意一點，設(shè)點尸到五邊形ABCDE各邊距

離分別為h2,h3,也，h5,參照①的探索過程，試用含a的式子表示4+/4+4+%+%

(3)①如圖3,已知。。的半徑為2,點A為。。外一點，OA=4,AB切0。于點3,

弦BCHOA,連接AC,則圖中陰影部分的面積為；(結(jié)果保留")

②如圖4,現(xiàn)有六邊形花壇ABCDEP,由于修路等原因需將花壇進行改造.若要將花壇形

狀改造成五邊形A3CDG,其中點G在A廠的延長線上，且要保證改造前后花壇的面積不

變，試確定點G的位置，并說明理由.

1?A552

【答案】(1)一,1；(2)①見4；②一。；(3)①一萬；②見解析.

52163

【分析】

(1)根據(jù)等積法解得直角三角形斜邊上的高的長，及利用內(nèi)切圓的性質(zhì)解題即可；

(2)①先求得邊長為”的正的面積，再根據(jù)3。(4+4+4)=54板=35左.解

題即可；②設(shè)點。為正五邊形ABCDE的中心，連接OA,0B,過。作A3于。，

先由正切定義，解得。。的長，由①中結(jié)論知，S五邊形MCDE=5SA。"，繼而得到

ga(hl+h2+h3+4+4)=5xgaxgatan54°,據(jù)此解題;

(3)①由切線性質(zhì)解得/Q45=30。，再由平行線性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)解得

ZCOB=60°,根據(jù)平行線間的距離相等，及同底等高或等底同高的兩個三角形面積相等

的性質(zhì)，可知圖中陰影部分的面積等于扇形0BC的面積，最后根據(jù)扇形面積公式解題；②連

接。尸，過點E作EG〃。尸交A尸的延長線于G點，根據(jù)

S六邊形ABCDEF=S五邊形ABCDF+=S五邊形ABC?G,據(jù)此解題.

【詳解】

解：(1)直角三角形的面積為：-x3x4=6,

2

直角三角形斜邊為：732+42=5-

設(shè)直角三角形斜邊上的高為/Z,則工x5/=6

2

絲

5

設(shè)直角三角形內(nèi)切圓的半徑為廣，則;(3+4+5)=gx3x4

廠.廠=1,

故答案為：—,1;

1

(2)①邊長為a的正5c底邊的高為正面積為：SAOAR=-.a--a=—ci

2A0AB224

+h+h=SS

1->23)^ABC=^^OAB

4+均+用二旦，

一2

故答案為：-^-a;

2

②類比①中方法可知+4+4+/14+〃5)=S五邊形A5CDE，

設(shè)點。為正五邊形ABCD石的中心，連接OA,0B,

由①得§五邊形4BCDE=5s△ORB，

過0作OQLAB于。，ZEAB=1x180°x（5-2）=108°,

故NQAQ=54。，OQ=AQxtan540=^atan54°,

/z+/z+/z+/z+/^-—atan54°^-a.

1234216

(3)①Q(mào)AB是。。的切線,

:.OBLAB

:.ZOBA=90°

?/OB-2.0A=4

:.ZOAB=30°

:.ZAOB=60°

BCHOA

:.ZAOB=ZOBC=60°

QOC=OB

:.ZOBC=ZOCB=60°

.."05=60°

過點。作OQLBC

???BC//OA,

??.OQ是ACOB'AABC的高，

?C-Q

…0AABC一°AOCB

_60x萬r2_60x4乃_2

二3陰影部分=白扇形0BC=一同。—=360=§?

2

故答案為：一兀；

3

②如圖，連接小，過點E作EG〃。方交A方的延長線于G點，則點G即為所求,

連接OG,§六邊形A3CDE/=§五邊形ABCD尸+^DEF，

?；EG//DF，

,?°ADEF-°ADGF'

?V=S_1_V=Q

,?U六邊形ABCDEF-u五邊形ABC。尸于°ADGF一口五邊形A3CDG?

【點睛】

本題考查正多邊形和圓的知識，涉及含30°角的直角三角形、正切、切線的性質(zhì)、扇形面

積公式、平行線的性質(zhì)等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

2.（2021?北京中考真題）在平面直角坐標系xOy中，QO的半徑為1,對于點A和線段BC,

給出如下定義：若將線段繞點A旋轉(zhuǎn)可以得到。。的弦8c（8',。'分別是民。的對

應(yīng)點），則稱線段是OO的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”.

(1)如圖，點A片,。1，82，。2，鳥,。3的橫、縱坐標都是整數(shù).在線段與0,耳。2,83G中，

。。的以點A為中心的''關(guān)聯(lián)線段”是；

(2)AABC是邊長為1的等邊三角形，點A(o,f),其中rwO.若是的以點A為

中心的“關(guān)聯(lián)線段”，求f的值；

(3)在AA5c中，AB=1,AC=2.若是。O的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，直接

寫出OA的最小值和最大值，以及相應(yīng)的長.

【答案】(1)與。2；(2)”土石；(3)當。4min=1時，此時BC=途；當。Anax=2

時，此時

2

【分析】

(1)以點A為圓心，分別以AB1,AC1,,AG,A片,AC3為半徑畫圓，進而觀察是否與。。

有交點即可；

(2)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC'是等邊三角形，且g'C'是OO的弦，進而畫出圖象，則

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可進行求解；

(3)由是OO的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知8',C'都在OO上，且

AB'=AB=1,AC'=AC=2,然后由題意可根據(jù)圖象來進行求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意得：

通過觀察圖象可得：線段32c2能繞點A旋轉(zhuǎn)90°得到OO的“關(guān)聯(lián)線段”，與G，&G都

不能繞點A進行旋轉(zhuǎn)得到；

故答案為^G；

（2）由題意可得：當是。。的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”時，則有△AB'C'是等邊

三角形，且邊長也為1,當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：

設(shè)5'。'與y軸的交點為D,連接。B',易得軸，

B'D=DC=-,

2

?*.OD=yjOB'2-B'D'=—.AD=siAB'2-B'D2=—

22

OA=y/3,

t=/;

當點A在y軸的正半軸上時，如圖所示：

y

同理可得此時的。4=6，

t=--\/3；

（3）由是OO的以點A為中心的“關(guān)聯(lián)線段”，則可知8',C'都在。。上，且

AB'=AB=1,AC'=AC=2,則有當以5'為圓心，1為半徑作圓，然后以點A為圓心，2

為半徑作圓，即可得到點A的運動軌跡，如圖所示：

由運動軌跡可得當點A也在上時為最小，最小值為1,此時AC為OO的直徑,

ZAB'C'=90°^

ZACB'=30°,

ABC=B'C'=AC-cos30。=百；

由以上情況可知當點A3',。三點共線時，0A的值為最大，最大值為2,如圖所示：

連接OC',B'C,過點C'作C'P_L于點P,

OC'=1,AC'=OA=2,

設(shè)OF=x,則有AP=2—x,

，由勾股定理可得：CP2=AC'7-AP-=OC'--OP1-即22—(2—x)2=1—尤2,

解得：x=L

4

3

/.B'P=OB'-OP=-,

4

在RMB'PC中，B'C'=《BP+CP=—,

2

，BC=—；

2

綜上所述：當。4mhi=1時，此時8。=若；當。4max=2時，此時3C=在.

2

【點睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)、三角函數(shù)及等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(2021?四川遂寧市?中考真題)如圖，。。的半徑為1,點A是。。的直徑BD延長線上

的一點，C為。0上的一點，AD=CD,ZA=30°.

(1)求證：直線AC是。。的切線；

(2)求4ABC的面積;

(3)點E在MD上運動(不與B、D重合)，過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點

F.

①當點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；

②當點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長.

【答案】(1)見解析；(2)￡1；(3)①3；②26

4

【分析】

(1)連接0C,利用切線的判定定理，證明0CLAC即可;

(2)要求笈。的面積，結(jié)合(1)題，底邊AB可求，只需再求出底邊上的高CH即可;

(3)①根據(jù)垂徑定理可求CE的長，再利用銳角三角函數(shù)，可求CF的長；

②由①可知，點E在運動過程中，始終有CF=6CE，所以，求出CE的最大值，即可得

到CF的最大值.

【詳解】

(1)證明：連結(jié)0C,如圖所示.

VAD=CD,NA=30°,

???NACD=NA=30°.

???NCDB=60°.

VOD=OC,

.,.Z0CD=Z0DC=60°.

???NAC0=NACD+N0CD=300+60°=90°.

A0C±AC.

?,?直線AC是。0的切線.

(2)過點C作CHJ_AB于點H,如圖所示.

VOD=OC,Z0DC=60°,

???△ODC是等邊三角形.

CD=OD=AD=1,DH=OH=-.

2

在Rt^OCH中，

CH=^JCD2-DH2=1—出=與.

VAB=AD+BD=3,

?CAR「口A6_36

,,SAABC=-AB*CH=-x3x—=^—.

(3)①當點E運動到與點。關(guān)于直徑BD對稱時，如圖所示.

此時，CEXAB,設(shè)垂足為K.

由（2）可知，CK=

2

：BD為圓的直徑，CE±AB,

.?.CE=2CK=73.

VCF±CE,

/.ZECF=90°.

BC=BC，

；.NE=/CDB=60°.

在RIAEFC中，

“CF

?tanNE-,

CE

???CF=CE-tan60°=A/3x73=3.

②如圖所示：

由①可知，在RMEFC中,

CF

***tnnNE-,

CE

???CF=CE-tan60°=V3CE.

當點E在的D上運動時，始終有CF=y/3CE.

...當CE最大時，CF取得最大值.

...當CE為直徑，即CE=2時，CF最大，最大值為2道.

【點睛】

本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、圓周角定理的推論、

銳角三角函數(shù)、求線段的最值等知識點，熟知切線的判定方法、垂徑定理、圓周角定理、銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?浙江中考真題）如圖1,四邊形A6CD內(nèi)接于。。，30為直徑，上存在

點E,滿足AE=C￡),連結(jié)BE并延長交CD的延長線于點F,BE與AD交于點G.

(1)若NDBC=a,請用含a的代數(shù)式表列NAGfi.

(2)如圖2,連結(jié)CECEuBG.求證；EF=DG.

(3)如圖3,在(2)的條件下，連結(jié)CG,AE>=2.

①若tanNADB=，求&FGD的周長.

2

②求CG的最小值.

【答案】(1)ZAGB=9Q°-a-.(2)見解析；(3)①五史：②百

2

【分析】

(1)利用圓周角定理求得44。=90°,再根據(jù)AE=CD，求得NABG=NDBC=a,

即可得到答案；

(2)由NBEC=ZBDC=90°—。，得到ZBEC=ZAGB,從而推出ZCEF=ZBGD,

證得△CFEgABDG(ASA),由此得到結(jié)論；

⑶①連結(jié)。石.利用已知求出A5=3AD=百，證得D4=CE，得到BG=AD=2,

2

利用中，根據(jù)正弦求出NAG3=60°,AG=工5G=1,求出EF的長，再利用

2

RtADEG中,ZEGD=60°,求出EG及DE,再利用勾股定理求出DF即可得到答案；

②過點C作叱于H,證明△BAD也△CHF(A4S),得到"/=AD,證明

ABHC^ACHF,得到等=器，設(shè)GH=X,得到CH?=2(2—X),利用勾股定理

得到CG?=GH2+CH2，求得CG2=x2+2(2—x)=(x—1)2+3,利用函數(shù)的最值解答

即可.

【詳解】

解：(1)；3。為。。的直徑，

ZBAD^9Q0,

AE=CD，

:.ZABG=ZDBC=a,

ZAGfi=90°-a.

(2):呂。為。。的直徑，

ZBCD=9Q°,

：.ZBEC=NBDC=90°—。，

ZBEC=ZAGB,

■：ZCEF=180°-NBEC/BGD=180°-ZAGB,

：.ZCEF=ZBGD.

又'：CE=BG,ZECF=Z.GBD,

ACFE均BDG(ASA),

EF=DG.

(3)①如圖，連結(jié)OE.

BD為。。的直徑，

：.ZA=ZBED=90°.

在RtAAB。中，tanZADB=—，AD=2,

2

AB=—AD=y/3.

2

,?*AE=CD，

AE+DE=CD+DE^

即DA=CE>

AD=CE.

,:CE=BG,

BG=AD=2.

,/在Rt^ABG中，sinZAGB,

BG2

ZAGB=60°,AG=-BG=\,

EF=DG=AD—AG=1.

???在WADEG中，ZEGD=60°,

，EG=-DG=-,DE=~DG=—.

2222

在RfVEED中，DF=y/EF2+DE2=-1

，F(xiàn)G+DG+DF=5+近，

2

.??△FG。的周長為立立.

2

②如圖，過點C作CHL3尸于H.

,:ABDGRCFE,

：.BD=CF,ZCFH=ZBDA.

■:ZBAD=/CHF=9Q。,

：.ABAD^CHF(AAS).

:.FH=AD，

?：AD=BG,

：.FH=BG.

-：ZBCF=90°,

：.ZBCH+ZHCF=90°.

,：ZBCH+ZHBC=90。,

；?ZHCF=ZHBC,

■：ZBHC=ZCHF=90°,

ABHCSACHF，

.BHCH

"CH-

設(shè)GH=x，

BH=2—x,

/.CH2=2(2-%).

在HAGHC中，g=GH°+CH?，

CG2=X2+2(2-X)=(X-1)2+3,

當x=l時，CG?的最小值為3,

；.CG的最小值為

【點睛】

此題考查圓周角的定理，弧、弦和圓心角定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，三角

函數(shù)，相似三角形的判定，函數(shù)的最值問題，是一道綜合的幾何題型，綜合掌握各知識點是

解題的關(guān)鍵.

5.(2021?山東中考真題)如圖1,。為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點，且BQ=CZ).連

接AC并延長，與3。的延長線相交于點E.

圖1圖2圖3

(1)求證：CD=ED；

(2)AZ)與OC,分別交于點F,H.

①若CF=CH,如圖2,求證：CFAF=FOAH；

②若圓的半徑為2,BD=1,如圖3,求AC的值.

7

【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②AC=—

2

【分析】

(1)連接BC,根據(jù)NACB=NBCE=90°,48+/68=90。且8。=°￡),則

ZE=NECD,即可推導(dǎo)出。。=即；

⑵①CF=CH,則ZAEO=NCHF,又BD=CD，^CAD=ZBAD,則

AAFO^AAHC，進而推導(dǎo)出C/-AF=R)AH；

②連接0。交8c于G,設(shè)0G=x,則0G=2—x,根據(jù)在RtZXOGB和RtZiBG。中

列式22-V=F—(2-x)2,進而求得x的值，再根據(jù)中位線定理求出AC的長.

【詳解】

證明：(1)連接8C,

,/AB為直徑

ZACB=ZBCE=90°

ZECD+ZBCD=90°

7BD=CD

：.ZEBC=ZBCD

:./E=NECD

CD=ED.

(2)①:CF=CH

：.ZCFH=ZCHF

又,：ZAFO=NCFH

：.ZAFO^ZCHF

又BD=CD

：.ZCAD^ZBAD

/.AAFO^AAHC

.AF_OF

"AHCH

.AF_OF

：.CFAF=OFAH

②連接0。交于G.

設(shè)0G=x,則DG=2—x

'?*CD=BD

/.NC0D=NB0D

又；0C=0B

：.ODKBC,CG=BG

在RtAOGB和RtABGD中

22-%2=12-(2-X)2

77

x=—即0G=—

44

OA=OB

/.0G是AABC的中位線

/.OG=-AC

2

【點睛】

本題考查了等弧對等角、相似三角形、等腰三角形、中位線等有關(guān)知識點，屬于綜合題型，

借助輔助線是解決這類問題的關(guān)鍵.

6.（2021?浙江臺州市?中考真題）如圖，BD是半徑為3的。。的一條弦，BD=4及，點A

是。0上的一個動點（不與點B,D重合）,以A,B,D為頂點作平行四邊形ABCD.

AA

BD

圖1圖2

（1）如圖2,若點A是劣弧3￡）的中點.

①求證：平行四邊形ABCD是菱形；

②求平行四邊形ABCD的面積.

（2）若點A運動到優(yōu)弧30上，且平行四邊形ABCD有一邊與。0相切.

①求AB的長；

②直接寫出平行四邊形ABCD對角線所夾銳角的正切值.

【答案】①證明見解析；②8&；（2）①AB的長為|a或4在；②:J5

【分析】

（1）①利用等弧所對的弦相等可得4）=43,根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可

得證；②連接A0,交BD于點E,連接0D,根據(jù)垂徑定理可得。石=8后=2后，利用勾股

定理求出0E的長，即可求解；

（2）①分情況討論當CD與。。相切時、當BC與。。相切時，利用垂徑定理即可求解；②

根據(jù)等面積法求出AH的長度，利用勾股定理求出DH的長度，根據(jù)正切的定義即可求解.

【詳解】

解：（1）①：點A是劣弧BO的中點，

AD=AB，

AD=AB,

1/四邊形ABCD是平行四邊形，

平行四邊形ABCD是菱形；

②連接A0,交BD于點E,連接0D,

A

一

丁點A是劣弧BD的中點，0A為半徑，

AOALBD,0A平分BD,

DE=BE=272，

:平行四邊形ABCD是菱形，

，E為兩對角線的交點，

在RtZiODE中，OE=y/ODr-DE2=1.

AE=2,

/.SARCn=—BD-AEx2=8A/2；

(2)①如圖，當CD與。。相切時，連接DO并延長，交AB于點F,

：CD與。。相切，

DFLCD,

:.AB=2BF,

?..四邊形ABCD是平行四邊形,

AB//CD,

DF±AB,

在RtZkBD尸中，BF2=BD2-DF2=32-((9F+3)2,

在RtZlBO尸中，BF?=BO?-OF?=9—OF?，

,7

/.32-(OF+3)-=9-OF2,解得0R=§,

BF=七母,

3

;.AB=2BF=-y/2；

3

如圖，當BC與。。相切時，連接B0并延長，交AD于點G,

4/~7

同理可得AG=OG=—。2,OG=~,

33

所以AB=JBG2+AG2=48，

綜上所述，AB的長為或4&；

②過點人作凡以上應(yīng)），

A

由（2）得：BD=^41,AD=-42,BG=3+-=—,

333

根據(jù)等面積法可得-BDAH=-ADBG,

22

32

解得AH=二，

9

在在中，DH=VAD2-AH2=-72,

9

：.Hl=241--41=—42,

99

AH8n-

tan/AJH=----=—。2.

HI5

【點睛】

本題考查垂徑定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等內(nèi)容，掌握分類討論的思想

是解題的關(guān)鍵.

7.（2021?天津中考真題）已知AABC內(nèi)接于OO,AB=ACN8AC=42。，點D是0。

上一點.

（I）如圖①，若3。為。。的直徑，連接CD,求NDBC和NACO的大?。?/p>

（II）如圖②，若CD//B4,連接AO,過點D作。。的切線，與OC的延長線交于點E,

求NE的大小.

【答案】（I）ZDBC=48°,ZACD=21°；（II）NE=36。.

【分析】

（I）由圓周角定理的推論可知N6CD=90°,ZBDC=ZBAC=42°,即可推出

ZDBC=90°-ABDC=48°；由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出

ZABC=ZACB^69°,從而求出NACD=NBCD—NACB=21°.

（II）連接?！辏?由平行線的性質(zhì)可知NACD=4AC=42°.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可

求出NA￡>C=180°—/45c=111°.再由三角形內(nèi)角和定理可求出NZMC=27°.從而

由圓周角定理求出"OC=2/ZMC=54。.由切線的性質(zhì)可知NODE=90。.即可求出

ZE=90°-ZDOE=36°.

【詳解】

（I）3。為。。的直徑，

ZBCD=90°.

?.?在。。中，ZBDC=ZBAC=42°,

：.ZDBC=90°-ZBDC=48°；

VAB=AC,ABAC=42°,

：.ZABC=ZACB=1(180°-ABAC)=69°.

ZACD=ZBCD-ZACB=21°.

(II)如圖，連接O￡).

1.?CD//BA,

：.ZACD=ZBAC=42°.

?.?四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，ZABC=69°,

：.ZADC=18O0-ZABC=1U°.

：.ZDAC=180°-ZACD-ZADC=27。.

ZDOC=2ZDAC=54°.

DE是OO的切線，

：.DE±OD,即NODE=90°.

：.ZE=900-ZDOE=36°.

【點睛】

本題為圓的綜合題.考查圓周角定理及其推論，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平

行線的性質(zhì)，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及切線的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想以及連接常用的

輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

8.(2021?浙江中考真題)如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于O。，N54c的平分線AG交。。

于點G,交邊于點P,連接BG.

(1)求證：AABGS/\AFC.

(2)已知AC=AF^b,求線段FG的長(用含。，b的代數(shù)式表示).

(3)已知點E在線段AF上(不與點A,點/重合)，點。在線段AE上(不與點A,點、E

重合)，ZABD=NCBE,求證：BG2=GEGD.

【答案】(1)見解析；⑵FG=a—b；(3)見解析

【分析】

(1)由題目已知角平分線相等得到兩個相等，同弧所對的兩個圓周角相等，從而證明兩三角

形相似；

(2)由(1)中的相似可以得到線段成比例，再由尸G=AG—AE即可求得；

(3)要證3G之=GE-GD即證△OGBs/XBGE,已知條件有一對角相等，利用外角關(guān)系

可以證明NB￡)G=N￡BG,從而得證.

【詳解】

(1)因為AG平分N54C,

所以NB4G=NE4C,

又因為NG=NC,

所以△ABGs/iAFC.

,、上，、“ABAG

(2)由(1),知---=----

AFAC

因為AC=A/,

所以AG=A5,

所以尸G=AG—AF=a—b.

（3）因為NC4G=NCBG,

又因為NBAGuNCAG,

所以NBAGn/CBG,

因為/ABD=NCBE,

所以ZBDG=ZBAG+ZABD=NCBG+NCBE=ZEBG，

又因為NDGB=NBGE,

所以△DGBsLBGE,

…GDBG

所以一=—,

BGGE

所以3G2=GEGD.

【點睛】

本題考查了圓的圓周角概念，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點，解題

關(guān)鍵是要根據(jù)已知條件找到相似的兩個三角形并通過角度的轉(zhuǎn)換從而證明相似.

9.（2021?湖北中考真題）如圖，在菱形ABCD中，。是對角線30上一點（60>DO）,

OE±AB,垂足為E,以0E為半徑的。。分別交OC于點”，交石。的延長線于點尸，

EF與DC交于點G.

（1）求證：是。。的切線；

（2）若G是叱的中點，OG=2,DG=1.

①求的長；

②求AD的長.

Q]5

【答案】（1）見解析；（2）①二萬；②二

32

【分析】

（1過點。作OM±BC于點M,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到ZABD=/CBD,證明出aOEB

烏△OMB,得到對應(yīng)邊相等，對應(yīng)邊為圓的半徑，得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得到CD,再由G是"的中點，OG=2,￡>G=1,根據(jù)

sinZGHO=-,推出NGH0=30°,ZGOH=6Q°,NHOE=120°,再由弧長的計算

2

公式得到結(jié)果；

②先由平行相似，得到△ODG~AOBE,對應(yīng)邊成比例求出BE=2DG=2,推出BN=3,

0E=4,DN=6,再由勾股定理求出即可.

【詳解】

(1)證明：如圖，過點。作5c于點V,

V3。是菱形ABC。的對角線，

ZABD=ZCBD,

?/OMVBC,OE1AB,

.?.Z0EB=Z0MB=90°,

VOB=OB,

/.△OEB^AOMB(AAS)

OE-OM,

/.BC是。。的切線.

(2)解:①如圖，

是O9的中點，OF=OH,

：.OG=-OH.

2

VABIICD,OELAB,

：.OFVCD,

...ZOGH=90°,

sinZ.GHO=—,

2

ZGHO=30°,

：.ZGOH=6Q0,

：.NHOE=120°,

；OG=2,

：.OH=4,

120x4xa*X

由弧長公式，得到的長：1=[go=獷

②方法一:如圖，過點。作。N,48于點N,

VAB//CD,

：./\ODG~/\OBE,

?_D__G__O__G___O__G___1

…BE~OE~2OG~2,

/.BE=2DG=2,

,.,DG//NE,DN//GE,ZGEN=900

，四邊形NEGD是矩形，

:.NE=DG=\,BN=3,0E=4,DN=6,

在菱形ABC。中，AD=AB,在RtAADN中，設(shè)AO=A5=x，

Ax2=(X-3)2+62,

15

..x——.

2

方法二：如圖，過A作AN_LB。于點N,

；DG=1，0G=2,0E=0H=4,

L尺

：.0D=5OB=2yj5,DN=-!—，

2

ADOG-ADAN,

DODG

"AD~DN"

…DO-DN

【點睛】

本題考查了圓的切線判定定理、菱形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性

質(zhì)，關(guān)鍵在于熟練掌握證明是圓的切線的方法、菱形的性質(zhì)以及三角形相似的證明與性質(zhì)的

應(yīng)用，特別是菱形的性質(zhì).

10.(2021?四川中考真題)如圖，。。的半徑為1,點A是。0的直徑BD延長線上的一點，

C為。。上的一點，AD=CD,ZA=30°.

(1)求證：直線AC是。。的切線；

(2)求△ABC的面積；

(3)點E在航。上運動(不與B、D重合)，過點C作CE的垂線，與EB的延長線交于點

F.

①當點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，求CF的長；

②當點E運動到什么位置時，CF取到最大值，并求出此時CF的長.

【答案】(1)見解析；(2)空；(3)①3；②2若

4

【分析】

(1)連接0C,利用切線的判定定理，證明OCLAC即可；

(2)要求笈。的面積，結(jié)合(1)題，底邊AB可求，只需再求出底邊上的高CH即可;

(3)①根據(jù)垂徑定理可求CE的長，再利用銳角三角函數(shù)，可求CF的長；

②由①可知，點E在運動過程中，始終有CF=6CE，所以，求出CE的最大值，即可得

到CF的最大值.

【詳解】

(1)證明：連結(jié)0C,如圖所示.

VAD=CD,NA=30°,

AZACD=ZA=30°.

/.ZCDB=60°.

VOD=OC,

/.Z0CD=Z0DC=60°.

???NAC0=NACD+N0CD=300+60°=90°.

???OC_LAC.

???直線AC是。。的切線.

(2)過點C作CHLAB于點H,如圖所示.

V0D=0C,Z0DC=60°,

???△ODC是等邊三角形.

/.CD=OD=AD=1,DH=OH=-

2

:,在RtQCH中，

,.?AB=AD+BD=3,

?。_1_1Q6_373

,,SAABC'A4BR。。"=5X3X5-=2—.

(3)①當點E運動到與點C關(guān)于直徑BD對稱時，如圖所示.

此時，CE±AB,設(shè)垂足為K.

由(2)可知，CK=—.

2

；BD為圓的直徑，CE±AB,

.\CE=2CK=V3.

VCF±CE,

.?.ZECF=90°.

BC=BC，

.?.ZE=ZCDB=60°.

在RtAEFC中，

CF

VtanZE=-----,

CE

CF=CE-tan60°=V3x^=3.

②如圖所示：

由①可知，在RMEFC中,

CF

VtanZE=----,

CE

???CF=CE-tan60°二^CE.

c

，當點E在膿D上運動時，始終有CF=RE.

...當CE最大時，CF取得最大值.

...當CE為直徑，即CE=2時，CF最大，最大值為2g.

【點睛】

本題考查了圓的切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、垂徑定理、圓周角定理的推論、

銳角三角函數(shù)、求線段的最值等知識點，熟知切線的判定方法、垂徑定理、圓周角定理、銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

11.(2021?四川中考真題)如圖，點