2025年高考數(shù)學復習之復數(shù)

2025年高考數(shù)學復習新題速遞之復

選擇題（共8小題）

1.（2024?賓川縣校級開學）若€=1-K則z的虛部為（

）

Z

A.-3B.3C.3/D.-3/

2.（2024?西吉縣校級開學）已知復數(shù)z=3+4i,i為虛數(shù)單位，則z的共軌復數(shù)5=（）

A.3-4zB.4+3iC.4-3zD.-3+4z

3.（2024?曹縣開學）若復數(shù)z滿足z=9j,則|z|=（）

V21V2V5

A.—B.-C.—D.—

10555

4.（2024?河南模擬）若z=2-i—宗。ER）且|z|=l,則x取值的集合為（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{1,3}

5.（2024秋?安徽月考）若0=上，貝眩=（）

z+12

A.2+3iB.2-3zC.3+2zD.3-2z

6.（2024?邢臺開學）設(shè)復數(shù)z=11r則2z—2=（）

A.1-3iB.3-zC.1-zD.3+i

7.（2024?浙江開學）己知復數(shù)z滿足5z+32=8—2i,則|z|=（）

A.1B.2C.V2D.2V2

2z-l

8.（2024?桂平市開學）若----=1+i,則z=（）

z

11111111

A.--不iB.-+7TiC.一+一iD.———i

22222222

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2024?信都區(qū)校級開學）關(guān)于復數(shù)的命題正確的有（）

A.若復數(shù)Z1>Z2,則Z1,Z2GR

B.若復數(shù)2=川-1+（m+1），為純虛數(shù)，則加=±1

C.若ziz2=0,貝！Jz2=0或zi=0

D.若|zi|=|z2|,則

（多選）10.（2024?望城區(qū)校級開學）已知復數(shù)zi的虛部與Z2的實部均為2,則下列說法正確的是（

A.zi是虛數(shù)

B.若0|=閡=2,則ZI=Z2

C.若Z1=z7，則zi與Z2對應(yīng)的點關(guān)于無軸對稱

D.若Z1?Z2是純虛數(shù)，則|Z1|=|Z2|

（多選）11.（2024?七星區(qū)校級模擬）已知a,b&R,z是純虛數(shù)，2為z的共軌復數(shù)，且a-3z=（-3-z）

i（i為虛數(shù)單位），貝（I（）

A.a=1,z-z=1

B.b+z=b—z

C.|Z|=|卷）2|

D.z是方程x2-（b+i）]+萬=0的一個根

（多選）12.（2024秋?開福區(qū)校級月考）已知zi,Z2,為復數(shù)，則下列說法正確的是（）

A.看"1=

B.若Z1+Z2表示Z1+Z2的共治復數(shù),則Zi+Z2=F+藥

C.若ziz2=0,貝lJzi=0或z2=0

D.若z￡+z/=0,則zi=z2=0

三.填空題（共4小題）

13.（2024秋?五華區(qū)校級月考）若復數(shù)z=2（l+s譏。-絲|亞）+is譏火0V0V7T）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位

于直線>=無上，則A的最大值為.

14.（2024?西城區(qū)校級開學）若z（1+力=23則|z|=.

15.（2024春?青浦區(qū)校級月考）復數(shù)z=（1-3/）2在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第象限.

16.（2023秋?固始縣校級月考）若復數(shù)z滿足（l+2iAz=3+4i（其中i是虛數(shù)單位），則復數(shù)z的共輾復數(shù)

Z=.

四.解答題（共4小題）

17.（2024秋?雨花區(qū)校級月考）如圖，點Z（a,b）,復數(shù)z=a+歷,（a,6eR）可用點Z（a,b'）表示，這

個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點

都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯

一的一個點和它對應(yīng)，反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應(yīng).一般地，任何一個

復數(shù)z=a+6i都可以表示成r（cosO+isin。）的形式，即其中r為復數(shù)z的模，。叫做復數(shù)z

（力=rsinO,

->

的輻角（以x非負半軸為始邊，0Z所在射線為終邊的角），我們規(guī)定040〈2n范圍內(nèi)的輻角8的值為

輻角的主值，記作argz.r（cos6+zsin0）叫做復數(shù)z=a+bi的三角形式.復數(shù)三角形式的乘法公式：n

(cos6i+zsin0i)*r2(cos02+ZsinO2)=nr2[cos(01+02)+isin(01+02)].

棣莫佛提出了公式：[r(cos0+zsin0)F=d(cosM0+zsinn0),其中廠＞0,幾WN*.

(1)已知z=*+亭w=￥+*i,求zw+z/的三角形式；

(2)已知Bo為定值，O<8o《m將復數(shù)l+cosBo+isinOo化為三角形式；

(3)設(shè)復平面上單位圓內(nèi)接正二十邊形的20個頂點對應(yīng)的復數(shù)依次為Zl,Z2,…，Z20,求復數(shù)贊°24,

z/°24,…，z第24所對應(yīng)不同點的個數(shù).

yf

b.......................1

Z:a+bi：

??

O---------------ax

18.(2024春?廣西月考)(1)已知：復數(shù)z=(l+i)2+呂，其中，為虛數(shù)單位，求z及團；

(2)若關(guān)于x的一元二次方程/+蛆+"=0的一個根是1+近3其中m，〃eR,i是虛數(shù)單位，求“Z-

n的值.

19.(2024春?武功縣校級期中)已知復數(shù)z滿足2+2i=(z-1)(1-/)(，是虛數(shù)單位).

(1)求團;

(2)若復數(shù)z2-52+a2-2az在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，求實數(shù)。的取值范圍.

20.(2024春?福州期末)已知復數(shù)z滿足z+2=2,z—z=4i.

(1)求|3+2|；

10TT

(2)設(shè)復數(shù)z2,z+2z,一在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A,B,C,求cos〈4B,BO.

2025年高考數(shù)學復習新題速遞之復數(shù)（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

若g=lT，則z的虛部為（

1.（2024?賓川縣校級開學）

A.-3B.3C.3,D.-3/

【考點】復數(shù)的除法運算；復數(shù)的實部與虛部.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】B

【分析】先利用除法運算化簡復數(shù)，然后根據(jù)虛部的概念求解即可.

【解答】解：因為￡=1-i,

Z

所以z=9=(1-0C1+0=3+3i,

所以z的虛部為3.

故選：B.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024?西吉縣校級開學）已知復數(shù)z=3+4i,i為虛數(shù)單位，則z的共輾復數(shù)2=（）

A.3-4/B.4+3iC.4-3iD.-3+4z

【考點】共軌復數(shù).

【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】利用共軌復數(shù)的定義求解即可.

【解答】解：：z=3+4i,.?.2=3-4i.

故選：A.

【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

（?曹縣開學）若復數(shù)滿足=犯，則（）

3.2024z2|z|=

A.返1V5

B.-cWD.一

10555

【考點】復數(shù)的除法運算；復數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】首先根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，再代入模的公式，即可求解.

【解答】解：由題知，z=^職二點=呆=看一工

（3十L八5-I）1U3D

所以團=J條+-=*

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024?河南模擬）若z=2—i—貂QCR）且|z|=l,則x取值的集合為（）

A.{2}B.{3}C.{3,7}D.{113}

【考點】復數(shù)的混合運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)z,根據(jù)|z|=l得方程，求解即得.

【解答】解：由z=2T—巖=（2—i）（2彳廠（x+i）=（5,；尸,

且|z|=l,得-忙上1=1,即=1,

可得（5-x）?+l=5,解得：x=3或7.

取值的集合為{3,7}.

故選：C.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

5.（2024秋?安徽月考）若H=貝眩=（）

z+12

A.2+3iB.2-3iC.3+2/D.3-2z

【考點】復數(shù)的運算；共物復數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】D

【分析】利用待定系數(shù)法，結(jié)合復數(shù)相等的充要條件可得{;￡二：；：，即可求解.

【解答】解：設(shè)復數(shù)z=〃+Z?i（〃，/?eR）,則5=a—bi.

「rZ-2I

因為?。?二，

z+12

-一,ct+bi—2i,

所以---;—=故r2〃-4+2Z?/=Z?+（〃+1）i,

a-bi+12

整理得度工普

所以a=3,b=2,所以z=3+2i,

所以2=3—2i.

故選：D.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

6.(2024?邢臺開學)設(shè)復數(shù)z=告，則2z—2=()

A.1-3iB.3-zC.1-zD.3+i

【考點】復數(shù)的除法運算；共輾復數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】A

【分析】根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡z,即可得到其共軌復數(shù)，最后根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的加減運

算法則計算可得.

【解答】解：因為2=占=石羽'=1一＞貝吃=l+i,

所以2z—z=2(1—i)—(1+i)=1—3i.

故選：A.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及共軌復數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.(2024?浙江開學)已知復數(shù)z滿足5z+32=8-2i,貝！J|z|=()

A.1B.2C.V2D.2V2

【考點】復數(shù)的模.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】C

【分析】設(shè)z=a+4(a&R,beR),由5z+32=8—2i,根據(jù)復數(shù)相等求出z,再利用復數(shù)模的計算公

式求出|z|.

【解答】解：設(shè)z=a+6i(aeR,6eR),則2=a—bGR),

由5z+32=8—2i,則5(a+bi)+3(a-bi)=8-2i,

化簡得8〃+2瓦=8-2z,

貝叱二82,解得仁二,

則Z=1-。

所以|z|=J12+(—1)2=&.

故選：C.

【點評】本題主要考查復數(shù)相等的條件，以及復數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

2z-l

8.(2024?桂平市開學)若----=1+3則z=()

z

1III1111

A.一5-iB.—+C.—+—iD.———i

22222222

【考點】復數(shù)的混合運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】c

【分析】利用復數(shù)乘法和除法法則計算出答案.

2z-l

【解答］解：----=l+i=>2z-l=z+zi=>z(l-i)=1,

z

I，；11+i11.

"Zz=口=(l-0(l+0=2+2l-

故選：c.

【點評】本題主要考查復數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題(共4小題)

(多選)9.(2024?信都區(qū)校級開學)關(guān)于復數(shù)的命題正確的有()

A.若復數(shù)zi>z2,則zi,Z2GR

B.若復數(shù)Z=?J2-I+(m+1)z?為純虛數(shù),則機=±1

C.若ziz2=0,則z2=0或zi=0

D.若|zi|=|z2|,則燹=z：

【考點】復數(shù)的混合運算.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】AC

【分析】根據(jù)復數(shù)的分類即可判斷AB,根據(jù)復數(shù)的乘法和模長的計算可判斷C,根據(jù)模長公式和復數(shù)

的乘方即可判斷D.

【解答】解：由復數(shù)定義可知，若復數(shù)zi>z2,這兩個復數(shù)能比大小，則zi,Z26R,故A正確；

若復數(shù)z=M-i+。"+1)i為純虛數(shù)，則，爪2-1=。，解得加=1,故B錯誤；

若Z1Z2=O,則有|Z1Z2|=|Z1||Z2|=O,即|zi|=0或|Z2|=O,所以Z2=0或Zl=0,故。正確;

若|zi|=|z2|,則=z：不一定成立，比如Zi=l-i/z2-V2i,

滿足%|=%|=或,但毅=-2i,zl--2,不滿足z￡=z*,故。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查復數(shù)的混合運算，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

（多選）10.（2024?望城區(qū)校級開學）已知復數(shù)zi的虛部與Z2的實部均為2,則下列說法正確的是（）

A.zi是虛數(shù)

B.若團|=0|=2,則ZI=Z2

C.若Z]=藥，則Z1與Z2對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱

D.若ZJZ2是純虛數(shù)，則|zl|=|z2|

【考點】復數(shù)的實部與虛部；純虛數(shù)；復數(shù)的模.

【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】ABD

【分析】借助虛數(shù)定義可得4借助模長公式計算即可得2;借助共輾復數(shù)定義與復數(shù)的幾何意義可得

C；借助復數(shù)的乘法運算與純虛數(shù)定義及模長定義即可得D

【解答】解；可設(shè)復數(shù)zi=a+2i（a€R）,z2=2+bi（Z?￡R）

A選項：根據(jù)虛數(shù)定義可知A正確；

8選項：|ZI|=|Z2|=2,所以。2+4=廿+4=4,則。=匕=0,

所以21=萬，Z2=2,所以Z1WZ2,故8不正確；

C選項：若Zi=&,所以a+2i=2-6i,所以。=2,b=-2,

所以zi,Z2對應(yīng)的點分別為（2,2）和（2,-2）,則關(guān)于x軸對稱，故C正確；

D選項：因為zi?z2=（a+2i）（2+應(yīng)）=2。-26+（2a+2b）i,

且zi?z2是純虛數(shù)，所以。=6,所以zi=2+2i,z2=2+2i,則zi=z2,

所以|Z1|=|Z2|,故。正確.

故選：ABD.

【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，考查復數(shù)模的求法，是中檔題.

（多選）11.（2024?七星區(qū)校級模擬）已知a,66R,z是純虛數(shù)，2為z的共朝復數(shù)，且a-3z=（-3-z）

i（i為虛數(shù)單位），貝！I（）

A.a=l,z，z=l

B.b+z=b—z

D.z是方程x2-(Z?+i)x+bi=O的一個根

【考點】復數(shù)的混合運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】ACD

【分析】先由已知條件求出純虛數(shù)z,然后利用復數(shù)的四則運算及模的運算判斷AC,利用共軌的概念

判斷b利用復數(shù)相等驗證方程的根判斷D

===

【解答】解：由題意設(shè)ztif因為a-3z=(-3-z)i,所以〃-3ti(-3-tDit~3i,所以a=t

=1,

所以z=i,z-z=ix(-i)=1,故A正確；

對于bb+i=b—i,b—z=b+i,所以b+zWb—5,故3錯誤；

對于C,|Z|=「|=1,|(軍)2|=|(旨)2|=|(_i)2|=|_l|=l,所以|Z|=|(|希)2],故C正確；

對于D,因為z2-(b+i)Xi+bi=-1-bi-(-1)+6=0,

所以z是方程x2-(b+i)x+6i=0的一個根，故￡)正確.

故選：ACD.

【點評】本題考查復數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

(多選)12.(2024秋?開福區(qū)校級月考)已知zi,Z2,為復數(shù)，則下列說法正確的是()

A.Z7-Zi=%|2

B.若Z1+Z2表示Z1+Z2的共軍厄復數(shù)，則Z1+Z2=五+W

C.若Z1Z2=O,則Z1=O或Z2=O

D.若z￡+z/=0,則zi=z2=0

【考點】復數(shù)的運算.

【專題】方程思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】ABC

【分析】設(shè)zi=a+瓦，Z2=c+di(a,b,c,AR),根據(jù)復數(shù)的運算法則，準確運算，即可求解.

【解答】解：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,dE.R),

對于A中，由刈?Zi=(a+bi)(a—bi)=a?+廿=憶1|2,所以A正確；

對于8中，因為z1+Z2=(a+c)—(6+d)i,無+&=(a+c)-(6+d)i,

所以石下至=痣+與，所以2正確；

對于C中，由ziz2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

若ziz2=0,可得二?d=?,可得q=b=o或c=d=o,所以C正確；

lad4-DC=0

對于。中，取zi=l,z2=i,可得燹+z：=1-1=0,所以。錯誤.

故選：ABC.

【點評】本題考查復數(shù)運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

三.填空題（共4小題）

13.（2024秋?五華區(qū)校級月考）若復數(shù)z=4（l+s譏。-寫2）+匕出火0〈。〈兀）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位

于直線>=無上，則）的最大值為-1_.

【考點】復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；三角函數(shù)的求值；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】V2-1.

【分析】根據(jù)題意得出入（l+sin。-也羅）=sinB,利用sin。表示入，求）的最大值即可.

【解答】解：因為復數(shù)z=X（l+sine-與亞）+isine（0<e<7t）在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于直線y=x上，

所以入（］+sine-co;2B）=$苗。，

因為0<）<m所以為缶（0,1］；

所以l+2sin8+2sin20>l,

所以入=-----~2-=--------------<,2=-^―=V2-1,

l+2sin0+2s譏2。^+2+2sin02工?2sin0+2/+1

sinfJ

當且僅當.c=2sin8,即sin9=亍，即8=］或—時取"=

sindZ44

所以人的最大值為&-1.

故答案為：V2-1.

【點評】本題考查了復數(shù)的定義與運算問題，也考查了三角函數(shù)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

14.（2024?西城區(qū)校級開學）若z（1+z）=23則|才=_/_.

【考點】復數(shù)的運算；復數(shù)的模.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】V2.

【分析】把已知等式變形，利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復數(shù)模的計算公式求解.

_2+2i_2+2i

【解答】解：由z（1+z）=2i,得z=/?=1+K

(l+0(l-i)IT

|z|=Vl2+I2=V2.

故答案為：V2.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.

15.（2024春?青浦區(qū)校級月考）復數(shù)z=（1-302在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.

【考點】復數(shù)對應(yīng)復平面中的點.

【專題】對應(yīng)思想；定義法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】三.

【分析】由復數(shù)的乘法運算和復數(shù)的幾何意義求解.

【解答】解：：z=（1-3z）2=1-6Z+9Z2=-8-6i,

，對應(yīng)復平面內(nèi)的點為（-8,-6）,位于第三象限.

故答案為：三.

【點評】本題考查復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.

16.（2023秋?固始縣校級月考）若復數(shù)z滿足（l+2i）?z=3+4i（其中，是虛數(shù)單位），則復數(shù)z的共輾復數(shù)

_112

z="+~i.

55

【考點】復數(shù)的除法運算；共輾復數(shù).

【專題】對應(yīng)思想；分析法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

112

【答案】事+1

【分析】根據(jù)復數(shù)的四則運算進行化簡，再寫出其共輾復數(shù)即可.

【解答】解：由（l+2i）?z=3+4i,得z=瑞=卷瓠;二2=葺_林，2=甘+秋

,112

故答案為：—+-i.

【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

四.解答題（共4小題）

17.（2024秋?雨花區(qū)校級月考）如圖，點Z",6）,復數(shù)z=a+6i（a,bER）可用點Z（a,b）表示，這

個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，龍軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.顯然，實軸上的點

都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).按照這種表示方法，每一個復數(shù)，有復平面內(nèi)唯

一的一個點和它對應(yīng)，反過來，復平面內(nèi)的每一個點，有唯一的一個復數(shù)和它對應(yīng).一般地，任何一個

復數(shù)z=a+6i都可以表示成r（cosO+isin。）的形式，即［=穴"。，其中廠為復數(shù)z的模，9叫做復數(shù)z

vb=rsinO,

->

的輻角(以%非負半軸為始邊，0Z所在射線為終邊的角)，我們規(guī)定0《。<2冗范圍內(nèi)的輻角e的值為

輻角的主值，記作argz.r(cos6+zsin0)叫做復數(shù)z=a+bi的三角形式.復數(shù)三角形式的乘法公式：n

(cos0i+zsin0i)*r2(cos02+zsin02)=nr2[cos(01+02)+isin(01+02)].

棣莫佛提出了公式：[r(cos0+zsin0)]幾=/(cosn0+zsinn0),其中9>0,nGN*.

(1)已知z=*+字〃w=￥+求zw+zM的三角形式；

(2)已知Bo為定值，O<0o<7i,將復數(shù)l+cosBo+isinGo化為三角形式；

(3)設(shè)復平面上單位圓內(nèi)接正二十邊形的20個頂點對應(yīng)的復數(shù)依次為Zl,Z2,Z20,求復數(shù)貧。24,

Z把24,…，Z紹24所對應(yīng)不同點的個數(shù).

y八

b.......]

Z:a+bi!

??

O----------a---x

【考點】復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式互化.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】(1)V2(cos+isin-^)；

(2)2cos?(cos?+is譏鄲；

(3)5.

【分析】⑴把已知z=>畀w=￥+孝E代入ZW+-3求解即可;

(2)利用復數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化求解即可；

27f

(3)正二十邊形每邊所對的中心角為一，設(shè)zi=cose+isine(9為常數(shù))，進一步求解即可.

20

【解答】解：(1)zw+zw3=zw(l+w2)=+孚D(孝+孝0(1+0

—V2(-+*i)=V2(cos+isin~^);

2

(2)1+COSQQ+isin30=2cos+Hsin^-cos^-=2cos?(cos?+isin

27f

(3)正二十邊形每邊所對的中心角為一，設(shè)zi=cos6+isin。(。為常數(shù))，

則Z/c=(cosB+is譏8)[cos"Bo1"+，譏"kzo1"]，k=1,2,…，20,

所以履°24=(COS20246+is譏20248)(cos2024-第+isin2024■|^)k-1

=(cos20246+is譏20248)(cos爭+isin^)k-1,

由周期性可知，Z四24共有5個不同的值，

故復數(shù)者。24,z把24,…，Z碧24所對應(yīng)不同點的個數(shù)為5.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式與三角形式的互化，考查運算求解能力，是中檔題.

18.(2024春?廣西月考)(1)已知：復數(shù)z=(l+i)2+臺，其中i為虛數(shù)單位，求z及團：

(2)若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx+"=0的一個根是1+其中，w,"CR,i是虛數(shù)單位，求m-

n的值.

【考點】復數(shù)的模；實系數(shù)多項式虛根成對定理.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】(1)z=-l+3z,|z|=V10；

(2)m-n--5.

【分析】(1)利用復數(shù)的加減乘除運算法則化簡復數(shù)即得2=-l+3f,計算出其模長；

(2)根據(jù)實系數(shù)的一元二次方程的根的特征，判斷方程有另一根1-利用韋達定理即可求得.

【解答】解：(1)由2=(1+。？+=2t+=2t+i(l+i)=-1+3i,

-LCI-1-I-JIJ-II-j

則|z|=I-1+34=VTo；

(2)由x的一元二次方程/+〃a+"=0的一個根是1+且羽，”eR,可知該方程還有另一個根為

1-V2J.

由韋達定理，l+V^i+l—&i=2=-m,(1+V2i)(l-V2i)=1—(V2i)2=3=幾，

故得m--2,”=3,m-n--5.

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

19.(2024春?武功縣校級期中)已知復數(shù)z滿足2+2i=(z-1)(1-z)(，是虛數(shù)單位).

(1)求|z|；

(2)若復數(shù)z2-52+a2-2az在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，求實數(shù)。的取值范圍.

【考點】共軌復數(shù)；復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；邏輯推理；數(shù)學運算.

【答案】(1)V5；(2)(p4).

【分析】(1)根據(jù)復數(shù)的除法計算法則和模的運算公式求解即可;

(2)根據(jù)復數(shù)乘法計算法則和在復平面對應(yīng)點的特征求解即可.

【解答】解：(1)由2+2i=(z-1)(1-z),

7

得z…胖…湍樂1+23

所以|z|=V12+22=V5,

(2)因為z=l+2i,

所以z?—5z+a2-2az=(z—a)2—5z=(1+2i—a)2—5(1—2i)

—(1+2Z)2-2。(l+2z)+/-5+101=(a?-2a~8)+2(7-2a)i.

因為該復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限,

02_2d_8<0,7

所以解得5<4,

7-2a<0

所以實數(shù)。的取值范圍為8，4).

【點評】本題考查的知識點：復數(shù)的運算，復數(shù)的幾何意義，主要考查學生的運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.(2024春?福州期末)已知復數(shù)z滿足z+2=2,z-z=4i.

(1)求|3+2|；

10TT

(2)設(shè)復數(shù)z2,z+22,一在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為A,B,C,求cosIB,BO.

z

【考點】共軌復數(shù)；復數(shù)的運算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴充和復數(shù)；數(shù)學運算.

【答案】(1)2V5；

3V10

(2)----.

10

【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合共輾復數(shù)的定義，復數(shù)模公式，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的四則運算，復數(shù)的幾何意義，求出A,B,C,再結(jié)合向量的夾角公式，

即可求解.

【解答】解：(1)復數(shù)z滿足z+2=2,z-z=4-i.

所以z=l+2i,

所以2=1-21,

故|3+2|=|4-2i|=V16+4=2小；

(2)由(1)得z2=(1+2i)(l-2i)=1-4i2=5,

則A(5,0),

z+22=1+2i+2—4i=3—2i,則B(3,-2),

101010(l-2i)

=2—43則C(2,-4),

zl+2i5

—>—>

所以ZB=(-2,-2),BC=c-1,-2),.

6_3/10

故cosV4^,品>=”遠

-

\AB\\BC\272x7510

【點評】本題主要考查復數(shù)的四則運算，以及復數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

考點卡片

1.復數(shù)的實部與虛部

【知識點的認識】

i是數(shù)學中的虛數(shù)單位，於=-1,所以i是-1的平方根.我們把a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，把。=0且bWO的

數(shù)叫做純虛數(shù)，aWO,且6=0叫做實數(shù).復數(shù)的模為&12+爐.形如。+歷beR)的數(shù)叫復數(shù)，其中

a,6分別是它的實部和虛部.

【解題方法點撥】

-分解復數(shù)：通過給定的復數(shù)表達式，提取實部和虛部.

-應(yīng)用：在復數(shù)運算中，分開處理實部和虛部，簡化計算過程.

【命題方向】

-實部與虛部的提?。嚎疾槿绾螐膹蛿?shù)表達式中提取實部和虛部.

-實部虛部的運算：如何利用實部和虛部進行復數(shù)運算和解決問題.

若復數(shù)z=/-3+2出的實部與虛部互為相反數(shù)，則實數(shù)a=.

解：若復數(shù)z=G-3+2ai的實部與虛部互為相反數(shù)，

貝！I/-3+2a=0,解得：a=-3或a=l,

故答案為：-3或1.

2.純虛數(shù)

【知識點的認識】

形如a+bi(a,beR)的數(shù)叫做復數(shù)，a,6分別叫做它的實部和虛部，當a=0,6W0時，叫做純虛數(shù).

純虛數(shù)也可以理解為非零實數(shù)與虛數(shù)單位i相乘得到的結(jié)果.

【解題方法點撥】

復數(shù)與復平面上的點是一一對飲的，這為形與數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)化提供了一條重要思路.要完整理解復數(shù)為

純虛數(shù)的等價條件，復數(shù)z=a+6i(a,bER)為純虛數(shù)的充要條件是a=0,b/O.

實數(shù)集和虛數(shù)集的并集是全體復數(shù)集.虛數(shù)中包含純虛數(shù)，即由純虛數(shù)構(gòu)成的集合可以看成是虛數(shù)集的一

個真子集.

【命題方向】

純虛數(shù)在考察題型上主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn).試題難度不大，多為低檔題，是歷年高考的熱點，

考察學生的基本運算能力.常見的命題角度有：(1)復數(shù)的概念；(2)復數(shù)的模；(3)復數(shù)相等的四則運

算；(4)復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點.

3.復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【知識點的認識】

1、復數(shù)的代數(shù)表示法

建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面.在復平面內(nèi)，無軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單

位是1,y軸的單位是i,實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點(0,0),對應(yīng)復數(shù)0.即復數(shù)z=a+bi-復

平面內(nèi)的點z(a,b)-平面向量蒞.

2、除了復數(shù)與復平面內(nèi)的點和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：

(1)\z\=\z-0|=a(a>0)表示復數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離為a；

(2)|z-zo|表示復數(shù)z對應(yīng)的點與復數(shù)zO對應(yīng)的點之間的距離.

3、復數(shù)中的解題策略：

(1)證明復數(shù)是實數(shù)的策略：

①z=a+b^eR=b=O(a,bGR)；②z€Ro2=z.

(2)證明復數(shù)是純虛數(shù)的策略：

①z=a+①為純虛數(shù)=。=0,b于。(a,Z?GR)；

②6W0時，z-2=2bi為純虛數(shù)；③z是純虛數(shù)=z+2=0且zWO.

4.復數(shù)對應(yīng)復平面中的點

【知識點的認識】

1、復數(shù)的代數(shù)表示法

建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面.在復平面內(nèi)，尤軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位

是1,y軸的單位是i,實軸與虛軸的交點叫做原點，且原點(0,0),對應(yīng)復數(shù)0.即復數(shù)z=a+6i-復平

面內(nèi)的點z(a,b)-平面向量法.

2、除了復數(shù)與復平面內(nèi)的點和向量的一一對應(yīng)關(guān)系外，還要注意：

(1)|z|=|z-0|=a(cz>0)表示復數(shù)z對應(yīng)的點到原點的距離為a；

(2)|z-zo|表示復數(shù)z對應(yīng)的點與復數(shù)z0對應(yīng)的點之間的距離.

【解題方法點撥】

-點的表示：將復數(shù)。+歷作為復平面上的點(a,b)進行圖示.

-幾何運算：利用復平面上的點進行幾何運算和分析.

【命題方向】

-復平面的幾何表示：考查復數(shù)在復平面中的點表示及其幾何意義.

-復數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復平面中使用復數(shù)解決幾何問題.

5.共朝復數(shù)

【知識點的認識】

實部相等而虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)，叫做互為共輾復數(shù).如2+3i與2-3i互為共輾復數(shù)，用數(shù)學語言

來表示即：復數(shù)Z=a+bi的共軌復數(shù)2=A-bi.

【解題方法點撥】

共