人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第二章 直線(xiàn)和圓的方程章末復(fù)習(xí)課

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE1章末復(fù)習(xí)課〖網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建〗〖核心歸納〗1.直線(xiàn)的傾斜角與斜率(1)直線(xiàn)的傾斜角α的范圍是0°≤α<180°.(2)斜率keq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(存在，α≠90°，,不存在，α＝90°.))(3)斜率的求法：①依據(jù)傾斜角；②依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)；③依據(jù)直線(xiàn)方程.2.直線(xiàn)方程的幾種形式的轉(zhuǎn)化3.兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系設(shè)l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時(shí)為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時(shí)為0)，則(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0；(2)相交?A1B2－A2B1≠0；(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0).4.距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式.已知點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.①點(diǎn)P(x0，y0)到直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；②兩平行直線(xiàn)l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同時(shí)為0，C1≠C2)的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).5.圓的方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中圓心是C(a，b)，半徑長(zhǎng)是r.特別地，圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋y2＝r2.圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).(2)由于圓的方程均含有三個(gè)參變量(a，b，r或D，E，F(xiàn))，而確定這三個(gè)參數(shù)必須有三個(gè)獨(dú)立的條件，因此，三個(gè)獨(dú)立的條件可以確定一個(gè)圓.(3)求圓的方程常用待定系數(shù)法，此時(shí)要善于根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇圓的方程.如果已知圓心或半徑長(zhǎng)，或圓心到直線(xiàn)的距離，通?？捎脠A的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知圓經(jīng)過(guò)某些點(diǎn)，通?？捎脠A的一般方程.6.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有三種：相交、相離、相切，其判斷方法有兩種：代數(shù)法(通過(guò)解直線(xiàn)方程與圓的方程組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷)、幾何法(由圓心到直線(xiàn)的距離d與半徑長(zhǎng)r的大小關(guān)系來(lái)判斷).(1)當(dāng)直線(xiàn)與圓相離時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為d＋r，最小距離為d－r，其中d為圓心到直線(xiàn)的距離.(2)當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)，圓的半徑長(zhǎng)、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng).(3)當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，經(jīng)常涉及圓的切線(xiàn).①若切線(xiàn)所過(guò)點(diǎn)(x0，y0)在圓x2＋y2＝r2上，則切線(xiàn)方程為x0x＋y0y＝r2；若點(diǎn)(x0，y0)在圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，則切線(xiàn)方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.②若切線(xiàn)所過(guò)點(diǎn)(x0，y0)在圓外，則切線(xiàn)有兩條.此時(shí)解題時(shí)若用到直線(xiàn)的斜率，則要注意斜率不存在的情況也可能符合題意.(4)過(guò)直線(xiàn)l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)與圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點(diǎn)的圓系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系數(shù).7.圓與圓的位置關(guān)系兩個(gè)不相等的圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其判斷方法有兩種：代數(shù)法(通過(guò)解兩圓的方程組成的方程組，根據(jù)解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷)、幾何法(由兩圓的圓心距d與半徑長(zhǎng)r，R的大小關(guān)系來(lái)判斷).(1)求相交兩圓的弦長(zhǎng)時(shí)，可先求出兩圓公共弦所在直線(xiàn)的方程，再利用直線(xiàn)與圓相交的幾何性質(zhì)和勾股定理來(lái)求弦長(zhǎng).(2)過(guò)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交點(diǎn)的直線(xiàn)方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.要點(diǎn)一直線(xiàn)方程的求法及應(yīng)用求直線(xiàn)方程的一種重要方法就是待定系數(shù)法.運(yùn)用此方法，要注意各種形式的方程的適用條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程的形式至關(guān)重要.〖例1〗在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(0，1)，B(3，2).(1)若C點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，求AB邊上的高所在的直線(xiàn)方程；(2)若點(diǎn)M(1，1)為邊AC的中點(diǎn)，求邊BC所在的直線(xiàn)方程.解(1)∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝eq\f(2－1,3－0)＝eq\f(1,3)，由垂直關(guān)系可得AB邊上的高所在的直線(xiàn)的斜率為k＝－3，∴AB邊上的高所在直線(xiàn)方程為y－0＝－3(x－1)，化為一般式可得3x＋y－3＝0.(2)∵M(jìn)(1，1)為AC的中點(diǎn)，A(0，1)，∴C(2，1)，∴kBC＝eq\f(2－1,3－2)＝1，∴邊BC所在直線(xiàn)方程為y－1＝x－2，化為一般式可得x－y－1＝0.〖訓(xùn)練1〗已知△ABC的頂點(diǎn)A(6，1)，AB邊上的中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)方程2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線(xiàn)方程為x－2y－5＝0.求：(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)BC的方程.解(1)由題意知AC邊上的高所在直線(xiàn)斜率為eq\f(1,2)，故AC邊所在的直線(xiàn)的斜率為－2，則它的方程為y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－13＝0，,2x－y－5＝0，))求得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(9,2)，,y＝4，))故點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)，4)).(2)設(shè)B(m，n)，則Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋6,2)，\f(n＋1,2))).把M的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程2x－y－5＝0，把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線(xiàn)方程x－2y－5＝0，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\f(m＋6,2)－\f(n＋1,2)－5＝0，,m－2n－5＝0，))求得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(7,3)，,n＝－\f(11,3)，))故點(diǎn)Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(11,3))).再用兩點(diǎn)式求得直線(xiàn)BC的方程為eq\f(y－4,－\f(11,3)－4)＝eq\f(x－\f(9,2),－\f(7,3)－\f(9,2))，化簡(jiǎn)為46x－41y－43＝0.要點(diǎn)二兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系解決此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是掌握兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定：若兩條不重合的直線(xiàn)l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線(xiàn)方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.對(duì)于兩條直線(xiàn)平行的問(wèn)題，要注意排除兩條直線(xiàn)重合的可能性.〖例2〗(1)當(dāng)a＝________時(shí)，直線(xiàn)l1：y＝－x＋2a與直線(xiàn)l2：y＝(a2－2)x＋2平行；(2)當(dāng)a＝________時(shí)，直線(xiàn)l1：y＝(2a－1)x＋3與直線(xiàn)l2：y＝4x－3垂直.〖解析〗(1)直線(xiàn)l1的斜率k1＝－1，直線(xiàn)l2的斜率k2＝a2－2.因?yàn)閘1∥l2，所以a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1.所以當(dāng)a＝－1時(shí)，直線(xiàn)l1：y＝－x＋2a與直線(xiàn)l2：y＝(a2－2)x＋2平行.(2)直線(xiàn)l1的斜率k1＝2a－1，l2的斜率k2＝4.因?yàn)閘1⊥l2，所以k1·k2＝－1，即4(2a－1)＝－1，解得a＝eq\f(3,8).所以當(dāng)a＝eq\f(3,8)時(shí)，直線(xiàn)l1：y＝(2a－1)x＋3與直線(xiàn)l2：y＝4x－3垂直.〖答案〗(1)－1(2)eq\f(3,8)〖訓(xùn)練2〗(1)已知直線(xiàn)l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的值等于________；(2)已知直角三角形ABC的直角頂點(diǎn)C(1，1)，點(diǎn)A(－2，3)，B(0，y)，則y＝________.〖解析〗(1)∵直線(xiàn)l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0，且l1⊥l2，∴2a－3(a＋1)＝0，∴a＝－3.(2)kAC＝eq\f(3－1,－2－1)＝－eq\f(2,3)，kBC＝eq\f(y－1,0－1)＝1－y.∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴－eq\f(2,3)(1－y)＝－1，∴y＝－eq\f(1,2).〖答案〗(1)－3(2)－eq\f(1,2)要點(diǎn)三距離問(wèn)題解決〖解析〗幾何中的距離問(wèn)題時(shí)，往往是代數(shù)運(yùn)算與幾何圖形直觀分析相結(jié)合.三種距離是高考考查的熱點(diǎn)，公式如下表：類(lèi)型已知條件公式兩點(diǎn)間的距離A(x1，y1)，B(x2，y2)|AB|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離P(x0，y0)l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)兩平行直線(xiàn)的距離l1：Ax＋By＋C1＝0l2：Ax＋By＋C2＝0(A2＋B2≠0，C1≠C2)d＝eq\f(|C2－C1|,\r(A2＋B2))〖例3〗直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且P(4，3)到直線(xiàn)l的距離為3eq\r(2)，求直線(xiàn)l的方程.解當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為kx－y＝0，則eq\f(|4k－3|,\r(1＋k2))＝3eq\r(2).解得k＝±eq\f(3\r(14),2)－6，∴y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x.當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)方程為x＋y＝a，則eq\f(|4＋3－a|,\r(2))＝3eq\r(2)，解得a＝13或a＝1，∴x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.綜上，所求直線(xiàn)方程為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(3\r(14),2)－6))x或x＋y－13＝0或x＋y－1＝0.〖訓(xùn)練3〗已知直線(xiàn)l在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，且點(diǎn)A(3，1)到它的距離為eq\r(2)，求直線(xiàn)l的方程.解當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為y＝kx，即kx－y＝0.由題意知eq\f(|3k－1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝1或k＝－eq\f(1,7).所以所求直線(xiàn)的方程為x－y＝0或x＋7y＝0.當(dāng)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線(xiàn)的方程為eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1，即x－y－a＝0.由題意知eq\f(|3－1－a|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝4或a＝0(舍去).所以所求直線(xiàn)的方程為x－y－4＝0.綜上可知，所求直線(xiàn)的方程為x－y＝0或x＋7y＝0或x－y－4＝0.要點(diǎn)四對(duì)稱(chēng)問(wèn)題1.關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：若兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于點(diǎn)P(x0，y0)對(duì)稱(chēng)，則P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，并且eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x1＋x2,2)，,y0＝\f(y1＋y2,2).))(2)直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：若兩條直線(xiàn)l1，l2關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱(chēng)，則：①l1上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在l2上，反過(guò)來(lái)，l2上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在l1上；②若l1∥l2，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l1，l2的距離相等；③過(guò)點(diǎn)P作一直線(xiàn)與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn).2.關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題(1)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：若A，B兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則l是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn).①直線(xiàn)AB與直線(xiàn)l垂直；②線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上；③直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)的距離相等.(2)直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：若兩條直線(xiàn)l1，l2關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則①l1上任意一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在l2上，反過(guò)來(lái)，l2上任意一點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)必在l1上；②過(guò)直線(xiàn)l上的一點(diǎn)P且垂直于直線(xiàn)l作一直線(xiàn)與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn).〖例4〗已知直線(xiàn)l：y＝3x＋3，求：(1)點(diǎn)P(4，5)關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)y＝x－2關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程；(3)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A(3，2)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程.解(1)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(x′，y′)，則線(xiàn)段PP′的中點(diǎn)M在直線(xiàn)l上，且直線(xiàn)PP′垂直于直線(xiàn)l，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y′＋5,2)＝3·\f(x′＋4,2)＋3，,\f(y′－5,x′－4)·3＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝－2，,y′＝7.))∴P′點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，7).(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－2＝0，,3x－y＋3＝0，))得交點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2))).取直線(xiàn)x－y－2＝0上一點(diǎn)B(0，－2)，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l：3x－y＋3＝0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B′(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋2,x0－0)·3＝－1，,3·\f(x0,2)－\f(y0－2,2)＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝－1.))故所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－\f(9,2)))與(－3，－1)，斜率k＝eq\f(－1＋\f(9,2),－3＋\f(5,2))＝－7，∴所求直線(xiàn)方程為y＋eq\f(9,2)＝－7eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,2)))，即7x＋y＋22＝0.(3)設(shè)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A(3，2)的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)為l′，由于l∥l′，故可設(shè)l′為y＝3x＋b(b≠3).由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得eq\f(|3×3－2＋b|,\r(32＋（－1）2))＝eq\f(|3×3－2＋3|,\r(32＋（－1）2))，即|b＋7|＝10，解得b＝－17，或b＝3(舍去)，∴直線(xiàn)l′的方程為y＝3x－17，即對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)的方程為3x－y－17＝0.〖訓(xùn)練4〗已知直線(xiàn)l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2).求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線(xiàn)m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)m′的方程；(3)直線(xiàn)l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l′的方程.解(1)設(shè)A′(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0＋2,x0＋1)×\f(2,3)＝－1，,2·\f(x0－1,2)－3·\f(y0－2,2)＋1＝0.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(33,13)，,y0＝\f(4,13).))∴A′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))).(2)在直線(xiàn)m上取一點(diǎn)，如M(2，0)，則M(2，0)關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′必在m′上.設(shè)M′(a，b)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，))∴M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))).設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，則由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3).又∵m′經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(4，3)，∴由兩點(diǎn)式得直線(xiàn)方程為9x－46y＋102＝0，即為所求直線(xiàn)方程.(3)設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)，則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y).∵P′在直線(xiàn)l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0，即為所求直線(xiàn)方程.要點(diǎn)五求圓的方程求圓的方程是考查圓的方程問(wèn)題中的一個(gè)基本點(diǎn)，一般涉及圓的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系等，主要依據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、一般方程、直線(xiàn)與圓的幾何性質(zhì)，運(yùn)用幾何方法或代數(shù)方法解決問(wèn)題，多以選擇題、填空題為主，屬于基礎(chǔ)題.(1)圓的方程中有三個(gè)參數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)方程中的a，b，r，或一般式中的D，E，F(xiàn)，因此需要三個(gè)獨(dú)立條件建立方程組求解.(2)求圓的方程時(shí)，首選幾何法，即先分析給出的條件的幾何意義，或直接利用待定系數(shù)法求解.〖例5〗一個(gè)圓C和已知圓x2＋y2－2x＝0相外切，并與直線(xiàn)l：x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))點(diǎn)，求圓C的方程.解由x2＋y2－2x＝0得(x－1)2＋y2＝1，故其圓心為(1，0)，半徑為1.∵圓C與圓x2＋y2－2x＝0相外切，故兩個(gè)圓心之間的距離等于半徑的和，又∵圓C與直線(xiàn)l：x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))，可得圓心與點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的連線(xiàn)與直線(xiàn)x＋eq\r(3)y＝0垂直，其斜率為eq\r(3).設(shè)圓C的圓心為(a，b)，半徑為r，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋\r(3),a－3)＝\r(3)，,\r(（a－1）2＋b2)＝1＋r，,r＝\f(|a＋\r(3)b|,2)，))解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6，∴圓C的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.〖訓(xùn)練5〗已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)兩條直線(xiàn)2x－y－3＝0和4x－3y－5＝0的交點(diǎn)，且與直線(xiàn)x＋y－2＝0垂直.(1)求直線(xiàn)l的方程；(2)若圓C過(guò)點(diǎn)(1，0)，且圓心在x軸的正半軸上，直線(xiàn)l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y－3＝0，,4x－3y－5＝0))解得兩直線(xiàn)交點(diǎn)為(2，1)，∵l與x＋y－2＝0垂直，∴kl＝1.又∵l過(guò)點(diǎn)(2，1)，∴l(xiāng)的方程y－1＝x－2即x－y－1＝0.(2)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝r2(a＞0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（1－a）2＝r2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))\s\up12(2)＋2＝r2，))解得a＝3，r＝2.∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝4.要點(diǎn)六直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系圓具有許多重要的幾何性質(zhì)，如圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；圓心與弦的中點(diǎn)的連線(xiàn)垂直于弦；切線(xiàn)長(zhǎng)定理；直徑所對(duì)的圓周角是直角等.充分利用圓的幾何性質(zhì)可獲得解題途徑，減少運(yùn)算量.另外，對(duì)于未給出圖形的題目，要邊讀題邊畫(huà)圖，這樣能更好地體會(huì)圓的幾何形狀，有助于找到解題思路.〖例6〗有一個(gè)圓與直線(xiàn)l：4x－3y＋6＝0相切于點(diǎn)A(3，6)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5，2)，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解設(shè)圓心為C，則CA⊥l.又設(shè)直線(xiàn)CA與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為P.∵CA⊥l，∴直線(xiàn)CA的斜率為－eq\f(3,4)，故直線(xiàn)CA的方程為y－6＝－eq\f(3,4)(x－3)，即3x＋4y－33＝0.又kAB＝eq\f(6－2,3－5)＝－2，從而由平面幾何知識(shí)可知kPB＝eq\f(1,2)，則直線(xiàn)PB的方程為x－2y－1＝0.解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－33＝0，,x－2y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝3，))即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7，3).∵圓心C為AP的中點(diǎn)，∴圓心C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(9,2)))，半徑長(zhǎng)|CA|＝eq\f(5,2)，∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－5)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(25,4).〖訓(xùn)練6〗已知點(diǎn)P(0，5)及圓C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P，且被圓C截得的弦AB的長(zhǎng)為4eq\r(3)，求l的方程.解由x2＋y2＋4x－12y＋24＝0得(x＋2)2＋(y－6)2＝42，∴圓C的圓心為C(－2，6)，半徑r＝4.如圖所示，|AB|＝4eq\r(3)，設(shè)D是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，連接CD，則CD⊥AB，|AD|＝2eq\r(3)，|AC|＝4.在Rt△ACD中，可得|CD|＝2.設(shè)所求直線(xiàn)l的斜率為k，則直線(xiàn)l的方程為y－5＝kx，即kx－y＋5＝0.由點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離|CD|＝eq\f(|－2k－6＋5|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(3,4)，此時(shí)直線(xiàn)l的方程為3x－4y＋20＝0，又∵直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝0，易知也滿(mǎn)足題意.∴所求直線(xiàn)l的方程為x＝0或3x－4y＋20＝0.要點(diǎn)七與圓有關(guān)的最值問(wèn)題與圓有關(guān)的最值問(wèn)題包括：(1)求圓O上一點(diǎn)到圓外一點(diǎn)P的最大距離、最小距離：dmax＝|OP|＋r，dmin＝|OP|－r；(2)求圓上的點(diǎn)到某條直線(xiàn)的最大、最小距離：設(shè)圓心到直線(xiàn)的距離為m，則dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|；(3)已知點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①eq\f(y,x)；②eq\f(y－m,x－n)；③x2＋y2等式子的最值，一般是運(yùn)用幾何法求解.〖例7〗已知圓C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)，(1)求eq\f(y－2,x－1)的最大、最小值；(2)求x－2y的最大、最小值.解法一(1)設(shè)k＝eq\f(y－2,x－1)，則y－2＝kx－k，即kx－y＋2－k＝0.∵P(x，y)為圓C上任一點(diǎn)，∴圓心(－2，0)到直線(xiàn)kx－y＋2－k＝0的距離d＝eq\f(|－2k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2－3k|,\r(1＋k2))≤1，即|2－3k|≤eq\r