《圓（上）》復(fù)習課件

第21章圓（上）Contents目錄01020304知識框架復(fù)習回顧隨堂練習例題精講有關(guān)概念過三點的圓圓的有關(guān)概念點與圓的位置關(guān)系有關(guān)計算：弧長和扇形面積圓的對稱性圓(上)圓的確定圓內(nèi)接三角形和三角形外接圓圓的軸對稱性和中心對稱性垂徑定理及其推論圓心角，弧，弦的關(guān)系圓周角圓周角定理及推論要點、考點聚焦1.圓的定義是到定點的距離等于定長的點的集合.2.點和圓的位置關(guān)系(圓心到點的距離為d)(1)點在圓上d=r.(2)點在圓內(nèi)d＜r.(3)點在圓外d＞r.3.與圓有關(guān)的計算(1)弧長的計算公式:(2)扇形面積計算公式:4.與圓有關(guān)的概念(1)弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段.(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦.(3)?。簣A上任意兩點間的部分.(4)優(yōu)弧、劣弧、半圓：(5)等弧：在同圓或等圓中，能夠完全重合的孤.(6)圓心角：頂點在圓心，角的兩邊與圓相交.(7)圓周角：頂點在圓上，角的兩邊與圓相交.(8)圓內(nèi)接三角形，三角形的外接圓：(9)圓內(nèi)接四邊形：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.5.有關(guān)定理及推論(1)不在同一條直線上的三個點確定一個圓.(2)垂徑定理及其推論.垂徑定理：推論:1)在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么他們所對的弧相等，所對的弦也相等。2)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條線中的一組量相等，那么他們所對應(yīng)的其他各組量也相等。(3)圓心角、弦、弧之間關(guān)系(4)同圓或等圓中，相等的弦所對的弦心距也相等。反之也成立.[如圖，OC稱為弦心距](5)圓周角一條弧所對圓周角等于它所對的圓心角的一半.

同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.圓周角定理：推論1：推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.推論3：推論4：圓內(nèi)接四邊形對角互補；6.圓的軸對稱性和中心對稱性軸對稱性：圓是軸對稱圖形，它有無數(shù)條對稱軸，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。中心對稱性：圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心。7.和圓有關(guān)的三角形、四邊形(1)三角形有且只有一個外接圓，它的圓心稱為三角形的外心。(2)圓內(nèi)接四邊形對角互補。【例1】在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度.【解析】本題是以垂徑定理為考查點的幾何應(yīng)用題，沒有給出圖形，直徑長是已知的，油面寬可理解為截面圓的弦長，也是已知的，但由于圓的對稱性，弦的位置有兩種不同的情況，如圖(1)和(2).解：圖(1)中OC==120(mm)∴CD=80(mm)圖(2)中OC=120(mm)∴CD=OC+OD=320(mm)【例1】在直徑為400mm的圓柱形油槽內(nèi)，裝入一部分油，油面寬320mm，求油的深度.

【例2】如圖，A是半徑為5的⊙O內(nèi)的一點，且OA=3，過點A且長小于8的弦有()A.0條B.1條C.2條D.4條 A

【解析】這題是考察垂徑定理的幾何題，先求出垂直于OA的弦長BC==8.即過A點最短的弦長為8，故沒有弦長小于8的弦，∴選(A)【例3】如圖，O是∠CAE平分線上的一點，以點O為圓心的圓和∠CAE的兩邊分別交于點B、C和D、E，連結(jié)BD、CE.

求證：(1)(2)AC=AE(3)DB∥CE. 【解析】(1)要證弧相等，即要證弦相等相等，又已知OA是∠CAE的平分線，聯(lián)想到角平分線性質(zhì)，故過O分別作OG⊥AC于G，OH⊥AE于H，連接OB,OD.∴OG=OH,∴Rt△OGB≌Rt△OHD.∴GB=HD,∴BC=DE，∴.(2)由垂徑定理知：BC=DE，G、H分別是BC、DE的中點.再由△AOG≌△AOH，可得AG=AH，∴AC=AE.(3)AC=AE,∠C=∠E，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理知∠C=∠ADB,∠E=∠ADB,∴BD∥CE.

【例4】當BA=AC，∠CAB=60°，且當P為

的中點時，求證：PC=PB=PA?！窘馕觥恳CPB=PC，只需要證明即可.【證明】(1)∵P是的中點,∴，∴PB=PC.

【例4】當BA=AC，∠CAB=60°，且當P為

的中點時，求證：PC=PB=PA。(2)∵AB=AC,∴.

又∵，∴,即.∴AP是直徑.∴△ABP是直角三角形.∵∠BAC=60°，，∴∠BAP=∠CAP=30°，∴PC=PB=PA.

【例5】．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，已知∠ACO=30°，∠B=_____．

【總結(jié)】通過輔助線的添加，建立同弧所對的圓周角及圓心角或直徑所對的圓周角，實現(xiàn)所求對象的轉(zhuǎn)換。60°BAOCBAOCD法一：連接OA法二：延長CO交⊙O于D，連接DA

【例6】如圖2，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圓周角∠ACB=30°，則⊙O的直徑等于____cm.BCOAD3.6【總結(jié)】當所求對象非顯性存在時，可先將其作出，并尋找與之相關(guān)的已知條件.

解：連接AO，并延長交⊙O于D，連接BD，∴∠D=∠C=30°.∵AD是直徑，∴∠ABD=90°，∴AD=2AB=3.6.【例7】已知：如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC、OD分別交AB于點E、F,且AE=BF，請你找出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明。

【總結(jié)】圖形呈軸對稱性時，可利用垂徑定理求解，也可利用半徑和弦組成的等腰三角形的對稱性求解OABCDEFOABCDEF

【例8】一只貍貓觀察到一老鼠洞的全部三個出口，它們不在一條直線上，這只貍貓應(yīng)蹲在何處，才能最省力地顧及到三個洞口?

【解析】這是一個貍貓捉老鼠會遇到的一個問題，我們可以為這個小動物設(shè)計或計算出來.這個問題應(yīng)考慮兩種情況：設(shè)三個洞口分別為A、B、C三點，又設(shè)A、C相距最遠:①當△ABC為鈍角三角形或直角三角形時，AC的中點即為所求.②當△ABC為銳角三角形時，△ABC的外心即為所求.

1、如圖，過圓外一點O作⊙O′的兩條切線OA、OB，A、B是切點，且OO’是⊙O′的半徑的兩倍，則∠AOB=______.60°【解析】過圓外一點可作兩條與圓相切的直線，該點與兩切點的距離相等，且OO’平分∠AOBOABO’

2、如圖，設(shè)⊙O的半徑為r，弦AB的長為a，弦心距OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD為h，下面的說法或等式：①r=d+h；②4r2=4d2+a2；③已知：r、a、d、h中的任意兩個可求其他兩個，其中正確的結(jié)論的序號是()

A.①B.①②C.①②③D.②③C

3、下列命題中，正確的是（多項）( )A.一個點到圓心的距離大于這個圓的半徑，這個點在圓外；B.一條直線垂直于圓的半徑，這條直線一定是圓的切線；C.兩圓的圓心距等于它們的半徑之和，這兩個圓有三條公切線；D.圓心到一條直線的距離小于這個圓的半徑，這條直線與圓有兩個交點。 A、C、D4、如圖所示,已知RtΔABC中，∠C=，AC=，BC=1,若以C為圓心，CB為半徑的圓交AB于P，則AP＝

。30°5、如圖所示，弦AB的長等于⊙O的半徑，點C在

上,則∠C=

。

7、如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若它的一個外角∠DCE=70°，則∠BOD=()A．35°B.70°C．1