高三數(shù)學一輪復(fù)習圓錐曲線

...wd......wd......wd...橢圓考試要求1.橢圓的實際背景，橢圓在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用，A級要求；2.橢圓的定義，幾何圖形，標準方程及簡單幾何性質(zhì)，B級要求．知識梳理1．橢圓的定義(1)第一定義：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長(大于F1F2)的點的軌跡叫作橢圓．這兩個定點叫作橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫作橢圓的焦距．用符號表示為PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)．(2)第二定義：平面內(nèi)到定點F和定直線l(F不在定直線l上)的距離之比是一個常數(shù)e(0<e<1)的點的軌跡叫作橢圓．2．橢圓的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)，離心率e等于橢圓上任意一點M到焦點F的距離與M到F對應(yīng)的準線的距離的比．橢圓越扁，離心率e越大；橢圓越圓，離心率越小.條件2a>2c，a2＝b2＋c2，a>0，b>0，c>0標準方程及圖形eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b對稱性曲線關(guān)于原點、x軸、y軸對稱頂點長軸頂點(±a,0)短軸頂點(0，±b)長軸頂點(0，±a)短軸頂點(±b,0)焦點(±c,0)(0，±c)長、短軸的長度長軸長2a，短軸長2b焦距F1F2＝2c(c2＝a2－b2)準線方程x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)離心率e＝eq\f(c,a)∈(0,1)，e越大，橢圓越扁，e越小，橢圓越圓診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．()(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．()(3)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．()(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．()(5)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距一樣．()解析(1)由橢圓的定義知，當該常數(shù)大于F1F2時，其軌跡才是橢圓，而常數(shù)等于F1F2時，其軌跡為線段F1F2，常數(shù)小于F1F2時，不存在這樣的圖形．(2)因為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)，所以e越大，則eq\f(b,a)越小，橢圓就越扁．答案(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√2．(2015·廣東卷改編)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點為F1(－4,0)，則m＝________.解析依題意有25－m2＝16，∵m>0，∴m＝3.答案33．橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(\r(3),3)，過F2的直線l交C于A，B兩點．假設(shè)△AF1B的周長為4eq\r(3)，則C的方程為________．解析由橢圓的定義可知△AF1B的周長為4a，所以4a＝4eq\r(3)，故a＝eq\r(3)，又由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，得c＝1，所以b2＝a2－c2＝2，則C的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.答案eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝14．(2016·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，F(xiàn)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點，直線y＝eq\f(b,2)與橢圓交于B，C兩點，且∠BFC＝90°，則該橢圓的離心率是________．解析聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(b,2)，))解得B，C兩點坐標為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)a，\f(b,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)，\f(b,2)))，又F(c,0)，則eq\o(FB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，eq\o(FC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)a,2)－c，\f(b,2)))，又由∠BFC＝90°，可得eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))＝0，代入坐標可得：c2－eq\f(3,4)a2＋eq\f(b2,4)＝0，①又因為b2＝a2－c2.代入①式可化簡為eq\f(c2,a2)＝eq\f(2,3)，則橢圓離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(2,3))＝eq\f(\r(6),3).答案eq\f(\r(6),3)5．點P是橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上y軸右側(cè)的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為________．解析設(shè)P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1，得x＝±eq\f(\r(15),2)，又x＞0，所以x＝eq\f(\r(15),2)，∴P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1)).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，－1))考點一橢圓的定義及其應(yīng)用【例1】(1)如圖，圓O的半徑為定長r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是________．(2)F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝3eq\r(3)，則b＝________.解析(1)連接QA.由得QA＝QP.所以QO＋QA＝QO＋QP＝OP＝r.又因為點A在圓內(nèi)，所以，OA＜OP，根據(jù)橢圓的定義，點Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點，r為長軸長的橢圓．(2)由題意得PF1＋PF2＝2a，又∠F1PF2＝60°，所以PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)－2PF1PF2cos60°＝F1Feq\o\al(2,2)，所以(PF1＋PF2)2－3PF1PF2＝4c2，所以3PF1PF2＝4a2－4c2＝4b2，所以PF1PF2＝eq\f(4,3)b2，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)PF1PF2sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3.答案(1)橢圓(2)3規(guī)律方法(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等．(2)橢圓的定義式必須滿足2a＞F1F2.【訓(xùn)練1】(1)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，點P在該橢圓上，假設(shè)PF1－PF2＝2，則△PF1F2的面積是________．(2)(2017·保定一模)與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，且與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為________．解析(1)由橢圓的方程可知a＝2，c＝eq\r(2)，且PF1＋PF2＝2a＝4，又PF1－PF2＝2，所以PF1＝3，PF2＝1.又F1F2＝2c＝2eq\r(2)，所以有PFeq\o\al(2,1)＝PFeq\o\al(2,2)＋F1Feq\o\al(2,2)，即△PF1F2為直角三角形，且∠PF2F為直角，所以S△PF1F2＝eq\f(1,2)F1F2PF2＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×1＝eq\r(2).(2)設(shè)動圓的半徑為r，圓心為P(x，y)，則有PC1＝r＋1，PC2＝9－r.所以PC1＋PC2＝10＞C1C2，即P在以C1(－3,0)，C2(3,0)為焦點，長軸長為10的橢圓上，得點P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.答案(1)eq\r(2)(2)eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1考點二橢圓的標準方程【例2】(1)橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，則橢圓方程為________．(2)過點(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有一樣焦點的橢圓標準方程為________．解析(1)設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).∴橢圓標準方程為eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)法一橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦點為(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由橢圓的定義知，2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.法二設(shè)所求橢圓方程為eq\f(y2,25－k)＋eq\f(x2,9－k)＝1(k<9)，將點(eq\r(3)，－eq\r(5))的坐標代入可得eq\f(－\r(5)2,25－k)＋eq\f(\r(3)2,9－k)＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求橢圓的標準方程為eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.答案(1)eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1(2)eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1規(guī)律方法求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后根據(jù)條件建設(shè)關(guān)于a，b的方程組，如果焦點位置不確定，可設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求出m，n的值即可．【訓(xùn)練2】(1)(2017·常州監(jiān)測)橢圓的中心在原點，離心率e＝eq\f(1,2)，且它的一個焦點與拋物線y2＝－4x的焦點重合，則此橢圓標準方程為________．(2)橢圓的長軸長是短軸長的3倍，且過點A(3,0)，并且以坐標軸為對稱軸，則橢圓的標準方程為________．解析(1)依題意，可設(shè)橢圓的標準方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，由可得拋物線的焦點為(－1,0)，所以c＝1，又離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，解得a＝2，b2＝a2－c2＝3，所以橢圓標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)法一假設(shè)橢圓的焦點在x軸上，設(shè)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(9,a2)＋\f(0,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝1.))所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.假設(shè)焦點在y軸上，設(shè)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3×2b，,\f(0,a2)＋\f(9,b2)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝9，,b＝3.))所以橢圓的標準方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.綜上所述，橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.法二設(shè)橢圓的方程為eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，則由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(m)＝3×2\r(n)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(9,m)＝1，,2\r(n)＝3×2\r(m)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝9，,n＝81.))∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1.答案(1)eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(2)eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1考點三橢圓的幾何性質(zhì)【例3】(1)(2016·全國Ⅲ卷改編)O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.假設(shè)直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為________．(2)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞c＞0，a2＝b2＋c2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，假設(shè)以F2為圓心，b－c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于eq\f(\r(3),2)(a－c)，則橢圓的離心率e的取值范圍是________．解析(1)設(shè)M(－c，m)，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(am,a－c)))，OE的中點為D，則Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(am,2a－c)))，又B，D，M三點共線，所以eq\f(m,2a－c)＝eq\f(m,a＋c)，所以a＝3c，所以e＝eq\f(1,3).(2)因為PT＝eq\r(PF\o\al(2,2)－b－c2)(b＞c)，而PF2的最小值為a－c，所以PT的最小值為eq\r(a－c2－b－c2).依題意，有eq\r(a－c2－b－c2)≥eq\f(\r(3),2)(a－c)，所以(a－c)2≥4(b－c)2，所以a－c≥2(b－c)，所以a＋c≥2b，所以(a＋c)2≥4(a2－c2)，所以5c2＋2ac－3a2≥0，所以5e2＋2e－3≥0.①又b＞c，所以b2＞c2，所以a2－c2＞c2，所以2e2＜1.②聯(lián)立①②，得eq\f(3,5)≤e＜eq\f(\r(2),2).答案(1)eq\f(1,3)(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(\r(2),2)))規(guī)律方法(1)求橢圓離心率的方法①直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解．②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉(zhuǎn)化為含有e的方程(或不等式)求解．(2)利用橢圓幾何性質(zhì)求值或范圍的思路求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)問題時，要結(jié)合圖形進展分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系．【訓(xùn)練3】(2017·鹽城模擬)橢圓：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜2)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，假設(shè)BF2＋AF2的最大值為5，則b的值是________．解析由橢圓的方程可知a＝2，由橢圓的定義可知，AF2＋BF2＋AB＝4a＝8，所以AB＝8－(AF2＋BF2)≥3，由橢圓的性質(zhì)可知過橢圓焦點的弦中，通徑最短，則eq\f(2b2,a)＝3.所以b2＝3，即b＝eq\r(3).答案eq\r(3)考點四直線與橢圓的位置關(guān)系【例4】(2015·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(\r(2),2)，且右焦點F到左準線l的距離為3.(1)求橢圓的標準方程；(2)過F的直線與橢圓交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點P，C，假設(shè)PC＝2AB，求直線AB的方程．解(1)由題意，得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)且c＋eq\f(a2,c)＝3，解得a＝eq\r(2)，c＝1，則b＝1，所以橢圓的標準方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)當AB⊥x軸時，AB＝eq\r(2)，又CP＝3，不合題意．當AB與x軸不垂直時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，將AB的方程代入橢圓方程，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2(k2－1)＝0，則x1,2＝eq\f(2k2±\r(21＋k2),1＋2k2)，C的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2k2,1＋2k2)，\f(－k,1＋2k2)))，且AB＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)＝eq\r(1＋k2x2－x12)＝eq\f(2\r(2)1＋k2,1＋2k2).假設(shè)k＝0，則線段AB的垂直平分線為y軸，與左準線平行，不合題意．從而k≠0，故直線PC的方程為y＋eq\f(k,1＋2k2)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2k2,1＋2k2)))，則P點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(5k2＋2,k1＋2k2)))，從而PC＝eq\f(23k2＋1\r(1＋k2),|k|1＋2k2).因為PC＝2AB，所以eq\f(23k2＋1\r(1＋k2),|k|1＋2k2)＝eq\f(4\r(2)1＋k2,1＋2k2)，解得k＝±1.此時直線AB的方程為y＝x－1或y＝－x＋1.【例5】(2017·南通調(diào)研)如以以下列圖，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點為A(2,0)，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2e，\f(1,2)))在橢圓上(e為橢圓的離心率)．(1)求橢圓的標準方程；(2)假設(shè)點B，C(C在第一象限)都在橢圓上，滿足eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，且eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，求實數(shù)λ的值．解(1)由條件，a＝2，e＝eq\f(c,2)，代入橢圓方程，得eq\f(c2,4)＋eq\f(1,4b2)＝1.∵b2＋c2＝4，∴b2＝1，c2＝3.∴橢圓的標準方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設(shè)直線OC的斜率為k，則直線OC方程為y＝kx，代入橢圓方程eq\f(x2,4)＋y2＝1，即x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2＝4，∴xC＝eq\f(2,\r(1＋4k2)).則Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋4k2))，\f(2k,\r(1＋4k2)))).又直線AB方程為y＝k(x－2)，代入橢圓方程x2＋4y2＝4，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0.∵xA＝2，∴xB＝eq\f(24k2－1,1＋4k2)，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(24k2－1,1＋4k2)，\f(－4k,1＋4k2))).∵eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝0，∴eq\f(24k2－1,1＋4k2)·eq\f(2,\r(1＋4k2))＋eq\f(－4k,1＋4k2)·eq\f(2k,\r(1＋4k2))＝0.∴k2＝eq\f(1,2)，∵C在第一象限，∴k＞0，k＝eq\f(\r(2),2).∵eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(1＋4k2))，\f(2k,\r(1＋4k2))))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(24k2－1,1＋4k2)，0－\f(－4k,1＋4k2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,1＋4k2)，\f(4k,1＋4k2)))，由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(BA,\s\up6(→))，得λ＝eq\r(k2＋\f(1,4)).∵k＝eq\f(\r(2),2)，∴λ＝eq\f(\r(3),2).規(guī)律方法與橢圓有關(guān)的綜合問題，往往與其他知識相結(jié)合，解決這類問題的常規(guī)思路是聯(lián)立直線方程與橢圓方程，解方程組求出直線與橢圓的交點坐標，然后根據(jù)所給的向量條件再建設(shè)方程，解決相關(guān)問題．涉及弦中點問題用“點差法〞解決往往更簡單．【訓(xùn)練4】(2017·南京、鹽城模擬)橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率e＝eq\f(\r(2),2)，一條準線方程為x＝2.過橢圓的上頂點A作一條與x軸、y軸都不垂直的直線交橢圓于另一點P，P關(guān)于x軸的對稱點為Q.(1)求橢圓的標準方程；(2)假設(shè)直線AP，AQ與x軸交點的橫坐標分別為m，n，求證：mn為常數(shù)，并求出此常數(shù)．(1)解因為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(a2,c)＝2，所以a＝eq\r(2)，c＝1，所以b＝eq\r(a2－c2)＝1.故橢圓的標準方程為eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)證明法一設(shè)P點坐標為(x1，y1)，則Q點坐標為(x1，－y1)．因為kAP＝eq\f(y1－1,x1－0)＝eq\f(y1－1,x1)，所以直線AP的方程為y＝eq\f(y1－1,x1)x＋1.令y＝0，解得m＝－eq\f(x1,y1－1).因為kAQ＝eq\f(－y1－1,x1－0)＝－eq\f(y1＋1,x1)，所以直線AQ的方程為y＝－eq\f(y1＋1,x1)x＋1.令y＝0，解得n＝eq\f(x1,y1＋1).所以mn＝eq\f(－x1,y1－1)·eq\f(x1,y1＋1)＝eq\f(x\o\al(2,1),1－y\o\al(2,1)).又因為(x1，y1)在橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1上，所以eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，即1－yeq\o\al(2,1)＝eq\f(x\o\al(2,1),2)，所以eq\f(x\o\al(2,1),1－y\o\al(2,1))＝2，即mn＝2，所以mn為常數(shù)，且常數(shù)為2.法二設(shè)直線AP的斜率為k(k≠0)，則AP的方程為y＝kx＋1，令y＝0得m＝－eq\f(1,k).聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))消去y得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，解得xA＝0，xP＝－eq\f(4k,1＋2k2)，所以yP＝k·xP＋1＝eq\f(1－2k2,1＋2k2)，則Q點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4k,1＋2k2)，－\f(1－2k2,1＋2k2)))，所以kAQ＝eq\f(－\f(1－2k2,1＋2k2)－1,－\f(4k,1＋2k2))＝eq\f(1,2k)，故直線AQ的方程為y＝eq\f(1,2k)x＋1.令y＝0得n＝－2k，所以mn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)))·(－2k)＝2.所以mn為常數(shù)，常數(shù)為2.[思想方法]1．橢圓的定義提醒了橢圓的本質(zhì)屬性，正確理解、掌握定義是關(guān)鍵，應(yīng)注意定義中的常數(shù)大于F1F2，防止了動點軌跡是線段或不存在的情況．2．求橢圓的標準方程，常采用“先定位，后定量〞的方法(待定系數(shù)法)．先“定位〞，就是先確定橢圓和坐標系的相對位置，以橢圓的中心為原點的前提下，看焦點在哪條坐標軸上，確定標準方程的形式；再“定量〞，就是根據(jù)條件，通過解方程(組)等手段，確定a2，b2的值，代入所設(shè)的方程，即可求出橢圓的標準方程．假設(shè)不能確定焦點的位置，這時的標準方程?？稍O(shè)為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)．[易錯防范]1．判斷兩種標準方程的方法為對比標準形式中x2與y2的分母大?。?．在解關(guān)于離心率e的二次方程時，要注意利用橢圓的離心率e∈(0,1)進展根的取舍，否則將產(chǎn)生增根．3．橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0＜e＜1等，在求橢圓相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系.根基穩(wěn)固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,4)＝1的焦距為2，則m的值等于________．解析當m>4時，m－4＝1，∴m＝5；當0<m<4時，4－m＝1，∴m＝3.答案32．(2017·蘇州調(diào)研)中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是________．解析依題意，所求橢圓的焦點位于x軸上，且c＝1，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)?a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此其方程是eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝13．假設(shè)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點P到焦點F1的距離為6，則點P到另一個焦點F2的距離是________．解析由橢圓定義知PF1＋PF2＝10，又PF1＝6，∴PF2＝4.答案44．(2017·揚州期末)設(shè)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為________．解析在Rt△PF2F1中，令PF2＝1，因為∠PF1F2＝30°，所以PF1＝2，F(xiàn)1F2＝eq\r(3).故e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(F1F2,PF1＋PF2)＝eq\f(\r(3),3).答案eq\f(\r(3),3)5．(2016·全國Ⅰ卷改編)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，假設(shè)橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為________．解析如圖，由題意得，BF＝a，OF＝c，OB＝b，OD＝eq\f(1,4)×2b＝eq\f(1,2)b.在Rt△OFB中，OF×OB＝BF×OD，即cb＝a·eq\f(1,2)b，即a＝2c，故橢圓離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)6．(2016·南京師大附中模擬)橢圓ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)與直線y＝1－x交于A，B兩點，過原點與線段AB中點的直線的斜率為eq\f(\r(3),2)，則eq\f(b,a)的值為________．解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則axeq\o\al(2,1)＋byeq\o\al(2,1)＝1，axeq\o\al(2,2)＋byeq\o\al(2,2)＝1，即axeq\o\al(2,1)－axeq\o\al(2,2)＝－(byeq\o\al(2,1)－byeq\o\al(2,2))，eq\f(by\o\al(2,1)－by\o\al(2,2),ax\o\al(2,1)－ax\o\al(2,2))＝－1，eq\f(by1－y2y1＋y2,ax1－x2x1＋x2)＝－1，∴eq\f(b,a)×(－1)×eq\f(\r(3),2)＝－1，∴eq\f(b,a)＝eq\f(2\r(3),3).答案eq\f(2\r(3),3)7．(2017·昆明質(zhì)檢)橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1上的一點P到兩焦點的距離的乘積為m，當m取最大值時，點P的坐標是________．解析記橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，有PF1＋PF2＝2a＝10.則m＝PF1·PF2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF1＋PF2,2)))2＝25，當且僅當PF1＝PF2＝5，即點P位于橢圓的短軸的頂點處時，m取得最大值25.∴點P的坐標為(－3,0)或(3,0)．答案(－3,0)或(3,0)8．(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓上一點，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝c2，則此橢圓離心率的取值范圍是________．解析設(shè)P(x，y)，則eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①將y2＝b2－eq\f(b2,a2)x2代入①式解得x2＝eq\f(2c2－b2a2,c2)＝eq\f(3c2－a2a2,c2)，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝eq\f(c,a)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2))).答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))二、解答題9．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.(1)假設(shè)直線MN的斜率為eq\f(3,4)，求C的離心率；(2)假設(shè)直線MN在y軸上的截距為2，且MN＝5F1N，求a，b.解(1)根據(jù)c＝eq\r(a2－b2)及題設(shè)知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，2b2＝3ac.將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)或eq\f(c,a)＝－2(舍去)．故C的離心率為eq\f(1,2).(2)由題意，知原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1的中點，故eq\f(b2,a)＝4，即b2＝4a.①由MN＝5F1N，得DF1＝2F1N.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1＜0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－c－x1＝c，,－2y1＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－\f(3,2)c.,y1＝－1.))代入C的方程，得eq\f(9c2,4a2)＋eq\f(1,b2)＝1.②將①及c＝eq\r(a2－b2)代入②得eq\f(9a2－4a,4a2)＋eq\f(1,4a)＝1.解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2eq\r(7).10．(2017·蘇北四市調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右準線方程為x＝4，右頂點為A，上頂點為B，右焦點為F，斜率為2的直線l經(jīng)過點A，且點F到直線l的距離為eq\f(2\r(5),5).(1)求橢圓C的標準方程．(2)將直線l繞點A旋轉(zhuǎn)，它與橢圓C相交于另一點P，當B，F(xiàn)，P三點共線時，試確定直線l的斜率．解(1)由題意知，直線l的方程為y＝2(x－a)，即2x－y－2a＝0，所以右焦點F到直線l的距離為eq\f(|2c－2a|,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，所以a－c＝1.又橢圓C的右準線方程為x＝4，即eq\f(a2,c)＝4，所以c＝eq\f(a2,4)，將此代入上式解得a＝2，c＝1，所以b2＝3，所以橢圓C的標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)法一由(1)知B(0，eq\r(3))，F(xiàn)(1,0)．所以直線BF的標準方程為y＝－eq\r(3)(x－1)，聯(lián)立方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8,5)，,y＝－\f(3\r(3),5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝\r(3)))(舍)．即Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))，所以直線l的斜率k＝eq\f(0－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),5))),2－\f(8,5))＝eq\f(3\r(3),2).法二由(1)知B(0，eq\r(3))，F(xiàn)(1,0)，所以直線BF的方程為y＝－eq\r(3)(x－1)，由題意知A(2,0)，顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－2)，聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(3)x－1，,y＝kx－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2k＋\r(3),k＋\r(3))，,y＝\f(－\r(3)k,k＋\r(3))，))代入橢圓解得k＝eq\f(3\r(3),2)或k＝－eq\f(\r(3),2)，又由題意知，y＝eq\f(－\r(3)k,k＋\r(3))<0得k>0或k<－eq\r(3)，所以k＝eq\f(3\r(3),2).能力提升題組(建議用時：25分鐘)11．(2016·蘇州調(diào)研)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點為F，假設(shè)F關(guān)于直線eq\r(3)x＋y＝0的對稱點A是橢圓C上的點，則橢圓C的離心率為________．解析設(shè)F(－c,0)關(guān)于直線eq\r(3)x＋y＝0的對稱點A(m，n)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋c)·－\r(3)＝－1，,\r(3)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－c,2)))＋\f(n,2)＝0，))∴m＝eq\f(c,2)，n＝eq\f(\r(3),2)c，代入橢圓方程可得eq\f(\f(c2,4),a2)＋eq\f(\f(3,4)c2,b2)＝1，并把b2＝a2－c2代入，化簡可得e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4±2eq\r(3)，又0＜e＜1，∴e＝eq\r(3)－1.答案eq\r(3)－112．(2017·鹽城中學模擬)直線l：y＝kx＋2過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上頂點B和左焦點F，且被圓x2＋y2＝4截得的弦長為L，假設(shè)L≥eq\f(4\r(5),5)，則橢圓離心率e的取值范圍是________．解析依題意，知b＝2，kc＝2.設(shè)圓心到直線l的距離為d，則L＝2eq\r(4－d2)≥eq\f(4\r(5),5)，解得d2≤eq\f(16,5).又因為d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以eq\f(1,1＋k2)≤eq\f(4,5)，解得k2≥eq\f(1,4).于是e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(c2,b2＋c2)＝eq\f(1,1＋k2)，所以0＜e2≤eq\f(4,5)，解得0＜e≤eq\f(2\r(5),5).答案eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(5),5)))13．橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上一動點，假設(shè)∠F1PF2為鈍角，則點P的橫坐標的取值范圍是________．解析設(shè)橢圓上一點P的坐標為(x，y)，則eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x＋eq\r(3)，y)，eq\o(F2P,\s\up6(→))＝(x－eq\r(3)，y)．∵∠F1PF2為鈍角，∴eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F2P,\s\up6(→))<0，即x2－3＋y2<0，①∵y2＝1－eq\f(x2,4)，代入①得x2－3＋1－eq\f(x2,4)<0，即eq\f(3,4)x2<2，∴x2<eq\f(8,3).解得－eq\f(2\r(6),3)<x<eq\f(2\r(6),3)，∴x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(6),3)，\f(2\r(6),3)))14．(2017·南京模擬)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)過點P(－1，－1)，c為橢圓的半焦距，且c＝eq\r(2)b.過點P作兩條互相垂直的直線l1，l2與橢圓C分別交于另兩點M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)假設(shè)直線l1的斜率為－1，求△PMN的面積；(3)假設(shè)線段MN的中點在x軸上，求直線MN的方程．解(1)由條件得eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝eq\f(4,3)，a2＝4.所以橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(3y2,4)＝1.(2)設(shè)l1的方程為y＋1＝k(x＋1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k－1，,x2＋3y2＝4，))消去y得(1＋3k2)x2＋6k(k－1)x＋3(k－1)2－4＝0.因為P為(－1，－1)，解得Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3k2＋6k＋1,1＋3k2)，\f(3k2＋2k－1,1＋3k2))).當k≠0時，用－eq\f(1,k)代替k，得Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2－6k－3,k2＋3)，\f(－k2－2k＋3,k2＋3)))，將k＝－1代入，得M(－2,0)，N(1,1)．因為P(－1，－1)，所以PM＝eq\r(2)，PN＝2eq\r(2)，所以△PMN的面積為eq\f(1,2)×eq\r(2)×2eq\r(2)＝2.(3)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋3y\o\al(2,1)＝4，,x\o\al(2,2)＋3y\o\al(2,2)＝4，))兩式相減得(x1＋x2)(x1－x2)＋3(y1＋y2)(y1－y2)＝0，因為線段MN的中點在x軸上，所以y1＋y2＝0，從而可得(x1＋x2)(x1－x2)＝0.假設(shè)x1＋x2＝0，則N(－x1，－y1)．因為PM⊥PN，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，得xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝2.又因為xeq\o\al(2,1)＋3yeq\o\al(2,1)＝4，所以解得x1＝±1，所以M(－1,1)，N(1，－1)或M(1，－1)，N(－1,1)．所以直線MN的方程為y＝－x.假設(shè)x1－x2＝0，則N(x1，－y1)，因為PM⊥PN，所以eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))＝0，得yeq\o\al(2,1)＝(x1＋1)2＋1.又因為xeq\o\al(2,1)＋3yeq\o\al(2,1)＝4，所以解得x1＝－eq\f(1,2)或－1，經(jīng)檢驗：x1＝－eq\f(1,2)滿足條件，x1＝－1不滿足條件．綜上，直線MN的方程為x＋y＝0或x＝－eq\f(1,2).第6講雙曲線考試要求雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，簡單的幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線)，A級要求．知識梳理1．雙曲線的定義(1)第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值為正常數(shù)2a(小于兩定點之間的距離2c)的動點的軌跡叫作雙曲線．(2)雙曲線的定義用代數(shù)式表示為|MF1－MF2|＝2a，其中2a<F1F2＝2c.(3)當MF1－MF2＝2a時，曲線僅表示靠近焦點F2的雙曲線的一支；當MF1－MF2＝－2a時，曲線僅表示靠近焦點F1的雙曲線的一支；當2a＝F1F2時，軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線；當2a>F1F2時，動點的軌跡不存在．(4)第二定義：平面內(nèi)，到定點F的距離與到定直線l的距離之比等于常數(shù)e(e>1)的動點軌跡叫作雙曲線2．雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質(zhì)圖形標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)幾何性質(zhì)范圍|x|≥a|y|≥a焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)對稱性關(guān)于x軸、y軸軸對稱，關(guān)于原點中心對稱實、虛軸長實軸A1A2＝2a，虛軸B1B2＝2b離心率e＝eq\f(c,a)(也等于雙曲線上任意一點到一個焦點F與到這個焦點對應(yīng)的準線的距離之比)準線方程x＝±eq\f(a2,c)y＝±eq\f(a2,c)漸近線方程y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x3．(1)等軸雙曲線：實軸和虛軸長度相等的雙曲線叫作等軸雙曲線，也叫等邊雙曲線．(2)等軸雙曲線?離心率e＝eq\r(2)?兩條漸近線垂直(位置關(guān)系)?實軸長＝虛軸長．(3)雙曲線的離心率e與eq\f(b,a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\r(e2－1)))都是刻畫雙曲線開口的大小的量．診斷自測1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線．()(2)平面內(nèi)到點F1(0,4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差等于6的點的軌跡是雙曲線．()(3)方程eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn>0)表示焦點在x軸上的雙曲線．()(4)雙曲線方程eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的漸近線方程是eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝0，即eq\f(x,m)±eq\f(y,n)＝0.()(5)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于eq\r(2).()解析(1)因為|MF1－MF2|＝8＝F1F2，表示的軌跡為兩條射線．(2)由雙曲線的定義知，應(yīng)為雙曲線的一支，而非雙曲線的全部．(3)當m＞0，n＞0時表示焦點在x軸上的雙曲線，而m＜0，n＜0時則表示焦點在y軸上的雙曲線．答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√2．(2016·全國Ⅰ卷改編)方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是________．解析∵方程eq\f(x2,m2＋n)－eq\f(y2,3m2－n)＝1表示雙曲線，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，由雙曲線性質(zhì)，知c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2(其中c是半焦距)，∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得|m|＝1，∴－1<n<3.答案(－1,3)3．(2017·南京調(diào)研)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的方程為2x－y＝0，則該雙曲線的離心率為________．解析由題意得雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x＝2x，所以eq\f(b,a)＝2，則雙曲線的離心率為e＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5).答案eq\r(5)4．(2017·南通調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過點P(1,1)，其一條漸近線方程為y＝eq\r(2)x，則該雙曲線的方程為________．解析由于雙曲線過點P(1,1)，則有eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2)＝1，又雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，則有eq\f(b,a)＝eq\r(2)，與eq\f(1,a2)－eq\f(1,b2)＝1聯(lián)立解得a2＝eq\f(1,2)，b2＝1，故所求的雙曲線的方程為2x2－y2＝1.答案2x2－y2＝15．(選修1－1P41習題6改編)經(jīng)過點A(3，－1)，且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為________．解析設(shè)雙曲線的方程為：x2－y2＝λ(λ≠0)，把點A(3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程為eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1.答案eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1考點一雙曲線的定義及其應(yīng)用【例1】(1)(2017·鹽城中學模擬)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為e，過F2的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點，假設(shè)△F1AB是以B為直角頂點的等腰直角三角形，則e2＝________.(2)(2015·全國Ⅰ卷)F是雙曲線C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦點，P是C左支上一點，A(0,6eq\r(6))，當△APF周長最小時，該三角形的面積為________．解析(1)如以以下列圖，因為AF1－AF2＝2a，BF1－BF2＝2a，BF1＝AF2＋BF2，所以AF2＝2a，AF1＝4a.所以BF1＝2eq\r(2)a，所以BF2＝2eq\r(2)a－2a.因為F1Feq\o\al(2,2)＝BFeq\o\al(2,1)＋BFeq\o\al(2,2)，所以(2c)2＝(2eq\r(2)a)2＋(2eq\r(2)a－2a)2，所以e2＝5－2eq\r(2).(2)設(shè)左焦點為F1，PF－PF1＝2a＝2，∴PF＝2＋PF1，△APF的周長為AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周長最小即為AP＋PF1最小，當A，P，F(xiàn)1在一條直線時最小，過AF1的直線方程為eq\f(x,－3)＋eq\f(y,6\r(6))＝1.與x2－eq\f(y2,8)＝1聯(lián)立，解得P點坐標為(－2,2eq\r(6))，此時S＝S△AF1F－S△F1PF＝12eq\r(6).答案(1)5－2eq\r(2)、(2)12eq\r(6)規(guī)律方法“焦點三角形〞中常用到的知識點及技巧(1)常用知識點：在“焦點三角形〞中，正弦定理、余弦定理、雙曲線的定義經(jīng)常使用．(2)技巧：經(jīng)常結(jié)合|PF1－PF2|＝2a，運用平方的方法，建設(shè)它與PF1、PF2的聯(lián)系．提醒利用雙曲線的定義解決問題，要注意三點①距離之差的絕對值．②2a＜F1F2.③焦點所在坐標軸的位置．【訓(xùn)練1】(1)如果雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1上一點P到它的右焦點的距離是8，那么點P到它的左焦點的距離是________．(2)(2017·揚州模擬)點P為雙曲線eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1右支上一點，點F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，M為△PF1F2的內(nèi)心，假設(shè)S△PMF1＝S△PMF2＋8，則△MF1F2的面積為________．解析(1)由雙曲線方程，得a＝2，c＝4.設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點，根據(jù)雙曲線的定義PF1－PF2＝±2a，∴PF1＝PF2±2a＝8±4，∴PF1＝12或PF1＝4.(2)設(shè)內(nèi)切圓的半徑為R，a＝4，b＝3，c＝5，因為S△PMF1＝S△PMF2＋8，所以eq\f(1,2)(PF1－PF2)R＝8，即aR＝8，所以R＝2，所以S△MF1F2＝eq\f(1,2)·2c·R＝10.答案(1)4或12(2)10考點二雙曲線的標準方程及性質(zhì)(多維探究)命題角度一與雙曲線有關(guān)的范圍問題【例2－1】(1)(2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)、宿遷五市調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中，方程eq\f(x2,4－m)－eq\f(y2,2＋m)＝1表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為________．(2)(2015·全國Ⅰ卷改編)M(x0，y0)是雙曲線C：eq\f(x2,2)－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，假設(shè)eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))<0，則y0的取值范圍是________．解析(1)由題意可得(4－m)(2＋m)>0，解得－2<m<4.(2)因為F1(－eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(eq\r(3)，0)，eq\f(x\o\al(2,0),2)－yeq\o\al(2,0)＝1，所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－eq\r(3)－x0，－y0)·(eq\r(3)－x0，－y0)＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)－3＜0，即3yeq\o\al(2,0)－1＜0，解得－eq\f(\r(3),3)＜y0＜eq\f(\r(3),3).答案(1)(－2,4)(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))命題角度二與雙曲線的離心率、漸近線相關(guān)的問題【例2－2】(1)(2016·全國Ⅱ卷改編)F1，F(xiàn)2是雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的左、右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，則E的離心率為________.(2)(2017·鹽城模擬)以雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點F為圓心，a為半徑的圓恰好與雙曲線的兩條漸近線相切，則該雙曲線的離心率為________．解析(1)設(shè)F1(－c,0)，將x＝－c代入雙曲線方程，得eq\f(c2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，所以eq\f(y2,b2)＝eq\f(c2,a2)－1＝eq\f(b2,a2)，所以y＝±eq\f(b2,a).因為sin∠MF2F1＝eq\f(1,3)，所以tan∠MF2F1＝eq\f(MF1,F1F2)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(b2,2ac)＝eq\f(c2－a2,2ac)＝eq\f(c,2a)－eq\f(a,2c)＝eq\f(e,2)－eq\f(1,2e)＝eq\f(\r(2),4)，所以e2－eq\f(\r(2),2)e－1＝0，所以e＝eq\r(2).(2)由題意可得右焦點(c,0)到漸近線y＝eq\f(b,a)x的距離為a，則b＝a，該雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(2).答案(1)eq\r(2)(2)eq\r(2)規(guī)律方法與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路(1)假設(shè)條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接變換轉(zhuǎn)化求解．(2)假設(shè)條件中沒有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系或借助曲線中不等關(guān)系來解決．【訓(xùn)練2】(1)(2017·蘇北四市調(diào)研)設(shè)雙曲線C的中心為點O，假設(shè)有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使A1B1＝A2B2，其中A1，B1和A2，B2分別是這對直線與雙曲線C的交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．(2)(2017·南京模擬)雙曲線x2－eq\f(y2,3)＝1的左頂點為A1，右焦點為F2，P為雙曲線右支上一點，則eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的最小值為________．解析(1)因為有且只有一對相交于點O，所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，所以直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸對稱，并且直線A1B1和A2B2與x軸的夾角為30°，雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于30°且小于等于60°，否則不滿足題意．可得eq\f(b,a)＞tan30°，即eq\f(b2,a2)＞eq\f(1,3)，eq\f(c2－a2,a2)＞eq\f(1,3)，所以e＞eq\f(2\r(3),3).同樣的，當eq\f(b,a)≤tan60°，即eq\f(b2,a2)≤3時，eq\f(c2－a2,a2)≤3，即4a2≥c2，∴e2≤4，∵e＞1，所以1＜e≤2.所以雙曲線的離心率的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2)).(2)由題可知A1(－1,0)，F(xiàn)2(2,0)．設(shè)P(x，y)(x≥1)，則eq\o(PA1,\s\up6(→))＝(－1－x，－y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.因為x≥1，函數(shù)f(x)＝4x2－x－5的圖象的對稱軸為x＝eq\f(1,8)，所以當x＝1時，eq\o(PA1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))取得最小值－2.答案(1)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，2))(2)－2考點三雙曲線的綜合問題【例3】(1)(2017·揚州質(zhì)檢)F是橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1與雙曲線C2的一個公共焦點，A，B分別是C1，C2在第二、四象限的公共點．假設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0，則C2的離心率是________．(2)(2015·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點．假設(shè)點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為________．解析(1)設(shè)另一個公共焦點為F2，AF＝m，AF2＝n，由橢圓的定義可得m＋n＝2a1＝4，根據(jù)對稱性知AF2∥BF，且AF2＝BF，由eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝0可知AF⊥BF，所以AF⊥AF2，則有m2＋n2＝(2c1)2＝12，與m＋n＝4聯(lián)立，解得m＝2－eq\r(2)，n＝2＋eq\r(2)(或m＝2＋eq\r(2)，n＝2－eq\r(2))．根據(jù)雙曲線的定義可得2a2＝|m－n|＝2eq\r(2)，即a2＝eq\r(2)，而c2＝c1＝eq\r(3)，故雙曲線的離心率為e＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(\r(6),2).(2)設(shè)P(x，y)(x≥1)，因為直線x－y＋1＝0平行于漸近線x－y＝0，所以c的最大值為直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0之間的距離，由兩平行線間的距離公式知，該距離為eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).答案(1)eq\f(\r(6),2)(2)eq\f(\r(2),2)規(guī)律方法解決與雙曲線有關(guān)綜合問題的方法(1)解決雙曲線與橢圓、圓、拋物線的綜合問題時，要充分利用橢圓、圓、拋物線的幾何性質(zhì)得出變量間的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解．(2)解決直線與雙曲線的綜合問題，通常是聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形注意取舍．【訓(xùn)練3】(2016·天津卷改編)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,b2)＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為________．解析由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,2)x，圓的方程為x2＋y2＝4，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝4，,y＝\f(b,2)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,\r(4＋b2))，,y＝\f(2b,\r(4＋b2))))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(－4,\r(4＋b2))，,y＝\f(－2b,\r(4＋b2))，))即第一象限的交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(4＋b2))，\f(2b,\r(4＋b2)))).由雙曲線和圓的對稱性得四邊形ABCD為矩形，其相鄰兩邊長分別為eq\f(8,\r(4＋b2))，eq\f(4b,\r(4＋b2))，故eq\f(8×4b,4＋b2)＝2b，得b2＝12.故雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1[思想方法]1．與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有公共漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．2．雙曲線的標準方程求雙曲線的漸近線方程時，只要令雙曲線的標準方程中“1〞為“0〞就得到兩漸近線方程，即方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝0就是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線方程．[易錯防范]1．雙曲線方程中c2＝a2＋b2，說明雙曲線方程中c最大，解決雙曲線問題時不要無視了這個結(jié)論，不要與橢圓中的知識相混淆．2．求雙曲線離心率及其范圍時，不要忽略了雙曲線的離心率的取值范圍是(1，＋∞)這個前提條件，否則很容易產(chǎn)生增解或擴大所求離心率的取值范圍致錯．3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±eq\f(b,a)x，eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程是y＝±eq\f(a,b)x.4．直線與雙曲線交于一點時，不一定相切，例如：當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點，但不是相切；反之，當直線與雙曲線相切時，直線與雙曲線僅有一個交點.根基穩(wěn)固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．(2016·江蘇卷)在平面直角坐標系xOy中，雙曲線eq\f(x2,7)－eq\f(y2,3)＝1的焦距是________．解析由，得a2＝7，b2＝3，則c2＝7＋3＝10，故焦距為2c＝2eq\r(10).答案2eq\r(10)2．(2017·南京模擬)設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長為2，焦距為2eq\r(3)，則雙曲線的漸近線方程為________．解析因為2b＝2，所以b＝1，因為2c＝2eq\r(3)，所以c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\f(\r(2),2)x.答案y＝±eq\f(\r(2),2)x3．(2015·廣東卷改編)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq\f(5,4)，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為________．解析因為所求雙曲線的右焦點為F2(5,0)且離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝1.答案eq\f(x2,16)－eq\f(y2,9)＝14．(2017·蘇北四市聯(lián)考)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，右焦點F到漸近線的距離為2，點F到原點的距離為3，則雙曲線C的離心率e為________．解析∵右焦點F到漸近線的距離為2，∴F(c,0)到y(tǒng)＝eq\f(b,a)x的距離為2，即eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴eq\f(bc,c)＝b＝2，又∵點F到原點的距離為3，∴c＝3，∴a＝eq\r(c2－b2)＝eq\r(5)，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,\r(5))＝eq\f(3\r(5),5).答案eq\f(3\r(5),5)5．(2017·南通、揚州、泰州三市調(diào)研)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點為M，右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線l與雙曲線交于A，B兩點，且滿足MA⊥MB，則該雙曲線的離心率是________．解析由題意可得AF＝MF，且AF＝eq\f(b2,a)，MF＝a＋c，則eq\f(b2,a)＝a＋c，即b2＝a2＋ac＝c2－a2，所以e2－e－2＝0(e>1)，解得e＝2.答案26．(2017·南京師大附中模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓x2＋(y＋2)2＝1沒有公共點，則該雙曲線的離心率的取值范圍為________．解析雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線y＝±eq\f(b,a)x，即bx±ay＝0與圓x2＋(y＋2)2＝1沒有公共點，則eq\f(2a,\r(a2＋b2))＝eq\f(2a,c)>1,2a>c，故該雙曲線的離心率滿足1<e＝eq\f(c,a)<2，即雙曲線的離心率的取值范圍為(1,2)．答案(1,2)7．(2017·泰州模擬)雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑