高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練：平面解析幾何（解析版）

專(zhuān)題八平面解析幾何

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

22

1.（2024重慶名校聯(lián)盟聯(lián)考，2）已知雙曲線(xiàn)會(huì)-會(huì)=1（6〉0）的焦距為8,則該雙曲線(xiàn)

的漸近線(xiàn)方程為（）

A.y=±-xB.y=±3%C.y=±g%D.y=±—

33

【答案】C

分析】結(jié)合焦距定義與漸近線(xiàn)方程定義計(jì)算即可得.

【詳解】由題意可得2&2+加=8,解得。=2（負(fù)值舍去），

則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y=±半》=±73%.

故選C.

2.（2024河北石家莊質(zhì)量檢測(cè)三，2）已知圓C]：/+丁2=1和圓

22

C2:x+j-6x-8y+9=0,則兩圓公切線(xiàn)的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求兩圓圓心距及兩圓半徑，從而可判斷兩圓位置關(guān)系，即可

得公切線(xiàn)條數(shù).

【詳解】圓G：/+y2=i的圓心為G（Q0）,半徑弓=1,圓+6x—8y+9=0

的圓心G（3,4）,半徑馬=4,

則|GQ|=’32+42=5=1+G,故兩圓外切，則兩圓公切線(xiàn)的條數(shù)為3.

故選C.

3.（2024湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)綜合測(cè)，2）圓心在y軸上，半徑為1,且過(guò)點(diǎn)（1,2）的圓的方程

是

A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.x2+(y-3)2=1

【解析】因?yàn)閳A心在y軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(03)，

則圓的方程為無(wú)2+(y—療=1,又點(diǎn)(1,2)在圓上，所以1+(2—4=1,解得b=2,所

以所求圓的方程為V+(y—2)2=1.故選A.

4.(2024黑龍江部分學(xué)校三模，5)已知拋物線(xiàn)C:;/=8x焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為/,點(diǎn)A在

。上，直線(xiàn)Ab交y軸于點(diǎn)5,且#=2麗，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)/的距離為()

A.4B.5C.6D.8

【答案】D

【分析】求出焦點(diǎn)產(chǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出A,8坐標(biāo)，利用衣=2麗的西=6,結(jié)合拋物線(xiàn)的

定義即可得解.

【詳解】由拋物線(xiàn)C:/=8x,可知E(2,0),準(zhǔn)線(xiàn)/的方程為x=—2,

設(shè)4(%,%),5(0,%)，因?yàn)槌?2麗，所以(2-石，一%)=2(-2,%)，所以罰=6,

由拋物線(xiàn)定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)/的距離為石+々=6+2=8.

故選D.

5.(2024重慶名校聯(lián)盟聯(lián)考，6)長(zhǎng)為2的線(xiàn)段A3的兩個(gè)端點(diǎn)A和8分別在X軸和>軸上滑

動(dòng)，則點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)8的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M的軌跡方程為()

22722272

AX-,K1nK上工,y1ny上廠(chǎng)1

A.------1------=1B.------1-----=1C.--------1-------=ID.-------1------=1

4242164164

【答案】D

【分析】設(shè)出A、8、M點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得A、8兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用/點(diǎn)的橫縱坐

標(biāo)替換A、8點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算即可得.

【詳解】設(shè)4(%,0)、3(0,%),M(x,y),

則有x+Xi=。，y+0=2%,即％=-x,y2=—,

222

由題意可得X；+￡=4,即（_'2+2I=4,即工+工=1.

1164

故選：D.

22

6.（2024東北三省三校模擬，6）已知雙曲線(xiàn)孑-3=1（">°'匕>°）的左>F2，點(diǎn)、P

ab

在雙曲線(xiàn)的右支上，/為△PF1R的內(nèi)心，記△PR/,APF2I,的面積分別為Si,

So

S2,S3,且滿(mǎn)足51=52+=，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）

3

A.V2B.V3C.2D.3

【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，內(nèi)切圓的性質(zhì)，方程思想，即可求解.

【解答】解：設(shè)△PER的內(nèi)切圓半徑為廠(chǎng)，

則S2=—|PF3|r,S2=—|PF2|r>S3——\F\Fi\r—cr,

262

???S1-S2=2-（|PF1|-|PF4|）r=^

SoSo

又S1=S2+」，：.S1-S5=—^-,

33

.3.

??ar——cr,??e=3,

3

故選：D.

7.（2024重慶檢測(cè)，7）當(dāng)點(diǎn)P（—1,0）到直線(xiàn)/：（3X+l）x+（；l+l）y—（4X+2）=0的距

離最大時(shí)，實(shí)數(shù)/l的值為（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】先求得直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)，再由點(diǎn)P與定點(diǎn)的連線(xiàn)與直線(xiàn)垂直求解.

【詳解】直線(xiàn)/：（32+l）x+（2+l）y-（42+2）=0,

整理得4(3x+y-4)+(x+y—2)=0,

j3x+y-4=0x=l

可得＜?

由x+y-2=0

U=1

故直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)A（L1）,

點(diǎn)尸(—1,0)到4(1,1)的距離da=J(—1—1)2+(0—1)2

故左帖二匕9=工

1+12

直線(xiàn)/：（32+l）x+（；l+l）y—（4/l+2）=0的斜率左=一匕+二1

X+1

故—％±LL=-1,解得2=1.

2+12

故選：B.

8.（2024江蘇省金陵中學(xué)、海安中學(xué)、南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校,8）已知雙曲線(xiàn)工-匯=1,。為坐標(biāo)

36

原點(diǎn)，P,。為雙曲線(xiàn)上兩動(dòng)點(diǎn)，且OPLOQ,則薪產(chǎn)+志甲=（）

11

A.2B.1C.-D.-

36

【答案】D

【分析】設(shè)OP直線(xiàn)方程為y=kx,OQ直線(xiàn)方程為y=—,且設(shè)尸（七,％）,Q（%，%），

k

將直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)聯(lián)立，求出玉2,%2,92,%2,再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.

【詳解】由題意設(shè)OP直線(xiàn)方程為y=區(qū)，。。直線(xiàn)方程為、=-Lx,

k

設(shè)尸（七，％），。（%2，%）

2、.2

X卷=142

626k2

則3

2-e'

」=履

X2

6k2

3226

同理＜2k1-Vy--2左2—1'

1

y=——x

'k

2

cr,,1l-k12k2—1

以y=y97~亍

|OP|26+6k2\OQ|26+6左2

k-+l=’.故選D.

即----7+----7

|0P|2\0Q\26+6426

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.（2024重慶八中適應(yīng)性月考，9）已知雙曲線(xiàn)C過(guò)點(diǎn)且漸近線(xiàn)為廠(chǎng)=±缶，則

（）

22

A.C的方程為土—匕=1

36

B.C的離心率為2叵

3

c.直線(xiàn)1=沖+3（加€11）經(jīng)過(guò)。的一個(gè)焦點(diǎn)

D.。的兩條漸近線(xiàn)的夾角的正切值為2夜

【答案】ACD

【詳解】若C的焦點(diǎn)在x軸，2=0,又?—?=1，則。2=3萬(wàn)=6,°2=9,

aab

6622

若。的焦點(diǎn)在y軸，：=應(yīng)，又:―二=1,貝匕2=一3,舍；故c的方程為工―匕=1,

ba2b136

故A正確；

所以。的離心率為e=6,故B錯(cuò)誤;

直線(xiàn)x=7町+3過(guò)。的右焦點(diǎn)（3,0）,故C正確;

V2-(-V2)

C的兩條漸近線(xiàn)夾角的正切值為=2a,故D正確.

1+A/2-(-A/2)

故選ACD.

10.（2024江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬，9）設(shè)橢圓C：!=1的左、右焦點(diǎn)分別為月、K,尸是

2516

C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（)

3

A.橢圓C的離心率e=§

B.|尸耳|+|「閭=5

C.面積的最大值為12

D.歸司的最小值為g

【分析】對(duì)于A(yíng),由橢圓方程及離心率概念可得；對(duì)于B,由橢圓定義戶(hù)盟+盧工|=2。可判

斷；對(duì)于C、D,由橢圓圖形的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)可得.

【詳解】對(duì)于A(yíng),由橢圓方程得。=5,6=4,所以c=J7萬(wàn)=3，

3

所以離心率為e=不，故A對(duì)；

對(duì)于B,由橢圓定義可知?dú)w耳|+|尸囚=24=10,故B錯(cuò)；

對(duì)于C,由橢圓圖形的結(jié)構(gòu)特征及性質(zhì)可知當(dāng)尸位于橢圓上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，

△尸耳鳥(niǎo)面積取得最大，最大值為S=；x2cx6=bc=12,故C對(duì)；

對(duì)于D,由橢圓性質(zhì)可知。-。4戶(hù)周4。+°,所以|尸盟的最小值為2,故D錯(cuò).

故選：AC.

11.(2024湖南長(zhǎng)沙、瀏陽(yáng)重點(diǎn)校聯(lián)考，11)已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)。：丁2=2°%(0＞0)的焦

點(diǎn)且與C交于A(yíng)、5兩點(diǎn)(其中|AF|＞忸司)，與。的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)D,若|AB|=8,

則下列結(jié)論正確的為()

A.P~~B.|AF|=6

C.忸。|=3忸同D.尸為AD中點(diǎn)

【答案】BD

【解析】

3

【分析】由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求出P的值，可判斷A選項(xiàng)；設(shè)直線(xiàn)A3的方程為x孫+'，

將該直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)的方程聯(lián)立，設(shè)加＞0,根據(jù)|4科=8結(jié)合韋達(dá)定理，求出m的值，

求出點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，求出|AF|,可判斷B選項(xiàng)；求出點(diǎn)8的縱坐標(biāo)，求出忸。|、忸同，可

判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出|4司、耳，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C:y2=2px(〃>0)的焦點(diǎn)則六|，可得

2=3,A錯(cuò);

對(duì)于B選項(xiàng)，如下圖所示:

若直線(xiàn)A3與龍軸重合，則直線(xiàn)A3與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意,

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+^,由A選項(xiàng)可知拋物線(xiàn)C的方程為y2=6x,

_3

2

設(shè)點(diǎn)4(%,%)、5(%，%)，聯(lián)立'x—my+g可得,2_6町_9=0,A=36(m+l)>0,

/=6x

由韋達(dá)定理可得%+%=6根，%為=一9,

不妨設(shè)機(jī)>0,由圖可知％>0,

++=7M2

|AB|=玉+X2+3=myt+-1+my2(%+%)+6=6m+6=8,則m=^~,

%+%=20,

所以，<%%=—9，解得％=3j§，則石=也%+2=2,

%〉0J-

393

所以，|A司=%+—=—+—=6,B對(duì);

11222

9

對(duì)于c選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，y2~

出,3

x=——y+—3

直線(xiàn)A5的方程為x=3y+。，聯(lián)立<3x=——

2,解得，2,則

3-23

X=——y=—3』

2

所以，忸司=%+g=+3=—1+3=2，

忸胃=1+[走]/6+3詞=4,則忸D|=2忸同，C錯(cuò)；

VV3J

對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)榭谀?}+1#].|-3^-0|=6=|AF|)則歹為AD的中點(diǎn)，D對(duì).

故選：BD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

12.(2024黑龍江部分學(xué)校三模，13)已知圓C：(x-l)2+(y-4)2=r2(r>0),

A(—3,0),3(—1,0),若C上存在點(diǎn)P,使得NAPB=90°,則廠(chǎng)的取值范圍為.

【答案】[4,6]

【分析】把NAPB=90°轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)，進(jìn)而得出兩圓位置關(guān)系求參即可.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)4(—3,0),5(—1,0),而點(diǎn)尸滿(mǎn)足NAPB=90°，則點(diǎn)P的軌跡是以線(xiàn)段

A8為直徑的圓M(除點(diǎn)A,8外)，圓M：(%+2)2+/=1(#0),半徑4=1,

又點(diǎn)P在圓C：(x-l)2+(y-4)2=r2(r>0)±,圓C的圓心C(1,4),半徑為r,

|CM|=7(-2-l)2+4=5,

依題意，圓M與圓C有公共點(diǎn)，因此卜—+{，即卜—[<5Kr+l,解得

4<r<6.

13.(2024廣東廣雅中學(xué)適應(yīng)性考試，13)設(shè)拋物線(xiàn)。：/=2川5>0)的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)為

/.斜率為指的直線(xiàn)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)產(chǎn)，交。于點(diǎn)A,交準(zhǔn)線(xiàn)/于點(diǎn)8(A,3在無(wú)軸的兩側(cè))，若

|AB|=16,則拋物線(xiàn)C的方程為.

【答案】/=8x

【分析】首先表示出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線(xiàn)方程，即可得到直線(xiàn)/的方程，從而求出8點(diǎn)

坐標(biāo)，再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式得到方程，解得即可.

【詳解】拋物線(xiàn)。：產(chǎn)=2內(nèi)（0>0）的焦點(diǎn)為口1^,0],準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-點(diǎn)，

依題意直線(xiàn)/的方程為y=6]》-,

令x=-^■可得y=-6p,即,一（一外”），

3（3

又A,B在無(wú)軸的兩側(cè)，所以與=5°,則%=百〃，所以

所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2=8x.

14.（2024福建南平模擬，14）橢球面鏡具有改變光路的方向、使光束會(huì)聚的作用，它經(jīng)常

被用來(lái)制作精密的光學(xué)儀器的部件.橢球面鏡是以橢圓的長(zhǎng)軸為旋轉(zhuǎn)軸，把橢圓轉(zhuǎn)動(dòng)180。形

成的立體圖形，其內(nèi)表面全部做成反射面，中空，橢球面鏡可以將從某個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)全

部反射到另一個(gè)焦點(diǎn)處.從橢球面鏡的焦點(diǎn)片射出的兩條光線(xiàn)，經(jīng)橢球面鏡上的兩點(diǎn)

反射后匯聚于焦點(diǎn)尸2,若3祠=2而，且|A耳|=2|4引，則橢球面鏡的軸截面橢圓的離

心率為.

【答案】g

5

【分析】利用焦半徑三角形的性質(zhì)，即橢圓的幾何定義，結(jié)合已知的線(xiàn)段比，就可以得到三

邊關(guān)系，從而利用勾股定理得到直角三角形，再解三角形即可得離心率.

【詳解】

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2°,焦距為2c,短軸長(zhǎng)為2"Ag|=2f,

^\AF}\=2\AF2\=4t,\BF2\=3t,

由橢圓的定義得閭=2a=6t,\BF}\+\BF2\=2a=6t,

所以忸耳|=3/,因?yàn)閨A4|=4f,忸耳|=3力AB|=|A&|+忸閭=57,所以4耳，5耳,

又忸制=|%|=3/,所以8為橢圓的短軸端點(diǎn).

\BE\3,

設(shè)。為橢圓的中心，因?yàn)閏osN^BE=上蔣=二=1—2smZOBF,

\AB\52'

所以sin/O3"=*，又在Rt^OB鳥(niǎo)中，OB±OF2,\OB\=b,\OF2\=c,

.\OF\

所以忸￡|=J8+c?=a，所以sin/OBF=—2亍

2\BF2\

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.(2024江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬，16)已知橢圓C:=+馬=l(a>b>0)的離心率為不，長(zhǎng)軸

a~b~Z

的左端點(diǎn)為A(-2,0).

(1)求C的方程；

(2)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)的任一直線(xiàn)/與橢圓C分別相交于兩點(diǎn)，且4〃,4"與直線(xiàn)》=4,

分別相交于。，E兩點(diǎn)，求證：以。E為直徑的圓恒過(guò)x軸上定點(diǎn)，并求出定點(diǎn).

【分析】(1)由離心率，及頂點(diǎn)坐標(biāo)得橢圓的方程；

(2)設(shè)〃(占,乂)，N(x2,y2),將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，求得0(4,2)，E(4,4)，由

垂直關(guān)系利用數(shù)量積等于零，求得圓與X軸的交點(diǎn).

f1

【解析】(1)由題可得一=a=2,得b=6,

a2

22

所以橢圓C的方程：—+^=1；

43

(2)橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為(L。)，由題直線(xiàn)斜率不為零，設(shè)直線(xiàn)/方程為1=根丁+1,

設(shè)“(%,%),N(%2，%)，

x=my+l

由題’聯(lián)立方程組優(yōu)+匕,2,消去工得(3機(jī)2+4)y2+6my-9=0,

=1

143

,

所以％+%=3［m一?：+44，3m工+4

AM:y=^-(x+2),得。(4,國(guó)三)，同理，AN:y=^-(x+2),得E(4,&1),

玉+2%+2X?+29+2

設(shè)X軸上一點(diǎn)尸億0),貝I］麗=(4T，2),同理得:而=(4r且、)，

x1+2x2+2

黑聾D+黃+2）

PDPE=(4T,

因?yàn)?國(guó)+2)(%2+2)=(myl+3)(my2+3),

麗*”+麗II焉而…戶(hù)中能索H―。

得：Z—4=±3,即/=1或/=7,

所以以。E為直徑的圓恒過(guò)x軸上定點(diǎn)，定點(diǎn)分別為（1,0）,（7,0）.

16.（2024重慶南開(kāi)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè)，17）已知“為圓/+/=9上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，MN垂直x軸，

垂足為N,。為坐標(biāo)原點(diǎn)，AQV/N的重心為G.

（1）求點(diǎn)G的軌跡方程；

（2）記（1）中的軌跡為曲線(xiàn)C,直線(xiàn)/與曲線(xiàn)。相交于48兩點(diǎn)，點(diǎn)。（0,1）,若點(diǎn)H（6,0）

恰好是AABQ的垂心，求直線(xiàn)/的方程.

._2xo

戶(hù)〒

【分析】（1）設(shè)6（用?。?加（X0，陽(yáng)），根據(jù)6為A。仰的重心，得彳，代入

丁=迎

I-3

焉+y：=9,化簡(jiǎn)即可求解.

（2）根據(jù)垂心的概念求得勺=6,設(shè)直線(xiàn)/方程，與橢圓聯(lián)立韋達(dá)定理，利用

得一177?二一=一1，將韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)即可求解.

解析】（1）

設(shè)6（%,?。?加（毛,%）,則N（%o,O）,因G為AQV/N的重心,

_2x0

X=~T3，

故有：＜,解得小=3,%=3）；,代入x；+y；=9,化簡(jiǎn)得二+產(chǎn)=1,

v=A24-

-3

丫2

又升為。0,故孫W0,所以G的軌跡方程為、+產(chǎn)=1（肛。0）.

（2）因〃為AABQ的垂心，故有

又的2=6^=—9，所以勺=石，故設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=6x+加（機(jī)#1）,

2

與亍+V=1聯(lián)立消去y得：13x2+8V3mr+4m2—4=0?

由△=208—16機(jī)2>0得<13,

設(shè)4（%,乂）,3（*2，%），則=-8：加,苞々=

所以4%%2+百（加一1）（尤1+%2）+根2-根=0,

所以4（4根2一4）一24根（加一1）+13（相2一根）=。，化簡(jiǎn)得5根2+11加—16=0,

解得機(jī)=1（舍去）或加=與（滿(mǎn)足A＞0）,故直線(xiàn)/的方程為丁=其弋.

JJ

2

17.（2024廣東廣雅中學(xué)適應(yīng)性考試,17）已知橢圓C：5+y1（?！等耍緊）的離心率為

a

且過(guò)點(diǎn)卜2,、行卜

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P（T,O）且斜率不為。的直線(xiàn)/與橢圓C交于A(yíng),8兩點(diǎn).問(wèn)：在x軸上是否

存在定點(diǎn)Q,使直線(xiàn)Q4的斜率%與QB的斜率質(zhì)的積為定值？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（1）結(jié)合離心率的定義，將卜2,君）代入橢圓方程計(jì)算即可得；

（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立曲線(xiàn)，借助韋達(dá)定理表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系后，結(jié)合斜率公式表

示出斜率之積后可得3x；-24=0時(shí)，W，計(jì)算即可得解.

【解析】（1）

22[

因?yàn)闄E圓C:j+]=l（a〉心〉0）的離心率為：，所以（=5,即a=2c,

_22

所以b=所以橢圓C的方程為jy+*=l，

因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)卜、后），所以43

C2,命+彳j解得=2,

故/=4c2=8，b2=3c2=6，

22

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+匕=1；

86

（2）假設(shè)存在定點(diǎn)。（％,0）.設(shè)B（x2,y2）,

易知直線(xiàn)/的斜率顯然存在，且不為0,設(shè)其方程為丁=左（無(wú)+4）,

（22

土+匕=1

聯(lián)立橢圓方程與直線(xiàn)方程，得彳86,消去y并整理，

y=左（1+4）

得（3+4左2）+3242%+64k2-24=0,

匚匚232k26442—24

物以M+/=---------7，=---------Z—

123+4k2123+4左2

23

由A=（32用4（3+4陰（64左2—24）>0,解得左2<“且左w0,

Xy2M玉+4）左伍+4）-以/+4（玉+工2）+16]

月廣以--------------------------------------------7-------------------X----------------2-

玉一/X2-Xo石一/X2-Xo石九2一（玉+%2）X0+九0

,,64左2—24128左2

k-----------------5---------------------7+16、

__3+483+48J_24左2

—64左2—24~32P1―64k2+32k/+3需一24

---------+------Vxo+xo

3+4左23+4左2°°

____________24__________

64+32/+4x；+3^24'

則當(dāng)3焉-24=0時(shí)，秘2為定值，此時(shí)/=±2拒.

所以存在定點(diǎn)。（土20,0）,使直線(xiàn)QA的斜率匕與QB的斜率k2的積為定值.

18.(2024山東齊魯名校聯(lián)盟檢測(cè)，19)已知拋物線(xiàn)C:y2=4x的焦點(diǎn)為尸，以點(diǎn)尸為圓

心作圓，該圓與x軸的正、負(fù)半軸分別交于點(diǎn)H,G,與C在第一象限的交點(diǎn)為P.

(1)證明：直線(xiàn)尸G與C相切.

(2)若直線(xiàn)與C的另一交點(diǎn)分別為M,N,直線(xiàn)MN與直線(xiàn)PG交于點(diǎn)T.

(i)證明：17Ml=4|77V|；

(ii)求APNT的面積的最小值.

【分析】(1)根據(jù)題意，表示出直線(xiàn)PG的方程，然后與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，由△=()即可證

明；

(2)(i)根據(jù)題意，設(shè)直線(xiàn)P廠(chǎng)的方程為x="+l,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，即可得到點(diǎn)N,”

的坐標(biāo)，從而得到直線(xiàn)尸”的方程，再與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再結(jié)合

相似三角形即可證明；(H)由條件可得S—立“再由研網(wǎng)代入計(jì)

算，即可證明.

【解析】(1)由題意知廠(chǎng)(1,0),

設(shè)尸(",2.(n>0),則忸同=1+1,

所以=所以G(—〃2,O),

所以直線(xiàn)PG的斜率為，，方程為y=L(x+/)

nnv7

y——(x+〃2),0o

聯(lián)立方程，)得y-4〃y+4〃2=0,

。2=4x,

因?yàn)椤?()，所以直線(xiàn)PG與C相切.

(2)

(i)設(shè)直線(xiàn)Pb的方程為％=9+1，

1_1：；可得丁—40—4=o,則yy=-4,又因?yàn)镻(1,2〃)，所以N1，,—2

由＜pN

n

由(1)知，點(diǎn)〃(rr+2,6),直線(xiàn)尸H的斜率為f,方程為y=—〃(、—?2-2),

/=4羽

由＜2\得y2H—y—4/z2—8=0,由丫?加=—4"2—8,

y=-n\x-n-2,n

得M\"2-\——+4,-2n--

\nn

作NE工PG,垂足為E,則EN〃PM,直線(xiàn)EN的方程為了=—"x—*2

n

y=一〃?2

n解得力1,一

將直線(xiàn)￡N與尸G的方程聯(lián)立，得《

2

n'

A4,-4H--I,所以閑=4函,

所以函=,PM=+

nnnn)

由相似三角形的性質(zhì)可得17Ml=4177Vl.

(ii)由(i)知17Ml=4|77V|,所以|研=4|坦，故S^NTM3SAPNE