洛必達(dá)法則的應(yīng)用-高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)重點題型歸納與方法總結(jié)（解析版）

【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)

素養(yǎng)拓展08洛必達(dá)法則的應(yīng)用(精講+精

練)

、知識點梳理

一'刖后

在高中，涉及到求參數(shù)的取值范圍時，參數(shù)分離后，有時會出現(xiàn)分子與分母之比為兩個無窮

小之比、兩個無窮大之比或兩個趨近于零的數(shù)之比。這個比值可能是定值也可能是不存在,

這時如果我們要計算出他們的比值，就需要運(yùn)用到洛必達(dá)法則。

二'洛必達(dá)法則定義

在一定條件下，通過分子分母分別求導(dǎo)，再求極限來確定未定式的值的方法，稱為洛必達(dá)法

則。

三、法則形式

1.法則1(1型)：若函數(shù)/(X)和g(x)滿足下列條件：

(1)設(shè)當(dāng)X-。時，lim/(x)=0及理g(x)=0；

(2)在點。處函數(shù)/(尤)和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)〃無)和g(x)在點a處存在導(dǎo)數(shù)；

(3)lim^^=Z；貝ij：lim/==

2.法則2(g型)：若函數(shù)/(x)和g(x)滿足下列條件：

(l)lim/(x)=0及㈣g(x)=0；

⑵在點?處函數(shù)/(X)和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)/(X)和g(x)在點a處存在導(dǎo)數(shù)；

(3)lim2_H=/)貝米五皿里=lim4^=/

g(%)18S\X)S(%)

3.法則3(1型)：若函數(shù)/(%)和g(%)滿足下列條件:

00

(1)理/(力=00及吧g(x)=8；

(2)在點a處函數(shù)/⑺和g(x)的圖像是連續(xù)的，即函數(shù)/(%)和g(x)在點a處存在導(dǎo)數(shù)；

且g'(x)豐0；

/'(%)/(X)r(無)7

(3)hm〈=1,貝ij：=)〈=/.

ig⑺ig⑺ig⑺

【特別提醒】

(1)將上面公式中的XfXf+8換成xf+00,Xff0,犬f。+,犬fQ-洛必達(dá)法則

也成立。

(2)洛必達(dá)法則可處理9,藝。00,r°,00°,0°,00-00型。

0GO

0

⑶首先要檢查是否滿足。，王,0?00,r,0co,0。，oo—00型定式，否則用洛必達(dá)法會出錯。

0oo

當(dāng)不滿足三個前提條件時，就不能用洛必達(dá)法則

(4)若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止。

(5)高中階段，洛必達(dá)法則一般是用來確定最值，方便解題。

四'適用類型的轉(zhuǎn)化

10010

(1)0?OO型的轉(zhuǎn)化：0,00----,00=—或0,oon0—=—;

000000

.,,.110—00

(2)8-8型的轉(zhuǎn)化：00-00=>-----------=>-----------=—

000-00

0°]fO-lnO

(3)?！?、『刃。型的轉(zhuǎn)化：鬲指函數(shù)類1",型對?數(shù)一

oo°0-lnoo

Z>

二、題型精講精練

I」

【典例1】設(shè)函數(shù)/(x)="—1—X—加

(1)若。=0,求/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時/(x)20,求。的取值范圍

解：(1)〃=0時，/(x)=ex-1-x,f\x)=ex-l.

當(dāng)工￡(F,0)時，/(x)vO；當(dāng)xwQy)時，/(x)>0,故/(%)在(—8,0)單調(diào)減少，

在(0,+8)單調(diào)增加

(II)/*(%)=ex-1-2ax

由(I)知/Nl+x,當(dāng)且僅當(dāng)％=。時等號成立.故

f\x)>x-2ax=(1一2a)x,

從而當(dāng)1—2。20,即時，f\x)>Q(x>0),而/(0)=0,

于是當(dāng)x?0時，/(x)>0.

由e'〉l+x(xwO)可得〉1—x(xwO).從而當(dāng)a〉,時，

2

f\x)<ex-\+2a(e-x—1)=e^(ex-l)(el-2a),

故當(dāng)xe(0,ln2a)時，f'(x)<Q,而/(O)=O,于是當(dāng)％c(0,In2a)時，f(x)<0.

綜合得a的取值范圍為

原解在處理第(II)時較難想到，現(xiàn)利用洛必達(dá)法則處理如下：

另解：(II)當(dāng)x=0時，/(x)=0,對任意實數(shù)a,均在/(x)20；

當(dāng)x〉0時，/⑴20等價于aj一I

X

令g(x)=)：：T(x>0),貝！Ig'(x)="—2；+x+2,令

/z(x)=x/-2/+x+2(x>0),貝！I=x"-e'+1,hrr[x)=xex>0,

知〃⑴在(0,十功上為增函數(shù),〃(%)>”(O)=O；知網(wǎng)力在(0,+8)上為增函數(shù),

/i(x)>/z(O)=O；gr(x)>0,g(x)在(0,+8)上為增函數(shù)。

xxx

e-x-\eei

由洛必達(dá)法則知，lim——--=lim—=lim—=—,

%-o+%-o+2x-。+22

故綜上，知a的取值范圍為1-oo,；]

jr

【典例2】若不等式依>sinx對于xe(0,5)恒成立，求。的取值范圍.

rrwinx

解：當(dāng)口(啊)時，原不等式等價于"丁.

記〃X)=T，則f‘(x)=xcosx-sinxcosx(x-tanx)

jreinJrrr

且一丐)時，"tanx,所以八x)<。.因此小)=丁在(吟)上單調(diào)遞減(也就

是x趨于0時，/(x)最大)

a=/(0),lim/(x)=lim3=lim+=1.所以

JQx—>0x—>01x—>0|

【典例3】(l)0m型

limI-|=lim(—x)=0

D+1_工/x^0+

技巧：將乘積中無窮或0取倒數(shù)進(jìn)而變形到分母上，化為?；蛉?/p>

【典例4](2)00?8型

技巧：可將無窮通分，進(jìn)而化為爭型

【典例5】(3)oo。型

轉(zhuǎn)化方法同上，8°=elnoo°=e°11100=e08

1

111.〃、「ln(x+l)?+T1

lim(l+x)x=limeln(1+x)x=limexAn^1+x^=i=

X—>00ATT8%T8

=e°=1

技巧：可利用對數(shù)性質(zhì)e1na=a，將函數(shù)化為以為e底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為對指數(shù)求極限。

轉(zhuǎn)化方法如下：I00=elnl°°=e8ml=小。，這樣就化為了0s型

【題型訓(xùn)練】

1.已知函數(shù)/(%)=ex—x—1,若當(dāng)%>0時，恒有|/(久)|<zn/elxl成立,求實數(shù)血

的取值范圍.

【解析】因為/(尤)=ex-X-1,所以r(X)=eX—1,

所以當(dāng)XG(―8,0)時,r(x)<0,即/(X)遞減，

當(dāng)尤G(0,+8)時］(乃>0,即/(刀)遞增.

若當(dāng)x>。時，恒有|/(尤)|<m/e陽成立，即恒有o</(W<m/ex成立，

當(dāng)尤=。時，不等式恒成立.

當(dāng)?shù)?gt;0時，恒有0</(x)<m/e*成立，即m>

令H(x)=力手,則"(x)=2e；：2支+2.

x￡exXsex

今以比)=x2—2ex+2x+2,則九十x)=2x-2ex+2,進(jìn)一步五〃(龍)=2—2ex<

0,

所以“(幻=2*—2ex+2在(0,+8)上單調(diào)遞減，所以“(刈<"(0)=0,

所以陽工)-x2-2ex+2x+2在(0,+8)上單調(diào)遞減,所以陽工)<以0)=0,

即H'(龍)<0在(0,+8)上恒成立，所以H(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減.

所以1皿-0+簾=lim=o+若葛=lim=o+裝湍麗=所以帆>1.綜

上刖的取值范圍為悖,+8).

2.設(shè)函數(shù)/(x)=l-二.

Y

(I)證明：當(dāng)1>—1時，/(%)>——;

X+1

X

(II)設(shè)當(dāng)x?0時，/(%)<—^,求a的取值范圍.

tzx+1

【解析】解：(I)略

(II)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)

由題設(shè)xNO,此時/(x)20.

①當(dāng)〃<0時，若%>—士，則一^<0,/(九)《一^不成立；

aax+1ax+1

xx

②當(dāng)〃20時，當(dāng)X20時，/(%)<—^,即1—

ax+1ax+1

若x=0,則〃￡火；

x\-e~x1xex-ex+\

若x>0,貝!)1—6一“<-----等價于------<------，即——：------.

6zx+lxax+1xex-x

記g(x)=""1，則g8)=、1；字+1=fc——_2+e-x).

xe-x(xe-x)(xe-x)

x2xxx

iBh(x)=e-x-2-be~9則砥%)=爐一2%-"”,h"(x)=e+e--2>0.

因此，”(%)=「一2%-"”在(0,+00)上單調(diào)遞增,且此(0)=0,所以“(%)>0,

即丸(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增,且/z(0)=0,所以/z(x)>0.

因此g'(x)=一二〉0，所以g(x)在(0,+00)上單調(diào)遞增.

(xe-x)

由洛必達(dá)法則有

x-x+]xexex+xex1

Xee一=-,即當(dāng)時,

limg(x)=limx=limx=limxxx->0

x->ox->oXe-xx->o/+xe—1-。2e+xe2

g(x).g,即有g(shù)(x)〉g,所以a綜上所述,a的取值范圍是(-*；］.

3.函數(shù)以x)=幺/7In」Y+-h,曲線y=/(%)在點(L/⑴)處的切線方程為x+2y—3=0.

x+1x

(1)求。、b的值；

InYk

(2)如果當(dāng)1>0,且xwl時，/(%)>—-+求左的取值范圍.

x-1X

解：(1)易得a=1,b=l.

/、、“八r.rir/、InxkInx1Inxk

(2)當(dāng)x〉0,且xwl時，f(x)>----1—9即-----1—>----1—,

x-1xx+1xx-1x

,口刀7xlnx1xlnx2xinx41/、2xinx,

也即《<-----+---------=----r+l,記g(%)=-----r+l,x>09且xwl

x+1xx—11—X1—X

2(爐+1)如％+2(1-％2)生』nx+1-x2

貝!lg'(x)=)，

(1-X2)2(I"'X-+1

1-v21-4%1)2

記A(x)=Inx+----則丸'(幻=—1>0,

X'+1x(1+x2)2x(l+x2)2

從而獻(xiàn)1)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且姐)=0,因此當(dāng)xe(o,l)時,久幻<。，當(dāng)xe(l,+8)

時，A(x)>0；當(dāng)xe(0,l)時，g'(x)<0,當(dāng)xe(l,+<?)時，g(x)>。，所以g(幻在(0,1)

上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增.

由洛必達(dá)法則有

2xlnY21nx+2

limg(x)=lim(；+1)=1+lim""：=1+lim=0,

3x^l1-xIl-xx—^1-2x

即當(dāng)x>0,且xwl時，g(x)>。.因為左vg(x)恒成立，所以《40.綜上所述，當(dāng)工〉0,

InYk

且XW1時，/(x)>」+勺成立，左的取值范圍為(—8,0].

x-1X

4.設(shè)函數(shù)/(x)=l—

(1)證明：當(dāng)尤>—1時，/(%)>——；

X+1

X

(2)設(shè)當(dāng)x?0時，/(%)<-----，求。的取值范圍.

ax+1

解：(1)易證.

(2)應(yīng)用洛必達(dá)法則和導(dǎo)數(shù)

由題設(shè)x?0,此時/(x)20.

Ixx

①當(dāng)〃<0時，若元〉——，則-----<0,/(%)<------不成立;

a4zx+lax+1

YV

②當(dāng)〃20時，當(dāng)X20時，/(%)<-----，即1—------；

ax+lax+1

若x=0,則〃￡尺；

x

x1—(r1YPX—0*+]

若x>0,貝也―6一工《-----等價于即心優(yōu)+1

ax+1xax+\xex-x

xe-e2-2/_2e'+l

記g(x)=貝!Jg'(x)=~(ev-x2-2+e-x).

xex-x(xer-x)2(xex-x)2T

記"(x)=e*-x?-2+0-*,貝!]/i'(x)=e*-2x-0-*,h"(x)=ex+e~x-2>0.

因此，"(x)=e'—2x—er在(0,+8)上單調(diào)遞增，且五'(0)=0,所以做x)>0,

即以x)在(0，+8)上單調(diào)遞增，且丸(0)=0,所以丸(x)>0.

因此g'(%)=—r~，展X)〉0，所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.

(xe-x)

由洛必達(dá)法貝!j有hmg(x)=lim----：-------lim------:——二lim——：-----二—

xxxxx7

%-oXe-xx->oe+Xe_1z02e+xe2

即當(dāng)xf0時，g(x)f即有g(shù)(x)〉g,所以0<aW；.

綜上所述，。的取值范圍是［0-］.

2

5.若不等式sinx八-加對于xe，,?恒成立，求”的取值范圍.

【答案】

6

【詳解】當(dāng)xw(0,|^時，原不等式等價于a>±*.

、r”、x-sinxm「，/、3sinx-xcosx-2x

記/(%)=--一,貝=---------------.

記g(%)=3sinx—xcosx—2x,貝!|g'(x)=2cosx+xsinx—2.

因為g"(%)=xcosx-sinx9g"(%)=-xsinx<0,

所以g"(x)在［o,。上單調(diào)遞減，且g”(x)<o,

所以g'3在(0,；］上單調(diào)遞減，且g'Q)<0.

因此g(x)在［0,、］上單調(diào)遞減，且g(x)<0,

故/'(幻=嘩<。，因此〃x)=±T在上單調(diào)遞減.

xx12J

由洛必達(dá)法則有l(wèi)im/(x)=lim七步=1血匕?=lim皿=lim+=L