函數(shù)的奇偶性（5大壓軸考法）解析版-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題13函數(shù)的奇偶性

目錄

解題知識必備......................................

壓軸題型講練........................................................3

題型一、由奇偶性求參數(shù).......................................................3

題型二、由奇偶性求函數(shù)解析式................................................7

題型三、根據(jù)奇偶性解不等式..................................................8

題型四、奇偶性與對稱性綜合應(yīng)用............................................11

題型五、奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用............................................13

壓軸能力測評(21題)..............................................17

X解題知識必備2

一、函數(shù)的奇偶性

1、奇函數(shù)：如果對于函數(shù)/(X)的定義域內(nèi)任意一個%，都有/(-五)=-/(X),那么函數(shù)”X)是奇函數(shù),

圖象關(guān)于原點對稱.

2、偶函數(shù)：如果對于函數(shù)/(%)的定義域內(nèi)任意一個了,都有/(—力=/(耳，那么函數(shù)是偶函數(shù),

圖象關(guān)于y軸對稱.偶函數(shù)/(x)的性質(zhì)：/(—%)=/(%)=可避免討論.

3、奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象對稱性的推廣

y=/(x)在定義域內(nèi)恒滿足y=/(x)的圖象的對稱軸(中心)

f(a+x)=f(a-x)直線x=a

/(%)=/(?-%)直線冗=3

2

f(a+x)=f(b-x)直線x*

2

f(a+x)+f(a-x)=O點(a,0)

/(a+x)+/S-%)=0點號,0)

,a+bc、

f(a+x)+f(b-x)=c點H(，)

22

二、判斷奇偶性的常用方法

1、定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)

的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷了(-X)與±/(x)之一是否相等.

注：判斷了(-X)與/(力的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：

(1)如果/(T)—/(x)=O或1V=1(Y(X)HO),則函數(shù)/(X)為偶函數(shù)；

f(—1)

(2)如果/(一元)+/(￡)=0或號而■=-l(/(x)wO),則函數(shù)/(%)為奇函數(shù).

2、圖象法：奇(偶)函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點(y軸)對稱.

3、性質(zhì)法：設(shè)/(%),g(x)的定義域分別是D2,在它們的公共定義域上，一般具有下列結(jié)論：

/(%)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)加⑴)

偶偶偶偶偶

偶奇不確定奇偶

奇偶不確定奇偶

奇奇奇偶奇

三、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法，又是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，要注

意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用.

1、由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)

若函數(shù)解析式中含參數(shù)，則根據(jù)/(-%)=-/(%)或/(f)=〃x),利用待定系數(shù)法求參數(shù)；若定義域含

參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用區(qū)間的端點值之和為。求參數(shù).

2、由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值

由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時，若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用/(—X)=—“X)或/(-%)=/(x)求

解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般續(xù)利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值.

3、由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的一般步驟

(1)在哪個區(qū)間上求解析是，了就設(shè)在哪個區(qū)間上；

(2)把一1對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知區(qū)間的解析式得/(-X)；

(3)利用函數(shù)的奇偶性把了(―九)改寫成—/(龍)，從而求出了(%).

四、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用

1、奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反.

2、區(qū)間［a,加和［-b,-a］關(guān)于原點對稱

(1)若/(%)為奇函數(shù)，且在［a,b］上有最大值M,則f(x)在［-b,-a］上最小值—M；

(2)若/(x)為偶函數(shù)，且在［a,切上有最大值則/XE)在［-4-用上最大值加.

3、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值或自變量的大小，關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的同一

個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用單調(diào)性比較.

注：由/(石)>/(々)或/(石)</(%)及函數(shù)的單調(diào)性列出不等式(組)時，要注意定義域?qū)?shù)的影響.

“壓軸題型講練”

【題型一由奇偶性求參數(shù)】

一、單選題

1.(23-24高一上?湖北?期中)已知函數(shù)〃尤)=丁+%+機是定義在區(qū)間［一2-九,2同上的奇函數(shù)，則相+"=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)奇函數(shù)得到-2-〃+2"=0,f(O)=m=O,解得答案，再驗證即可.

【詳解】函數(shù)/(力=三+》+m是定義在區(qū)間［-2-〃,2句上的奇函數(shù)，

貝！］一2—〃+2〃=0,解得"=2,定義域為［-4,4］,〃0)=機=0,則m=0,

f(x)=x3+x,定義域為［-4,4］,/(-X)=-J?-X=-/(X),函數(shù)為奇函數(shù)，滿足，

故〃z+〃=2.

故選：C

2.(23-24高一上?江蘇無錫?期中)我們知道，函數(shù)，=/(元)的圖象關(guān)于坐標原點成中心對稱圖形的充要條

件是函數(shù)y=〃尤)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)y=的圖象關(guān)于點P(a,6)成中心對稱圖

形的充要條件是函數(shù)>=/(尤+。)-6為奇函數(shù).根據(jù)此想法，我們可以求函數(shù)/。)=丁+3/圖象的對稱中心

為()

A.(-1,2)B.(1,-2)C.(0,0)D.(-3,0)

【答案】A

【分析】令g(x)=/(x+a)-%=(x+a)3+3(x+a)2-M化簡后，利用奇函數(shù)的定義求得。,人的值，即得答案.

【詳解】?^-g(.x)=f(x+a)-b=(x+a)1+3(x+a)2-b=x3+3ax2+3a2x+a3+3x2+6ax+3a2-b

=丁+(3。+3)無?+(3a-+6a)x+a，+3a--b

/、f3a+3=0fa=—1

由gX為奇函數(shù)，得g(r)=-g(X),貝！I3&2〃八，解得%°，

'a+3a—5=0\b=2

所以函數(shù)/(x)=尤3+3/圖象的對稱中心為(T,2).

故選：A

3.（23-24高一上.山東德州?期中）若函數(shù)/⑴=貯±絲二四士竺是定義在（一2a+2,0）U（0M）上的偶函

X

數(shù)，貝（）

795

A.-------B.3C.—D.51

2432

【答案】B

【分析】根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱求得。，根據(jù)偶函數(shù)定義求得6,可得A》）的解析式，進而得AD.

【詳解】由題意，定義域（-2a+2,0）UQ。）關(guān)于原點對稱，則-2°+2=-。，解得”=2,

則=2/+X+2-26,又f（x）是偶函數(shù)，

X

則f（一元）=/（尤），即2（-.7+2-2匕=2/+=+2-22解得匕=1,

—XX

貝！1/（無）=^1￡=2尤2+1,尤e（-2,0）口（0,2）,

X

則/（l）=2xl2+l=3.

故選：B.

4.（23-24高一上?浙江寧波?期末）若函數(shù)〃x）=的一廠為偶函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是（）

x—\x—a\

A.a<-3B.a>3C.-3<a<3D.aW-3或

【答案】A

【分析】根據(jù)/（%）為偶函數(shù)，得丁=%-|%-。1在［-3,引（或其子集）上為偶函數(shù)，求得。的取值范圍.

【詳解】???函數(shù)/（無）=的一.為偶函數(shù),>=7^二3的定義域為［-3,3］,且為偶函數(shù)，

x—\x—a\

y=%-1%-a|在［-3,3］（或其子集）上為偶函數(shù)，

.,.X-々20恒成立，

.?.々《%,（-3<%<3）：恒成立，

CL?—3.

故選：A.

5.（24-25高一上?全國?隨堂練習(xí)）已知函數(shù)7口）=卜:龍廣八為奇函數(shù)，則。+6等于（）

ax+bx,x>Q

A.-1B.1C.0D.2

【答案】c

【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出a，b值即可.

【詳解】依題意，當x>0時，-x<0,貝！|/（無）=-/（-x）=—［（一了）2+（-x）］=—/+x,

而當尤>0時，f{x}=ax1+bx,因此依2+法=-%2+無，貝!ja=-l,6=l,/(勸二一尤,+了，

當x<0時，-x>0,貝(J/(x)=-/(—x)=-[-(-x)2+(—尤)]=x?+尤，

又"0)=0=-〃0),于是VxeR,/(%)=-/(-%),

所以。=-1,6=1,所以4+Z?=0.

故選：C

二、填空題

6.(2024高一?全國?專題練習(xí))已知函數(shù)〃了)=依2+卜+。+11為偶函數(shù)，則。=.

【答案】-1

【分析】由f(-x)=f(x)進行求解.

【詳解】因為函數(shù)/(尤)=以2+卜+。+［為偶函數(shù)，所以f(—x)=f(x),

即6ZX2+|—X+67+1|=(VC+1%+67+1|,

即1-X+67+1|=|X+6Z+1|,

兩邊平方，化簡可得g+i)x=o.

要使上式恒成立，則4+1=0,即4=一式

故答案為：-1

7.(23-24高一上?上海黃浦?期中)已知函數(shù)y=/(%)的表達式為〃x)=,且在［-l,c］上為奇函數(shù)，

-A-~1UJLI-J.

則/(c)的值為.

【答案】1/0.5

【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)求出c的值，結(jié)合函數(shù)/■(;<)=2"：。求出a,b的值，可得函數(shù)解

析式，計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)〃尤)=在［-1,4上為奇函數(shù),

」-："

人"ICAXA

所以有T+c=0nc=l,

即〃尤)=-J：'7在［T1］上為奇函數(shù)，

iZzA十,L

所以/(0)=a=。，即〃=0,

x

故/(%)=

x2+bx+19

—x-x

則〃T)==-“無),

x2—+1x2+bx+1

所以f—陵+1=%2+陵+1=6=0,

所以〃“）=￡?貝k（。）="1）=；.

故答案為：—

7?丫之+1

8.（23-24高一上?江蘇南京?期中）己知函數(shù)了（2=竺上是奇函數(shù)，不等式組【上）＜2有的解集為&㈤'

x+a

4「x.x8,

且為，元2y兩足%＞。，—+—?=77，貝_____，b=_____.

?^2D

【答案】03-75/-V5+3

【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出。；根據(jù)1"（司＜26的解集為（占,花），且且4，%滿足%＞0,-+-=4

"2'1"

求出6即可.

【詳解】〃尤）=幺?的定義域為{x|x￥-a},又函數(shù)〃x）是奇函數(shù)，所以定義域關(guān)于（0,0）對稱，

x+a

從而-a=0,即a=0.當a=0時，/(x)="+1,于(-司+1=/(x).故々=0；

X-x

不等式組，

/(x)=^±l=te+-,看等價于"〃x）＜26.

XX

因為其解集為（西，々），是開區(qū)間，所以函數(shù)八%）在（&%）不單調(diào)，所以匕＞0；

又石＞0,所以％2＞。，因此4，%是力—=2^^的兩個正根，即Zzx?—2^/^%+1=0,

x

A=12-4Z?>0

所以%+%2=—1—〉°，解得0<b<3,

b

%.冗2=：>0

122

石尤j+(玉+%2J-2玉/

x2_8所以五+三=—評一b_128

又因為不+不二屏一丁一了一2一3

人］人［LZ

尤2尤1玉/玉入2

b

即〃_66+4=0,解得6=3-6或6=3+石(舍).

故答案為：0；3-A/5.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考察片法+^型函數(shù)的圖象問題，根據(jù)2后的解集為開區(qū)間（占,9）

確定函數(shù)/（無）在（%,9）不單調(diào)，從而確定“4，尤2是次+：=2』的兩個正根”是解題的關(guān)鍵.

【題型二由奇偶性求函數(shù)解析式】

一、填空題

1.(23-24高一上?北京昌平?期中)設(shè)〃尤)是定義在(-?),—)上的奇函數(shù)，且無>0時，"%)=/-3元，則

/(-2)=—；當尤40時，/(%)=.

【答案】2—-3x

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出/(-2)以及當xW0時的解析式即可.

【詳解】是定義在(F+?)上的奇函數(shù)，貝！jy(-x)=-〃x),

貝！|/(-2)=-〃2)7+6=2,

令尤<0,貝!|-x>0,

故f(-x)=(--v)2+3x=x2+3x=-/(x),

故當無<0時，/(尤)=—*—3x,X/(0)=0,故x=0時也成立，

所以當xWO時，/(X)=-X2-3^.

故答案為：2；-f—3%?

2.(23-24高一上?陜西西安?階段練習(xí))已知函數(shù)〃力對一切實數(shù)工都滿足〃x)+〃-%)=0,且當x<0時，

/(X)=2X2-X+1,則〃X)=.

—2——x—1,x>0

【答案】0，%=0

2x2-x+l,x<0

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)解析式.

【詳解】函數(shù)/(%)對一切實數(shù)X都滿足了(同+/(r)=0,

所以“0)=0,

設(shè)％>0,貝！1T<0,/(-x)=2x2+x+l,

又因為〃x)+/(f)=0,即/(X)=-/(-%),

所以/(x)=-2兀2—X—1

—212—x—1,%>0

所以/(x)=0/=0.

2x2-x+l,x<0

—2x2—x—1,x>0

故答案為：<0,x=0.

2x2-x+l,x<0

3.(23-24高一上.山東濰坊.期中)已知〃尤)，g(x)是分別定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且

/(x)-g(x)=x3+x2+l,則/⑴+g(2)=.

【答案】-4

【分析】按題意求函數(shù)表達式即可

【詳解】f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x)=-x3+x2+l

和已知條件相加得-2g(尤)=2優(yōu)+1)

故g(x)=-(x2+l)，/(x)=x3

故/⑴+g⑵=1-5=T

故答案為：-4

【題型三根據(jù)奇偶性解不等式】

一、單選題

1.(23-24高一下.河北張家口?開學(xué)考試)已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0,內(nèi))單調(diào)遞減，則

不等式/(xT)>〃2x+l)的解集為()

A.(-co,—2)u(0,+co)B.(-2,0)C.(0,2)D.0)U(2,+℃)

【答案】A

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】因為是定義在R上的偶函數(shù)，

所以川

又因為是在區(qū)間[0,—)單調(diào)遞減，

所以上一1|<|2x+l|,即(x-lj<(2x+l)z,于是有3爐+6尤>0,解得x<-2或無>0,

故不等式〃2x+l)的解集為(-8,-2)u(O,y).

故選:A.

2.(23-24高一上?浙江杭州?期中)若函數(shù)/⑺是定義在R上的偶函數(shù)，在區(qū)間(-8,0]上是減函數(shù)，且"0=0,

則不等式幺220的解集為()

x

A.[-1,0)B.(-oo,-l]u[l,+oo)

C.D.[-l,0)U[l,+8)

【答案】D

【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)，分段解不等式即得.

【詳解】函數(shù)是R上的偶函數(shù)，在(-口⑼上是減函數(shù)，則“力在[。,+8)上是增函數(shù)，/(-1)=/(1)=0,

不等式上HNO化為:x<0Jx>0

解得-lWx<0或"1,

X

所以不等式—＞0的解集為[-1,0）u[1,+8）.

X

故選：D

3.（23-24高一上?北京?期中）定義在R上的奇函數(shù)/（X）滿足，當0＜x＜2時，/（x）＜0,當x＞2時，f（x）＞0.

不等式獷（力＞0的解集為（）

A.（2,+8）B.（-2,0）u（2,+oo）

C.（―oo,—2）U（2,+8）D.（一2,0）u（0,2）

【答案】C

【分析】由奇函數(shù)的定義可得f（-x）=-f（x）,根據(jù)已知條件確定函數(shù)在不同區(qū)間的符號，通過不等式性質(zhì)

解不等式可得所求解集.

【詳解】由奇函數(shù)的定義可得f（-x）=-f（x）,

當一2＜尤＜0時，貝（JO＜-x＜2,〃一了）=一/（視。=/（%））。，

當x＜-2時,則-x＞2,〃一無）=一〃尤）＞0n/（x）＜0,

[x＞0[x＜0

由雙尤）＞。=仇＞0叫?。?,

根據(jù)分析可得V（x）＞0解集為（-8,-2）u（2,+8）.

故選：C

4.（23-24高一下.云南楚雄.期末）已知函數(shù)〃%）=儂|,的圖象經(jīng)過點（3,27）,則關(guān)于x的不等式

16/（力+/（%-15）＞0的解集為（）

A.（-oo,3）B.（3,+co）C.（3,5）D.（5,+oo）

【答案】B

【分析】代入點坐標求得加的值，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，將16〃到+/（了-15）＞0恒等變換為

/（4x）＞-/（x-15）=/（15-x）,最后利用函數(shù)單調(diào)性即可求解.

3X2,X>0

【詳解】由題意知『（3）=27,解得祖=3,所以/（x）=3xW，即〃x）=

-3X2,X<0

易得〃尤）在R上單調(diào)遞增.因為〃-尤）=-3乂-尤|=-3%國=-〃力，所以〃尤）為奇函數(shù).

又16/(x)"(4%),故16/(x)+/(x-15)>0等價于/(4x)>-/(x-15)=/(15-x),

貝!J4x>15—%,解得x>3.

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性在求解抽象不等式中的應(yīng)用，屬于難題.

解題關(guān)鍵在于對抽象不等式的處理，其一，要利用函數(shù)/'(X)解析式將16/(力化成f(4x),其二，利用奇偶

性處理負號，其三，根據(jù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號.

5.(23-24高一上?江蘇鹽城?期中)設(shè)函數(shù)/(尤)=為定義在R上的奇函數(shù)，且當彳<°時，

g(x)=x2-x-4,若/(g(a))W2,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.—1]^[0,2^/2—1JB.[-1]

C.(-8,-2]D.|^—1—2A/2,2A/2—1J

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)g(x)的奇偶性以及當x<0時的解析式，求出g(x)的解析式，解不等式/'(x)W2,可得x

的取值范圍，進而結(jié)合/'(g(a))<2,再分類討論，求解相應(yīng)不等式，即可求得答案.

【詳解】由題意知g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則g(0)=0,

當尤<0時，g(x)=x2-x-4,

當尤>0時，g(%)=-g(-x)=-x2-x+4,

一x?—x+4,x>0

故g(x)=<0,x=0,

,、fx"+x<2f—%2W2

又/x42,得或，

[%<0[x20

解得一2Kx<0或犬20,貝！|xw[—2,+oo)；

所以g(“)e[-2,+與時，/(g(?))<2,

當avO時，/一〃一4之一2,解得。之2或4<一1,貝!!"<一1,

當a=0時，g(0)=0,滿足g(a)￡[-2,+8)；

當。〉0時，-a2-a+4>-2,解得一3<a<2,貝!

綜上，a的取值范圍為(0

故選：C

【點睛】易錯點點睛：本題考查了函數(shù)奇偶性以及分段函數(shù)的性質(zhì)問題，涉及到解不等式以及復(fù)合函數(shù)問

題，易錯點首先是利用奇偶性求g(%)的解析式，其次是求出了(X)W2的x的范圍后，要分類討論a的范圍，

再求解相應(yīng)不等式，這里也很容易出錯.

【題型四奇偶性與對稱性綜合應(yīng)用】

一、單選題

1.(22-23高一下?云南保山?階段練習(xí))若函數(shù)y=/(x+l)是偶函數(shù)，則函數(shù)y=/(x)的圖象對稱軸是()

A.x=—B.x=lC.x=--D.x=—l

22

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的平移即可求解原函數(shù)的對稱軸.

【詳解】Qy=/(x+i)是偶函數(shù)，，y=/(x+i)的圖象關(guān)于丫軸對稱，

又Qy=/(x+1)的圖象是y=/(x)的圖象向左平移一個單位長度得到，

y=f(x)的對稱軸為％=1,

故選:B.

2

2.(22-23高二下?安徽黃山?期末)己知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且/(2-尤)+/(x)=：,則/(2023)=

()

A.—B.—C.0D.1

33

【答案】B

【分析】根據(jù)題設(shè)易得了⑴=g,并判斷了(x)的周期，利用周期性、偶函數(shù)性質(zhì)求目標函數(shù)值.

【詳解】由題意/(無)關(guān)于(11)對稱，即/⑴=；,且f(-x)=f(尤)，

222

所以〃2-x)+/(-尤)=§,BP/(2+x)+/(%)=-,X/(2-x)+/(x)=-,

所以/(2+x)-/(2-x)=0,即/(2+x)=/(2-x)=/(x-2),

所以/(尤)=/(尤+4),故/⑴的周期為4,

貝［|7(2023)=f(506x4-l)=/(-1)=/(1)=1.

故選：B

3.(23-24高一上.湖南長沙.期末)在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且="2-尤)，若“X)在區(qū)間［1,2］

上是減函數(shù)，則/(x)().

A.在區(qū)間［0,1］上是增函數(shù),在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

B.在區(qū)間［0』上是增函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

C.在區(qū)間［。,1］上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是增函數(shù)

D.在區(qū)間［0』上是減函數(shù)，在區(qū)間［3,4］上是減函數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)于丁軸和x=i軸對稱，利用已知區(qū)間的單調(diào)性求解.

【詳解】因為/("=〃2-力，所以函數(shù)/(尤)關(guān)于x=l成軸對稱，

所以區(qū)間［0,1］與區(qū)間［1,2］,區(qū)間［-2,-1］與［3,4］關(guān)于x=1對稱，

由函數(shù)/(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，可知函數(shù)在。1］上是增函數(shù)，

又函數(shù)”元)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在［-2,T上是增函數(shù)，

所以函數(shù)在［3,4］上是減函數(shù)，

故選：B

4.(22-23高三上?江蘇鹽城?階段練習(xí))已知函數(shù)y=/(x+D是定義在R上的偶函數(shù)，且/(x+3)+/(l-x)=2,

則()

A./(1)=0B./(2)=0C."3)=1D./(4)=1

【答案】D

【分析】函數(shù)＞=/(尤+1)是定義在R上的偶函數(shù)，可知〃尤)對稱軸為x=l,又/(》+3)+/(1-幻=2可推

出周期為4,根據(jù)函數(shù)的對稱性和周期性即可判斷正誤.

【詳解】解：因為函數(shù)y=/(x+D是定義在R上的偶函數(shù)，

所以“X)關(guān)于x=l對稱，則〃l-x)=/(無+1),

又/(x+3)+/(1)=2,

所以/(x+3)+/(x+l)=2,即/'(x+2)=_/(x)+2,/(x+4)=_/(x+2)+2=/(x),

函數(shù)的周期為4,

取x=0,貝！)八2)+/(0)=2/(2)=20〃2)=〃0)=1,

所以〃4)=/(0)=1,則D選項正確，B、C選項錯誤;

由已知條件不能確定/(1)的值，A選項錯誤；

故選：D.

5.(23-24高一上?江西景德鎮(zhèn)?期中)已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)8(幻=(*+,)-+/(■的最大

%2+16

值為最小值為如則+()

A.2B.4C.8D.16

【答案】A

【分析】由題意可得/7(x)=的最大，最小值分別為M-1，，〃-1，由奇函數(shù)的性質(zhì)可得

M-l+m-l=0,變形可得答案.

【詳解】.y(+(x+4『+Cx2+]6+8f8x+〃x)門,

‘八,%2+16X2+16X2+16

令〃(x)=g(x)_]=8x/(：),因為是奇函數(shù)，所以〃_x)=-〃x),

x+16

,〃(_尤)=心：止x)=Jx+f[x)=_〃")，所以函數(shù)網(wǎng)力是奇函數(shù)，

x+16x+16

所以函數(shù)/z(x)的最大值為"-1,最小值為相-1,由奇函數(shù)得性質(zhì)可得，M-l+m-l=O,

解得M+zn=2.

故選:A.

6.(23-24高三下?陜西安康.階段練習(xí))已知定義域為R的函數(shù)F(尤)滿足：/(x-1)為偶函數(shù)，

/(x)+/(2-x)=0,且"-2)=1,則“2024)+“2025)=()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】由題意根據(jù)函數(shù)滿足的條件等式，推出函數(shù)的一個周期，再利用賦值法求出了⑴以及“0),結(jié)合

函數(shù)周期，即可求得答案.

【詳解】由題意知定為域為R的函數(shù)/")滿足：/(x-l)為偶函數(shù)，

即/(x-l)=/(-x-l),BP/(x)=/(-2-x),結(jié)合〃x)+〃2T)=。,

M/(-2-x)+/(2-%)=0,Bp/(-2+x)+/(2+x)=0,

故/⑺+/(x+4)=0,即〃x+4)=-〃x),

則/a+8)=—〃x+4)=/(x),故8為函數(shù)〃x)的一個周期，

由于/'(x+4)=-/(x),/(-2)=1,故令尤=—2,貝！|/(2)=—/(一2)=—1,

結(jié)合/(耳+/(2-工)=0,令x=2,得〃2)+〃0)=0,「"(0)=1,

對于/(x)+/(2—尤)=0,令x=l,則"1)=0,

故“2024)+f(2025)=/(253x8)+/(253x8+1)=/(0)+/(I)=1,

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了抽象函數(shù)的求值問題，解答的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)滿足的條件，推出函數(shù)周期，

進而結(jié)合賦值法求值，即可求解答案.

【題型五奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用】

一、單選題

1.(23-24高一上?山東濰坊?期末)已知〃元)是定義在R上的奇函數(shù)，若對于任意的士,％?(-泡。]，當x產(chǎn)馬

時，都有〃占）一〃％）>0成立,則不等式（x-l）/（x）>0的解集為（）

x1—x2

A.（0,1）B.（1,+co）C.（~°0,-1）U（1，+00）D.（—℃,0）o（1,+oo）

【答案】D

【分析】根據(jù)題意分析出〃x）的單調(diào)性，且得到x>0時，/（%）>0,x<0時，〃x）<0的結(jié)論，然后分

類討論解不等式即可.

【詳解】對于任意的占，9e（—,0］,當王wx,時，都有"為）一"斗）>0成立,

%—x2

所以“尤）在無e（-*0］嚴格增，又〃x）是定義在R上的奇函數(shù)，

所以“X）在R上嚴格增，且"0）=0,所以x>0時，/（%）>0,無<0時，/（x）<0,

工-1>0jx-l<0

(尤_l)/(x)>0of(x)>01/(x)<0即

所以xe(-8,0)U(L+8)，

故選：D.

2.（23-24高一下?廣東深圳?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=〃尤）的圖象關(guān)于y軸對稱，且對于y=〃x）（xeR）,

當為，X2C（-s,0］時，區(qū)）<0恒成立,若/（26）</（2/+1）對任意的》6口恒成立，則實數(shù)。的

X1工2

取值范圍是（）

A.（-oo,V2）B.（-0,0）C.［0,72）D.（72,+CO）

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解.

【詳解】由題意，函數(shù)〃x）為偶函數(shù)，且在（y⑼上單調(diào)遞減，所以在［0,+<?）單調(diào)遞增，

又"2班）<f（2x2+1）恒成立，所以|2?x|<|2尤2+”恒成立.

^|2<XC|<|2X2+1|=|2辦|<2_?+1=_2/一1<2辦<2—+1恒成立.

由—2x2—1<lax即2x2+2ax+\>0恒成立，得A=（2a）——4x2xl<0=>q2<2；

由2ax<2x2+1即2Y-2ov+l>0恒成立，得A=(—2。)？—4x2xl<0=>?2<2.

綜上可得/<2,即一〈夜.

故選：B

3.（23-24高一上.廣西賀州?期末）若定義在（-叫0）U（0,+?>）上的奇函數(shù)〃x）,對任意%>々>0,都有

工^<上?，且"2）=4,則不等式〃x）<2x的解集為（）

A.(-2,O)u(O,2)B.(-2,0)U(2收)

C.(-00,-2)u(2,+00)D.(2,+00)

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，設(shè)g(x)=/也，xwO,分析g(x)的奇偶性和單調(diào)性，由此分情況解不等式可得答案.

X

【詳解】

根據(jù)題意，設(shè)g(x)=/^,尤HO,

X

于3是定義在(-8,0)D(0,+8)上的奇函數(shù)，即/(-%)=-/(%),

故g(-x)=/5=g(x),函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

-X

由題意當國>天2>。時，有g(shù)(&)<g(X2),函數(shù)g。)在(0,+8)上為減函數(shù)，

又由g(x)為偶函數(shù)，則g(x)在(-8,0)上為增函數(shù)，

又由"2)=4,則g(2)=號=2,同時g(-2)=2,

,,、，g(x)=d^<g⑵=2g(x)=W>g(-2)=2

/(x)<2xoJX或<

x>0x<0

必有—2<x<0或x>2,即尤的取值范圍為(~2,0)U(2,+8).

故選：B.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)明確其奇偶性，并分情況解不等

式.

4.(23-24高一上?北京海淀?階段練習(xí))已知奇函數(shù)/(無)是定義在R上的減函數(shù)，且/(2)=-1,若

g(%)=/(%-1),則下列結(jié)論一定成立的是()

A.g(l)=TB.g(2)=J

C.g(-%+l)+g(x+l)<0D.g(-x)+g(x)>0

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)性質(zhì)計算判斷A；由單調(diào)性得T<〃D<0,分析判斷B；根據(jù)給定條件，結(jié)合奇函數(shù)

性質(zhì)、單調(diào)性計算判斷CD.

【詳解】由/(桐是R上的奇函數(shù),得"0)=0,又g(x)=/(D,因此g⑴=〃0)=0,A錯誤；

由Ax)是R上的減函數(shù)，得/⑵V/⑴</(0),即因此一l<g(2)<0,不一定有g(shù)(2)=-g,

B錯誤；

由g(x)=/(無一1),/(元)是R上的奇函數(shù)，得g(-x+l)+g(x+l)=/(-x)+/(x)=O,C錯誤;

由g（x）"（x-I）,/（X）是R上的奇函數(shù)，得g（-x）+g（x）=/（-x-1）+/（尤-1）=-1）-/（X+1）,

又了（X）是R上的減函數(shù)，貝?。ㄓ取猯）＞y（x+l）,即/（x-l）-/（x+l）＞0,因此g（-x）+gQ）＞0,D正確.

故選：D

5.（23-24高一下?湖北咸寧?期末）定義在R上的函數(shù)滿足〃x+2）為偶函數(shù)，且在（2,+向上單

調(diào)遞增，若尤目1,3],不等式〃6）＜〃x-2）恒成立，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.QjjB.（1,5）C.卜jD.（-1,0）

【答案】A

【分析】求出〃尤）的單調(diào)性及對稱性，然后根據(jù)單調(diào)性、對稱性將〃方）J（x-2）轉(zhuǎn)化為ax,x-2的關(guān)系，

得到|依-2|＜以-2-2|,再根據(jù)恒成立思想采用分離參數(shù)的方法求解出a.

【詳解】定義在R上的函數(shù)“X）滿足〃x+2）為偶函數(shù)，所以“X）關(guān)于x=2對稱，

在（2,+動上單調(diào)遞增，則〃x）在（-。,2）上單調(diào)遞減，

所以/（X）越靠近對稱軸x=2函數(shù)值越小，

由/（依）＜/（%-2）得麻-2|＜|x-2-2|,

由于xw[l,3],所以％—4＜0,4—1＞。，故九一4〈辦一2〈4一%,

可得1一2＜。＜9一1,即xe[i,3]時1一2＜。＜9_1恒成立，

可得,

\X^max\x7min

由于y=l-2在山1,3]時單調(diào)遞增，卜二]=：,此時x=3,

y="l在xe[l,3]時單調(diào)遞減，f--l]=1,此時x=3,

x\x/min

則實數(shù)。的取值范圍為1，lj

故選：A

6.（2022高一上.全國.專題練習(xí)）若定義在R上的奇函數(shù)滿足〃2-x）=〃x）,在區(qū)間（0,1）上，有

（玉-龍2）[“%）-/（工2）]＞。，則下列說法正確的是（）

A.函數(shù)〃x）的圖象關(guān)于點（1,0）成中心對稱

B.函數(shù)/'（X）的圖象關(guān)于直線x=2成軸對稱

C.在區(qū)間（2,3）上，〃尤）為減函數(shù)

【答案】C

【分析】根據(jù)題意分析“X)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性與周期性，逐一分析各選項即可得解.

【詳解】對于AB,因為解力是奇函數(shù),且/(2-1=/(力,

所以“4-%)=a2_(》-2)]=〃彳-2)=-/(2_力=-〃對，

則〃4-x)+〃x)=0,故關(guān)于點(2,0)成中心對稱，

又/'(2-尤)=/(x),則f(x)關(guān)于x=l成軸對稱，故AB錯誤；

對于C,因為在區(qū)間(0,1)上，有(為-%)"(占)-〃々)]>0，

所以/'(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增又了(“關(guān)于x=1成軸對稱，(2,0)中心對稱，

則F(x)在(2,3)內(nèi)單調(diào)遞減，故C正確；

對于D,因為〃x)=〃2-x)=—/(x—2),則f(x+2)=—f(x),

所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),可知/(x)的周期為4,

則/卜鼻=/([<4|/故D錯誤.

故選：C.

”壓軸能力測評.

一、單選題

1.(23-24高一上?浙江嘉興?期末)設(shè)函數(shù)/(力=/-3/,則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

A.f(x+l)+2B.f(x—1)+2

C./(x-l)-2D./(x+l)-2

【答案】A

【分析】化簡各選項中函數(shù)的解析式，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷可得出合適的選項.

【詳解】因為“天卜%3/%2,

對于A選項，/(X+1)+2=(X+1)3-3(X+1)2+2=X3+3X2+3X+1-3X2-6X-3+2=X3-3X,

令4(%)=3-3%，該函數(shù)的定義域為R,

^(-%)=(-%)3-3(-%)=-x3+3x=-/；(%),則/(x+l)+2為奇函數(shù)，A滿足要求;

對于B選項,/（x—l）+2=（無一1丫—3（x—1）~+2=—3尤2+3x—1—3x?+6x—3+2

=x，—6x~+9尤—2,

令人（無）=尤3-6r+9%—2,該函數(shù)的定義域為R,貝!|上（O）=—2/0,

所以，函數(shù)/'（x-l）+2不是奇函數(shù)，B不滿足條件；

對于C選項,/（x—l）—2=（尤一1）3_3（尤一1）2_2=—3*2+3x—1—3x2+6x—3—2

=xi—6%2+9x—6，

令力（x）=x3_6d+9x—6,該函數(shù)的定義域為R,則力（0）=-6/0,

所以，函數(shù)/'（x-1）-2不是奇函數(shù)，C不滿足條件；

對于D選項,/（》+1）—2=（尤+1）3—3（%+1）2—2=尤3+3/+3尤+1—3.一6工一3-2=尤3—3元一4,

令力（x）=^-3x-4,該函數(shù)的定義域為R,則力⑼=TwO,

所以，函數(shù)/'（x+1）-2不是奇函數(shù)，D不滿足要求.

故選:A.

2.（23-24高一上.河南?期中）已知函數(shù)〃到=廠+：-3是奇函數(shù),且在區(qū)間在九一1,〃力上的最大值為2,則

m-（）

A.2或一1B.-1C.3D.3或-1

【答案】D

【分析】通過〃T）=-〃力可得。的值，判斷出的單調(diào)性，列出關(guān)于機的方程解出即可.

【詳解】由題可知/（一尤）=—，（》），即’2一二I+辦-3,

-XX

3

貝！|2依=0,a=0,所以/（%）=%——.

因為“X）在區(qū)間恤—L向上單調(diào)遞增，所以“加）=〃?-±=2,

m

解得根=3或-1.

故選：D.

3.（2024?陜西西安三模）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足“x）+/（2-力=2,則

/（1）+/（2）+...+/（20）=（）

A.0B.105C.210D.225

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由奇函數(shù)的性質(zhì)以及/（力+/（2-司=2,分析可得了（*+2）-〃尤）=2,求出"0）=0,

/。）=1,即可求解.

【詳解】因為“X)是奇函數(shù)，所以〃x)+〃r)=O.由/(x