2024-2025學(xué)年浙教版八年級數(shù)學(xué)上冊專項(xiàng)復(fù)習(xí)：全等三角形的判定（六大題型）解析版

全等三角形的判定（六大題型）

一國爰坐其空筌生料__________________________

【題型01:判斷三角形全等-SSS】

【題型02：判斷三角形全等-SAS】

【題型03：判斷三角形全等-ASA】

【題型04：判斷三角形全等-AAS】

【題型05:判斷三角形全等-HL】

【題型06：全等三角形的綜合】

_國遹至空位_______________________________

【題型01:判斷三角形全等-SSS】

1.如圖，點(diǎn)B,E,C,尸在一條直線上，AB=DF,AC=DE,BE=CF,求證:

△ABCmADFC.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定，由BE=CF可得BC=FE,即可由SSS證明

△ABC=△DFE,掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵.

【詳解】證明：???BE=CF,

:.BE+CE=CF+CE,

即BC=FE,

AB=DF

在△ABC和△DFE中,AC=DE,

.BC=FE

△ABC三△DFE(SSS).

1

2.如圖，AC=BD,BC=AD,求證：△ABC三△BAD.

【分析】本題考查了全等三角形的判定定理，已知4C=BD,BC=AD,又力B公共，根據(jù)SSS

即可證明△4BC三△BAD.

【詳解】證明：在△4BC與△840中，

AC=BD

BC=AD,

.AB=BA

ZkABC三△BAD(SSS).

3.已知：如圖，點(diǎn)4、D、C、B在同一直線上，AC=BD,AE=BF,CE=DF.

⑴求證：4AEC空LBFD；

(2)求證：DEWCF

【答案】⑴證明見解析;

⑵證明見解析.

【分析】(1)利用SSS即可證明△4EC三△8FB；

(2)△AEC^△BFBnj^ADCE=ACDF,進(jìn)而可得△DCE三△CDF(SAS),得到

“DE=乙DCF,再根據(jù)平行線的判定即可求證；

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題

的關(guān)鍵.

(AC=BD

【詳解】(1)證明：???4E=BF,

ICE=DF

二△4EC三△BFB(SSS)；

2

(2)證明：△AECzABFB,

：.Z.ACE=Z.BDF,

即NOCE=4CDF,

在△QCE和△CDF中，

(CD=DC

乙DCE=4CDF,

ICE=DF

??.△DCE=△CDF(SAS),

.,.4CDE=(DCF,

.-.DEWCF.

4.如圖，已知48=AC,AD=AE,BD=CE.

⑴求證：Z-BAC=Z-DAE；

⑵猜想Nl,42,43之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴證明見解析；

(2)z3=zl+Z2,理由見解析.

【分析】(1)首先利用SSS證明△BAD三△C4E,根據(jù)性質(zhì)可得41=NCAE,再由角度和

差即可求證；

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等求出N4BD=42,由三角形外角的性質(zhì)可得

z3=zl+z.2；

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：在△84。和△C4E中，

AB=AC

AD=AE,

BD=CE

AB?lD=ACi4E(SSS),

/.Z.1=Z.CAE,

3

.,.zl+Z-DAC=Z.CAE+Z.DAC,

：.Z-BAC=Z-DAE；

(2)43=乙1+42,理由如下：

由(1)得：ABAD=ACAEf

.\Z.ABD=z2,

vz3=Z.ABD+Zl,

.*.z3=zl+z2.

5.如圖，已知點(diǎn)B,C,D,E在同一條直線上，AB=FC,AD=FE,BC=DE.求證:

AABD=AFCE.

【答案】證明見解析.

【分析】本題考查了三角形全等的判定，由BC=DE,貝UBC+CO=DE+CD,即

BD=CE,再根據(jù)SSS即可證明，掌握證明三角形全等的判定定理是解題得關(guān)鍵.

【詳解】證明：???BC=DE,

：.BC+CD=DE+CD,

即BO=CE,

在△48。和△FCE中，

(AB=FC

\AD=FE,

(BD=CE

Ai4BD=AFCE(SSS).

6.已知：如圖，AB=AC,DB=DC,F是40的延長線上一點(diǎn).

(1)2LABD=^ACD；

4

(2)BF=CF.

【答案】⑴證明見解析;

⑵證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)SSS推出△BAD三△C4D,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；

(2)根據(jù)SAS推出△BAF^△CAF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

【詳解】(1)在△84。和△C4D中

(AB=AC

\AD=AD,

(BD=DC

△BAD^△CAD(SSS),

;.4ABD=Z.ACD；

(2)vABAD=ACADf

：.Z-BAD=匕CAD,

在△B/F和△C/F中

(AB=AC

］乙BAD=/.CAD,

IAF=AF

ABAF=ACAF(SAS),

：.BF=CF.

7.如圖，在△ZBC和△DEF中，BE=CF,AB=DE,AC=DF.

⑴求證：AABC三ADEF.

(2)若BC=11,BF=16,求CE的長.

【答案】⑴見解析

⑵6

5

【分析】（1）證=利用全等三角形的判定即可得證;

（2）求出CF=5,即可求解.

【詳解】（1）證明：???BE=CF,

BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,

在和aOEF中

(BC=EF

\AB=DE,

UC=DF

.-.AABC=△DEF(SSS).

(2)解：???BC=llf8F=16,

??.CF=BF-BC

=16—11=5,

vEF=BC=11,

??.CE=EF-CF

=11-5=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型02：判斷三角形全等-SAS】

8.如圖，在△ABC和△2ED中，AB=AE,ABAE=/.CAD,AC=AD.

求證：△ABCmAAED.

E

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定定理是解題關(guān)

鍵.利用"SAS"證明△ABC三△4E0,即可解決問題.

【詳解】證明：???^BAE=^CAD,

???Z.BAE+Z.EAC=/.CAD+Z.EAC,即皿IC=N￡;4O,

6

在△ABC和△曲)中，

(AB=AE

4BAC=^EAD,

IACAD

■■.△ABCm△AED(SAS).

9.如圖，已知4、B、C、。在同一直線上，AB=CD,DE||AF,S.DE=AF.

試說明：

⑴△AFC三△DEB；

(2)BE||CF.

【答案】⑴見解析;

⑵見解析.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，

(1)由48=CD,得AC=DB,根據(jù)平行線的性質(zhì)得44=N。，從而得△AFC三△DEB；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得"CF=ADBE,從而得BE||CF.

【詳解】(1)解:因?yàn)?8=CD,

所以4B+BC=BC+CD,即AC=DB,

因?yàn)镈E||AF,

所以44=”,

因?yàn)镈E=AF,

所以△4FC三△DEB

(2)解：因?yàn)槿鱀EB,

所以N4CF=乙DBE,

所以BE||CF.

10.如圖，點(diǎn)、B,F,E,C在同一條直線上，ABWCD,AB=DC,BE=CF,求證：

△ABEm&DCF.

7

【分析】本題考查了全等三角形的判定.利用平行線的性質(zhì)求得NB=/C,利用SAS即可證

明△ABE三

【詳解】證明：???力BIICD,

"B=Z.C,

在△/BE和中，

(AB=DC

]ZB=ZC,

(BE=CF

△ABE=△DCF(SAS).

11.如圖，AD=AE,AC=AB.求證：△ACDeAABE.

【答案】見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定，根據(jù)SAS直接證明兩三角形全等，即可得證.

【詳解】證明：在△ZCD和△/附中，

AD=AE

,

.AC=AB

???△ZCOw2\4BE(SAS)

12.如圖，已知49=AB,AC=AE,^DAB=/.CAE,連接OC,BE.

D

AE

BC

8

⑴求證：△BAE三△D4C；

(2)若^CAD=135°,ND=20°,求NE的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)ZF=25°

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；

(1)根據(jù)題意由4048+NB4C=NC4E+NBAC,可得Z1MC=NB4E,即可求證;

(2)由△B4E三△￡MC(SAS),可得NE=NC,再由內(nèi)角和為180。即可求解.

【詳解】(1)證明：?,NZMB=NC4E,

■■.Z-DAB+/.BAC=Z.CAE+Z.BAC,

：.Z.DAC—Z.BAE,

5L-.-AD=AB,AC=AE,

A5X￡=ADAC(SAS)；

(2)ZXBAE三△DAC(SAS),

:.乙E—Z.C,

■■^CAD=135°,ZD=20°,

.-.zC=180°-Z.CAD一乙D=180°-135°-20°=25°,

.-.ZE=ZC=25°.

13.如圖：己知AB=AC,AD=AE,4BAC=7.DAE.

⑴求證：△ABDmAACE；

⑵若N1=30。，N2=40。，求N3的度數(shù).

【答案】⑴證明見解析

(2)70°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

9

全等三角形的判定，

(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可；

(2)由兩三角形全等，可得N4BD=N2,4BAD=al,再由三角形的外角性質(zhì)即可解答.

【詳解】(1)證明：???4BAC=4DAE,

又VABAC=/.BAD+/.CAD,Z.DAE=/.EAC+Z.CAD,

/.BAD=Z.EAC,

在△48。和△ACE中，

fAB=AC

乙BAD=Z.EAC

(AD=AE

.??△4BD三△ACE(SAS)；

(2)解：■■-AABD=AACE

Z.ABD=z2,/.BAD=zl,

又vZ3=4ABD+/.BAD,

z3=zl+z2=30°+40°=70°.

14.已知：如圖，點(diǎn)3,E,F,C在同一條直線上，AB=DC,Z.B=Z.C,BE=CF.

⑴求證：△ABFmADCE.

⑵若nAGE=80°,求N4FE的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)40°

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定

理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

(1)由BE=CF,兩邊加上EF,得到BF=CE,利用SAS即可得證.

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理解答即可.

【詳解】(1)證明：???8E=CF,

：.BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

10

在和△OCE中,

AB=CD

Z-B=Z.C,

BF=CE

△ABF=△OCE(SAS)；

(2)-AABF=ADCE,

.\Z-AFB=乙DEC,

.--GE=GF,貝!JN/FE=乙GEF,

-/.AGE=80°,

.'.^EGF=180°-80°=100°,

ALL180°-^EGF

：.Z-AFE=---------------=40°.

【題型03：判斷三角形全等-ASA】

15.如圖，AD||BC,BE||DF,AE=CF,求證：△ADFmACBE.

____________n

【答案】見解析

【分析】本題考查平行線性質(zhì)，全等三角形判定.根據(jù)平行線的性質(zhì)可得”=NC,

ADFE=ABEC,再根據(jù)等式的性質(zhì)可得4F=CE,然后利用ASA可證明△4DF三△CBE.

【詳解】解：證明："AD||BC,BE||DF,

.*.Zi4=zC,Z-DFA=Z-BEC,

-AE=CF,

.?/E+EF=CF+EF,即4F=CE,

在△/OF和△W中，

(Z-A=zC

AF=CE,

V^DFA=2BEC

AXZ)F=AC5E(ASA).

16.如圖，AD=AE,CDVAB,BE1AC,垂足分別為D,E.

11

A

⑴求證：△ABE三△4CD；

(2)若AC=12,CO=8,BC=10,求BC邊上的高的長度.

【答案】⑴見解析

喈

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等面積法等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)?/p>

判定條件判定三角形全等成為解題的關(guān)鍵.

(1)利用"ASA"即可證明結(jié)論；

(2)由全等三角形的性質(zhì)得到力B=AC=12,再利用等面積法求解即.

【詳解】(1)證明：?.￡￡)，AB,BELAC,

.-.^ADC=2LAEB=90°,

在△ABE和△力DC中，

(AA-Z-A

AD=AE,

VZ.ADC=Z.AEB=90°

ZXABE三△4CD(ASA).

(2)解：AABE=AACD,

,.AB=AC=12,

設(shè)BC邊上的高的長度為伍

帝B-CD=^BC-h

gx12x8=|xlOh,

解得：h=^,

???BC邊上的高的長度為募

17.如圖，4、E、F、B在同一條直線上，AE=BF,乙4=48,乙CEB=5FA,試說明:

12

/\AFD=ABEC.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，先證明=再利用ASA證明

△AFD^△BEC即可證明結(jié)論.

【詳解】解：,?,4E=8F,

：.AE+EF=BF+EF,即4F=BE,

在△AFD和△BEC中，

(Z.DFA=乙CEB

AF=BE

Iz>l=Z.F

.?.△4FDwz\BEC（ASA）.

18.如圖，點(diǎn)4為△48C和△力DE的公共頂點(diǎn)，已知NC=NE,AC=AE,請你添加一個(gè)

條件，使得AB=AD.（不再添加其他線條和字母）

⑴你添加的條件是；

（2）根據(jù)你添加的條件，寫出證明過程.

【答案】（l）^CAD=4EAB

⑵過程見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定；

（1）根據(jù)題意添加的條件即可；

（2）根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到證明.

【詳解】（1）解：NCW=NE48.

13

(2)證明：?.2C/0=^EABf

：.Z-CAD+Z-BAD=Z.EAB+乙BAD,

即NR4c=^LDAE.

在△ABC和△//)￡?中，乙BAC=^DAE,

AC=AE,Z-C—Z-E,

△ABC^AADE(ASA),

.,.AB=AD.

19.已知：如圖，在RtaZBC中，Z.B=90°,BC1CD,DEIAC于點(diǎn)E,AB=CE.求證:

△ABC三ACED.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查全等三角形的判定，根據(jù)SAS證明三△CE。即可.

【詳解】證明：???48=90。，BCLCD,DELAC,

???乙B=乙BCD=乙DEC=90°.

：./-A+^LACB=9O0ZDCE+^ACB=90。，

.,.Zi4=乙ECD,

在△/BC和△CED中，

(乙4=乙ECD

]AB=CE

JB=乙DEC

??.△ABC=△CED(ASA).

20.如圖所示，已知BC||DE,AD=CF,乙4=4尺

14

R

⑴求證：△ABCzADEF；

⑵判斷AB和EF的位置關(guān)系并說明理由.

【答案】⑴詳見解析

(2)AB||EF

【分析】(1)本題主要考查全等三角形的判定，ASA,直接根據(jù)||DM可以推導(dǎo)

乙BCD=^EDF,關(guān)鍵是利用好=CF,倒邊推導(dǎo)出OF=C;4是解決本題的關(guān)鍵.

(2)本題主要考查全的三角形的性質(zhì)，利用第一問結(jié)論可以推導(dǎo)乙F=乙4,最后可以判定

AB||EF.

【詳解】(1)證明：???BC||。邑

:/BCD=Z.EDF；

-AD=CF；

-'-AD+CD=CF+CD；

即，DF=CA；

vz.i4=Z.F

在△ABC和△產(chǎn)ED中；

(△BCD=Z-EDF

]DF=CA；

IZ-A=Z.F

.?.△ZBC三△FEO(ASA).

(2)證明：-AABC^AFED；

.?.乙4=zF；

.-.AB||EF.

21.如圖，在△ZBC中，48=AC,點(diǎn)。、E分另(J在48、AC上，^ABE=^ACDfBE、CD相

交于點(diǎn)。.

15

A

(2)求證：BD=CE.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用ASA直接證明三△4CD；

(2)先證明=再根據(jù)等式性質(zhì)證出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在△ABE與△4CD中：

(Z.ABE=Z.ACD

]AB=AC,

(Z.A=Z-A

???△ABEw△4C0(ASA)；

(2)證明：由(1)知△Z8E三△4C0,

???AE=AD,

???AB=ACf

???AB-AD=AC-AE,

BD=CE.

22.如圖，已知點(diǎn)B,E,C,F在一條直線上，乙ACB=4DEF,AB\\DF,BE=FC.

⑴求證：AABC=ADFE；

(2)若BP=14,EC=8,求BC的長.

16

【答案】⑴見解析

(2)11

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線段的和差，熟練掌握三角

形全等的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

(1)由平行線的性質(zhì)可得NB=NF,證明BC=EF,再由ASA證明△ABC三ZXDFE即可；

(2)先求出CF=3,再根據(jù)=—C尸進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.

【詳解】(1)證明：■■■ABWF,

乙B=Z.F,

???BE=FC,

：?BE+CE=CF+CE,BPBC=EF,

在△/BC和△OFE中，

(Z-B=zF

BC=EF,

V/-ACB=乙DEF

??.△ABC=△OFE(ASA)；

(2)解：???BF=14,EC=8,BE=FC,

.?."=^^=寧=3,

；.BC=BF-CF=14-3=11.

【題型04：判斷三角形全等-AAS】

23.如圖，點(diǎn)E在△ABC的外部，點(diǎn)。在8C上，DE交4C于點(diǎn)F,zl=Z2=Z3,

AB=AD.求證：△ABC三△ADE.

【答案】見解析

17

【分析】本題考查了全等三角形的判定，三角形內(nèi)角和，熟知判定方法是解題的關(guān)鍵.通過

z2=Z3,AAFE=2DFC,可得NE=ZC,即可通過AAS證明△三△40E.

【詳解】證明：vzl=z2,

/.Zl+Z.DAF=Z2+Z,DAF,^^BAC=^DAE,

???Z-AFE=Z.CFD,z2=z3

ZC=180°-Z3-乙DFC,乙E=180°-z2-N/FE,

BPzC=乙E,

在與△ADE中，

(Z-BAC=乙DAE

{zC=ZE

IAB=AD

.-.A△ADE(AAS).

24.如圖，點(diǎn)E,C在8尸上，乙ACB=(DEF,BE=CF,AA=^D.試說明

△ABCmADFE.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)BE=CF,得出BC=FE,再結(jié)合

乙4=4。，4ACB=4DEF,即可證明△ABC三△DFE,進(jìn)行作答即可.

【詳解】解：?；BE=CF,

.-.BE+EC=CF+EC,即BC=FE.

在△ABC和△￡)?￡■中，

(ZX-Z.D

{Z.ACB=乙DEF,

IBC=FE

△ABC三△DFE(AAS).

25.如圖，點(diǎn)、C、E在BF上，BE=CF,AB||FD,4力=ND.

18

E

B

⑴求證：△ABCmADFE；

(2)若AB=50°,乙BED=145°,求ND的度數(shù).

【答案】⑴證明見解析

⑵乙0的度數(shù)是95°

【分析】(1)由BE=CF,推導(dǎo)出BC=FE,由4B||FD,證明NB=NF,即可根據(jù)"AAS”

證明AABC=ADFE；

(2)由N8=NF=50。，NBEO=145。，根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)

角的和"得，145。=4。+50。，求得乙D=95。.

此題重點(diǎn)考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰

的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，推導(dǎo)出BC=FE,乙B=片,進(jìn)而證明△48C三△DFE是解題的關(guān)

鍵.

【詳解】(1)證明：?；BE=CF,

?*.BE+CE+CF+CE,

??.BC=FE,

-AB||FD,

???Z-B—Z-F,

在△/BC和△OFE中，

(乙B=乙F

]z.24=zZ),

iBC=FE

.-.AXBC=ADFE(AAS).

(2)解：v=50°,Z.B=ZF,

???乙F=50°,

?:乙BED=145°,2BED=z￡)+ZF,

/.145°="+50°,

19

.?.乙D=95°,

??.ND的度數(shù)是95。.

26.如圖，在△NBC與△DEF中，點(diǎn)、B,E,C,尸在一條直線上，AB\\DE,AC=DF,

Z-A=LD.

⑵若BF=7,CE=3,求線段BE的長度.

【答案】⑴詳見解析

(2)2

【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找

全等三角形的全等條件.

(1)直接利用全等三角形的判定方法aas可得出答案；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明："ABWDE,

Z.B=Z.DEF,

(乙B=Z.DEF,

在△ABC與△￡)￡1尸中，］乙4=皿

IAC=DF

△力BC三△DEF(AAS)；

(2)■■■AABC=ADEF,

???BC=EF,

BC—CE=EF—CE,

即BE=CF=*BF-CE)=|x(7-3)=2.

27.如圖，△ABC^,AB=AC,O、E是邊4B、4C上的點(diǎn)，連接CD、BE交于點(diǎn)HN4DC=乙AEB.

20

c

⑴求證：CD=BE；

(2)若N4=45°,^ACD=20°,求NBFC的度數(shù).

【答案】⑴見解析

(2)85°

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

(1)利用AAS證明△4CD三根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出乙4CD==20。，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解即可.

【詳解】(1)證明：在△4CD和△力BE中，

(Z.ADC-Z.AEB

{/.DAC=乙EAB

IAC=AB

△ACD=△ABE(AAS),

■.CD=BE；

(2)解：AACD=AABE,/.ACD=20°,

：.^ACD=乙ABE=20°,

???ZBDC=Z.A+/.ACD,乙4=45°,

."BDC=65°,

：.Z.BFC=/.BBC+/-ABE=85°.

【題型05：判斷三角形全等-HL】

28.如圖，點(diǎn)B、E、C、F在同一直線上，乙4=ND=90。，BE=CF,AC=DF.

求證：ZB=乙DEF.

21

【答案】答案見解析

【分析】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵即

可得到答案.

根據(jù)BE=CF得至IJBE+EC=EC+CF^BC=FE,之后禾!|用HL證明Rt△ABC三Rt△DFE即

可得到答案.

【詳解】證明：BE=CF,

BE+EC=EC+CF,

即BC=FE.

v乙4=40=90°,

則在Rt△ZBC和Rt△OFE中,

[BC=FE

{AC=DE'

???Rt△ABC=Rt△DFE(HL).

Z-B=乙DEF.

29.已知：如圖，ZB=ZC=90°,且=BE=CF.

AD

⑴求證：AB=DC；

(2)若乙4=55。，求乙DEF的度數(shù).

【答案】⑴證明見解析

(2)35°

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握全等三角形的

判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

(1)利用"HL"證明RtaABF三RtaDCE,即可得出結(jié)論；

(2)由三角形內(nèi)角和定理，得到N4FB=35。，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可求出NDEF

的度數(shù).

【詳解】(1)證明：?；BE=CF,

.-.BE+EF=CF+FE,

即BF=CE,

22

又乙B=LC=90。,

在Rt△4BF與Rt△DCE中：

(AF=DE

\BF=CE'

.-.Rt△ABF=Rt△OCE(HL),

：,AB=DC；

(2)解：?.2B=90°,Z,A=55°,

?“FB=35°,

vRt△ABF=Rt△OCE(HL)，

=乙DEF=35°.

30.如圖，點(diǎn)B,E,C,F在同一直線上，AA=^D=90°,BE=FC,AB=DF.求證:

乙ACB=乙DEF.

【答案】見解析

【分析】本題主要考考查了利用"HL〃證明兩直角三角形全等的知識(shí)，熟練掌握直角三角形

全等的判定方法是解決問題的關(guān)鍵.利用“HL〃證明RtaABC三RtaOFM即可作答.

【詳解】證明：?.?BE=FC,

.,.BE+EC=EC+FC,

：.BC=EF,

??,Zi4=z_D=90°,

△ABC.△DFE是直角三角形，

在RtUBC和RSOFE中，雁W，

.-.Rt△ABC=Rt△DFF(HL),

.,.Z.ACB=乙DEF.

31.如圖，過射線EF外一點(diǎn)。，作DEIEF,點(diǎn)/為射線EF上一點(diǎn)，在ZF上截取AC=DE,

作時(shí)。1￡。，點(diǎn)2時(shí)位于后尸的同側(cè)，連接AD,以人為圓心，以4。的長為半徑畫弧，交MC于

B.

23

⑴△ZME三△4BC；

(2)AD1AB.

【答案】⑴見解析;

⑵見解析.

【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用HL證明兩個(gè)三角形全等是解

本題的關(guān)鍵；

(1)先證明NE=乙4cM=90°,AB=AD,再證明Rt△ZME三Rt△48C(HL)即可；

(2)由△DAE三△4BC,可得N￡ME=N4BC.再結(jié)合互余的含義可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???DELEF,MCIEC,

：/E=N4CM=90°.

由畫弧過程可知：AB=AD,

在Rt△和Rt△ABC中

(AD=BA

IDE=AC'

.-.Rt△DAE=Rt△XBC(HL).

(2)ADAEVAABC,

.--Z-DAE=Z.ABC,

-Z.ACB=90°,

：.Z.ABC+/-BAC=90°.

又?：乙DAE=/.ABC,

：.Z.DAE+Z.BAC=90°.

：./-DAB=180°一(z,DAE+^.BAC)=90°.

：.AD1AB.

32.如圖，在△ABC中，ZC=90°,將線段48繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得到線段ZD,過點(diǎn)。

24

作DEIAB,垂足為點(diǎn)E,DE=BC,求NB的度數(shù).

【答案】NB=40°

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、直角三角形的特征、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)得4B=4D,/.BAD=50°,進(jìn)而可求得AD=40。，利用HL可得Rt△4CBmRt

^AED,進(jìn)而可求解，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???將線段4B繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。得到線段力D,

：.AB=AD,/.BAD=50°,

DELAB,

：./LAED=90°,

???ZD=90°—乙BAD=40°,

在RtAACB和Rt△AED中,

(AB=AD

\BC=DE'

Rt△4cBmRt△力ED(HL),

:.乙B=AD=40°.

33.在△ABC中，AB=CB,AABC=90°,廠為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，且

AE=CF.

⑴求證：AABEmACBF；

(2)若皿E=15°,BF=3,求4E的長.

【答案】⑴見解析

(2)6

25

【分析】(1)根據(jù)4B=BC,AE=CF,利用HL證明△ABE三△CBF即可；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得BE=BF=3,根據(jù)已知條件得出NB4E=30。，根據(jù)含30

度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)vzABC=90°,

.-./.FBC=90°,

在Rt△ABE^WRt△CBF中，

(AB=BC

IAE=CF'

.-.Rt△ABE=Rt△CBF(HL).

BPA45ESACBF.

(2)AABE=ACBF,BF=3,

??.BE=BF=3,

■,■Z.ABC=90°,AB=BC,

."AC=45°,

■：/.CAE=15°,

.?ZBAE=30°,

■,■BE=3,

.-.AE=2BE=6.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角

形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

【題型06：全等三角形的綜合】

34.如圖，在△4BC中，48=80。，將48沿射線BC的方向平移至49，連接44,設(shè)4方與

AC的交點(diǎn)為。.

(1)若⑶為BC的中點(diǎn)，求證：△4。4三2\。。夕；

(2)若4C平分NB44,求NC的度數(shù).

26

【答案】⑴見解析

(2)50°

【分析】本題主要考查幾何變換，平移的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性

質(zhì)，掌握和理解這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)平移性質(zhì)得到44'|山夕，AA'=BB',從而得到Z04A=ZC,再根據(jù)夕為BC的中點(diǎn),

得到44=87,從而證明結(jié)論；

(2)根據(jù)力C平分NB44,得到ZB4C=NO44，，從而證明=ZC.再根據(jù)三角形內(nèi)角

和定理以及NB=80。，即可求解；

【詳解】(1)解：???40由48沿射線BC的方向平移所得，

■■.AA'WBB',AA'=BB',

.-.Z.OAA'=zC,

??,B為BC的中點(diǎn)，

BBr=B'C,

AA'=B'C.

在△AOA和△C。9中

Z.OAAf=ZC

乙4。4=乙COB',

,AAr=B'C

???△三△C。夕(AAS)；

(2)???4C平分乙84/',

??.Z.BAC=Z.OAA',

又v^OAA'=乙C,

Z.BAC=Z-C,

vABAC+NC+48=180°,乙B=80°,

ZC=(180°-80°)+2=50°.

35.如圖所示，工人趙師傅用10塊高度都是l.5m的相同長方體新型建筑材料，壘了兩堵與

地面垂直的墻ABCO和EFG”，其中于點(diǎn)5,于點(diǎn)￡,點(diǎn)尸在BE上，已知

AP=PF,AB=PE.

T1

⑴求證：△ABPmAPEF；

(2)求BE的長.

【答案】⑴見解析

⑵BE的長為15m

【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題

關(guān)鍵.

(1)根據(jù)垂直及各角之間的等量代換得出NR4P=4EPF,再由全等三角形的判定即可證明；

(2)由題意得：4B=1.5x3=4.5(m),EF=1.5x7=10.5(m),再由全等三角形的性質(zhì)

結(jié)合圖形求解即可.

【詳解】(1)證明：由題意得：AB1BE.EF1BE,

.-.^ABP=APEF=90°.

：.Z.BAP+A.BPA=90°.

?■?Z-APF=90°,

：.^EPF+/.BPA=90°.

.-.Z.BAP=4EPF

在△ABP和中

(Z.ABP=4PEF

2LBAP=乙EPF,

IAP=PF

二AABP三△PEF(AAS)；

(2)解：由題意得：AB=1.5x3=4.5(m),EF=1.5x7=10.5(m),

由(1)得△力BP三△PEF,

.-.PE=AB=4.5(m),BP=EF=10.5(m).

.-.BE=BP+PE=10.5+4.5=15(m).

答：BE的長為15m.

28

36.如圖，在△ABC中，ZC=90°,點(diǎn)。是4B邊上一點(diǎn)，DE1AB,5.DE=AC,DE與AC

交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作尸E||BC交4B于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)、H.

⑴求證：AABC=AEFD-,

(2)若NEFD=58°,求4GH的值.

【答案】⑴見解析

(2)122°

【分析】本題考查平行線性質(zhì)，全等三角形判定，垂直的定義，四邊形內(nèi)角和，熟練掌握相

關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(1)利用平行線性質(zhì)得到NB=ADFE,禾I」用垂直的定義得到NEDF=/C=90。，即可證明

△ABCmAEFD；

(2)利用平行線性質(zhì)得到NGHF=90。，在利用四邊形內(nèi)角和得到

乙DGH=360°—乙GHF-乙EDF—乙EFD,即可解題.

【詳解】(1)證明：FE||BC,

Z.B=Z.DFE,

DE1AB,

：.LEDF=ZC=90°,

???DEAC,

：.△4BC三△EFD(AAS).

(2)解：FE||BC,NC=90。，

AGHF=90°,

???Z.EDF=90°,Z.EFD=58°,

???&DGH=360°-乙GHF-乙EDF-乙EFD=122°.

29

37.如圖，A,D、E三點(diǎn)在同一條直線上，且△ABD三△C4E.

⑴若DB=6,CE=4,求DE；

(2)若BD||CE,求NB4C.

【答案】⑴DE=2

(2)NB4C=90°

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，

(1)根據(jù)△力BD三△CAE,BD=6,CE=4得BD=AE=6,AD=CE=4,即可得;

(2)上艮據(jù)8。IICE得4BDE=ACEA,根據(jù)△48。三△CAE^ADB=乙CEA,

4ABD=ACAE,貝1U4DB=乙BDE,卞艮據(jù)4DB+ABDE=180。得N4DB=90°,可得

/.ABD4-Z.BAD=90。，即可得；

掌握全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：???△2BD三△CAE,BD=6,CE=4,

■.BD=AE=6,AD=CE=4,

DE=AE-AD=2；

(2)解：???BD||CE,

/-BDE=/.CEA,

ABACAE,

■-Z.ADB=乙CEA,/.ABD—/.CAE,

Z.ADB=Z.BDE,

■:ADB+乙BDE=180°,

???^ADB=90°,

???/.ABD+/.BAD=90°,

30

/-BAC=/.BAD+/.CAE=乙BAD+Z.ABD=90°.

38.如圖，在△力BC中，AABC=AACB,點(diǎn)、D,E分別在邊N2和/C上，連接BE,CD,

交點(diǎn)為尸，且40=豺B,AE=^AC.

⑴求證：CD=BE.

⑵求證：DF=EF.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】⑴根據(jù)等角對等邊，得到4B=4C,結(jié)合AE=^AC,得到

AD=AE,通過△4CD三△ABE(SAS),即可求解，

(2)由AACD=AABE,得至Ij/ACD=/.ABE,4CFE=4BFD,結(jié)合BD=CE,得到

△BDF=△CEF(AAS),即可求解，

本題考查了，等角對等邊，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：全等三角形的性質(zhì)與

判定.

【詳解】(1)■■/.ABC=Z.ACB,

.,.AB=AC,

-,-AD=|XB,AE=|XC,

.,.AD=AE,

(AD=AE

在△ZCO和△ABE中，］/-CAD=/-BAE,

(AC=AB

???△/CO三△/BE(SAS),

：.CD=BE,

(2)解：由(1)^AACD=AABEf

：-Z-ACD=Z.ABE,

31

-AB=AC,AD=AE,

??.BD=CE,

?:乙CFE=Z-BFD,

△BDF=△CEF(AAS),

：.DF=EF.

39.如圖，AB=CD,AMIBC于點(diǎn)DNtBC于點(diǎn)、N,CM=BN,連接4V,DM.

求證：

⑴AABM三八DCN；

(2)AN\\DM.

【答案】⑴證明見解析;

⑵證明見解析.

【分析】(1)本題考查全等三角形的判定，根據(jù)題意推出8M=CN,結(jié)合題干的條件和

AB=CD,即可證明△ABM三△￡＞《入

(2)本題考查全等三角形性質(zhì)和判定，平行線的判定，根據(jù)△A8M三yXOCN,得到

乙B=乙C,證明△ABN三△DCM,得到N4NB=乙DMC,即可解題.

【詳解】(1)證明：BN=CM,

：.BN-MN=CM-MN,即BM=CN,

???4MlBC于點(diǎn)M,ONIBC于點(diǎn)N,

AAMB=ZDWC=90°,

在Rt△ABM和Rt△DCN中，

(AB=CD

IBM=CN'

???Rt△△DCyV(HL)；

(2)證明：RtAABM=RtADCN,

???(B=zC,

32

在△/BN和△DCM中,

AB=DC

Z-B=Z-C,

BN=CM

??.△ABN=△OCM(SAS),

???乙ANB=乙DMC,

???AN\\DM.

40.如圖，在△ABC中，點(diǎn)。是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)，BD=EC,點(diǎn)、F

為△ABC外一點(diǎn)，連接DF,EF,/.A=ZF,AC||DF,

⑴求證：△ABC三△FED；

(2)若點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，且BE=12,BA=4,AC=5,求△DEF的周長.

【答案】⑴見解析

(2)17

【分析】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí).

(1)先分別證明BC=ED,乙4cB=乙FDE,即可根據(jù)"角角邊"證明△ZBC三△FED；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到=EF=4,AC=FD=5,再證明8D=DC=EC=

BE=4,進(jìn)而得到DE=8,即可求出△DEF的周長為17.

【詳解】(1)

證明：?.BD=EC,

??.BD+DC=EC+DC,

即BC=ED,

-AC||DF,

：.Z-ACB=乙FDE,

在△ABC與△FED中，

33

(Z-A=Z-F

]/-ACB=乙FDE,

IBC=ED

.?.△ABCzAFED；

(2)解：?:△ABCzAFED,

.-.BA=EF=4,AC=FD=5,

???點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，

:.BD—CD,

-BD=EC,

:.BD=DC=EC=々BE=4,

：.DE=8,

???△OEF的周長為EF+DF+OE=4+5+8=17.

41.在四邊形ABC。中，ZB=90°,E為BC邊的中點(diǎn)，力E平分ABAD,尸分別為AD上一點(diǎn),

AF=AB.

⑴求證：/^ABE^AAFE；

(2)若乙4ED=90°,請證明BC1CD.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)根據(jù)SAS證明△力BE三△4FE即可.

(2)由AABE=AAFEPS^EB=EF,Z.AEB=^.AEF,/.EFA=NB=90°,又由

乙BEC=180°,/.AED=90°,可得N4E8+4DEC=90°,/.AEF+乙DEF=90°,貝！|

乙DEC=乙DEF,根據(jù)SAS證明△ECD=△EFD,則可得NEC。=乙EFD=90°,則可證

BC1CD.

【詳解】(1)證明：:aE平分NE4D,

34

Z.BAE=Z.FAE,

在△的￡和△河￡?中，

(AB=AF

]/.BAE=Z.FAE,

(AE=AE

???△ZBE三△”E(SAS)；

(2)證明：由(1)知，AABE=AAFE,

??.EB=EF,乙AEB=Z.AEF,Z.EFA=cB=90°,

Z-EFD=90°.

v乙BEC=180°,/LAED=90°,

Z.AEB+ADEC=90°,24EF+NOE尸=90。，

???乙DEC=Z-DEF.

???點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

EB=EC,

??.EF=EC,

在△ECO和△EF。中，

fEC=EF

(乙DEC=乙DEF,

(ED=ED

.-.AECD^AFFD(SAS),

???乙ECD=乙EFD=90°,

?.BCLCD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

42.如圖，△2BC中，/.ABC=60°,AD、CE分另！]