2024-2025學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義：拓展一數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用（原卷版）

第05講拓展一：數(shù)學(xué)探究：楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)01:二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

①各二項(xiàng)式系數(shù)和：C'+O-+G+-+C；=2"（"eN*）；

②奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等：

C+C"..=Q+C：+…=2"ReN*）

知識(shí)點(diǎn)02：楊輝三角至少具有以下性質(zhì)：

①每一行都是對(duì)稱的，且兩端的數(shù)都是1

②從第三行起，不在兩端的任意一個(gè)數(shù)，都等于上一行中與這個(gè)數(shù)相鄰的兩數(shù)之和.

③當(dāng)左<——時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸變大的；當(dāng)女〉J時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸變小的.

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（4）當(dāng)"是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)〃是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.

題型01二項(xiàng)展開式的系數(shù)問題

【典例1】（2022?全國?高三校聯(lián)考競賽）設(shè)整數(shù)”>4,（x+2后-1）”的展開式中X-與孫兩項(xiàng)的系數(shù)相等,

則n的值為.

【典例2】（2023上?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）［2-：］（1-2尤）4的展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為.

【典例3】（2017?高二課時(shí)練習(xí)）己知（&-4）"（〃￡N+）的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是

X

3

10：1,求展開式中含Q的項(xiàng).

【變式1】（2024?吉林白山?統(tǒng)考一模）已知二項(xiàng)式的展開式中第二、三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等

2x

于45,則展開式的常數(shù)項(xiàng)為.

【變式2］（2023下?遼寧?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)=%+%%+。2尤?+…，已知%+4=-35,

則〃=,—+的展開式中含婷的系數(shù)為.

【變式3】（2023?湖南邵陽?邵陽市第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知在（依+1）”的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系

數(shù)與第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且Y的系數(shù)為一80,貝/=.

題型02楊輝三角的有關(guān)問題

【典例1】（多選）（2023下?重慶?高二統(tǒng)考期末）楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現(xiàn)于南宋杰出數(shù)學(xué)家

楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規(guī)律如圖所示：在第一行的中間寫下數(shù)字1;在第二行寫下兩個(gè)

1,和第一行的1形成三角形；隨后的每一行，第一個(gè)位置和最后一個(gè)位置的數(shù)都是1,其他的每個(gè)位置的

數(shù)都是它左上方和右上方的數(shù)之和.那么下列說法中正確的是（）

第一行1

第二行11

第三行121

第四行1331

第五行14641

第六行15101051

A.第"行的第/?（「"）個(gè)位置的數(shù)是C丁

B.若從楊輝三角形的第三行起，每行第3個(gè)位置的數(shù)依次組織一個(gè)新的數(shù)列｛%｝,則數(shù)列｛%｝是兩項(xiàng)

奇數(shù)和兩項(xiàng)偶數(shù)交替呈現(xiàn)的數(shù)列

C.70在楊輝三角中共出現(xiàn)了3次

D.210在楊輝三角中共出現(xiàn)了6次

【典例2】（多選）（2021下?湖北武漢?高二統(tǒng)考階段練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，

其中“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁.而同楊輝三角齊名的世界著名的“萊布尼茨三角形"如下圖所示

（其中〃是行數(shù)，r是列數(shù)，r<?）下面關(guān)于萊布尼茨三角形的性質(zhì)描述正確的是（）

---第

第珀

%1，1

20,30

10514010542

A.每一行的對(duì)稱性與增減性與楊輝三角一致

B.第10行從左邊數(shù)第三個(gè)數(shù)為上

360

1_1]

u5+l）C=s+l）cf靛]

111

n-------——----------卜--------

^n+\^n^n+2Cn+lCn+2Cn+l

【典例3]（2022下?北京朝陽?高二統(tǒng)考期末）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》里,

出現(xiàn)了圖1這張表.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早500年左右.如圖2,楊輝三角的第"行的各數(shù)就是（。+〃）”的展

開式的二項(xiàng)式系數(shù).

第

0行

第

1行

第

2行

第

3行

第

4行

第

5行

第

行

6

命

以

中

右

左

實(shí)

廉

藏

袤

袤

而

乘

者

乃

乃

行

第

除

商

皆

隅

積n

之

方

廉

算

數(shù)

圖1圖2

則第10行共有個(gè)奇數(shù)；第100行共有個(gè)奇數(shù).

【典例4】（2021下?江蘇?高二專題練習(xí)）在楊輝三角形中，從第2行開始，除1以外，其它每一個(gè)數(shù)值是

它上面的兩個(gè)數(shù)值之和，該三角形數(shù)陣開頭幾行如圖所示.

第0行1

第1行11

第2行121

第3行1331

第4行14641

第5行15101051

第6行1615201561

（1）在楊輝三角形中是否存在某一行，使該行中有三個(gè)相鄰的數(shù)之比是3：4：5?若存在，試求出是第幾

行；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）已知w,廠為正整數(shù)，且〃>r+3,求證：任何四個(gè)相鄰的組合數(shù)C”，C：CL不能構(gòu)成等差數(shù)

列.

【變式1］（多選）（2022下?廣東深圳?高二深圳市高級(jí)中學(xué)?？计谥校?楊輝三角”是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形

中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).如圖所示，

在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是1外，其余每個(gè)數(shù)都是其"肩上"的兩個(gè)數(shù)之和，+例如第4行

的6為第3行中兩個(gè)3的和.則下列命題中正確的是（）

第0行

第1行

第2行12

第3行3

第4行464

第5行1010

第〃行

A.在“楊輝三角"第9行中，從左到右第7個(gè)數(shù)是84

B.在“楊輝三角"中，當(dāng)”=12時(shí)，從第1行起，每一行的第2列的數(shù)字之和為78

C.在“楊輝三角"中，第〃行所有數(shù)字的平方和恰好是第2”行的中間一項(xiàng)的數(shù)字

記"楊輝三角”第?行的第i個(gè)數(shù)為則E2一?q=3向

【變式2］（2022下?湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在楊輝三角形中，斜線/的上方從1按箭頭所示方

向可以構(gòu)成一個(gè)“鋸齒形"的數(shù)列：1,3,3,4,6,5,10,…，記此數(shù)列的前〃項(xiàng)之和為S,,,則邑3的值為.

【變式3]（2022下?湖南常德?高二臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在

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（1+x+x）"=D^n+D\nx+D^x+L+呢*“T+呢f”的展開式中（其中或，，黨叫做項(xiàng)式系數(shù)），

當(dāng)〃=1,2,3,得到如下左圖所示的展開式，如圖所示的“廣義楊輝三角J

（l+x+xV=l第昭1

（i+x+j）i=i+x+e用1行ill

（1+x+xf=l+2x+3x+2X3+X4期2行12321

（1+X+X3）3=1+3X+6X2+7X3+6/+3X5+X6第3行1367631

（1）若在（1+崗（1+尤+尤2）5的展開式中，尤8的系數(shù)為75,則實(shí)數(shù)〃的值為；

（2）&C；8+或6。；-3+L+&c；；=（可用組合數(shù)作答）.

【變式41（2022下?上海奉賢?高三上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，我們?cè)诘谝恍刑顚懻麛?shù)0到21）,

在第二行計(jì)算第一行相鄰兩數(shù)的和，像在Pas。出三角（楊輝三角）中那樣，如此進(jìn)行下去，在最后一行我

們會(huì)得到的整數(shù)是.

0123Ln-1n

135L2n-\

48L

L

題型03求二項(xiàng)展開式中的系數(shù)最大項(xiàng)問題

【典例1】（2022下?河北邯鄲?高二統(tǒng)考期末）若（2+依）”（4*0）的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512,

且第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則?的取值范圍為（）

A.（F,0）U[2,3]B.（-?,0）Uj,1

C.[2,3]D.j,1

【典例2】（2022?上海?統(tǒng)考一模）已知（1+2x）6展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為。，系數(shù)的最大值為％,則

a

2n

【典例3】（2022下?江蘇泰州?高二統(tǒng)考期中）已知二項(xiàng)式［g-x］=（20+axx+a2x+???+anx,且

neN*）.若一2I、|。八一1|、成等差數(shù)列.

（1）求展開式的中間項(xiàng)；

（2）求同（，=0,L2,…的最大值.

【典例4】（2022下?湖北武漢?高二江夏一中?？茧A段練習(xí)）已知二項(xiàng)式（x+3d）".

（1）若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為512.求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；

（2）若x=3,〃=2020,求二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù).

【變式1］（多選）（2023下?江蘇蘇州?高二校聯(lián)考期中）在的展開式中（）

A.常數(shù)項(xiàng)為g21B./項(xiàng)的系數(shù)為一￡9

C.系數(shù)最大項(xiàng)為第3項(xiàng)D.有理項(xiàng)共有5項(xiàng)

【變式2］（2022下?廣西玉林?高二統(tǒng)考期末）己知〃為正整數(shù)，在二項(xiàng)式（g+2x］的展開式中，若前三項(xiàng)

的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于79,貝U"的值為—，展開式中第一項(xiàng)的系數(shù)最大.

【變式3］（2022下?湖北武漢?高二校聯(lián)考期中）已知Qx+；）"展開式中第3項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相

等

（1）求展開式中含爐的項(xiàng)的系數(shù)；

（2）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？

【變式4］（2022上?內(nèi)蒙古包頭?高二北重三中?？计谥校?）已知

（1_x+x~（1_）=4+q尤+/r+■,■+。［彳""，求4+%+%+.，+《3的值.

（2）已知〃x）=（"+3爐）”的展開式中，各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.求展開式中系數(shù)最大

的項(xiàng).

題型04二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

【典例1］（2023,河北?高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）從1,2,3,…,100這100個(gè)自然數(shù)中隨機(jī)抽取三個(gè)不

同的數(shù)，這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為加，隨機(jī)抽取四個(gè)不同的數(shù),這四個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的取法數(shù)為N，則

N”的后兩位數(shù)字為（）

A.89B.51C.49D.13

kklk1

【典例2】（2023下?上海浦東新?高二校考期中）對(duì)于〃eN*,^n^^n=aQx2+alx2-+a2x2-+L

,（）

+aMx2+a,x2,當(dāng)力=0時(shí)，%=1.當(dāng)1V/4左時(shí)，4.為?；?.記/⑺為上述表示中為為0的個(gè)數(shù)，（例如

/127

1=1x2°，4=1X22+0X2'+0X2°,故/⑴=。，/（4）=2）.若工?！?%+%+L+巧，則￡2""）=.

n=\n=\

【典例3】（2022上?上海黃浦?高三格致中學(xué)校考階段練習(xí)）給定數(shù)列｛4｝,也“｝.對(duì)于任意的九“eN*,若

入了久恒成立，則稱數(shù)列｛4,｝,但｝是互斥數(shù)列.

⑴若數(shù)列a“=2"T也=2〃+1,判斷｛%｝,｛〃,｝是否是互斥數(shù)列，說明理由；

⑵若數(shù)列｛%｝與也｝都是由正整數(shù)組成的且公差不為零的等差數(shù)列，若｛4｝與｛〃｝不是互斥數(shù)列，求證:存

在無窮多組正整教對(duì)（左,/）,使以=%成立；

⑶若4=3”+2也=。""（。,〃是正整數(shù)），試確定c,d滿足的條件，使｛叫,也｝是互斥數(shù)列.

【變式1］（2022?山西呂梁?統(tǒng)考模擬預(yù)測）偉大的數(shù)學(xué)家歐拉28歲時(shí)解決了困擾數(shù)學(xué)界近一世紀(jì)的"巴賽

爾級(jí)數(shù)”難題.當(dāng)"eN*時(shí)，蓼=,4/一高卜習(xí)…[1-缶]…，又根據(jù)泰勒展開式可以得到

丫3Y5f-lV-1r2n-11111

sinX=X---1--