中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的圖象信息題 壓軸題（五種模型）

專題05高頻題型專題：二次函數(shù)的圖象信息題壓軸題五種模型全攻略

祎【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】..................................................................................1

【考點(diǎn)一二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問(wèn)題】................................................1

【考點(diǎn)二二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象共存問(wèn)題】..............................................5

【考點(diǎn)三含字母參數(shù)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】.............................................10

【考點(diǎn)四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)。,6,c的問(wèn)題】.......................................15

【考點(diǎn)五二次函數(shù)的圖象與幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】.................................................20

【典型例題】

【考點(diǎn)一二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問(wèn)題】

例題：（2023春?福建福州?八年級(jí)福建省福州延安中學(xué)校考期末）函數(shù)y=|a|x與＞一。（a#o）在同一直

角坐標(biāo)系中的大致圖象可能是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：???同＞0,

經(jīng)過(guò)一、三象限；

當(dāng)。＞0時(shí)，二次函數(shù)歹="2一開(kāi)口向上，與y軸的交點(diǎn)在負(fù)半軸上,

當(dāng)。＜0時(shí)，二次函數(shù)＞="2-。（。二0）開(kāi)口向下，與y軸的交點(diǎn)在正半軸上,

只有選項(xiàng)C符合題意;

故選：c.

【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的判斷，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?重慶渝中?八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┤鐖D是一次函數(shù)l=丘+6的圖象，則二次函數(shù)

y=fo?+6x+2的圖象可能為（）

【答案】C

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)圖象確定左>0,方>0,進(jìn)而確定二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，由此即

可得到答案.

【詳解】解：???一次函數(shù)、=辰+&的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限且與夕軸交于〉軸的正半軸，

:.k>0,b>0,

...二次函數(shù)>=履2+樂(lè)+2的圖象的開(kāi)口向上，

..?二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線》=-3<0,

二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，

???四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)中的函數(shù)圖象符合題意，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象綜合判斷，正確求出發(fā)>0,6>0是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?廣西南寧?八年級(jí)南寧市天桃實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┰谕蛔鴺?biāo)系中，一次函數(shù)>=-%》+1與二次

函數(shù)，y=/+加的圖象可能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的6=1和二次函數(shù)的。=1即可判斷出二次函數(shù)的開(kāi)口方向和一次函數(shù)經(jīng)過(guò)y軸正半

軸，從而排除/和c,分情況探討機(jī)的情況，即可求出答案.

【詳解】解：；二次函數(shù)為y=,

a=1＞0,

，二次函數(shù)的開(kāi)口方向向上，

???排除c選項(xiàng).

次函數(shù)y=-mx+\,

;.b=l＞0,

,，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)了軸正半軸，

???排除4選項(xiàng).

當(dāng)＞0時(shí)，貝U—根＜0,

一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、四象限，

二次函數(shù)y=/+機(jī)經(jīng)過(guò)＞軸正半軸，

排除5選項(xiàng).

當(dāng)加＜0時(shí)，貝!]-機(jī)＞0

一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、二、三象限，

二次函數(shù)y=x2+加經(jīng)過(guò)了軸負(fù)半軸，

二。選項(xiàng)符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和二次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握?qǐng)D像性質(zhì)中系數(shù)大小與圖

像的關(guān)系.

3.（2023?全國(guó)?九年級(jí)假期作業(yè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)了=加工+加和函數(shù)y=-mx2+2x+2（加片0）

的圖象可能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象判斷兩個(gè)冽值，函數(shù)的圖象是否正確即可得到答案.

【詳解】解：4根據(jù)函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)解析式中優(yōu)＜0,二次函數(shù)解析式中-機(jī)＜0,即機(jī)＞0,兩者

符號(hào)不相同，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、根據(jù)函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)解析式中/＜0,二次函數(shù)解析式中-〃7＞0,即機(jī)＜0,兩者符號(hào)相同，但

根據(jù)。=-冽，6=2得拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)在夕軸的左側(cè)，與圖象不符，故該選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)函數(shù)圖象可知：一次函數(shù)解析式中加＞0,二次函數(shù)解析式中-機(jī)＞0,即加＜0,兩者符號(hào)不相同，

故該選項(xiàng)不符合題意；

D、根據(jù)函數(shù)圖象可知：—次函數(shù)解析式中加＜0,二次函數(shù)解析式中-能＞0,即加＜0,兩者符號(hào)相同，根

據(jù)。=-加，6=2得拋物線的對(duì)稱軸應(yīng)在夕軸的左側(cè)，與圖象相符，故該選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，根據(jù)圖象判斷函數(shù)解析式中字母的取值，正確理解函

數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）己知二次函數(shù)夕="2+6x（"0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)了="+6（。40）

【答案】C

【分析】從二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸的位置，可以得到a＜0,b＞0,可知直線y尤+6經(jīng)過(guò)第一、

二、四象限.

【詳解】解：由二次函數(shù)的圖象可知，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸x=-§＞0,

2a

a＜0，b＞0,

...一次函數(shù)＞=ax+b的圖象是經(jīng)過(guò)第一3二、四象限.

只有選項(xiàng)C符號(hào)條件，

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是由二次函數(shù)的圖象得到。力的符號(hào)，從而判斷直

線的位置.

【考點(diǎn)二二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象共存問(wèn)題】

例題：（2023?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)y=a/+ax與反比例函數(shù)y=q在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)

【分析】根據(jù)了=。/+6可知，二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)為夕=0時(shí)，即二次函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn).再分兩種情

況即a>0,時(shí)結(jié)合二次函數(shù)y=+bx+c中°,6同號(hào)對(duì)稱軸在夕軸左側(cè)，a,6異號(hào)對(duì)稱軸在y軸右

側(cè)來(lái)判斷出二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案.

【詳解】解：①當(dāng)。>0時(shí)，二次函數(shù)y=a/+ax開(kāi)口向上，過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱軸在夕軸左側(cè)，故二次函數(shù)在一、

二、三象限，反比例函數(shù)在一、三象限;

②當(dāng).<0時(shí)，二次函數(shù)y=a/+a無(wú)開(kāi)口向下，過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在二、三、四象限,

反比例函數(shù)在二、四象限,

觀察圖象可知只有。符合,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)中。的取

值確定二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?浙江?九年級(jí)假期作業(yè)）二次函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=3在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖像可能

【答案】D

【分析】根據(jù)。的符號(hào)變化判斷反比例函數(shù)和二次函數(shù)所在象限即可得出答案.

【詳解】解：當(dāng)。＞0時(shí)，＞=仆2的圖像開(kāi)口向上，過(guò)一、二象限；y=巴的圖像位于一、三象限，可知，D

X

正確；

當(dāng)a＜0時(shí)，＞的圖像開(kāi)口向下，過(guò)三、四象限；y=巴的圖像位于二、四象限，無(wú)此選.

X

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像，理解函數(shù)表達(dá)式中的系數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

2.（2023春?廣東梅州?九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)〉=依+6與二次函數(shù)y=ax2+8x+6

的圖象可能是（）

【分析】令x=0,求出兩個(gè)函數(shù)圖象在＞軸上相交于同一點(diǎn)，再根據(jù)拋物線開(kāi)口方向向上確定出。＞0,然

后確定出一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一三象限，從而得解.

【詳解】解：x=0時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值＞=6,

所以，兩個(gè)函數(shù)圖象與〉軸相交于同一點(diǎn)，故5、。選項(xiàng)錯(cuò)誤；

由N、C選項(xiàng)可知，拋物線開(kāi)口方向向上，

所以，a＞Q,

所以，一次函數(shù)y無(wú)+6經(jīng)過(guò)第一三象限，

所以，/選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)的圖象，應(yīng)該熟記一次函數(shù)＞=依+6在不同情況下所在的象

限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.

3.（2023?湖南邵陽(yáng)?統(tǒng)考二模）若二次函數(shù)y=+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=ax-b與反比例

函數(shù)了=9在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象為（）

X

【答案】D

【分析】由拋物線開(kāi)口方向，對(duì)稱軸位置及拋物線與了軸交點(diǎn)位置判斷a,b,c的符號(hào)，從而可得直線與反

比例函數(shù)圖象的大致圖象.

【詳解】解：???拋物線開(kāi)口向上，

??a〉0,

???拋物線對(duì)稱軸在歹軸左側(cè),

:?b>0,

—b<0

???拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸下方，

c<0,

二直線了=依-6經(jīng)過(guò)第一，三，四象限，反比例函數(shù)丁=￡圖象分布在第二、四象限,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

4.（2023?山東青島?統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)》=。/+云+。（％，0）的圖象如圖所示，則正比例函數(shù)

y=（b+c）x的圖象與反比例函數(shù)y=q的圖象在同一坐標(biāo)系中可能是（）

X

【分析】由二次函數(shù)圖象分別判斷出a,b,c的符號(hào)，然后根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可得：

??,開(kāi)口向下，

**-a<0,

???對(duì)稱軸在V軸右邊，

Z?>0,

圖象與y軸交于正半軸,

。>0,

b+c〉0,

V=（b+c）x圖象過(guò)一三象限，y=@圖象過(guò)二四象限，

X

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),

熟悉函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.（2023廣東廣州?統(tǒng)考二模）如圖，二次函數(shù)了="2+bx+c（a/0）的圖象如圖4所示，則反比例函數(shù)

y=?”0）和一次函數(shù)y=6x+c在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）.

【答案】c

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=#+6x+c（分0）的圖象開(kāi)口向上，得出。>0,與y軸交點(diǎn)在〉軸的負(fù)半軸，得

出c<0,利用對(duì)稱軸尤=-二>0,得出6<0,然后對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)中的圖象判定即可.

【詳解】解：因?yàn)槎魏瘮?shù)y=af+6x+c的圖象開(kāi)口向上，得出。>0,與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，得出

c<0,利用對(duì)稱軸^=一二>0,得出6<0,

2a

所以一次函數(shù)y=6x+c經(jīng)過(guò)二、三、四象限，反比例函數(shù)y=3經(jīng)過(guò)一、三象限.

A.一次函數(shù)V=6x+c經(jīng)過(guò)一、三、四象限，反比例函數(shù)y=巴經(jīng)過(guò)二、四象限，不符合題意;

X

B.一次函數(shù)V=bx+c經(jīng)過(guò)一、二、三象限，反比例函數(shù)y=3經(jīng)過(guò)二、四象限，不符合題意;

X

C.一次函數(shù)歹=云+。經(jīng)過(guò)二、三、四象限,反比例函數(shù)>經(jīng)過(guò)一、三象限，符合題意；

D.一次函數(shù)V=法+。經(jīng)過(guò)一、三、四象限，反比例函數(shù)3經(jīng)過(guò)一、三象限，不符合題意;

x

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是由二次函數(shù)的圖象判斷各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，熟記一次

函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

6.（2023?江西宜春??？级＃┰谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，一次函數(shù)>=<^+6和反比例函數(shù)〉=￡的圖象如

X

右圖所示，則二次函數(shù)>=依2+加+。的圖象可能是（）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象可得〃〉0/<0,根據(jù)反比例函數(shù)可得。<0,據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???一次函數(shù)y=ax+6的圖象經(jīng)過(guò)一、三、四象限,

,a〉0/<0,

..?反比例函數(shù)了=反的圖象在第二、四象限,

X

c<0,

，拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸在夕軸的右側(cè)，與y軸交于負(fù)半軸,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象綜合判斷，熟練掌握以上函數(shù)圖象的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)三含字母參數(shù)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】

例題：(2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))已知二次函數(shù)y=ax2-(3“+l)x+3(“R0),下列說(shuō)法正確的是()

4點(diǎn)(1,2)在該函數(shù)的圖象上

B.當(dāng)。=1且-1VXW3時(shí)，0<j<8

C.該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)

13

D.當(dāng)a>0時(shí)，該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在直線x=5的左側(cè)

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：：>=&-(3。+1口+3伍工0),

當(dāng)x=1時(shí)：y=a—(3tz+1)+3=2—2a,

「aw0,

2—2aw2，

即：點(diǎn)(1,2)不在該函數(shù)的圖象上，故4選項(xiàng)錯(cuò)誤;

當(dāng)a=l時(shí)，y=f-4x+3=（尤一2）~-1,

，拋物線的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=2,

...拋物線上的點(diǎn)離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越大，

—1<x<3,|—1—2|>|3-2|>|2—21,

.?.當(dāng)x=-l時(shí)，y有最大值為（一1一2『一1=8,

當(dāng)x=2時(shí)，V有最小值為-1,

故8選項(xiàng)錯(cuò)誤；

A=[-（3a+l）]2-4x3a=9a2-6<7+l=（3a-l）2>0,

...該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點(diǎn)，故選項(xiàng)C正確；

當(dāng)。>0時(shí)，拋物線的對(duì)稱軸為：x=^=-+—>-,

2a22a2

3

該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸一定在直線x的右側(cè)，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

2

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì).熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)了二辦?-2x+g（a為常數(shù)，且a>0）,下列結(jié)論：

①函數(shù)圖像一定經(jīng)過(guò)第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過(guò)第三象限；③當(dāng)x<0時(shí)，夕隨x的增大

而減?。虎墚?dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.②③C.②D.③④

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】解：?.?拋物線對(duì)稱軸為一2=-二=工>0,c=->0,

2a2aa2

...二次函數(shù)圖象必經(jīng)過(guò)第一、二象限，

又?:A=Z72—4ac=4-2。，

*.*>0,

***4—2a<4，

當(dāng)4-2〃<0時(shí)，拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過(guò)第一、二象限,

當(dāng)0<4-2a<4時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，

故①錯(cuò)誤；②正確；

???拋物線對(duì)稱軸為—△b=—-，2=上1>0,。>0,

2a2aa

二拋物線開(kāi)口向上，

...當(dāng)x<L時(shí)，y隨X的增大而減小，故③正確；

a

...當(dāng)時(shí)，了隨X的增大而增大，故④錯(cuò)誤，

a

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

2.（2023?江蘇南京?校考三模）已知整式”下列關(guān)于整式W的值的結(jié)論：

①M(fèi)的值可能為4；

②當(dāng)a>1時(shí)，M的值隨。的增大而增大；

③當(dāng)。為小于0的實(shí)數(shù)時(shí)，W的值大于0;

④不存在這樣的實(shí)數(shù)。，使得”的值小于-1.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】根據(jù)一元二次方程的知識(shí)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，依次判斷，即可.

【詳解】①當(dāng)M=4,

M=a2—2a=4,

解得：471=1+V5,a2=1—A/5,

的值可能為4,

，①正確；

②設(shè)函數(shù)的解析式為：M=a2-2a,如圖1

對(duì)稱軸為：x=--=\,函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，

2a

...當(dāng)。>1,函數(shù)M隨。的增大而增大，

...②正確；

③同理，當(dāng)x＜l,函數(shù)M隨。的增大而減小，

...當(dāng).＜0時(shí)，函數(shù)M在V軸是上方，即M＞0,

...③正確；

④設(shè)函數(shù)的解析式為：M=a--2a,如圖1

.?.當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)M有最小值，最小值為：-1

,無(wú)論。取任何數(shù)，M＞-\

，④正確；

綜上所述：正確的為：①②③④

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握解一元二次方程，二次函數(shù)

圖象和性質(zhì)，實(shí)數(shù)的性質(zhì).

3.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)了=》-優(yōu)+2）x+2（左為實(shí)數(shù)），下列四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)斤=0時(shí)，圖象與坐標(biāo)軸所夾的銳角為45。；

②若左＜0,則當(dāng)尤＞1時(shí)，V隨著x的增大而減小；

③不論左為何值，若將函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；

④當(dāng)后＜-2時(shí)，拋物線頂點(diǎn)在第一象限.

其中正確的結(jié)論是（填寫(xiě)序號(hào)）

【答案】②③④

【分析】由一次函數(shù)＞=-2》+2即可判斷①；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷②；得到平移后的解析式即可

判斷③；求得頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷④.

【詳解】解：①當(dāng)上=0時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)＞=-2》+2,由于系數(shù)為一2,所以圖象與坐標(biāo)軸所夾的銳角不

為45。，故①錯(cuò)誤；

②若大<0,拋物線的對(duì)稱軸為直線》=-小二！=!+!<」，則當(dāng)X>1時(shí)，y隨著X的增大而減小，故②

2k2k2

正確；

③當(dāng)函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位時(shí)，解析式為了=左（尤+4-優(yōu)+2）（尤+1）+2,則其圖象過(guò)原點(diǎn)，故③正確；

④當(dāng)左<一2時(shí)，對(duì)稱軸直線x=—Y*+2）='+■1■>0,頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為--'+2）2=一如二比>0,故拋物

2k2k4k4k

線頂點(diǎn)在第一象限，故④正確；

故答案為：②③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)了="2+云+?°,瓦。是常數(shù)，。-0）與x軸的交點(diǎn)

坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

4.（2023春,福建福州?八年級(jí)福建省福州延安中學(xué)校考期末）對(duì)于二次函數(shù)了=依2_（50+1》+40+4.有下

列說(shuō)法：

①若a<-l,則二次函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸相交；

②若。>0,當(dāng)1WXV2時(shí)，y有最大值3；

③若a為整數(shù)，且二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)，則a的值只能等于1；

④若”0,且/（2,乂）,3（3,%）（（4,%）為該函數(shù)圖象上的三點(diǎn)，則%>%>%.

其中正確的是.（只需填寫(xiě)序號(hào)）

【答案】①②④

【分析】求出4a+4的取值即可判斷①；由對(duì)稱軸方程可判斷出當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)在1VXV2時(shí)，y有最大值

3,故可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)可知對(duì)稱軸也是整數(shù)，可求出a,進(jìn)

而判斷③；分別求出N,B,C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，再進(jìn)行比較即可判斷④.

【詳解】解：①對(duì)于y=依?_（5a+l）x+4a+4,令x=0,得了=4。+4,由a<-1可得了=4a+4<0,即二

次函數(shù)的圖象與y軸的負(fù)半軸相交，故①正確；

②二次函數(shù)y=ax2_（5a+l）x+4a+4對(duì)稱軸方程為直線x=—一（"+D=字1="絲1=2+g,

2a2。2a2a

*.*?>0,

x>2,

又拋物線的開(kāi)口向上，

二次函數(shù)了="2-（5a+l）x+4a+4的圖象在1WxV2內(nèi)，當(dāng)x=1時(shí)，>有最大值，最大值為：3；故②正

確;

③二次函數(shù)V=加-（5a+l）x+4a+4的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

，A=[-（5a+l）]-4。（4。+4）=25〃+10。+1-16/-16。=9/—6。+1=（3。-1）,

:a為整數(shù),

：.V=（3a-l）2>0,即a為任意整數(shù)；

又二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)公共點(diǎn)都為整數(shù)點(diǎn)，

對(duì)稱軸x=2+手必為整數(shù)，此時(shí)。的值不只能等于1,也可以是T,故③錯(cuò)誤；

④：“（2,乂）,8（3,力）,。（4,%）為函數(shù)了="2-（5a+l）x+4a+4圖象上的三點(diǎn),

?,?當(dāng)％=2時(shí)，y=-2a+2；

當(dāng)x=3時(shí)，y=一2〃+1；

當(dāng)％=4時(shí)，歹=0；

a<0,

:、—2a+2>—2a+1〉0,即必>JV2>%.故（J）正確,

所以，正確的結(jié)論是①②④，

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，從開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、與X軸⑶軸）

的交點(diǎn)進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)",4c的問(wèn)題】

例題：（2023春?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)校聯(lián)考期末）某二次函數(shù)了="2+樂(lè)+。（。20）的部分圖象如圖所示，下列

結(jié)論中一定成立的有（）

(1)abc>0；(2)a-b+c<0；@a———；④8a+c>0.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】由拋物線的開(kāi)口方向判斷。與。的關(guān)系，由拋物線與夕軸的交點(diǎn)判斷V與0的關(guān)系，然后根據(jù)對(duì)稱

軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對(duì)所得結(jié)論進(jìn)行判斷.

【詳解】解：①函數(shù)的對(duì)稱軸在了軸右側(cè)，則M<O,拋物線與了軸交于負(fù)半軸，貝ijc<o,則%>o,故

①正確；

②函數(shù)的對(duì)稱軸為x=l,函數(shù)和X軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3,0）,則另外一個(gè)交點(diǎn)為（-1,0）,當(dāng)x=-l時(shí)，

y=a-b+c=0,故②錯(cuò)誤；

③函數(shù)的對(duì)稱軸為工=-3=1,即。=-士，故③錯(cuò)誤；

2a2b一

④由②③得，b=-2a,a-b+c=0,故3a+c=0,而拋物線開(kāi)口向上，貝即5。>0,故8a+c>0,

故④正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】主要考查圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)利用對(duì)稱軸的范圍求2a與6的關(guān)系，以及二次函數(shù)

與方程之間的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模）如圖，二次函數(shù)了=辦2+及+。（0<0）的圖象與x軸交于/、3兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C,對(duì)稱軸為直線尤=1,結(jié)合圖象給出下列結(jié)論：①0加>0；②4“C-62<0;③3a+c<0；

④方程分+—+°=-42一1的兩根和為1；⑤若玉,乙（玉<起）是方程辦2+6x+c=0的兩根，貝!J方程

a（x-xJ（x-X2）+3=0的兩根私滿足。（%-西）（“一》2）>0；其中正確結(jié)論有（）

A.2個(gè)8.3個(gè)C.4個(gè)D5個(gè)

【答案】B

【分析】綜合二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系，以及二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系進(jìn)行逐項(xiàng)分析.

【詳解】解：由題意，a<0,對(duì)稱軸為直線》=-鄉(xiāng)=1,

2a

b=-2a,b>0,

拋物線與V軸相交于正半軸，貝

abc<0,故①錯(cuò)誤；

???拋物線與％軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

?*-b2-4ac>0,即：4ac-b2<0,故②正確；

???由圖象可得，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)值歹<0,

a-b+c<0，

■:b=—2a,

/.3tz+c<0,故③正確；

對(duì)于方程ax2+bx+c=-k2-1，

整理得：ax2+bx+c+k2+1=0,

其兩根之和再+%=--，

a

?:b=—2a,

再+%=2

二?方程O(píng)X?+b%+c=一左2一1的兩根和為2,故④錯(cuò)誤；

**'x\，x2（xi<xi）是方程ax2+bx+c=0的兩根，

工函數(shù)歹=+隊(duì)+。圖象與％軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為玉,馬（王<工2），

?方程。（%—七）（%—％2）+3=0的兩根加,〃（加<〃）,

???拋物線V="2+區(qū)+。與直線y=-3的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為九〃（加<?）,

???拋物線開(kāi)口向下，

.??加<石，n>x2,

m-xx<0,n-x2>0,

a<0,

I.a（加一國(guó)）（篦一）2）>0,故⑤正確;

???正確的有②③⑤，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，理

解并熟練運(yùn)用函數(shù)與方程之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

2.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)〉="2+樂(lè)+。（。*0）圖像的一部分與x軸的一

個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）,對(duì)稱軸為直線x=l,結(jié)合圖像給出下列結(jié)論：

①abc>0；②b=2a；③3a+c=0；

④關(guān)于x的一元二次方程辦,+6x+c+左2=（）（"/（））有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

⑤若點(diǎn)（也弘），（-機(jī)+2,%）均在該二次函數(shù)圖像上，則必=%.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸、開(kāi)口方向、與了軸的交點(diǎn)確定6、c的正負(fù)，即可判定①和②；將點(diǎn)（3,0）

代入拋物線解析式并結(jié)合6=-2。即可判定③；運(yùn)用根的判別式并結(jié)合a、c的正負(fù)，判定判別式是否大于

零即可判定④；判定點(diǎn)（九%）,（-加+2,%）的對(duì)稱軸為x=l,然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可判定⑤.

【詳解】解：：拋物線開(kāi)口向上，與y軸交于負(fù)半軸，

Q>0,C<0,

:拋物線的對(duì)稱軸為直線x=l,

即6=—2.<0,即②錯(cuò)誤；

2a

abc>0,艮口①正確,

??1二次函數(shù)了=ax2+bx+c（a豐0）圖像的一部分與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3,0）

.\9a+3b+c=0

9〃+3（—2。）+。=0,即3Q+C=0,故（2）正確;

?.?關(guān)于X的一元二次方程辦2+6x+c+左2=0（〃。0）,A=/—4a（c+=b2-Aac-4ak2,a>0,c<0,

-4ac>0,-Aak2<0,

???無(wú)法判斷/-4a?-4〃左2的正負(fù)，即無(wú)法確定關(guān)于x的一元二次方程江+樂(lè)+0+左2=0（。。0）的根的情況,

故④錯(cuò)誤；

..m+（-m+2）

?-----------=1

2

...點(diǎn)（見(jiàn)必），（-m+2,%）關(guān)于直線尤=1對(duì)稱

:點(diǎn)（也弘），（-機(jī)+2,%）均在該二次函數(shù)圖像上，

yi=y2>即⑤正確;

綜上，正確的為①③⑤，共3個(gè)

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的7="2+法+0（。/0）的性質(zhì)及圖像與系數(shù)的關(guān)系，能夠從圖像中準(zhǔn)確的獲

取信息是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?全國(guó)?九年級(jí)假期作業(yè)）拋物線y=62+bx+c的對(duì)稱軸是直線x=-l,且過(guò)點(diǎn)。，0）頂點(diǎn)位于第二象

限，其部分圖象如圖所示給出以下判斷：①06>0,且c<0；②4"26+c>0；③8a+c>0；④c=3a-36；

⑤直線了=2尤+2與拋物線了=辦2+區(qū)+。兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為占，入2，則占+%+王氏=-5.其中正

確的個(gè)數(shù)為（）

4.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)一一判斷即可.

【詳解】：拋物線對(duì)稱軸x=-l,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),

---=-1,Q+Z)+C=0,

2a

??b—2a,C——3cl，

???a＜0,

＜0,c＞0,

工時(shí)〉0且c〉0,故①錯(cuò)誤，

??,拋物線對(duì)稱軸x=-l,經(jīng)過(guò)(I，。)，

???(-3,0)和(1,0)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

:?x=-2時(shí)，歹＞°,

.二4a—26+c＞0,故②正確,

???拋物線與％軸交于(-3,0),

,x=-4時(shí)，歹＜°,

「?16〃一4/7+。＜0,

°：b=2a,

「?16〃一8。+。＜0,即8。+。＜0,故③錯(cuò)誤，

*.*c=-3a=3Q-6。，6=2。，

/.c=3a-3b,故④正確，

2

???直線y=2x+2與拋物線y=ax+bx+c兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為如x2,

???方程辦之+,一2)工+。一2=0的兩個(gè)根分另I1為再，聲，

.b-2c-2

??X]+工2=------，Xi,X2=----，

aa

.+X2+XF2=-~+~=-2上+*^=4，故⑤正確，正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).

aaaa

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特征，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)

解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.

【考點(diǎn)五二次函數(shù)的圖象與幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題】

例題：（2023?河南周口?河南省淮陽(yáng)中學(xué)校考三模）如圖，在RtaABC中，ZA=90°,AC=AB^8.動(dòng)點(diǎn)。

從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段以1單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)8重合時(shí)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)停止.以/￡>為一邊

向上作正方形4。跖，若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（0<xV8）,正方形NDE/與AABC重合部分的面積為V,則下

列能大致反映了與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

【分析】根據(jù)題目所給條件，分當(dāng)04xW4時(shí)和當(dāng)4<x48時(shí)，建立函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即

可得到答案.

【詳解】解；當(dāng)0VxV4時(shí)，正方形/。斯與重合部分的面積為正方形/DEF的面積，

?.y-x,

...此時(shí)函數(shù)圖象為頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上的拋物線；

此時(shí)正方形/。昉與03C重合部分的面積為正方形/。好的面積減去三角形的面積,

：O8C是等腰直角三角形，AB=AC=8,

DM=DB=FN=FC=S-x,

EM=EN=x-(8-x)=2x—8,

1，

??V=S正方形AMF—SAMNE=x-'(Zx-8)=x—2x+16x—32=—x+16x—32,

,?-l<0,

...二次函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的解析式與圖象的關(guān)系，正確列出函數(shù)關(guān)系式和判斷二次函數(shù)的開(kāi)口方向

是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在正方形/8CD中，AB=4,動(dòng)點(diǎn)"，N分別從點(diǎn)3同時(shí)出發(fā),

沿射線A8,射線6C的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度的大小相等，連接。MN,ND.設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為

x（0VxV4）,ADMN的面積為S,下列圖像中能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【分析】先根據(jù)S=品方物88-岳皿WDCN-岳BW，求出S與尤之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：5=5正方物加。-，ADM~'DCN―5BMN，

=4x4一;x4x一（x4（4-x）—^x（4-x）,

1

=-x9—2x+8,

2

1

=—（X—2）9+6,

故S與X之間函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，圖像開(kāi)口向上，x=2時(shí)，函數(shù)有最小值6,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出S與尤之間函數(shù)關(guān)系式，再

判斷S與x之間函數(shù)類型.

2.（2023?安徽合肥??？既＃┤鐖D，正方形48CD中，48=4cm,動(dòng)點(diǎn)尸，。分別從4。同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P