高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育中CabrimetryⅡ的應(yīng)用研究

高中數(shù)學(xué)創(chuàng)新教育中CabriGeometryⅡ的應(yīng)用研究溫嶺市二中課題組鄭國令當前信息技術(shù)飛速發(fā)展,知識經(jīng)濟已見端倪,21世紀的人們已經(jīng)不可避免的進入了一個信息化的社會;怎樣運用現(xiàn)代的教育技術(shù),構(gòu)建新型的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式,是當前課程改革中的重要內(nèi)容;二年來,我組走過了組建、培訓(xùn)、研討、觀摩、研究、實踐、撰寫論文等過程,完成了相關(guān)的研究任務(wù),取得了初步的研究成果;一、問題的提出現(xiàn)代教學(xué)理論認為,數(shù)學(xué)教學(xué)過程應(yīng)該是學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程;雖然教材中的概念、公式、法則、定理等基礎(chǔ)知識對人類是已知的,但對于學(xué)生來說是未知的,教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分參與概念、法則的形成過程,定理、公式的發(fā)現(xiàn)和證明過程,使學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、歸納、類比等生動的數(shù)學(xué)思維活動,在其活動過程中學(xué)到知識、形成能力、磨煉意志、提高素質(zhì);著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面,一方面它是歐幾里德式的嚴謹科學(xué),從這個方面看,數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué),但另一方面,創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué),看起來卻像是一門實驗性的歸納科學(xué);”數(shù)學(xué)中的創(chuàng)造都是從猜想開始的,而數(shù)學(xué)的猜想與數(shù)學(xué)實驗是分不開的;數(shù)學(xué)猜想往往是在數(shù)學(xué)實驗的基礎(chǔ)上,通過觀察、分析、歸納而獲得的;在數(shù)學(xué)的“再創(chuàng)造”過程中,數(shù)學(xué)猜想和數(shù)學(xué)實驗有著同樣重要的作用;而CabriGeometryⅡ的計算、測量、繪圖、變換、運動等特殊功能,為開展數(shù)學(xué)實驗提供了有效的工具;CabriGeometryⅡ在知識形成過程中的應(yīng)用的研究主要是研究利用CabriGeometryⅡ改進數(shù)學(xué)知識形成過程的教學(xué),探索把教學(xué)過程設(shè)計為學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程,引導(dǎo)學(xué)生參與發(fā)現(xiàn)、開展數(shù)學(xué)實驗,加深對數(shù)學(xué)知識的理解,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力;數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的重要途徑,而數(shù)學(xué)建模是解決實際問題的基本思路和方法;數(shù)學(xué)建模是從實際問題出發(fā),建立相關(guān)的數(shù)學(xué)模型,把實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題,通過對這個數(shù)學(xué)問題的求解,最終獲得實際問題的解的方法;CabriGeometryⅡ配合CBL系統(tǒng)和各種傳感器俗稱探頭等,可十分方便、迅速地收集現(xiàn)實世界和實驗室中的各種數(shù)據(jù),并進行形象、直觀的分析處理,獲得實驗結(jié)論,因而是數(shù)學(xué)建模的有效工具;CabriGeometryⅡ在數(shù)學(xué)知識應(yīng)用過程中的研究主要是研究CabriGeometryⅡ如何用于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的教學(xué)及數(shù)學(xué)建模活動的開展,探索培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和實踐能力的有效途徑;CabriGeometryⅡ在教學(xué)模式的研究主要是研究以現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo),努力發(fā)揮現(xiàn)代手持教育技術(shù)在教學(xué)中的作用,改進中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程,構(gòu)建新的教學(xué)模式,推進數(shù)學(xué)教學(xué)改革的深入開展;二、研究過程第一階段：教師技術(shù)培訓(xùn);使全體數(shù)學(xué)教師掌握CabriGeometryⅡ主要功能;A.掌握圖形生成;CabriGeometryⅡ可以用來產(chǎn)生、編輯、列印各種圖形;CabriGeometryⅡ還提供了二十次曲線作圖,為解析幾何的教學(xué)提供便利;B.掌握動態(tài)圖形變換;使用CabriGeometryⅡ可以對圖形進行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換,也可以拖動圖中的自由點改變圖形形狀;這些變換過程是連續(xù)表現(xiàn)出來的;這種動態(tài)圖形變換不僅使作圖過程變得生動活潑,而且為CabriGeometryⅡ的一些高級功能如動畫、軌跡生成、動態(tài)數(shù)值驗證提供了基礎(chǔ);C.掌握幾何量測量;CabriGeometryⅡ可以用來測量一幅圖形中的距離、角度、面積等幾何量,并能夠計算這些量的任意代數(shù)與初等函數(shù)表達式;這一功能可以用來驗證幾何猜想的正確性,也可以幫助使用者提出猜想;D.掌握用作圖形計算機;普通計算機的主要功能是可以對給定的數(shù)值進行加、減、乘、除、算術(shù)運算并計算初等函數(shù)的值;而CabriGeometryⅡ除了這些功能外,主要增加的是初等函數(shù)圖象顯示功能;E.掌握幾何定理的自動證明與自動發(fā)現(xiàn);CabriGeometryⅡ產(chǎn)生了最具代表性的定理證明方法：吳方法、面積法、演數(shù)據(jù)庫法、全角法、向量與復(fù)數(shù)法與Grobner基法;這些方法可以自動證明定理;CabriGeometryⅡ不僅可以自動證明定理,還可以用各種方法自動發(fā)現(xiàn)幾何圖形的豐富性質(zhì)包括定理：數(shù)據(jù)庫與面積法;第二階段：應(yīng)用CabriGeometryⅡ初步研究階段;這一階段,教師把CabriGeometryⅡ的應(yīng)用全面推向課堂,教會學(xué)生使用CabriGeometryⅡ,并進行典型引入研究討論;第三階段：應(yīng)用CabriGeometryⅡ深入研究階段;這一階段的研究：1廣泛開展研究課活動；2撰寫論文和課例;第四階段：應(yīng)用CabriGeometryⅡ,學(xué)生領(lǐng)域出成果;學(xué)校一切教學(xué)活動的開展,最后都落實到學(xué)生身上,學(xué)生的發(fā)展和成長是教學(xué)活動、課題實驗的出發(fā)點和落腳點,都要體現(xiàn)在學(xué)生身上;應(yīng)用CabriGeometryⅡ開展數(shù)學(xué)應(yīng)用議論文評選,力爭浮出有結(jié)合數(shù)學(xué)知識開展研究性學(xué)習(xí),有聯(lián)系生產(chǎn)、生活實際開展數(shù)學(xué)建模的,較高水平的論文;二、研究成果通過二年多來,把CabriGeometryⅡ應(yīng)用于教學(xué)活動中后,有利于對學(xué)生進行創(chuàng)新意識的培養(yǎng)和實踐能力的提高,促進了教學(xué)改革的深入開展,主要成果有以下幾點：利用CabriGeometryⅡ有利于改進數(shù)學(xué)知識形成過程的教學(xué);在多年的數(shù)學(xué)教學(xué)中,存在著重結(jié)論、輕過程的傾向,這種傾向的產(chǎn)生也有它的客觀原因和歷史背景,在這種傾向下,對數(shù)學(xué)知識的教學(xué),常常回答的“是什么”,“是什么的結(jié)論”,而對“為什么”確乏闡述,對結(jié)論是怎么產(chǎn)生的,產(chǎn)生這個結(jié)論的數(shù)學(xué)思維途徑、思維過程、思維方法也往往被忽視,這就限制了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平的提高;從某種意義上,學(xué)生獲取了獲取知識的思維方法比知道的一些知識更為重要,對學(xué)生的終身發(fā)展更為有利;把CabriGeometryⅡ應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,有利于揭示數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的形成過程,在解決某些數(shù)學(xué)問題時,有利于啟迪學(xué)生的思維,讓學(xué)生去尋找解決問題的途徑和方法;案例一：函數(shù)y=A的圖象;研究該函數(shù)的圖象,需要揭示A、、三個量的取值對該函數(shù)圖象位置的影響,同時要揭示函數(shù)y=sinx,y=sinx,y=Asinx,y=sinx+等不同函數(shù)之間的圖象變換關(guān)系,這就要給A、、各個不同的取值,作出其圖象,讓學(xué)生進行比較,利用CabriGeometryⅡ計算,作出各種不同的圖象,讓學(xué)生通過觀察、分析、比較得出結(jié)論;另外,不少老師利用CabriGeometryⅡ去研究一次函數(shù),二次函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、以及有關(guān)復(fù)合函數(shù)的圖象和性質(zhì),函數(shù)圖象的有關(guān)變換等問題時,有利于揭示知識的形成過程,不但提高學(xué)生的直覺思維、形象思維能力,而且提高了學(xué)生的抽象概括能力,同時,讓學(xué)生在獲取知識時,也獲得了獲取知識的思維途徑和方法;當然,在中學(xué)數(shù)學(xué)中,凡是涉及到數(shù)和形的問題,如函數(shù)與圖象,復(fù)數(shù)與幾何,曲線與方程,以及解不等式、最值的問題時,都可以顯示CabriGeometryⅡ的功能,發(fā)揮現(xiàn)代技術(shù)的優(yōu)勢,部分教師進行了這方面的探索,這對教師的教育觀念的更新也產(chǎn)生了很大的影響;利用CabriGeometryⅡ有利于學(xué)生進行自主學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)活動,改變學(xué)習(xí)方式;改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,是指從單一被動的學(xué)習(xí)方式向多樣化的學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變,其中,自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)和操作實驗都是重要的學(xué)習(xí)方式;操作性學(xué)習(xí)活動,在教師教導(dǎo)下,讓學(xué)生利用已學(xué)的知識和方法,去研究解決有關(guān)問題,主動獲取知識,應(yīng)用舊知識去研究新問題,獲取新知識;案例二：關(guān)于原函數(shù)與反函數(shù)交點問題的討論;在以往教學(xué)中,對原函數(shù)與反函數(shù)的交點問題,認為兩曲線有交點時,其交點必須在直線y=x上,事實上這是錯誤的,如函數(shù)fx=與反函數(shù)f-1x=7-x2x0有三個交點,為A,B1,2C2,1,顯然只有點A在直線y=x上,而B、C兩點關(guān)于直線y=x對稱,以上結(jié)論的獲得,只有通過CabriGeometryⅡ作出其圖象,通過觀察分析得出有三個交點,然后再用初等方法加以求解,因此,CabriGeometryⅡ在探究問題的解決時,起了重要的作用;案例三：坐標軸的旋轉(zhuǎn)對函數(shù)y=x+的圖象及性質(zhì)問題不少資料上都是研究該函數(shù)的最值及其單調(diào)性,在研究上都是其示意圖,但不少示意圖畫的是錯誤的,這就要研究y=x+的圖象到底是什么這是一個探索研究的問題,利用TI圖形計算器進行坐標軸的旋轉(zhuǎn),可知該函數(shù)的圖象是雙曲線,存在兩條漸近線x=0和直線y=x,其頂點不是y=x+的最值點,而是與直線y=tgx的交點;學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,利用CabriGeometryⅡ進行自主學(xué)習(xí),探究性學(xué)習(xí),可以調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性,對研究問題,去獲取新知識,對更新教育觀念,進行教學(xué)模式的改革起到積極的作用;利用CabriGeometryⅡ有利于學(xué)生開展課外學(xué)習(xí)活動,提高學(xué)習(xí)效率;學(xué)生開展課外學(xué)習(xí)活動是當前教育的薄弱環(huán)節(jié),但是CabriGeometryⅡ引入教學(xué)過程后,對學(xué)生的課外活動的開展起了很大的變化;案例四：一節(jié)數(shù)學(xué)活動課在講到“平均數(shù),方差和標準差”這部分內(nèi)容時,對數(shù)據(jù)的計算量較大,過去的教學(xué)過程中,只是要求學(xué)生掌握解決問題的思想和方法,但是利用CabriGeometryⅡ工具可以幫助學(xué)生快速、準確地完成數(shù)據(jù)統(tǒng)計;數(shù)學(xué)中的許多問題都需要通過計算加以解決,有些計算進程中學(xué)生必須用筆加以完成,但是經(jīng)常也遇到不少運算對學(xué)生講是重復(fù)的機械操作,對學(xué)生的學(xué)習(xí)和能力的提高并沒有多少實際意義,這些計算用CabriGeometryⅡ加以解決,對提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率是有意義的,把節(jié)省出來的時間,讓學(xué)生去學(xué)習(xí)新知識;讓學(xué)生利用CabriGeometryⅡ開展數(shù)學(xué)應(yīng)用活動;學(xué)生進行數(shù)學(xué)應(yīng)用的活動主要涉及三個方面：在學(xué)習(xí)過程中,結(jié)合已學(xué)的知識進行新探索,開展研究性學(xué)習(xí)活動;案例五：關(guān)于到兩點、點線、兩線距離存在關(guān)系的點的軌跡的研究學(xué)生在圓錐曲線的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線、拋物線的定義之后,學(xué)生會進行一些聯(lián)想,關(guān)于到兩點、點線、兩線的距離存在關(guān)系的點的軌跡是什么如：“動點到兩定點的距離的商或積為定值表示什么曲線”；“動點到兩定點的距離的平方和為定值表示什么曲線”等等一系列的聯(lián)想,引起了學(xué)生的興趣,學(xué)生利用圖形計算器把數(shù)與形、曲線與方程有機結(jié)合,進行一系列的探索并進行了科學(xué)的推理判斷,提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)探究能力;結(jié)合生產(chǎn)、生活實際問題,開展數(shù)學(xué)應(yīng)用的建?；顒?在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,讓學(xué)生提出問題,分析和解決問題,進行數(shù)學(xué)交流,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力;在這方面學(xué)生寫了不少論文,如：“上樓梯的數(shù)學(xué)問題”；“關(guān)于電影院座位的安排”；“商場選址的奧妙”；“考試成績的優(yōu)化處理”；“對用微波爐爆米花的研究”等,在研究過程中,充分顯示CabuiGeometuyⅡ的功能應(yīng)用,有利于數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展;3利用數(shù)學(xué)和相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系,開展綜合研究,解決有關(guān)實際問題;一位學(xué)生利用TI圖開計算器為工具“對草坪噴灌裝置進行設(shè)置”的研究,寫了一篇很有價值的論文,涉及到數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科方面的知識,對水資源的利用有實際意交;因此,CabuiGeometuyⅡ為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力提供了廣闊的思維活動空間,讓學(xué)生利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識和方法,能夠?qū)陀^事物中的數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷,這對人的發(fā)展的起了重要的作用;5、用CabuiGeometuyⅡ構(gòu)建高中數(shù)學(xué)教學(xué)模式1運用現(xiàn)代手持教育技術(shù)構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)模式的基本原則運用現(xiàn)代手持教育技術(shù)構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)模式,首先要以現(xiàn)代的教育教學(xué)觀念、數(shù)學(xué)觀念、技術(shù)觀念為指導(dǎo),探討教學(xué)過程的基本原則;我們認為現(xiàn)代手持教育技術(shù)構(gòu)建教學(xué)模式,主體性、活動性、情感性、合作性是需要貫徹的一般原則,在教學(xué)內(nèi)容和形式上應(yīng)當具有開放性、探索性和應(yīng)用性;結(jié)構(gòu)如下：情感性∣∣—開放性主體性——活動性——∣—探索性∣∣—應(yīng)用性合作性主體性是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的核心和靈魂;在教學(xué)中,學(xué)生是認識的主體,知識要靠他們主動思維去獲取;現(xiàn)代手持教育技術(shù)的引入,要充分體現(xiàn)學(xué)生為主體,主動參與;因此,新的教學(xué)模式的立足點必須由“教”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)”;活動性是主體性的具體體現(xiàn),是構(gòu)建新的教學(xué)模式的核心;要讓學(xué)生深層次地參與,在教學(xué)過程中,就要引導(dǎo)學(xué)生親自動手,運用現(xiàn)代手持教育技術(shù);通過觀察、實驗、分析、綜合、歸納、類此、猜想、抽象、概括等探索研究性活動,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和能力;由于數(shù)學(xué)教育與學(xué)生的個性發(fā)展緊密相連,為了充分發(fā)揮創(chuàng)新意識和情感在數(shù)學(xué)教育中的功能和作用,在教學(xué)中必須注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機,營造一個民主、平等、和諧、寬松的教學(xué)氛圍,使學(xué)生能夠自覺地應(yīng)用現(xiàn)代手持教育技術(shù),進行創(chuàng)造性的學(xué)習(xí);因為現(xiàn)代手持教育技術(shù)的運用,課上和課下相結(jié)合的教學(xué)方式,使學(xué)生與學(xué)生、學(xué)生與教師之間的合作更為有利;在共同完成工作任務(wù)的過程中,發(fā)揮各自的認知特點,相互爭論,相互幫助,分工合作,培養(yǎng)合作精神;2運用現(xiàn)代手持教育技術(shù)構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式的基本思路我們認為把中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程設(shè)計成讓學(xué)生再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的過程,讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下,自主地進行發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新,應(yīng)當成為我們教學(xué)設(shè)計的基本思路;在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了實現(xiàn)上述的基本思路,“問題解決”應(yīng)當成為基本模式;也就是說在現(xiàn)行教材的基礎(chǔ)上,通過典型內(nèi)容,把教學(xué)過程設(shè)計成“問題解決”的模式,其程序如圖所示：提出問題分析問題解決問題理性歸納其中,在“提出問題”階段要引導(dǎo)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題,提出問題,問題要結(jié)合教材內(nèi)容和學(xué)生實際,具有可接受性、障礙性和探索性;在“分析問題”和“解決問題”階段,教師要引導(dǎo)學(xué)生自主地開展探究活動,親自動手利用現(xiàn)代手持教育技術(shù),進行必要的數(shù)據(jù)收集、處理,圖象的分析、綜合、師生之間、學(xué)生之間展開討論和交流,完成實施策略;在“理性歸納”階段,教師要引導(dǎo)學(xué)生對問題的解答進行檢驗、評價、反饋、論證,上升為理論,并在形成新的認知結(jié)構(gòu)過和中,進行創(chuàng)新方法的指導(dǎo);現(xiàn)代手持教育技術(shù)的運用要遵循上述的原則和思路,發(fā)揮它特有的優(yōu)勢,體現(xiàn)以學(xué)生為主體,自己動手,主動參與,并努力創(chuàng)設(shè)一個有利于相互交流,合作學(xué)習(xí)的氛圍;3運用現(xiàn)代手持教育技術(shù)構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本模式實驗發(fā)現(xiàn)模式實驗發(fā)現(xiàn)模式是指教學(xué)過程在教師引導(dǎo)下,讓學(xué)生利用CabuiGeometuyⅡ,結(jié)合教材內(nèi)容,自主地參與實驗和發(fā)現(xiàn)過程的教學(xué)模式;這種教學(xué)模式在教學(xué)中主要適用于概念、法則、公式、定理、例題等知識形成過程的教學(xué),體現(xiàn)學(xué)生參與過程的主體地位,注重了發(fā)現(xiàn)知識策略和方法的培養(yǎng);其中“實驗”可以有測量、作圖、計算等;在這種教學(xué)模式中,加強了創(chuàng)新思維和能力的培養(yǎng),在整體結(jié)構(gòu)上突出了“猜想”的環(huán)節(jié),而這正是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的基本策略和途徑;在這兩個環(huán)節(jié)中把形象思維、直覺思維、邏輯思維的訓(xùn)練與培養(yǎng)結(jié)合起來,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的兩重性;根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和條件它可以采用多種教學(xué)設(shè)計,教學(xué)形式可以一人一機,兩人一機,也可以利用計算器網(wǎng)絡(luò)分合結(jié)合地教學(xué);它為學(xué)生知識、能力、個性的充分發(fā)展,培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力開拓了廣闊的天地;開放探索模式開放探索模式是指在教學(xué)過程中,引導(dǎo)學(xué)生利用CabuiGeometuyⅡ,在一個數(shù)學(xué)問題解決以后,進行發(fā)散思維,在一個開放的環(huán)境中,變化條件、變化結(jié)論、尋求一題多解,一題多變,發(fā)現(xiàn)共同的規(guī)律或新的結(jié)論自主探索的教學(xué)模式;根據(jù)教學(xué)條件它可以采用多種形式,它是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和能力的重要途徑;這種教學(xué)活動可以引導(dǎo)學(xué)生之間、師生之間開展討論,