與圓錐曲線相關的線段和（差）的最值-高考數(shù)學復習壓軸題（選擇、填空題）（新高考地區(qū)專用）

專題49與圓錐曲線相關的線段和(差)的最值

【方法點撥】

1.動點尸到兩個定點A、2距離之和的最小值為|A8|,當且僅當P、4、8三點共線時成立，

即|24|+|尸3121AB|；

2.-|AB|^|E4|-|PB|<|AB|.

【典型題示例】

22

例1已知雙曲線^--二=1的右焦點為，P為雙曲線左支上一點，點40,a),WUAPF

42

周長的最小值為()

A4+72B.4(1+a)C.2(72+76)D.底+3也

【答案】B

【分析】利用定義轉(zhuǎn)化為尸P+PA+4+2&(其中F為雙曲線的左焦點)，再利用

PF'+PA>AF',當且僅當P、4尸，三點共線成立.

【解析】AF=2也,A4尸尸的周長為/=尸廠+24+4尸=7*+尸4+2應

設尸為雙曲線的左焦點，則由雙曲線定義得PF=PF'+4,故/=PF'+R4+4+2直

又PF'+PANAF'=24i,當且僅當尸、42三點共線成立

所以此4+4a=4(1+應)，故AAP尸周長的最小值為4(1+72).

例2阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學

三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：

已知動點M與兩定點A,2的距離之比為雙彳>0,幾/1),那么點〃的軌跡就是阿波羅尼斯

圓，簡稱阿氏圓.己知在平面直角坐標系中，圓O:Y+y2=4、點A(T,0)和點3(0,1),M

為圓O上的動點，則21MAi+1MB|的最小值為.

【答案】V17

【分析】逆用“啊圓”，將2|跖4|中系數(shù)2去掉化為“一條線段”，從而將21MAi+|MB|

化為兩條線段的和，再利用“三點共線”求解.

【解析】因為啊圓的圓心、兩定點共線，且在該直線上的直徑的端點分別是兩定點構成線段

分成定比的內(nèi)外分點

所以另一定點必在X軸上，且(—2,0)內(nèi)分該點與A(-L0)連結(jié)的線段的比為2

故該點的坐標為(T,0)

設C(yo)，則圓。：/+丁2=4上任意一動點M都滿足|MC|=2|MA|

所以21MAi+|=|MC|+|MB|

又因為|MC|+|M2|2|BC|=JT7,當且僅當M、B、C共線時，等號成立

所以21MAi+IMBI的最小值為后.

點評：

1.已知兩定點、啊圓的圓心三點共線；

2.啊圓的在己知兩定點所在直線上的直徑的兩端點，分別是兩定點構成線段分成定比的內(nèi)、

外分點.

例3過拋物線C:J=4x的焦點廠的直線/于C交于A,8兩點，則|4目+4逐目取得最小

值時，|AB|=()

9753

A-B.-C.-D.—

2222

【答案】A

【分析】將如1+4阿］利用定義轉(zhuǎn)化為到準線的距離，|AF|+4忸典=再+4?+5,抓住

王馬=￡=1為定值，運用基本不等式解決.

【解析】設4>i，X),B(x2,j2)

則由拋物線定義得卜同=再+1,忸耳=巧+1

故尸|+4忸耳=3+4蜀葉5,

又因為西工2==1

根據(jù)基本不等式有|AF|+4忸司=4+4馬+522dxi.4工2+5=9,當且僅當芭=4々，即

x1=2

<1時，等號成立

故|AB|=|A^+怛司=再+勺+2=：.

例4已知以為拋物線Uy?=4%上一點，過拋物線C的焦點P作直線

x+O—l)y=5—2機的垂線，垂足為N,貝力MF|+|政V|的最小值為

A.272-3B.2應-2C.2+0D.3-72

【答案】D

[分析]本題的關鍵點有二，一是利用拋物線的定義將|MF|轉(zhuǎn)化為點M到準線x=-1的

距離，這也是遇到拋物線上的點到焦點的距離、到準線的距離的一種基本思路；二是發(fā)現(xiàn)

N在一個“隱圓”上，即利用定線段張直角確定隱圓，最終將所求轉(zhuǎn)化為圓上的動點到

直線上點的距離最小來解決.

【解析】由題可得拋物線焦點P(1,0),準線方程為x=-l,

過點A/作A0與準線垂直，交于點Z),

直線x+(m—l)y=5—2m整理得m{y+2)=y—x+5,

聯(lián)立卜+2=0可得尸=3即該直線過定點(3,_2),

[y—x+5=0[y=-2

設P(3,-2),連接FP,取EP中點E,則E(2,-l),|即|=及，

若月V_U,則N在以FP為直徑的圓上，該圓方程為(x-2>+(y+l)2=2,

又由得|A/F|+|MVH"D|+|MV|，

如圖，|M0+|MN|的最小值為圓(無-2>+(y+l)2=2上的點到準線的距離的最小值，

過點E作即'與準線x=-l垂直并交于點O',

與圓E交于點N',與拋物線交于點〃‘，

則|D'N'|即為|MD|+|跖V|的最小值,

即|MD|+|ACV|的最小值為|EZT|-r=3-應.

故選D.

例5已知點A(4,4)在拋物線y2=4x上，尸是拋物線的焦點，點P為直線1=—1上的

動點，我們可以通過找對稱點的方法求解兩條線段之和的最小值，貝|」|。川+|。同的最小值

為()

A.8B.2A/13C.2+741D.V65

【答案】D

【分析】由題意，知拋物線V=4%的焦點尸(L。)，直線x=—1是拋物線V=4%的準線，

設廠(1,0)關于直線1=—1的對稱點尸(—3,0),|PA|+|PF|=|PA|+|PF|,利用兩點之間線段

最短，可知|B4|+|P4的最小值等于再利用兩點之間的距離即可求解.

【解析】由題意，知拋物線V=4x的焦點廠(L。)，直線x=—1是拋物線V=4%的準線，

點A(4,4)在拋物線V=4%上，點「為直線％=—1上的動點，

設廠(1,0)關于直線1=—1的對稱點尸(—3,0)，作圖如下，

利用對稱性質(zhì)知：|尸耳=|尸尸'I，則|以|+|尸耳=|網(wǎng)+|PP|.A尸|

即點P在尸'位置時，|?A|+|P同的值最小，等于

利用兩點之間距離知\AF'\=7(-3-4)2+42=而，則|網(wǎng)+舊刊的最小值為底

故選：D.

本題考查利用對稱求最短距離，"兩點之間線段最短"，是解決最短距離問題的依據(jù)，在

實際問題中，常常碰到求不在一條直線上的兩條或三條線段和的最小值問題，解決這類問題,

可借助軸對稱的性質(zhì)，將不在同一直線上的線段轉(zhuǎn)化為兩點之間的距離問題.

【鞏固訓練】

22

1.已知橢圓C：土+上=1的左焦點為尸，點〃在橢圓C上，點N在圓E：

95

(x-2p+y2=i上，則+的最小值為()

A.4B.5C.7D.8

22

2.已知廠是雙曲線^--乙=1的左焦點，4(1,4),尸是雙曲線右支上的一動點，0IJ|PF|+|B4|

412

的最小值為.

3.設P是拋物線產(chǎn)=4x上的一個動點，P是拋物線的焦點.若8(3,2),則|尸2|十|尸/|的最小值

為.

4.設P是拋物線J2=4X上的一個動點，F(xiàn)是拋物線的焦點.若8(3,4),則尸3|+尸川的最小值

為.

5.設尸是拋物線V=4x上的一個動點，尸是拋物線的焦點.若3(3,2),點P到點4-11)的

距離與點P到直線x=-1的距離之和的最小值為.

6.已知產(chǎn)是橢圓5/+9產(chǎn)=45的左焦點，尸是此橢圓上的動點，A(l,l)是一定點，則照十|尸川

的最大值為，最小值為.

7.已知直線/1:4%—3y+6=0和直線4：X=—1,拋物線V=4%上一動點尸到直線乙和直

線12的距離和得最小值為.

8.已知A(3,-1),B(5,-2),點尸在直線x+y=O上，若使|P4|+|PB|取最小值，則點尸

的坐標是()

1Q13

A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-2,2)D.(―,—)

9.已知A(2,0),B(6,0),|=2,點N在拋物線V=8%上，則|M7V|+g|朋A|的

最小值為

A.6B.2A/5C.5D.2醫(yī)

10.已知點尸(3力，fGR,點M是圓/+。-1)2=/上的動點，點N是圓(無—2)2+；/=；上的

動點，則『川一IPM的最大值是()

A.小一1B.2C.3D.y[5

11.已知尸為拋物線產(chǎn)=4x上一個動點，。為圓/+(y-4)2=l上一個動點，那么.

點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和最小值是.

【答案或提示】

1.【答案】B

【解析】易知圓心E為橢圓的右焦點，且a=3,6=J?,c=2,

由橢圓的定義知：|MF|+|VE|=2a=6,所以|MF|=6—|VE|,

所以+|ACV|=6-+|ACV|=6--1肱v|),

要求I"耳+|MN|的最小值，只需求I阿的最大值，顯然M,N,E三點共線時

|瓶目—|肱V|取最大值，且最大值為1，所以|畫|+|兒0|的最小值為6—1=5.

故選：B.

2.【答案】9

22

【解析】因為尸是雙曲線上—匕=1的左焦點，所以網(wǎng)一4,0),設其右焦點為H(4,0),則

412

由雙曲線的定義可得IPFI+照|=2a+|P”|+|例N2a+|4H|=4+J(4—l)2+(0-4)2=4+5

=9.

3.【答案】4

【解析】如圖，過點2作2Q垂直準線于點Q,交拋物線于點Pi，

則|P1Q|=|PF|.1、

則有|尸為+\PF]>\PiB\+|P1Q|=|BQ|=4,

即|PB|+|PF|的最小值為4.

4.【答案】22G

【解析】由題意可知點3(3,4)在拋物線的外部.

；甲8|+|尸目的最小值即為8,尸兩點間的距離,尸(1,0),

：.\PB\+\PF\>\BF\="2+2?=275,

即|P3|+|P曰的最小值為2JS.

5.【答案】

【解析】如圖，易知拋物線的焦點為P(l,0),準線是》=一1,

由拋物線的定義知點P到直線x=~\的距離等于點P到點F的距離.于是，問題轉(zhuǎn)化為在

拋物線上求一點P,使點P到點4(-1,1)的距離與點P到點尸(1,0)的距離之和最小，顯然,

連接AF與拋物線相交的點即為滿足題意的點，此時最小值為血-(-I)]?+(0-1)2=75.

點評：

與拋物線有關的最值問題，一般情況下都與拋物線的定義有關.“看到準線想焦點，看

到焦點想準線”，這是解決與過拋物線焦點的弦有關問題的重要途徑.

6.【答案】6+6—^2

22

【解析】橢圓方程化為土+乙=1,

95

設尸1是橢圓的右焦點，則B(2,0),

.,.|AFi|=V2,.-.|B4|+|PF|=|B4|-|PFi|+6,

又一|4尸歸RIITPB國AB|(當尸，A,西共線時等號成立)，

：.6-6<|E4|+|PF|<6+6.

7.【答案】2

8.【分析】求出A關于直線/：x+y=O的對稱點為C,則P為直線BC與直線I的交點時,

滿足條件，進而得到答案.

【解析】如下圖所示：

點A(3,-1),關于直線/：x+y=O的對稱點為C(1,-3)點，

由BC的方程為：主工=21鄉(xiāng)，即x-4y-13=0,

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可得直線BC與直線/的交點坐標為：(衛(wèi)，旦)，