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文檔簡介
第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)全章綜合測試卷(提高篇)
【人教A版2019】
考試時間:120分鐘;滿分:150分
姓名:班級:考號:
考卷信息:
本卷試題共22題,單選8題,多選4題,填空4題,解答6題,滿分150分,限時120分鐘,本卷題型針對性
較高,覆蓋面廣,選題有深度,可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況!
選擇題(共8小題,滿分40分,每小題5分)
42
1.(5分)(2023.高一課時練習(xí))已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a,a+3研,其中aGN+,函數(shù)f(x)=3%+1
的定義域為A,值域為8,則a,%的值分別為()
A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5
2.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))給定一組函數(shù)解析式:
32_3_23_11
=X4;(2)y=xi;③y=%-5;@y—%-3;(§)y—%z;=x-3;⑦y=yW.
如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是()
A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤
C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①
3.(5分)(2023春?陜西西安?高二校考階段練習(xí))如圖所示,在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),△ZOB是邊
長為2的等邊三角形,設(shè)直線x=t(0<t<2)截這個三角形可得位于此直線左方的圖象的面積為/(t),則
函數(shù)y=/(t)的圖象大致是()
4.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇,開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)
品,該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元,每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品,需另投入成本0>0)萬元.其中3(%)=
+10%0V%V410
,1。。。。'Q,二一、若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完,每件的售價為70元,則該企業(yè)每年利
71%H-------945,%>40
X
潤的最大值為()
A.720萬元B.800萬元
C.875萬元D.900萬元
5.(5分)(2023秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)已知事函數(shù)y=xm2-2m-3(,mEN*)的圖象關(guān)于y軸對稱,
mm
且在(0,+8)上單調(diào)遞減,則滿足(a+1)-T<(3-2a)=的a的取值范圍為()
A.(0,+oo)B.(一|,+8)
C-(詞D-(-8,-1)”!1)
6.(5分)(2023春?甘肅張掖?高三??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/O+1)是偶函數(shù),當(dāng)1<久1<冷時,
-2)>。恒成立,設(shè)。=/(一]),b=/(2),c=/(3),則a,b,。的大小關(guān)系為()
A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c
7.(5分)(2023春?廣東深圳?高一校考期中)已知函數(shù)/(%)的定義域是R,函數(shù)/(%+1)的圖象的對稱中
句(七)一"(犯>
心是(—1,0),若對任意的X2G(0,+oo),且右力右,都有>0成立,=則不等式
xl-x2
/(%)-%>0的解集為()
A.(—co,—1)U(1,+oo)B.(—1,1)
C.(—8,-1)U(0,1)D.(—1,0)U(1,+8)
8.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(2-%)=/(%),且當(dāng)%>1時/(%)=
{:上若對任意的久e[t,t+l],不等式“2-%)</(%+1+1)恒成立,則實數(shù)t的最大值為
()
211
A.-1B.--C.--D.-
333
二.多選題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
9.(5分)(2023春?安徽宿州?高二??茧A段練習(xí))下列命題中,正確的有()
A.函數(shù)y=Jx+1?—1與函數(shù)y=7好—1表示同一函數(shù)
B.已知函數(shù)/(2%+1)=4%—6,若/(a)=10,則a=9
C.若函數(shù)f—1)=%—3Vx,則f(%)=x2—x—2(%>—1)
D.若函數(shù)/(%)的定義域為[0,2],則函數(shù)/(2%)的定義域為[0,4]
10.(5分)(2023?吉林長春?東北師大附中??寄M預(yù)測)已知事函數(shù)f(x)=評圖像經(jīng)過點(3,以,則下列
命題正確的有()
A.函數(shù)/(久)為增函數(shù)B.函數(shù)/(x)為偶函數(shù)
C.若%>1,則D.若則小嗎但!>/(華£)
11.(5分)(2023?山東濱州???寄M預(yù)測)己知連續(xù)函數(shù)人x)對任意實數(shù)尤恒有了(尤+y)=/U)+/(y),
當(dāng)尤>0時,犬尤)<0,/(I)=-2,則以下說法中正確的是()
A.f(0)=0
B.八尤)是R上的奇函數(shù)
C.八尤)在[-3,3]上的最大值是6
D.不等式f(3%2)一2/(%)</(3x)+4的解集為{x||<x<1}
12.(5分)(2022秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))某制造企業(yè)一種原材料的年需求量為16000千克(該原
材料的需求是均勻的,且不存在季節(jié)性因素),每千克該原材料標(biāo)準(zhǔn)價為200元.該原材料的供應(yīng)商規(guī)定:每
批購買量不足1000千克的,按照標(biāo)準(zhǔn)價格計算;每批購買量1000千克及以上,2000千克以下的,價格優(yōu)惠
5%;每批購買量2000千克及以上的,價格優(yōu)惠10%.已知該企業(yè)每次訂貨成本為600元,每千克該原材料年
平均庫存成本為采購單價的15%.該企業(yè)資金充足,該原材料不允許缺貨,則下列結(jié)論正確的是()
(采購總成本=采購價格成本4p+訂貨成本好+庫存成本與Q,4為原料年需求量,B為平均每次訂貨成本,C
為單位原料年庫存成本,Q為訂貨批量即每批購買量,p為采購單價)
A.該原材料最低采購單價為180元/千克B.該原材料最佳訂貨批量為800千克
C.該原材料最佳訂貨批量為2000千克D.該企業(yè)采購總成本最低為2911800元
三.填空題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
13.(5分)(2023春?甘肅白銀?高二校考期末)已知函數(shù)/(*)的定義域為[—1,1]則y=的定義域
空2工%—3
為.
14.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))已知幕函數(shù)/(久)=(小一1)2乂--47n+2在(0,+8)上單調(diào)遞增,函
X
數(shù)g(x)=2-33任意與e[1,5)時,總存在冷e[1,5)使得f(;q)=g(.x2),貝亞的取值范圍是.
15.(5分)(2023春?遼寧沈陽?高二校考階段練習(xí))己知定義在R上的函數(shù)/(久)滿足/(£)+/(-乃=/,
Vx1;x2e[0,+8)均有鋁詈2>空eq力冷),則不等式/(%)—/(1-燈>》-|的解集為.
16.(5分)(2022秋?江蘇鹽城?高一??茧A段練習(xí))折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù),明德小學(xué)在課
后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上,老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm,寬為
8cm的矩形紙片,要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕(線段)將紙片分為面積比為1:3的兩部分,則
折痕長度的取值范圍是cm.
四.解答題(共6小題,滿分70分)
17.(10分)(2023?高一課時練習(xí))已知/(久)=2+工弁-2.
⑴若a=4時,求/⑺的值域;
(2)函數(shù)g(x)=(x2+l)/■(久)+|,若函數(shù)八(%)=而記的值域為[0,+8),求。的取值范圍.
18.(12分)(2023?全國?高三專題練習(xí))已知f(x)=(W-2機(jī)一7)a-2是幕函數(shù),且在9+8)上單調(diào)
遞增.
(1)求?n的值;
(2)求函數(shù)g(K)=(⑺一(2a-l)x+1在區(qū)間[2,4]上的最小值八(a).
19.(12分)(2023春?遼寧鞍山?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/O)對于任意實數(shù)x,yeR恒有f(x+y)=
/(x)+f(y),且當(dāng)x>0時,/(x)>0,又/⑴=1.
(1)判斷/(久)的奇偶性并證明;
(2)求/(x)在區(qū)間[-4,4]的最小值;
(3)解關(guān)于x的不等式:/(ax2)-23(%)>f(ax)-2.
20.(12分)(2023秋?北京門頭溝?高一??计谀?為了節(jié)能減排,某農(nóng)場決定安裝一個可使用10年的太
陽能供電設(shè)備,使用這種供電設(shè)備后,該農(nóng)場每年消耗的電費(fèi)C(單位:萬元)與太陽能電池板面積x(單
符竺,0<x<10
5
位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系為C(x)=m(爪為常數(shù)).已知太陽能電池板面積為5平方
-,x>10
X
米時,每年消耗的電費(fèi)為12萬元,安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)為0.5x(單位:萬元),記FQ)為該農(nóng)場安
裝這種太陽能供電設(shè)備的工本費(fèi)與該農(nóng)場10年消耗的電費(fèi)之和.
(1)求常數(shù)機(jī)的值;
⑵寫出F(x)的解析式;
(3)當(dāng)尤為多少平方米時,尸(切取得最小值?最小值是多少萬元?
21.(12分)(2023秋?黑龍江哈爾濱?高一??计谀?已知募函數(shù)fO)=(p2—3「+3)/2-歌弓是其定義域
上的增函數(shù).
(1)求函數(shù)/(X)的解析式;
(2)若函數(shù)八(久)=乂+好(久),xe[1,9],是否存在實數(shù)a使得八(久)的最小值為0?若存在,求出a的值;若不
存在,說明理由;
⑶若函數(shù)g(x)=b-f(x+3),是否存在實數(shù)<n),使函數(shù)g(x)在[m,詞上的值域為若存在,
求出實數(shù)b的取值范圍;若不存在,說明理由.
22.(12分)(2023秋?廣東揭陽?高一統(tǒng)考期末)己知/(%)=舄是定義在R上的奇函數(shù),其中a、bER,
且/(2)=1.
(1)求a、b的值;
(2)判斷”久)在[2,+8)上的單調(diào)性,并用單調(diào)性的定義證明;
(3)設(shè)g(x)=mx2-2x+2-m,若對任意的與6[2,4],總存在物6[0,1],使得/(xj=9(冷)成立,求m的
取值范圍.
第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)全章綜合測試卷(提高篇)
參考答案與試題解析
選擇題(共8小題,滿分40分,每小題5分)
42
1.(5分)(2023?高一課時練習(xí))已知集合力={1,2,3,k},B={4,7,a,a+3a},其中aGN+,函數(shù)/(久)=3x+1
的定義域為A,值域為8,則。,上的值分別為()
A.2,3B.3,4C.3,5D.2,5
【解題思路】由函數(shù)的定義域求出值域,然后由集合中元素的互異性與集合相等分類討論求解即可.
【解答過程】函數(shù)/(%)=3刀+1的定義域為4值域為8,
所以當(dāng)x=1時,/(I)=3+1=4;當(dāng)%=2時,/(2)=6+1=7;
當(dāng)x=3時,/(3)=9+1=10;當(dāng)%=k時,f(k)=3k+1;
所以B={4,7,10,3k+1},又B={4,7,a4,a2+3a},
所以若a?+3a=10,解得a=2或a=—5,因為aEN+,所以a=2.
此時B={4,7,16,10},所以31+1=16,則k=5;
若a,=10,又aeN+,所以不成立.
綜上a=2,k=5.
故選:D.
2.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))給定一組函數(shù)解析式:
32_3_23_11
?y=%4;@y=X3;(3)y=x_2;@y=x~3;⑤y=%5;@y=x~3;(7)y=%3.
如圖所示一組函數(shù)圖象.圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是()
A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤
C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①
【解題思路】根據(jù)幕函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對應(yīng)解析式的形式,即可得答案.
【解答過程】圖象(1)關(guān)于原點對稱,為奇函數(shù),且不過原點、第一象限遞減,故y=滿足;
2
圖象(2)關(guān)于y軸對稱,為偶函數(shù),且不過原點、第一象限遞減,故丫=%三滿足;
3
圖象(3)非奇非偶函數(shù),且不過原點、第一象限遞減,故y=滿足;
2
圖象(4)關(guān)于y軸對稱,為偶函數(shù),且過原點、第一象限遞增,故y=xE滿足;
1
圖象(5)關(guān)于原點對稱,為奇函數(shù),且過原點、第一象限遞增,故丫=箱滿足;
圖象(6)非奇非偶函數(shù),且過原點、第一象限遞增,而增長率隨“增大遞減,故丫=晨滿足;
3
圖象(7)非奇非偶函數(shù),且過原點、第一象限遞增,而增長率隨%增大遞增,故了=位滿足;
故圖象對應(yīng)解析式順序為⑥④③②⑦①⑤.
故選:C.
3.(5分)(2023春?陜西西安?高二??茧A段練習(xí))如圖所示,在直角坐標(biāo)系的第一象限內(nèi),△NOB是邊
長為2的等邊三角形,設(shè)直線x=t(0<tW2)截這個三角形可得位于此直線左方的圖象的面積為〃t),則
函數(shù)y=/(t)的圖象大致是()
【解題思路】根據(jù)條件列出分段函數(shù)f(t)的解析式,再判斷函數(shù)的圖象.
【解答過程】當(dāng)OStWl時,/(t)=|t-V3t=yt2,此段為開口向上的拋物線的一部分,
當(dāng)1<tW2時,f(t)——x2xV3——x(2—t)xV3x(2—t)=一+2V3t—V3,
此段為開口向下的拋物線的一部分,對稱軸為t=2,
滿足條件的只有C.
故選:C.
4.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇,開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)
品,該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元,每生產(chǎn)x萬件該產(chǎn)品,需另投入成本3(幻萬元.其中3(K)=
+10%0Vz〈40
,1。。。?!?l匚一、4八,若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完,每件的售價為70元,則該企業(yè)每年利
71%H-----------945,%>40
X
潤的最大值為()
A.720萬元B.800萬元
C.875萬元D.900萬元
【解題思路】先求得該企業(yè)每年利潤的解析式,再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤的
最大值.
70%—(%2+10%+25),0<%<40
【解答過程】該企業(yè)每年利潤為/(久)=
70%-(71%+945+25),%>40
當(dāng)0cxs40時,/(x)=-%2+60%-25=-(%-30)2+875
在x=30時,f(x)取得最大值875;
當(dāng)x>40時,/(x)=920一(%+<920-2Jx-=720
(當(dāng)且僅當(dāng)%=100時等號成立),即在x=100時,/O)取得最大值720;
由875>720,可得該企業(yè)每年利潤的最大值為875.
故選:C.
5.(5分)(2023秋?江蘇蘇州?高一統(tǒng)考期末)已知累函數(shù)丫=*療-2771-3(m6^)的圖象關(guān)于了軸對稱,
mm
且在(0,+8)上單調(diào)遞減,則滿足(a+1)-T<(3-2a)-石的a的取值范圍為()
A.(0,+oo)B.(一|,+8)
c.(。,|)D.(-oo,-l)U(|,j)
1
【解題思路】由條件知血2一2/n-3<0,meN*,可得加=1.再利用函數(shù)y=%一&的單調(diào)性,分類討論可
解不等式.
【解答過程】幕函數(shù)y=xm2~2m~3(meN*)在(0,+8)上單調(diào)遞減,故病-2m-3<0,解得一1<mV3.又
mGN*,故m=\或2.
當(dāng)m=1時,y=%-4的圖象關(guān)于y軸對稱,滿足題意;
當(dāng)m=2時,y=%-3的圖象不關(guān)于y軸對稱,舍去,故根=1.
11
不等式化為(a+I)-<(3-2a)-5,
1
函數(shù)y=%一石在(一8,0)和(0,+8)上單調(diào)遞減,
故a+1>3—2a>0或0>a+1>3—2a或a+1<0<3—2a,解得a<—1或]<a<1.
故選:D.
6.(5分)(2023春?甘肅張掖?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(久+1)是偶函數(shù),當(dāng)1<久1<冷時,
17(%1)—-%2)>0恒成立,設(shè)a=/(—巳),b=f(2),c=f(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()
A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c
【解題思路】根據(jù)題意先求出函數(shù)八%)在(1,+8)上為單調(diào)增函數(shù)且關(guān)于直線x=1對稱,然后利用函數(shù)的單
調(diào)性和對稱性即可求解.
【解答過程】I*當(dāng)1</</時,<(/)一〃打)](/一不)>0恒成立,
...當(dāng)1<X]<犯時,/(%2)>0,即/(%2)>/(尤1),
函數(shù)/(X)在(1,+8)上為單調(diào)增函數(shù),
函數(shù)f(%+1)是偶函數(shù),即f(1+X)=/(I-X),
,函數(shù)/■(>)的圖象關(guān)于直線尤=1對稱,;.a嗚,
又函數(shù)/'(X)在(1,+8)上為單調(diào)增函數(shù),."(2)</(1)</(3),
即f(2)</(-])<f(3),:.b<a<c,
故選:B.
7.(5分)(2023春?廣東深圳?高一校考期中)已知函數(shù)f(x)的定義域是R,函數(shù)/(久+1)的圖象的對稱中
心是(—1,0),若對任意的久1,x2G(0,+oo),且大犯,都有辿皿三3>0成立,/(I)=1,則不等式
%]一
的解集為()
A.(—co,—1)U(1,+oo)B.(—1,1)
C.(—8,-1)U(0,1)D.(—1,0)U(1,+8)
【解題思路】利用函數(shù)/(x+1)的圖象的對稱中心是(-1,0)可得/(x)是R上的奇函數(shù),由團(tuán)止32>o可
%1一%2
/(Xi)/(X2)
得kF>0,故可得g(x)=B在(0,+8)上單調(diào)遞增,然后分X=0,%>0和x<0三種情況進(jìn)行求范
—%2%
圍即可
【解答過程】因為+1)是f(x)向左平移1個單位長度得到,且函數(shù)f(%+1)的圖象的對稱中心是(-1,0),
所以f(x)的圖象的對稱中心是(0,0),故f(x)是R上的奇函數(shù),所以f(一1)=-f(l)=一1,
對任意的州,X2e(0,+00),且X1豐%2,都有辿回上紅色2>0成立,
/(X1)r(x2)
所以%2"%1)-%17(%2)_租%2>0,
X1X2(.X1-X2)X±-X2
令g(x)=號,所以根據(jù)單調(diào)性的定義可得g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
由/(%)是R上的奇函數(shù)可得g(%)是(-8,0)u(0,+8)上的偶函數(shù)
所以g(%)在(-8,0)上單調(diào)遞減,
當(dāng)久=0時,不等式f(%)-%>0得到0-0>0,矛盾;
當(dāng)久>o時,f(%)—%>o轉(zhuǎn)化成>1=即g(%)>g(i),所以%>1;
當(dāng)%V0時,/(%)—%>0轉(zhuǎn)化成V1=g(%)Vg(—1),所以—1V%VO,
綜上所述,不等式/(%)-%>0的解集為(一1,0)U(1,+8)
故選:D.
8.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))定義在R上的函數(shù)f(%)滿足f(2-%)=/(%),且當(dāng)X>1時/(%)=
{二丫:廣產(chǎn):::,若對任意的X6[t,t+l],不等式/(2-x)</(x+1+t)恒成立,則實數(shù)t的最大值為
211
A.-1B.--C.--D.-
333
【解題思路】若對任意的%e[t,t+1],不等式/(2-%)</(%+1+t)恒成立,即對%e[t,t+1],不等式
/(%)</(、+1+t)恒成立,|x-l|>\x+t\,進(jìn)而可得答案.
【解答過程】<%<4時,y=-%+3單調(diào)遞減,/(%)>/(4)=1-log24=-1,
當(dāng)汽>4時,/(%)單調(diào)遞減,/(x)>/(4)=-1,
故/(%)在[1,+8)上單調(diào)遞減,
由/(2-%)=/(%),得/(%)的對稱軸為汽=1,
若對任意的%G[t,t+1],不等式f(2-%)</(%+1+t)恒成立,
即對%G[t,t+1],不等式/(%)</(%+1+0恒成立,
**?|%-1|>|%+t|,
即(1一%)2>(X+t)2,
即2(t+1)%+/—1<0,
2(t+l)t+t2—1<01
fn_1vtv—
v2(t+l)(t+l)+to2-l<0--3
故實數(shù)t的最大值為
故選:C.
二.多選題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
9.(5分)(2023春?安徽宿州?高二??茧A段練習(xí))下列命題中,正確的有()
A.函數(shù)y=A/X+1?V*-1與函數(shù)y=—1表示同一函數(shù)
B.已知函數(shù)/(2x+1)=4久一6,若/(a)=10,則a=9
C.若函數(shù)—1)=%—3y[x,貝!Jf(久)=x2—x—2(%>—1)
D.若函數(shù)f(x)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域為[0,4]
【解題思路】A.兩函數(shù)的定義域不同,故不是同一函數(shù),所以A錯誤;解方程組
故B正確;求出/0)=/一萬一2(久》一1),故C正確;函數(shù)f(2x)的定義域為[0,1],故D錯誤.
【解答過程】解:/(x)=Ux+1,Vx-1的定義域是{x|{:+;::}={x|x11},g(x)=7x2-1的定義
域是{加久2-1>0}={.X>1或X4一1},兩函數(shù)的定義域不同,故不是同一函數(shù),所以A錯誤;
函數(shù)f(2x+l)=4%-6,若f(a)=10,貝U,所以{::;,故B正確;
若函數(shù)-1)=x-3G=(W-1)2-(五一1)-2,貝I|/(x)=%2-X一2(%》-1),故C正確;
若函數(shù)/(尤)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)中,0W2xW2,所以O(shè)WxWl,即函數(shù)f(2x)的定義域為[0,1],
故D錯誤.
故選:BC.
10.(5分)(2023?吉林長春?東北師大附中校考模擬預(yù)測)已知事函數(shù)/⑺=非圖像經(jīng)過點(3,以,則下列
命題正確的有()
A.函數(shù)/'CO為增函數(shù)B.函數(shù)/(久)為偶函數(shù)
C.若%>1,貝行(x)>lD.若0<%1<%2,則必用日紅)
【解題思路】先代點求出塞函數(shù)的解析式/。)=比V,根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)直接可得單調(diào)性和奇偶性,可判斷
A,B,由之<1,可判斷C,
X乙
假設(shè)上”3—/(衛(wèi)詈)>0,對不等式進(jìn)行證明,即可判斷D.
【解答過程】將點(3,以代入函數(shù)/(無)=X。得:i=3a,則a=-2.
所以f(x)=x-2,顯然f(%)在定義域[0,+8)上為減函數(shù),所以A錯誤;
f(x)=x-2,所以/(x)為偶函數(shù),所以B正確;
當(dāng)%>1時,f<1,即f(x)<l,所以C錯誤;
當(dāng)若0<V%2時,
f(%l)+f(%2)£_1/1I1、4
2---------->V^~)=式荷+襦)一^^F
假設(shè))3+3―U子>0,整理得
義+義>產(chǎn)=,化簡得,以耍+魚耍>8,
即證明也耍+任1耍=1+出+:+寫+空1+1>8成立,
%2%]X-t%2%2
利用基本不等式,1+咨+岑+*+也+122+2〃+2=8,因為0</<%2,故等號不成立,.??1+
X1%2%2
出+專+專+%+1>8成立;
X-i%2%2
即“川7(制)</(空)成立,所以D正確.
故選:BD.
11.(5分)(2023?山東濱州???寄M預(yù)測)己知連續(xù)函數(shù)?。θ我鈱崝?shù)x恒有/(x+y)=/(x)+/(y),
當(dāng)尤>0時,?x)<0,/(1)=—2,則以下說法中正確的是()
A.f(0)=0
B.犬幻是R上的奇函數(shù)
C.八尤)在[―3,3]上的最大值是6
D.不等式f(3/)-2/(%)<f(3x)+4的解集為{久I|<%<1]
【解題思路】根據(jù)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x恒有/(久+y)=/(%)+f(y),令%=y=0,可得/'(0)=0,判斷奇
偶性和單調(diào)性,即可判斷選項;
【解答過程】解:對于A,函數(shù)“X)對任意實數(shù)工恒有f(x+y)=/(x)+f(y),
令x=y=0,可得/'(0)=0,A正確;
對于B,令%=-y,可得/(0)=/(%)+/(-£)=0,所以/(x)=-/(一刀),
所以〃久)是奇函數(shù);B正確;
對于C,令尤<y,則/'(y)-f(x)=f(y)+f(-£)=f(y-%),
因為當(dāng)x>0時,危)<0,
所以f(y-%)<o,即f(y)-f(x)<0,
所以/■(%)在(0,+8),(-00,0)均遞減,
因為〃%)<0,所以在R上遞減;
f(1)=-2,可得/'(-1)=2;
令y=1,
可得""+1)=/(%)-2
/⑵=-4,
/⑶=-6;
f(3)=-/(-3)=6,
??./(X)在[-3,3]上的最大值是6,C正確;
對于D,由不等式〃3%2)-2/(%)<f(3%)+4的可得f(3/)<f(x)+f(x)+/(3x)+4,
即/'(3/)<f(2x+3%)+4,
???4=/(-2),
/(3x2)<f(2x+3%)+/(—2),
則/(3%2)</(5x-2),
3x2>5x—2,
解得:X<|或X>1;
D不對;
故選:ABC.
12.(5分)(2022秋?云南?高三校聯(lián)考階段練習(xí))某制造企業(yè)一種原材料的年需求量為16000千克(該原
材料的需求是均勻的,且不存在季節(jié)性因素),每千克該原材料標(biāo)準(zhǔn)價為200元.該原材料的供應(yīng)商規(guī)定:每
批購買量不足1000千克的,按照標(biāo)準(zhǔn)價格計算;每批購買量1000千克及以上,2000千克以下的,價格優(yōu)惠
5%;每批購買量2000千克及以上的,價格優(yōu)惠10%.已知該企業(yè)每次訂貨成本為600元,每千克該原材料年
平均庫存成本為采購單價的15%.該企業(yè)資金充足,該原材料不允許缺貨,則下列結(jié)論正確的是()
(采購總成本=采購價格成本4p+訂貨成本誓+庫存成本4為原料年需求量,B為平均每次訂貨成本,C
為單位原料年庫存成本,Q為訂貨批量即每批購買量,p為采購單價)
A.該原材料最低采購單價為180元/千克B.該原材料最佳訂貨批量為800千克
C.該原材料最佳訂貨批量為2000千克D.該企業(yè)采購總成本最低為2911800元
【解題思路】設(shè)T(Q)表示采購總成本,寫出T(Q)的表達(dá)式,分析函數(shù)T(Q)的單調(diào)性,對Q的取值進(jìn)行分類
討論,求出T(Q)在不同情況下的最小值,即可得出結(jié)論.
【解答過程】設(shè)T(Q)表示采購總成本,則T(Q)=2p+詈+豺設(shè)/XQ)=^+衿其中Q>0,
任取Qi、Q26(0,+8)且QI>Q2,
財。NQ)=借+華)-管+等”畸*F
=(QLQ2)(CQ1Q2-24B)
2QQ'
I
當(dāng)0<Q2<QI<杵時,Q-Q2>0,CQXQ2-2AB<G,貝行(Qi)<f(Q2),
1)>/2),
當(dāng)QI>Q2>咨時,QI-Q2>0,CQrQ2-2AB>G,貝行。。
所以,函數(shù)/(Q)在(0,片)上單調(diào)遞減,在(席,+8)上單調(diào)遞增,
在<2=層處取得最小值,最小值為/(小")=/礪.
(1)當(dāng)訂貨批量在區(qū)間(0,1000)時,沒有數(shù)量折扣,采購單價p=200,
因便=月累°黨°°=800<1000,此時T(Q)在Q=800時取最小值,
且該原材料的采購總成本最低為
16000x600?800x200x15%
7(800)=16000x200+=3224000(元)
8002
或T(800)=16000x200+,2xl6000x600x200〉15%=3224000(元).
(2)當(dāng)訂貨批量在區(qū)間口000,2000)時,存在數(shù)量折扣5%,采購單價p=200(l-5%)=190(元),
xl000<1000,
此時7(Q)在Q=1000時取最小值,
該原材料的采購總成本最低為7(1000)=16000x190+疑黑,°+1°叱,><15%=3063850(元),
(3)當(dāng)訂貨批量在區(qū)間[2000,+8)時,存在數(shù)量折扣10%,采購單價p=200(l-10%)=180元,
因陛=12x16000x600=/Hxl000<2000,
\C勺180X15%\45
此時T(Q)在Q=2000時取最小值,該原材料的采購總成本最低為
T(2000)^16000X180+^^+2000X180X15%=2911800(元).
綜上,采購總成本最低時的采購批量即為最佳訂貨批量,故最佳訂貨批量為2000千克,最低采購單價為180
元/千克,采購總成本最低為2911800元,
故選:ACD.
三.填空題(共4小題,滿分20分,每小題5分)
13.(5分)(2023春?甘肅白銀?高二??计谀?已知函數(shù)/(%)的定義域為[-1,1]則y=與工的定義域
V%,-2%—3
為I-2,-1).
【解題思路】抽象函數(shù)定義域求解,X+1需整體在范圍內(nèi),從而解出X的范圍,同時注意需保證/一
2%-3>0,最后求出交集即可得解.
【解答過程】由己知,/(X)的定義域為[—1,1],所以對于?=*告
%需滿足1M]解得xeJ2,-1)
故答案為:[—2,—1).
14.(5分)(2023?全國?高三專題練習(xí))已知累函數(shù)/(%)=(加一1)2%--4機(jī)+2在9+8)上單調(diào)遞增,函
X
數(shù)g(x)=2-33任意與e[1,5)時,總存在冷e[1,5)使得f(%)=5(x2),則t的取值范圍是.
【解題思路】根據(jù)題意得到/(x)=%2,再計算值域為f(x)=x26[1,25),得到g(5)>25,g⑴<1計算得
到答案.
【解答過程】募函數(shù)/(%)=(m—l)2xm2~4m+2^\(m—l)2=1m=0或zn=2,
當(dāng)m=2時,f(x)=%"在(o,+8)上單調(diào)遞減,舍去;
故/(%)=%2,當(dāng)久G[1,5)時:/(%)=x2E[1,25),
故9(5)=25—3t>25,t<|;g(l)=2—3t<1/
綜上所述:t(],
故答案為:1].
15.(5分)(2023春?遼寧沈陽?高二校考階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足f(%)+/(-%)=x2,
Vxn%2E[0,+8)均有*等>詈(%1"%2),則不等式五%)—"1一行>%-1的解集為&,+8).
【解題思路】構(gòu)造函數(shù)9(%)=/(%)-1小,通過題干條件得到g(x)為奇函數(shù),且在R上單調(diào)遞增,從而根
據(jù)單調(diào)性解不等式,求出解集.
【解答過程】因為定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(%)+/(—久)=%2,
所以設(shè)g(%)=/(%)-”,
則g(%)=一或一%),
所以g(%)=-為奇函數(shù),
因為v%i,%2e[。,+8),都有叢匕3>包警(右h外),
%]一%22
當(dāng)%1>%2時,
則有「01)—f3)>3*7,即/(/)—?>f(比2).
所以gOi)>。(%2),
所以g(0在(0,+8)上單調(diào)遞增,
當(dāng)X]<冷時,
則有〃/)一口<打冷)一日,
所以。(%1)<。(%2),
所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
綜上:g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
因為g(x)為奇函數(shù),
則g(x)在R上單調(diào)遞增,
/W-/(I-%)>x-|變形為:/(x)-|x2-i(l-x)2,
即g(x)>g(l-x),
所以x>l—久,解得:X>|.
故答案為:C,+8).
16.(5分)(2022秋?江蘇鹽城?高一??茧A段練習(xí))折紙是我國民間的一種傳統(tǒng)手工藝術(shù),明德小學(xué)在課
后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上,老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm,寬為
8cm的矩形紙片,要求大家將紙片沿一條直線折疊.若折痕(線段)將紙片分為面積比為1:3的兩部分,則
折痕長度的取值范圍是[82炳cm.
【解題思路】由已知可確定分別在三種折疊方式下利用面積建立關(guān)于折痕的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)二次函數(shù)
和對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得最值,由此可得結(jié)果.
【解答過程】由題意得:長方形紙片的面積為10x8=80(cm)2,又SI:S2=1:3,
22
Si=20cm,S2=60cm,
當(dāng)折痕如下圖MN所示時,
(-xy=20_
^AM=x,AN=y,Mo<x<10-解得:
l0<y<8
??.MN2=%2+y2=%2+畔之80,即MN>4V5,當(dāng)且僅當(dāng)久=2“U時取等號;
xz
令t=X2,te[25,100],則/(t)=t+等,
f(t)在[25,40]上單調(diào)遞減,在[40,100]上單調(diào)遞增,
又f(25)=89/(40)=80/(100)=116,故/(t)€[80,116],故MN€[4倔2聞];
當(dāng)折痕如下圖所示時,
+y)x8=20
,解得,{晨M
設(shè)AM=x,DN=y,則0<%<10
、0<y<10
MN2=(x—y)2+64=(2x-5)2+64,0<x<5,
當(dāng)%=|時,MN2=(2%-5)2+64取得最小值64,
當(dāng)%=0或5時,MN2=(2%-5)2+64取得最大值89,則MNE[8,789];
當(dāng)折痕如下圖所示時,
+7)X10-20,=4
設(shè)4M=x,BN=y,貝40<%<8,解得:{f(x)<+萬vv4,
、0<y<8—一
則MN?=(久一y)2+100=(2x-4)2+100,
令九(x)=(2%-4)2+100,(0<x<4),則h(x)在[0,2]上單調(diào)遞減,在[2,4]上單調(diào)遞增,
又九(2)=100,h(0)=/i(4)=116,故九(x)G[100,116],
MNG[10,2729];
綜上所述:折痕長的取值范圍為[8,2回],
故答案為:[8,2回].
四.解答題(共6小題,滿分70分)
17.(10分)(2023?高一課時練習(xí))已知/(久)=。/+;二了2.
⑴若a=4時,求/(久)的值域;
(2)函數(shù)g(X)=(/+l)/(久)+|,若函數(shù)伏久)=而函的值域為[。,+8),求。的取值范圍.
【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)解析式,采用分離常數(shù)項的方法,結(jié)合不等式性質(zhì),可得答案;
(2)根據(jù)二次根式的定義,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì),可得答案.
【解答過程】(1)由a=4,則/仁)=言=寫手=4—工,
由不等式性質(zhì),則%2之0,1+%2>1,0<y^<l,0>一盤之一6,4>4—備之一2,
故/(%)£[—2,4),即/(%)的值域為[一2,4).
(2)由題意,g(%)=(,+l)::;:)久-2+|=)%2+(口-4)%+1
由函數(shù)九(%)=7^^的值域為[。,+8),則g(%)40有解且g(%)無最大值,
當(dāng)Q=0時,符合題意;
當(dāng)a7O時,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得。(汽°
-4)—2a>0
中(a—4)2—2QZ0,a2-8a+16—2aN0,ct^—10a+16N0,(a—2)(。-8)N0,角由彳導(dǎo)。之8,
綜上,故aE[0,2]u[8,+8).
18.(12分)(2023?全國?高三專題練習(xí))已知f(%)=(zu?—2租—7)%??1-2是幕函數(shù),且在(0,+8)上單調(diào)
遞增.
(1)求TH的值;
(2)求函數(shù)g(%)=/(%)-(2a-l)x+1在區(qū)間[2,4]上的最小值八(<1).
【解題思路】(1)根據(jù)函數(shù)是嘉函數(shù)知小2-2血-7=1,求解后根據(jù)函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增即可求加
(2)化簡gO)=/(%)-(2a-l)x+1=%2-(2a-l)x+1,根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸與[2,4]的關(guān)系分三類
討論,可求出函數(shù)的最小值.
【解答過程】(1)/(%)=(m2-2血一7)%小一2是幕函數(shù),
Am2—2m—7=1,解得/n=4或TH=-2;
又f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
m-2>0,
二?Tn的值為4;
(2)函數(shù)g(%)=/(x)—(2a—l)x+1=%2—(2a—l)x+1,
當(dāng)a<|時,g(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增,最小值為八(a)=g⑵=7—4a;
當(dāng)|Wa號時,g(x)在區(qū)間[2,4]上先減后增,最小值為h(a)=g(等)=一匹盧+1,
當(dāng)a>3時,g(x)在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞減,最小值為八(a)=g(4)=21-8a.
19.(12分)(2023春?遼寧鞍山?高一校聯(lián)考階段練習(xí))已知函數(shù)/O)對于任意實數(shù)x,yeR恒有f(x+y)=
f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時,/(%)>0,又/'(1)=1.
(1)判斷/O)的奇偶性并證明;
(2)求f(x)在區(qū)間[-4,4]的最小值;
(3)解關(guān)于x的不等式:/(ax2)-2f(x)>f(ax)-2.
【解題思路】(1)令x=y=0,得/(0)=0,再令y=-x,結(jié)合奇偶性定義可證;
(2)先證明單調(diào)性,利用單調(diào)性求解即可;
(3)先化為/(a/+2)>/(2x+ax),再利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為a/一(a+2)x+2〉0,最后根據(jù)含參二次不等
式的分類討論求解即可.
【解答過程】(1)f(x)為奇函數(shù),理由如下:
函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,
令X=y=0得f(0)=2/(0),解得f(0)=0,
令y=一x得f(x)+/(-x)=/(0)=0所以/'(一x)=-f(x)對任意xeR恒成立,所以/'(x)為奇函數(shù),
(2)任取C(-8,+8),且則不一>。.因為當(dāng)%>
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