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福建省閩侯二中五校教學(xué)聯(lián)合體2024屆高考數(shù)學(xué)試題二輪專題突破卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足,若是奇函數(shù),則不等式的解集是()A. B. C. D.2.設(shè)雙曲線(,)的一條漸近線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且橢圓的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.3.設(shè)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作圓的切線,與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn),若,則雙曲線漸近線的斜率為()A. B. C. D.4.如圖,平面四邊形中,,,,,現(xiàn)將沿翻折,使點(diǎn)移動(dòng)至點(diǎn),且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.5.執(zhí)行程序框圖,則輸出的數(shù)值為()A. B. C. D.6.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.7.阿波羅尼斯(約公元前262~190年)證明過(guò)這樣的命題:平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.后人將這個(gè)圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,當(dāng),,不共線時(shí),的面積的最大值是()A. B. C. D.8.已知,,是平面內(nèi)三個(gè)單位向量,若,則的最小值()A. B. C. D.59.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.110.在平面直角坐標(biāo)系中,已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)到直線的距離之和的最大值為,若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知定義在上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,且的圖象關(guān)于對(duì)稱,若實(shí)數(shù)滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍是______.14.已知,,其中,為正的常數(shù),且,則的值為_______.15.的展開式中,的系數(shù)是__________.(用數(shù)字填寫答案)16.將底面直徑為4,高為的圓錐形石塊打磨成一個(gè)圓柱,則該圓柱的側(cè)面積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為和,且,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))18.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xoy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知曲線C的極坐標(biāo)方程為,過(guò)點(diǎn)的直線l的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線l與曲線C交于M、N兩點(diǎn)。(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程:(2)若成等比數(shù)列,求a的值。20.(12分)某公園有一塊邊長(zhǎng)為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個(gè)區(qū)域,用來(lái)種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點(diǎn)D,E分別在邊,上);再取的中點(diǎn)M,建造直道(如圖).設(shè),,(單位:百米).(1)分別求,關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)試確定點(diǎn)D的位置,使兩條直道的長(zhǎng)度之和最小,并求出最小值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)在曲線上取一點(diǎn),直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),交曲線于點(diǎn),求的最大值.22.(10分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,,,平面,是線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
構(gòu)造函數(shù),根據(jù)已知條件判斷出的單調(diào)性.根據(jù)是奇函數(shù),求得的值,由此化簡(jiǎn)不等式求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù),依題意可知,所以在上遞增.由于是奇函數(shù),所以當(dāng)時(shí),,所以,所以.由得,所以,故不等式的解集為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.2、B【解析】
設(shè)雙曲線的漸近線方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用,求出的值,得到的值,求出關(guān)系,進(jìn)而判斷大小,結(jié)合橢圓的焦距為2,即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為,代入拋物線方程得,依題意,,橢圓的焦距,,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),要注意雙曲線焦點(diǎn)位置,屬于中檔題.3、C【解析】
如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,計(jì)算,,,,根據(jù)勾股定理計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:切點(diǎn)為,連接,作軸于,,故,在中,,故,故,,根據(jù)勾股定理:,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線斜率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.4、C【解析】
由題意可得面,可知,因?yàn)?,則面,于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點(diǎn),進(jìn)而算出,外接球半徑為1,得出結(jié)果.【詳解】解:由,翻折后得到,又,則面,可知.又因?yàn)?,則面,于是,因此三棱錐外接球球心是的中點(diǎn).計(jì)算可知,則外接球半徑為1,從而外接球表面積為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識(shí);考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識(shí),屬于中檔題.5、C【解析】
由題知:該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值,計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,滿足條件,,,,,不滿足條件,輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),屬于簡(jiǎn)單題.6、D【解析】
根據(jù)框圖,模擬程序運(yùn)行,即可求出答案.【詳解】運(yùn)行程序,,
,,,,,結(jié)束循環(huán),故輸出,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結(jié)構(gòu),條件分支結(jié)構(gòu),屬于中檔題.7、A【解析】
根據(jù)平面內(nèi)兩定點(diǎn),間的距離為2,動(dòng)點(diǎn)與,的距離之比為,利用直接法求得軌跡,然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示:設(shè),,,則,化簡(jiǎn)得,當(dāng)點(diǎn)到(軸)距離最大時(shí),的面積最大,∴面積的最大值是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8、A【解析】
由于,且為單位向量,所以可令,,再設(shè)出單位向量的坐標(biāo),再將坐標(biāo)代入中,利用兩點(diǎn)間的距離的幾何意義可求出結(jié)果.【詳解】解:設(shè),,,則,從而,等號(hào)可取到.故選:A【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量的坐標(biāo)、模的運(yùn)算,利用整體代換,再結(jié)合距離公式求解,屬于難題.9、C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說(shuō)明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍,所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓,再通過(guò)此圓的圓心到直線距離,半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過(guò)裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和,即可通過(guò)不等式來(lái)求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設(shè)線段的中點(diǎn),則,在圓上,到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍,點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積,點(diǎn)到直線的距離,數(shù)列求和等知識(shí),是一道不錯(cuò)的綜合題.11、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的圖象變換分析可得函數(shù)為偶函數(shù),又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,分析可得,解可得的取值范圍,即可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象,由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,即函數(shù)為偶函數(shù),由,得,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則,得,解得.因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式,注意分析函數(shù)的奇偶性,屬于中等題.12、A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出可行域,將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或,分別計(jì)算出與,再由不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,顯然當(dāng)時(shí),z=0;當(dāng)時(shí)將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或顯然,聯(lián)立,所以則或,故或綜上所述,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,屬于簡(jiǎn)單題.14、【解析】
把已知等式變形,展開兩角和與差的三角函數(shù),結(jié)合已知求得值.【詳解】解:由,得,,即,,又,,解得:.為正的常數(shù),.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的三角函數(shù),考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.15、【解析】
根據(jù)組合的知識(shí),結(jié)合組合數(shù)的公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:項(xiàng)來(lái)源可以是:(1)取1個(gè),4個(gè)(2)取2個(gè),3個(gè)的系數(shù)為:故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查組合的知識(shí),熟悉二項(xiàng)式定理展開式中每一項(xiàng)的來(lái)源,實(shí)質(zhì)上每個(gè)因式中各取一項(xiàng)的乘積,轉(zhuǎn)化為組合的知識(shí),屬中檔題.16、【解析】
由題意欲使圓柱側(cè)面積最大,需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為r,則,將側(cè)面積表示成關(guān)于的函數(shù),再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大,需使圓柱內(nèi)接于圓錐.設(shè)圓柱的高為h,底面半徑為r,則,所以.∴,當(dāng)時(shí),的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)求出a的取值范圍;(2)首先求出的值,再根據(jù)求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)函數(shù)的定義域?yàn)槭牵?,若有兩個(gè)極值點(diǎn),則方程一定有兩個(gè)不等的正根,設(shè)為和,且,所以解得,此時(shí),當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,故是極大值點(diǎn),是極小值點(diǎn),故實(shí)數(shù)a的取值范圍是;(2)由(1)知,,,則,,,由,得,即,令,考慮到,所以可化為,而,所以在上為增函數(shù),由,得,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)和單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式,屬于難題.18、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù)條件由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理算出,進(jìn)而算出;(Ⅱ)由二倍角公式算出,代入兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】(Ⅰ)bsinB﹣asinA=asinC,所以由正弦定理得,又c=2a,所以,由余弦定理得:,又,所以;(Ⅱ),.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用,運(yùn)用二倍角公式和兩角和的正弦公式求值,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.19、(1)l的普通方程;C的直角坐標(biāo)方程;(2).【解析】
(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可把曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,利用消去參數(shù)即可得到直線的直角坐標(biāo)方程;(2)將直線的參數(shù)方程,代入曲線的方程,利用參數(shù)的幾何意義即可得出,從而建立關(guān)于的方程,求解即可.【詳解】(1)由直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t得,,即為l的普通方程由,兩邊乘以得為C的直角坐標(biāo)方程.(2)將代入拋物線得由已知成等比數(shù)列,即,,,整理得(舍去)或.【點(diǎn)睛】熟練掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、方程思想、直線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.20、(1),.,.(2)當(dāng)百米時(shí),兩條直道的長(zhǎng)度之和取得最小值百米.【解析】
(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;在和中,利用余弦定理,可得關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.方法二:在中,可得,則有,化簡(jiǎn)整理即得;同理,化簡(jiǎn)整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計(jì)算即得.【詳解】解:(1),是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在和中,由余弦定理,得①②因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.法2:因?yàn)樵谥?,,所?所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.在中,因?yàn)镸為的中點(diǎn),所以.所以.所以,直道長(zhǎng)度關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為,.(2)由(1)得,兩條直道的長(zhǎng)度之和
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