2025年河南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（附答案解析）

2025年河南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.(5分)已知定義在R上的函數(shù)/(九)滿足/(x+y)=f(x)+f(y),且當％<0時，f(x)>0.給出以

下四個結(jié)論：@f(0)=0；?f(x)可能是偶函數(shù)；@f(x)在|m,網(wǎng)上一定存在最大值/(〃)；@f(x

-1)>0的解集為{#cVl}.共中正確的結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

2.(5分)已知。=log47,Z?=log930,c=e%則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a〈b〈cB.c〈a〈bC.a<c<bD.c〈b〈a

3.(5分)定義在R上的奇函數(shù)y=/(x)滿足/(3)=0,且當x>0時，不等式/(x)>~xf(x)恒

成立，則函數(shù)g(x)=xf(x)+/g|龍+1|的零點的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

4.(5分)設(shè)甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙

袋，再從乙袋中任取2球，記事件A="從甲袋中任取1球是紅球"，事件8="從乙袋中任取2球全

是白球”，則下列說法正確的是()

9

A-P(8)=弘

B.PQ4B)=號

1

C.P(X|B)=j

D.事件A與事件8相互獨立

5.(5分)將函數(shù)y=x《cos2久+去%e[0,勺的圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)。角，得到曲線C.若曲線C

始終為函數(shù)圖像，則tan。的最大值為()

17T2

A.-B.------C.-D.1

27T+23

c->—>—>—>

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosB="且|CA+=|CA-,

則NA=()

71717171

A.-B.-C.—D.一

6342

7.(5分)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文

化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該拿傘沿是

一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2,當陽光與地面夾角為60。時，在地面形成了一個橢圓形

影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e,則e2=（）

8.（5分）己知R上的可導(dǎo)函數(shù)無）的函數(shù)圖象如圖所示，則不等式好''（x）>0的解集為（)

A.(-1,0)U(1,+8)B.(-8,-2)U(1,2)

C.（-8,-1）u（1,+8）D.（-1,1）U（2,+8）

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，

每選對1個得2分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)zi,z2滿足|zi-4i|=|zi-5i|,|z2-l+2i|=2（i為虛數(shù)單位），尤1,無2是方程2/+3辦+/

-a=0（a€R）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A.憶2-2j的最小值為5

B.|z2-zi|的最小值為4

,.r,Ja2+8a

C.當0<a<l時，則％|+%|=匕一

D.當-8<a<0時，則ID+|%2l=J2（a2—a）

（多選）10.（6分）將兩個各棱長均為1的正三棱錐。-ABC和E-ABC的底面重合，得到如圖所示的六

E

A.該幾何體的表面積為

、、，—一,V3

B.該幾何體的體積為二

6

C.過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直

D.直線AQ〃平面BCE

(多選)11.(6分)已知集合A,8滿足8={(x,y,z)\x+y+z=\\,x,y,zEA),則下列說法正確的是

()

A.若4={-2,0,1,13},則8中的元素的個數(shù)為1

B.若4={尤以=24+1,依N},則8中的元素的個數(shù)為15

C.若4="+,則8中的元素的個數(shù)為45

D.若A=N,則B中的元素的個數(shù)為78

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知某地只有A,2兩個品牌的計算機在進行降價促銷活動，售后保修期為1年，它們在市場

的占有率之比為3：2.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，這兩個品牌的計算機在使用一年內(nèi)，A品牌有5%需要維修，

B品牌有6%需要維修.若某人從該地隨機購買了一臺降價促銷的計算機，則它在一年內(nèi)不需要維修的

概率為.

22

13.(5分)若點P(x,y)是曲線3/+2y[3xy+必=1上的點，則^x+y的最小值

為.

14.(5分)已知96(0,J),sin(0-J)=貝！|1加(8+勺=.

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知函數(shù)無)=e“，g(x)=/(1-x)+f(1+x).

(1)判斷函數(shù)g(尤)的奇偶性并予以證明；

(2)若存在尤使得不等式g(無)4加成立，求實數(shù)相的取值范圍.

16.(15分)為了解不同人群夏天戶外運動的情況，分別從甲、乙兩個單位隨機選出幾名職工，統(tǒng)計了他

們的夏天戶外運動時長，得到以下數(shù)據(jù)(單位：小時)：

甲單位：25,26,32,33,34,36,46,47,50,55；

乙單位：15,16,22,23,24,26,36,37,40.

假設(shè)用頻率估計概率，用樣本估計總體，且每名職工的戶外運動情況相互獨立.

(I)現(xiàn)要對乙單位中夏天戶外運動時長不足20小時的職工進行體檢，已知乙單位共有1800名職工,

試估計乙單位此次參加體檢的職工人數(shù).

(II)從甲單位職工中隨機抽取2人、乙單位職工中隨機抽取1人，記X為這3人中夏天戶外運動時

長不少于35小時的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(in)設(shè)樣本中甲單位職工戶外運動時長的方差為統(tǒng)、乙單位職工戶外運動時長的方差為①，寫出式與

S和勺大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

17.(15分)如圖，在三棱錐A-8CD中，平面平面8C。，AB=AD,。為8。的中點，△OCQ是

邊長為1的等邊三角形，且匕.BCD=電.

(1)證明：OA±CD；

(2)在棱上是否存在點E,使二面角E-8C-。的大小為45°?若存在，并求出工：的值.

18.(17分)已知圓M：(x+代/+V=9的圓心為M,圓N：(%—通產(chǎn)+『=i的圓心為N,一動圓

與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C.

(1)證明：曲線C為雙曲線的一支；

->—>

(2)已知點P(2,0),不經(jīng)過點P的直線/與曲線C交于A,8兩點，且PA-PB=0.直線/是否過

定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由.

19.(17分)設(shè)函數(shù)y=F(x)的定義域為/,若xoe/,曲線y=F(x)在尤=尤0處的切線/與曲線y=F(x)

有"個公共點，則稱(xo,F(xo))為函數(shù)f(無)的“"度點”，切線/為一條。度切線”.

(1)判斷點(1,/(D)是否為函數(shù)/(*)=%—]-3伉久的“2度點”，說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)g(%)-ex.

①直線y=2x-1是函數(shù)y=g(x)的一條“1度切線”，求〃的值；

②若4=-1,求函數(shù)y=g(%)的“1度點”.

2025年河南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的。

1.(5分)已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(x+y)=f(x)+f(^),且當IV0時，f(x)>0.給出以

下四個結(jié)論：@f(0)=0；?f(x)可能是偶函數(shù)；@f(x)在|m,網(wǎng)上一定存在最大值/(〃)；@f(x

-1)>0的解集為共中正確的結(jié)論的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：對于①，令I(lǐng)=0,則/(0)=/(0)4/(0),所以7(0)=0,故①正確；

對于②，令y=-X,則f(0)=f(x)+/(-X)=0,

所以/(-尤)=-/(X),所以/(X)為奇函數(shù)，

又當XV0時，/(x)>0,所以/(x)不是常函數(shù)，不可能是偶函數(shù)，故②錯誤；

對于③，設(shè)貝Ux-yVO,

則/(x-y)=f(x)-+/(-y)=f(x)-f(y)>0,

所以/(x)>/")，所以/(x)是減函數(shù)，

所以/(%)在［m,用上一定存在最大值/(m)，故③錯誤；

對于④，因為/(入)為減函數(shù)，f(0)=0,

由>0=/(0),得X-1V0,解得xVl,

所以>0的解集為{x|xVl},故④正確.

故選：B.

2.(5分)已知〃=log47,Z?=log930,c=eln2,貝!］。，b,c的大小關(guān)系為()

A.a〈b〈cB.c<a〈bC.a<-c<-bD.c<b<a

【解答】解：c-eln2=I，42=8>7,所以&>log47,即c>〃，

33

92=27<30,所以&<log930,BPc<b,

所以a<c<b.

故選：C.

3.(5分)定義在R上的奇函數(shù)y=f(%)滿足/(3)=0,且當x>0時，不等式/(x)>-xf(x)恒

成立，則函數(shù)g(x)=xf(x)+/g|%+l|的零點的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：定義在R的奇函數(shù)/(%)滿足：

f(0)=0=/(3)=f(-3),

且/(-x)=-f(x),

又x>0時，f(x)>-xf'(x),即f(x)+xf'(x)>0,

[xf(x)]'>0,函數(shù)〃(x)=J^(X)在x>0時是增函數(shù)，

又h(-x)=-xf(-x)=xf(x),.,.h(x)=xf(x)是偶函數(shù)；

；.x<0時，h(x)是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義域為R,且/(0)=/(3)=/(-3)=0,

可得函數(shù)yi=4(x)與"=-/g|x+l|的大致圖象如圖所示，

，由圖象知，函數(shù)g(x)=xf(x)+/g|x+l|的零點的個數(shù)為3個.

4.(5分)設(shè)甲袋中有3個紅球和4個白球，乙袋中有1個紅球和2個白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙

袋，再從乙袋中任取2球，記事件A="從甲袋中任取1球是紅球"，事件8="從乙袋中任取2球全

是白球”，則下列說法正確的是()

A.P(B)=94

B.P(AB)=專

1

C.P(X|B)=|

D.事件A與事件8相互獨立

【解答】解：現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知，從甲袋中任取1球?qū)σ掖腥?/p>

取2球有影響，事件A與事件B不是相互獨立關(guān)系，故O錯誤；

從甲袋中任取1球是紅球的概率為：PQ4)=

4

從甲袋中任取1球是白球的概率為：

所以乙袋中任取2球全是白球的概率為：P⑻=%+44=4+搟=/，故A錯誤；

C7c4C7c4

「(的=盥=吉，故2錯誤；

P(川B)=^U/x昔=看故C正確.

故選：C.

5.(5分)將函數(shù)y=x—±cos2x+4,x6[0,*的圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)。角，得到曲線C.若曲線C

始終為函數(shù)圖像，則tan。的最大值為()

17T2

A.-B.------C.-D.1

2TT+23

【解答】解：令原函數(shù)為y=/(x),即/(%)=%-2cos+*，

求導(dǎo)得/(x)=l+sin2x,

當％E[0,勺時，2x￡[0,J],

函數(shù)，(x)在[0,總上單調(diào)遞增，-(0)=1,(。)=2,

函數(shù)/(%)=%一聶os2%+$%G[0,勺的圖象上點(x,/(x))處切線斜率由1逐漸增大到2,

記％=[時的點為P,

令函數(shù)/(X)圖象在尸處的切線傾斜角為a,則tana=2,

曲線C在除端點P外的任意一點處的切線垂直于x軸時，

則曲線C上存在兩點，其橫坐標相同，而曲線C始終為函數(shù)圖象，

因此?！磾z一仇，而620,

則年加Wtan(^一a)==cosa=1

'2)cos('-a)sinatana

1

所以tan0的最大值為3.

故選：A.

y

"—>—>—>—>

6.(5分)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosB=會且|C4+C8|=|C4-C8|,

則NA=()

71717171

A.-B.—C.-D.一

6342

【解答】解：在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若acosB=*,

貝(J2sinAcosB=sinC=sinAcosB+cosAsinB,

即sinAcosB-cosAsin8=0,

即sin(A-B)=0,

又-n<A-B<n,

則A-8=0,

即A=B,

—?—?—?—?

5L\CA+CB\=\CA-CB\,

—>—?

貝UC4?CB=0,

貝UNACB=步

則NA=?

故選：C.

7.(5分)油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文

化宮開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動中，某油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該拿傘沿是

一個半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2,當陽光與地面夾角為60°時，在地面形成了一個橢圓形

影子，且傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，若該橢圓的離心率為e,則/=()

D.3V3-5

【解答】解：因傘柄底端正好位于該橢圓的長軸上，由圖可知，橢圓的短半軸長b=2,

2a4

在△ABC中，由正弦定理得

sin(60°+45°)sin60°'

解得a=魚+等，則e?=1-吟尸=1-(瘋2布y=3V3-5,

故選：D.

8.（5分）已知R上的可導(dǎo)函數(shù)/G）的函數(shù)圖象如圖所示，則不等式對''（x）>0的解集為（）

C.（…，-1）u（1,+8）D.（-1,1）U（2,+8）

【解答】解：由函數(shù)無）的圖象可得，當xe（-8,-1）,（1,+8）時，/（無）>0,

當在（-1,1）時，f'（無）<0.

由%（（%）〉0='①或，②，

u>oU<o

解①得，x>l,解②得，-l<x<0,

綜上，不等式4（x）>0的解集為（-1,0）U（1,+8）.

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.

全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項,

每選對1個得2分。

（多選）9.（6分）已知復(fù)數(shù)zi,z2滿足|zi-4i|=|zi-55憶2-l+2i|=2（i為虛數(shù)單位），冗1,垃是方程2/+3/+〃2

-4=0（〃￡R）在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，則下列結(jié)論正確的是（）

1

A.,2一為|的最小值為3

B.|z2-zi|的最小值為4

C.當OVaVl時，則|%i|+|%2l=^―2——

D.當-8V〃V0時，則I%/+=，2(02一a)

【解答】解：設(shè)復(fù)數(shù)zi=xi+yii,Z2=x2+y2i,xi>yi、％2、"ER；

V|zi-4i|=|zi-5z|,.??yi=小表示一條直線；

22

又???|z2-1+2，|=-2,.-.(x2-l)+(y2+2)=4,表示圓；

?.?圓心(1,-2)到直線>=一￡的距離為三

/2

51

；.|Z2一刃的最小值為7；-2=:因此A正確；

24

9a

|z2-zi|的最小值為—-0=于因此B不正確；

Vxi,X2是方程2/+3以+〃2-〃=0(〃ER)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的兩根，

當0<?<1時，△=9〃2-8(/-〃)=〃2+8〃>0,

.??方程有兩個不等實數(shù)根，

又Xl+X2=—竽<0,X1X2="2"?，

不妨設(shè)X1<X2J

I_----------/2+8

**?|X1|+|X2|~X2~Xl=J(%1+%2尸-4%I%2='\j-4----4X——=-----g----9因止匕。正確；

當-8V〃V0時，與X2互為共輾復(fù)數(shù)，|XI|+|X2|=2|XI|=2XJ"2"=72dz一2a,因此。正確.

故選：ACD.

（多選）10.（6分）將兩個各棱長均為1的正三棱錐。-ABC和E-A3。的底面重合，得到如圖所示的六

3V3

A.該幾何體的表面積為一【

2

、、，上V3

B.該幾何體的體積為t二

6

C.過該多面體任意三個頂點的截面中存在兩個平面互相垂直

D.直線AO〃平面8CE

【解答】解：對于A,亍x1x1xg...表面積為6x夕=

SAABD=,故A正確;

對于8,如圖，設(shè)點。在平面ABC內(nèi)的投影為。，M為BC中點，

則由對稱性可知O為△ABC的重心，；.A0=|AM=Wx1x字=字，

VAD=1,；.正三棱錐D-ABC的高為D0=辦"一)。2=Jl/=學(xué),

該幾何體的體積為V=2VD-ABC=2X*孚x字=*,故8錯誤；

對于C,由8知。。_1面480由對稱性知。，O,E三點共線，

...?！阓1面48(7,故C正確；

對于。，以。為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖，

其中。龍軸平行于BC,

??4c八八/A/3y/3

?A°F°/=三-3=石,

1V31V37Z

'.B(一,—,0),C(——,0),E(0,0,—T-),

26263

BC=(-1,0,0),BE=-噂，-亨)，

設(shè)平面BCE的法向量為蔡=(x,y,z),

【一＞一

…n-BC=—x=0l「

則-17376，取z=l,得九=(0,-2V2,1),

n?BE=—77%————5-z=0

IZOTVD

V6t^3V6

A(0,—0),D(0,0,—),AD—(0,—，—),

3333

TT

：4。力0,.?.直線A。與平面BCE不平行，故。錯誤.

故選：AC.

(多選)11.(6分)已知集合A,8滿足8={(尤，y,z)\x+y+z—\\,x,y,zeA),則下列說法正確的是

()

A.若4={-2,0,1,13),則8中的元素的個數(shù)為1

B.若4=國%=2左+1,%N},則8中的元素的個數(shù)為15

C.若4="+,則2中的元素的個數(shù)為45

D.若A=N,則8中的元素的個數(shù)為78

【解答】解：由題意得8={(-2,0,13),(-2,13,0),(0,-2,13),(13,0,-2),(13,-2,

0),(13,0,-2)},所以8中的元素的個數(shù)為6,A錯誤.

由題意得A中的元素均為正奇數(shù)，在2中,

當x=1時,有(I,1,9),(1,3,7),(1,5,5),(1,7,3),(1,9,1)共5個元素,

當x=3時,有(3,1,7),(3,3,5),(3,5,3),(3,7,1)共4個元素,

當x=5時,有(5,1,5),(5,3,3),(5,5,1)共3個元素,

當x=7時,有(7,1,3),(7,3,1)共2個元素,

當x=9時,有(9,1,1)共1個元素,

所以8中的元素的個數(shù)為5+4+3+2+1=15,8正確.

B={(x,y,z)\x+y+z=l],x,y,z￡N+},可轉(zhuǎn)化為將11個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、

丙3個人，每人至少分1個，

利用隔板法可得分配的方案數(shù)為行°=45,所以B中的元素的個數(shù)為45,C正確.

B={(無，y,z)\x+y+z=11,x,y,zGN}={(x,y,z)|(x+1)+(y+1)+(z+1)=14,x+1,y+1,

z+lGN+J,

可轉(zhuǎn)化為將14個大小相同、質(zhì)地均勻的小球分給甲、乙、丙3個人，每人至少分1個，

利用隔板法可得分配的方案數(shù)為Ca=78,所以B中的元素的個數(shù)為78,D正確.

故選：BCD.

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分。

12.(5分)已知某地只有A,8兩個品牌的計算機在進行降價促銷活動，售后保修期為1年，它們在市場

的占有率之比為3：2.根據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，這兩個品牌的計算機在使用一年內(nèi)，A品牌有5%需要維修，

B品牌有6%需要維修.若某人從該地隨機購買了一臺降價促銷的計算機，則它在一年內(nèi)不需要維修的

概率為Q.946.

【解答】解：某人從該地隨機購買了一臺降價促銷的計算機，設(shè)買到的計算機是A品牌為事件4買到

的計算機是B品牌為事件B,

則由題可知/(A)=|,P(B)=(,

從品牌中購買一個，設(shè)買到的計算機一年內(nèi)不需要維修為事件C,從8品牌中購買一個，設(shè)買到的計算

機一年內(nèi)不需要維修為事件D,

則由題可知P(C)=95%,P(D)=94%,A、B、C、?；ハ嗒毩?

故購買一臺降價促銷的計算機，則它在一年內(nèi)不需要維修的概率為P(AC)+P(BD)=P(A)P(C)

32

+P(B)P(D)=|x95%+jx94%=0.946.

故答案為：0.946.

,_______i

13.(5分)若點尸(x,y)是曲線3/+2舊孫+V=1上的點，則J久2+、2的最小值為_刁

【解答】解：令/+/=*,則原問題轉(zhuǎn)化為求解網(wǎng)的最小值，

不妨設(shè)x=Rcos。，y=Rsin。，O^0<2ir,

由題意可得:3R2cos2()+2y/3R2sin9cos0+R2sin29=1,

即3R2.1+爭20+百R2s譏2。+R2.1一芋2。=

1n

整理可得:——2s譏(26+-)+2,

1

所以當28+看=5,8建時，2s譏(28+.)+2有最大值4,即M有最小值.

,_______1

所以可得J/+y2的最小值是管

一?，1

故答案為：—.

14.(5分)已知96(0,J),sin(0-5)=貝服即(。+卞=_-2四

【解答】解：0E(0/*),所以6—aE(―今，a)，故cos(9—^)=Jl_sin2(?！?)=當

所以汝48一勺=:黑—|；=泰，

tan(f)+3=S譏(。+\=cos(1-(5)=cos(」-6)=_c°s(T)=_]=一2?

(cos(0+9sEg-(0+9)S位備—0)sm(0-第tan(e-1),

故答案為：-2魚.

四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知函數(shù)f(尤)—ex,g(x)—f(1-尤)+f(1+x).

(1)判斷函數(shù)g(無)的奇偶性并予以證明；

(2)若存在x使得不等式g(x)《機成立，求實數(shù)機的取值范圍.

【解答】解：(1)函數(shù)g(x)為偶函數(shù)，

證明：因為函數(shù)/(X)=，，g(X)=/(1-x)+f(1+x),

所以g(尤)=f(1-x)+f(1+x)=elx+e1+x,

又因為g(x)的定義域為R,對于VxCR,都有-x€R,

而且g(-x)=el^x+el+x—g(x),

所以g(x)為偶函數(shù).

(2)因為存在尤使得不等式g(x)《加成立，

所以有g(shù)(X)

由基本不等式可得g(x)=e1-x+e1+x>2Ve1-x-e1+x=2e,

所以當且僅當x=0時，等號成立.

所以g(尤)min=g(0)=2e,

則m>2e,

所以實數(shù)機的取值范圍為［2e,+8).

16.(15分)為了解不同人群夏天戶外運動的情況，分別從甲、乙兩個單位隨機選出幾名職工，統(tǒng)計了他

們的夏天戶外運動時長，得到以下數(shù)據(jù)(單位：小時)：

甲單位：25,26,32,33,34,36,46,47,50,55；

乙單位：15,16,22,23,24,26,36,37,40.

假設(shè)用頻率估計概率，用樣本估計總體，且每名職工的戶外運動情況相互獨立.

(I)現(xiàn)要對乙單位中夏天戶外運動時長不足20小時的職工進行體檢，已知乙單位共有1800名職工,

試估計乙單位此次參加體檢的職工人數(shù).

(II)從甲單位職工中隨機抽取2人、乙單位職工中隨機抽取1人，記X為這3人中夏天戶外運動時

長不少于35小時的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(IID設(shè)樣本中甲單位職工戶外運動時長的方差為點、乙單位職工戶外運動時長的方差為受，寫出比與

s會的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

【解答】解：(I)樣本中有9名乙單位職工，其中有2人的戶外運動時長不足20小時，

所以乙單位中夏天戶外運動時長不足20小時的職工的概率約為2,

9

故乙單位約有1800x￡=400名職工參加此次體檢；

(II)從甲單位中隨機選出1人，其夏天戶外運動時長不少于35小時的概率為三=

102

31

從乙單位中隨機選出1人，其夏天戶外運動時長不少于35小時的概率為-=

93

由題設(shè)，X的可能取值為0,1,2,3,

111111

則P(x=0)=C°(l-1)2=P(X=1)=6(1-0X9(1V)+Cf(l-1)2x|=W，

P(X=2)=竭)2x(l-1)+ci(l-1)x|x|=|,P(X=3)=廢&)2X1=A,

所以X的分布列為：

X0123

p1511

612312

所以X的數(shù)學(xué)期望E(X)=0x1+lx^+2x1+3xi=1；

(III)sl>sl，理由如下：

甲單位職工戶外運動時長的平均數(shù)為38.4,乙單位職工戶外運動時長的平均數(shù)約為26.6,

因為甲單位職工戶外運動時長比較分散，而乙單位職工戶外運動時長比較集中，

所以s』.

17.(15分)如圖，在三棱錐4-BCD中，平面ABO_L平面BCD,AB=AD,。為8。的中點，△OCD是

邊長為1的等邊三角形，且*CD=守.

(1)證明：OA±CD；

(2)在棱A。上是否存在點E,使二面角E-BC-。的大小為45°?若存在，并求出不：的值.

【解答】(1)證明：。為8。中點，

1.?平面平面BCD,平面ABDCI平面8C￡)=BDOA±BD,

平面8C。，因為CAu平面BCD,J.OALCD.

(2)解：取CDBC中點G,F,連接。G,OF,

建立空間直角坐標系如下圖所示,

,-S^CD=1X2X.\VA_BCD=jsABCD.OA=^-OA=^-,解得：OA=1,

B&,-,0),C&,,0),D(一2，0),A(0,0,1),BC=(0/V3/0),AD=(—>

孚，-1),AB=(^,一空，-1),

假設(shè)在棱AO上存在點E,

設(shè)晶=遙(0WAW1),則晶=(一孔■，-A),晶=晶—G=(―戈一號，孚2+

孚，1—A)；

設(shè)平面E3C的法向量￡=(x,y,z),

I羨4+1°右(a+1),八八_n

母.IBE,7i=----~xH-------------y+(1—4)z=0...->

則,~22，令2=入+1,解得：y=0,x=2-2入，/.n=(2—

{BC?n=V3y=0

23o/a+1)；

：OA_L平面BCD,；.平面BCD的一個法向量為04=(0,0,1),

7T7廠

：.\cos<n,&>|=上"=I"1=孚,解得：入=3(舍)或2=/,

\n\-\OA\J(2-22)2+(A+l)2

一1-AE1

：.AE=^AD,則nl一=-；

3ED2

在棱A。上存在點E,使二面角E-8C-O的大小為45°.

18.(17分)已知圓M：(x+遮/+V=9的圓心為M,圓N：(%—通產(chǎn)+『=i的圓心為N,一動圓

與圓N內(nèi)切，與圓M外切，動圓的圓心E的軌跡為曲線C.

(1)證明：曲線C為雙曲線的一支;

->—>

(2)已知點尸(2,0),不經(jīng)過點尸的直線/與曲線。交于A,3兩點，且P4?P8=0.直線/是否過

定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由.

【解答】解：(1)證明：易知圓M的圓心為M(-花，0),圓N的圓心為N(遮，0),

設(shè)圓E的圓心為E(x,y),半徑為r,

因為圓M半徑為3,圓N半徑為1,

所以|￡M=日3,|EN|=r-l,

此時|EM|-\EN\=4<|M/V|=2V5,

由雙曲線定義可知，E的軌跡是以M,N為焦點、實軸長為4的雙曲線的右支，

又M(-歸0),N(曲，0),

所以動圓的圓心石的軌跡方程為了一y?=1(冗22),

4

x2

即曲線。的方程為——y2=1(%22)；

4

加_

*

(2)設(shè)直線/的方程為A(xi,yi),B(工2,”)，xi三2,X222,

x=my+t

聯(lián)立卜2，消去尤并整理得(層-4)9+2儂升/2-4=0,

『y=i

此時蘇-4W0且△=16(m2+，-4)>0,

由韋達定理得％+y2=言聾，y/2=熹3，

又尸(2,0),

所以尸4=(汽1-2,yi),PB=g-2,”)，

因為24-PB=0,

所以Cxi-2)(彳2-2)+yiy2=0,

2

貝！|(myi+t-2)(my2+t-2)+yiy2=(*+1)%、2+(mt-2m)(yx+y2)+(t-2)

2222

(m+l)(t—2m)+(t-2)(m-4)_n

=^4=U，

即3a-16r+20=0,

解得"竽或k2(舍去)，

當1=學(xué)，直線/的方程為％=my+學(xué)，

故直線/恒過點(號，0).

19.(17分)設(shè)函數(shù)y=F(x)的定義域為/,若xoe/,曲線y=F(無)在尤=xo處的切線/與曲線y=F(x)

有"個公共點，則稱(xo,F(xo))為函數(shù)/(無)的“〃度點”，切線/為一條“w度切線”.

(1)判斷點(1,/(D)是否為函數(shù)/Q)=x—3仇尤的“2度點”，說明理由；

(2)設(shè)函數(shù)g(無)—e^+ajc-ex.

①直線y=