期中模擬測試卷01-2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試好題匯編(人教A版2019選擇性)

2021–2022學(xué)年上學(xué)期期中模擬測試卷01高二數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若拋物線x2=8y上一點P到焦點的距離為8，則點P的縱坐標(biāo)為（）A．6 B． C．7 D．【答案】A【分析】設(shè)點，根據(jù)拋物線方程，求得其準(zhǔn)線方程，再利用拋物線定義求解.【詳解】設(shè)點，因為拋物線方程為x2=8y，所以其準(zhǔn)線方程為，又因為拋物線上點P到焦點的距離為8，由拋物線的定義得：，交點，所以點P的縱坐標(biāo)為6，故選：A2．在三棱柱中，為中點，若，，，則下列向量中與相等的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的運算法則可得化簡即可．【詳解】．故選：A3．設(shè)圓的一條切線與x軸?y軸分別交于點A?B，則的最小值為（）A．4 B． C．6 D．8【答案】A【分析】設(shè)切線方程為，由圓心到直線的距離等于半徑和基本不等式，可求得答案.【詳解】解：設(shè)切線方程為，即，由圓心到直線的距離等于半徑得，∴，令，則，，故t的最小值為4.由題意知，故選：A.4．己知橢圓的左、右焦點分別為，，點M是橢圓上一點，點A是線段上一點，且，，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦定理，結(jié)合三角形的面積轉(zhuǎn)化求解橢圓的幾何量，然后求解離心率即可.【詳解】設(shè)，則由余弦定理得所以因為，所以整理得即整理得所以故選：B.5．已知為坐標(biāo)原點，設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上任一點，過點作的平分線的垂線，垂足為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】雙曲線右支上取點，延長、，交于點，根據(jù)雙曲線的定義及中位線的性質(zhì)即可求.【詳解】不妨在雙曲線右支上取點，延長、，交于點，由角平分線性質(zhì)知：，根據(jù)雙曲線的定義，，從而，在中，為其中位線，故.故選：B.6．給出下列命題：①若可以作為空間的一個基底，與共線，，則也可作為空間的一個基底；②已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底；③，，，是空間四點，若，，，不能構(gòu)成空間的一個基底，那么，，，共面；④已知向量組是空間的一個基底，若，則也是空間的一個基底.其中正確命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】直接利用向量的基底的定義，向量的共線，共面向量的充要條件判定、、、的結(jié)果．【詳解】解：對于選項：若，，可以作為空間的一個基底，與共線，，則，，也可以作為空間的一個基底，故A是真命題．對于選項：已知向量，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，故B是真命題．對于選項：已知，，，是空間中的四點，若，，不能構(gòu)成空間的一個基底，則，，，四點共面，故C是真命題．對于選項：已知，，是空間的一個基底，若，則，，也是空間的一個基底，故D是真命題．故選：D．7．已知O為坐標(biāo)原點，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當(dāng)取得最小值時，點Q的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，用表示出，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)時，取得最小值，從而求得點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則＝－＝－λ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝－＝－λ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝.所以當(dāng)λ＝時，取得最小值，此時＝＝，即點Q的坐標(biāo)為.故選：C8．已知點是橢圓的上頂點，分別是橢圓左右焦點，直線將三角形分割為面積相等兩部分，則的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，,，，先求出直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為，由，可得點M在射線上．再求出直線y＝ax+b（a＞0）和的交點N的坐標(biāo)，分三種情況討論：①若點M和點重合，求得；②若點M在點O和點之間，求得；③若點M在點的左側(cè)，求得．求并集即可得b的取值范圍．【詳解】解：因為點是橢圓的上頂點，分別是橢圓左右焦點，所以，，從而有，所以,，，由題意，三角形的面積為1，設(shè)直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點為，由直線y＝ax+b（a＞0）將三角形分割為面積相等的兩部分，可得，所以，故點M在射線上．設(shè)直線y＝ax+b和的交點為N，則由可得點N的坐標(biāo)為．①若點M和點重合，如圖：則點N為線段的中點，故N，把、N兩點的坐標(biāo)代入直線y＝ax+b，求得a＝b．②若點M在點O和點之間，如圖：此時，點N在點和點之間，由題意可得三角形的面積等于，即，即，可得a，求得，故有．③若點M在點的左側(cè)，則，由點M的橫坐標(biāo)，求得b＞a．設(shè)直線y＝ax+b和的交點為P，則由求得點P的坐標(biāo)為，此時，由題意可得，三角形APN的面積等于，即，即，化簡可得．由于此時b＞a＞0，所以．兩邊開方可得，所以，化簡可得，故有．綜上，b的取值范圍應(yīng)是.故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是，由題意分析得直線y＝ax+b（a＞0）與x軸的交點M在射線上，然后分三種情況進(jìn)行討論：①若點M和點重合；②若點M在點O和點之間；③若點M在點的左側(cè)．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．如圖所示，正方體中，，點在側(cè)面（包括邊界）上運動，并且總是保持，則以下四個結(jié)論正確的是（）A． B．點必在線段上C． D．平面【答案】BD【分析】對于A，可求；對于B,C,D，可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷即可.【詳解】對于A，因為點在平面，平面∥平面，所以點到平面即為到平面的距離，即為正方體棱長，所以，A錯誤；對于B，以為坐標(biāo)原點可建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：則所以,因為，所以，所以，即，所以,所以，即三點共線，所以點必在線段上，B正確；對于C，因為，所以，所以不成立，C錯誤；對于D，因為,所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，所以，所以，所以∥平面，D正確，故選：BD10．以下四個命題表述正確的是（）A．圓上有且僅有個點到直線的距離都等于B．曲線與曲線，恰有四條公切線，則實數(shù)的取值范圍為C．已知圓，為直線上一動點，過點向圓引一條切線，其中為切點，則的最小值為D．已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線，，，為切點，則直線經(jīng)過點【答案】ACD【分析】選項A根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來確定所求點的個數(shù)；選項B根據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項C利用圓心與切點的連線垂直切線列等式，轉(zhuǎn)化為求圓心到直線上的點的距離的最小值問題；選項D利用切線的性質(zhì)得切點弦方程，再根據(jù)切點弦方程求定點.【詳解】選項A：圓的圓心為，半徑.圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個點到直線的距離都等于故選項A正確；選項B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓.方程可化為因為圓與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑()同時兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得.故選項B錯誤；選項C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時等號成立，所以的最小值為.故選項C正確；選項D：設(shè)點，因為點在直線上，所以，，由圓的切線性質(zhì)知，直線的方程為，，整理得，解方程得，.所以直線過定點.故選項D正確.故選：ACD.11．已知中心在原點，坐標(biāo)軸為對稱軸的雙曲線過點，頂點分別為，，焦點分別為，，一條漸近線方程為，則下列說法正確的是（）A．該雙曲線的方程為或B．若點為雙曲線上任意一點（頂點除外），則C．若直線過點且與雙曲線只有一個公共點，則這樣的直線只有2條D．若點為雙曲線右支上的任意一點（頂點除外），則雙曲線在點處的切線平分【答案】BD【分析】根據(jù)給定條件求出雙曲線C的方程，再逐項探討各選項并判斷作答.【詳解】依題意，設(shè)雙曲線，因雙曲線過點，則，于是有雙曲線的方程為，其漸近線方程為，A不正確；由雙曲線對稱性知，不妨設(shè)，，令，，B正確；顯然直線與雙曲線相切，過點平行于直線的直線及過點平行于直線的直線與雙曲線都各有一個公共點，即這樣的直線至少有3條，C不正確；令雙曲線上點，顯然切線PT的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去y得：，，整理得，而，即，，則有，解得，切線PT與x軸交于點，則，于是得，即，不妨設(shè)點，，，則，，，又，，則是的內(nèi)角平分線，即切線平分，D正確.故選：BD12．已知直線過拋物線的焦點，且直線與拋物線交于兩點，過兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設(shè)，，.則下列選項正確的是（）A．B．以線段為直徑的圓與直線相離C．當(dāng)時，D．面積的取值范圍為【答案】BCD【分析】求出拋物線的焦點及準(zhǔn)線，設(shè)直線l的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，計算可判斷A；利用定義及直線與圓的位置可判斷B；由向量共線求出弦長判斷C；求出點G的坐標(biāo)及面積的函數(shù)式即可判斷作答.【詳解】拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)直線l的方程為，由消去y得：，于是得，，A不正確；以線段AB為直線的圓的圓心，則，點到直線距離，由拋物線定義得，顯然，即以線段為直徑的圓與直線相離，B正確；當(dāng)時，有，即，而，于是得，，C正確；由求導(dǎo)得，于是得拋物線C在A處切線方程為：，即，同理，拋物線C在B處切線方程為：，聯(lián)立兩切線方程解得，，點到直線l：的距離，于是得面積，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，面積的取值范圍為，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．設(shè)，，向量，，，且，，則____________．【答案】【分析】根據(jù)空間向量平行和垂直的坐標(biāo)表示求出和的值，進(jìn)而可得的坐標(biāo)，再由模長的坐標(biāo)表示計算模長即可求解.【詳解】因為，，，且，，所以，，可得，，所以，，，所以，故答案為：.14．設(shè)有一組圓：．下列四個命題其中真命題的序號是____①存在一條定直線與所有的圓均相切；②存在一條定直線與所有的圓均相交；③存在一條定直線與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過原點．【答案】②④【分析】由已知得圓心，由兩圓的位置關(guān)系、圓心距、兩圓的半徑之差，即可判斷出真命題個數(shù)．【詳解】根據(jù)題意得：圓心坐標(biāo)為，圓心在直線上，故存在直線與所有圓都相交，選項②正確；考慮兩圓的位置關(guān)系：圓：圓心，半徑為，圓：圓心，即，半徑為，兩圓的圓心距，兩圓的半徑之差，任取或時，（），含于之中，選項①錯誤；若取無窮大，則可以認(rèn)為所有直線都與圓相交，選項③錯誤，將帶入圓的方程,則有，即（），因為左邊為奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，故不存在使上式成立，即所有圓不過原點，選項④正確．故答案為②④.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，同時考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬于中檔題.15．已知拋物線：的焦點恰好是雙曲線的右焦點，且與的交點的連線過點，設(shè)雙曲線的漸近線的斜率為，則的值為___________.【答案】【分析】設(shè)與交點為.則軸，由焦點重合可得，求得，可得，平方后化簡，結(jié)合換元法可得的值，進(jìn)而可得答案.【詳解】設(shè)與交點為.則軸，∴，∴，時可得，由得∴，∴∴∴令∴∴∴∴故答案為：.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中“共焦點”問題，能考查兩種曲線的性質(zhì)，是高考命題的熱點，此類題目綜合性較強，解答過程一定注意應(yīng)用曲線的定義，同時要根據(jù)兩種曲線的性質(zhì)，挖掘隱含條件.16．一直線過點且與軸、軸的正半軸分別相交于、兩點，為坐標(biāo)原點．則的最大值為__．【答案】【分析】設(shè)，則，，利用三角恒等變換化簡得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，

則，，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（10分）已知平面內(nèi)B、C是兩個定點，.①的周長為18；②直線AB、AC的斜率分別為、，且.請從上面條件中任選一個作答，以BC中點為坐標(biāo)原點，以BC所在直線為x軸，求出三角形ABC頂點A的軌跡方程.【答案】或【分析】（1）結(jié)合橢圓的定義來求軌跡方程；（2）利用建立關(guān)于點的坐標(biāo)的方程求出A軌跡方程.【詳解】（1）根據(jù)橢圓定義，平面上到兩個定點的距離之和為定值,且定值大于定長的點的集合軌跡為橢圓，，以及，則有那么，且A,B,C三點構(gòu)成三角形，那么A點的軌跡方程為（2）設(shè)點，B坐標(biāo)為，C坐標(biāo)為，則有，，且，那么，化簡可得，，且A,B,C三點構(gòu)成三角形，那么A點的軌跡方程為.18．（12分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，BC＝CDAD＝1，E為PA的中點．（1）求證：EB∥平面PCD；（2）求平面PAD與平面PCD所成的二面角θ的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）證明：取AD的中點O，連接EO，OB，證平面EBO平面PCD后得線面平行；（2）取BC的中點M，連接，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】解：（1）證明：取AD的中點O，連接EO，OB，∵E為PA的中點，O為AD的中點，∴OEPD，又∵BCAD，，∴四邊形BCDO為平行四邊形，∴BOCD，∵OEPD，BOCD，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，同理平面PCD，又OE和BO是平面EBO的兩條交線，∴平面EBO平面PCD，又∵BE在平面EBO中，∴BE平面PCD；（2）連接，，則，又平面平面，又平面平面，所以平面，取BC的中點M，連接，是等腰梯形，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則平面PAD的一個法向量為，∴，設(shè)平面PCD的一個法向量為，則，不妨令x＝1，則，則，∴，則．19．（12分）已知線段的端點的坐標(biāo)是，端點在圓上運動，的中點的軌跡為曲線，圓心為的圓經(jīng)過點．（1）求曲線的方程，并判斷曲線與圓的位置關(guān)系；（2）過軸上一點任作一直線（不與軸重合）與曲線相交于、兩點，連接，，恒有，求點坐標(biāo)．【答案】（1），相離；（2）.【分析】（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用是線段的中點，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，根據(jù)點在圓上運動，可得線段的中點的軌跡，即曲線的方程，再利用題設(shè)寫出圓的方程，利用兩圓圓心距與半徑和比較大小確定曲線與圓的位置關(guān)系；（2）先由圖像分析，過點的直線與曲線相交于兩點，要滿足，可知點必在圓內(nèi)，設(shè)點，過點的直線分類討論兩種情況：①當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然有；②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程，由題意知，要，即，聯(lián)立方程得：，化簡得，再利用韋達(dá)定理代入，化簡整理得，從而得到點點坐標(biāo)為【詳解】（1）設(shè)點坐標(biāo)為，，是線段的中點，且，由中點坐標(biāo)公式得：，即，又點在圓上運動，，化簡得所以曲線的方程為：又圓的圓心為，設(shè)圓方程：又圓經(jīng)過點，代入圓方程得，所以圓方程：兩圓的圓心距所以曲線與圓的位置關(guān)系是相離.（2）如圖所示，若點在圓外，直線與曲線相交的兩點在點的同側(cè)，有，所以點必在圓內(nèi).設(shè)點，過點的直線分類討論斜率存在和不存在兩種情況：當(dāng)直線的斜率不存在時，由圓的對稱性知必有；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程得：，化簡整理得設(shè)，則，,由題意知，，則直線MB，SB的傾斜角互補，即則將代入上式可得所以，化簡整理得即，解得，所以點坐標(biāo)為.【點睛】本題考查求圓的軌跡方程，圓與圓的位置關(guān)系，圓的幾何性質(zhì)，直線與圓相交的題型，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想與運算能力，屬于難題.20．（12分）如圖1，在邊長為2的正方形ABCD中，P為CD中點，分別將△PAD,△PBC沿PA,PB所在直線折疊，使點C與點D重合于點O，如圖2．在三棱錐POAB中，E為PB中點．(Ⅰ)求證：PO⊥AB;(II）求直線BP與平面POA所成角的正弦值；(Ⅲ）求二面角PAOE的大小．

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.（Ⅲ）.【分析】第一問利用幾何體的特征可以得出相應(yīng)的線線垂直，之后利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)得出所要的結(jié)果；第二問建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求得線面角的正弦值；第三問利用面的法向量所成角的余弦值求得角的大小，最后確定出二面角的大小.【詳解】（Ⅰ）在正方形中，為中點，,，所以在三棱錐中，，.因為，所以平面.因為平面,所以.

（Ⅱ）取AB中點F，連接OF，取AO中點M，連接BM.

過點O作AB的平行線OG.因為PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG.因為OA＝OB，F(xiàn)為AB的中點，所以O(shè)F⊥AB.所以O(shè)F⊥OG.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz.A，B，P，M(，，0)．因為BO＝BA，M為OA的中點，所以BM⊥OA.因為PO⊥平面OAB，PO?平面POA，所以平面POA⊥平面OAB.因為平面POA∩平面OAB＝OA，BM?平面OAB，所以BM⊥平面POA.因為＝(，－，0)．所以平面POA的法向量m＝.＝(1，－，1)．設(shè)直線BP與平面POA所成角為α，則.所以直線BP與平面POA所成角的正弦值為.（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，.設(shè)平面的法向量為，則有即令，則，.即.所以.由題知二面角P－AO－E為銳角，所以它的大小為.21．（12分）橢圓的右頂點為A，上頂點為B，O為坐標(biāo)原點，直線的斜率為，的面積為1．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）橢圓上有兩點M，N（異于橢圓頂點，