《橢圓及其標準方程》教案兩篇

PAGEPAGE4《橢圓及其標準方程》教案教學目標：（一）知識目標：掌握橢圓的定義及其標準方程，能正確推導橢圓的標準方程．（二）能力目標：培養(yǎng)學生的動手能力、合作學習能力和運用所學知識解決實際問題的能力；培養(yǎng)學生運用類比、分類討論、數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力．（三）情感目標：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣、提高學生的審美情趣、培養(yǎng)學生勇于探索，敢于創(chuàng)新的精神．教學重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．教學難點：橢圓標準方程的推導．教學方法：探究式教學法，即教師通過問題誘導→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導學生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力．教具準備：多媒體課件和自制教具：繪圖板、圖釘、細繩．教學過程：（一）設置情景，引出課題問題：“神州十九號”于2024年10月30日從酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射。并順利升空，實現(xiàn)多人多天飛行，標志著我國航天事業(yè)又上了一個新臺階，請問：“神州十九號”飛船的運行軌道是什么？多媒體展示“神州十九號”運行軌道圖片．（二）啟發(fā)誘導，推陳出新復習舊知識：圓的定義是什么？圓的標準方程是什么形式？提出新問題：橢圓是怎么畫出來的？橢圓的定義是什么？它的標準方程又是什么形式？引出課題：橢圓及其標準方程（三）小組合作，形成概念動畫演示橢圓形成過程．提問：點M運動時，F(xiàn)1、F2移動了嗎？點M按照什么條件運動形成的軌跡是橢圓？下面請同學們在繪圖板上作圖，思考繪圖板上提出的問題：1．在作圖時，視筆尖為動點，兩個圖釘為定點，動點到兩定點距離之和符合什么條件？其軌跡如何？2．改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？3．當繩長小于兩圖釘之間的距離時，還能畫出圖形嗎？學生經(jīng)過動手操作→獨立思考→小組討論→共同交流的探究過程，得出這樣三個結(jié)論：橢圓線段不存在并歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩個定點、的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距．（四）橢圓標準方程的推導：1．回顧：求曲線方程的一般步驟：建系、設點、列式、化簡．2．提問：如何建系，使求出的方程最簡？由各小組討論，請小組代表匯報研討結(jié)果．各組分別選定一種方案：（以下過程按照第一種方案）①建系：以所在直線為x軸，以線段的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系。②設點：設是橢圓上任意一點，為了使的坐標簡單及化簡過程不那么繁雜，設，則設與兩定點的距離的和等于③列式：∴④化簡：（這里，教師為突破難點，進行設問：我們怎么化簡帶根式的式子？對于本式是直接平方好還是整理后再平方好呢？）兩邊平方，得：即兩邊平方，得：整理，得：令，則方程可簡化為：整理成：指出：方程叫做橢圓的標準方程，焦點在軸上，焦點是討論：如果以所在直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標系，焦點是，橢圓的方程又如何呢？讓按照另外方案推導橢圓標準方程的同學發(fā)言并演示動畫進行討論得出：為橢圓的另一標準方程，而其他建系方案得出的橢圓方程沒有標準方程形式簡單．引導學生思考：已知橢圓標準方程，如何判斷焦點位置？討論得出：看，的分母大小，哪個分母大就在哪一條軸上．（五）例題講解例1求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）兩個焦點的坐標分別是（－4，0）、（4，0），橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10；（2）兩個焦點的坐標分別是（0，－2）、（0，2），并且橢圓經(jīng)過點例2已知橢圓的焦距等于8，橢圓上一點P到兩焦點距離的和等于10，求橢圓的標準方程（六）課堂練習1．已知橢圓方程為，則這個橢圓的焦距為（）（A）6（B）3（C）（D）62．是定點，且，動點滿足，則點的軌跡是（）（A）橢圓（B）直線（C）圓（D）線段3．已知橢圓上一點P到橢圓一個焦點的距離為3，則P到另一焦點的距離為（）（A）2（B）3（C）5（D）7（七）課堂小結(jié)（1）橢圓的定義及其標準方程；（2）標準方程中的關系；（3）焦點所在的軸與標準方程形式之間的關系.（八）作業(yè)布置P96習題8.1的1、2、3思考題1．如果方程表示焦點在軸上的橢圓，那么實數(shù)的取值范圍是（）（A）（0，+∞）（B）（0，2）（C）（1，+∞）（D）（0，1）2．橢圓的焦距是2，則實數(shù)的值是（）（A）5（B）8（C）3或5（D）33．已知是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于A、B兩點，則的周長為（）（A）8（B）20（C）24（D）284．方程什么時候表示橢圓？什么時候表示焦點在軸上的橢圓？什么時候表示焦點在軸上的橢圓？最后在播放彗星圖片時，提出課外延伸問題，讓學生通過上網(wǎng)或到圖書館查閱有關彗星的資料并試著回答：為什么有的彗星經(jīng)過若干年后能夠再次光臨地球，而有的彗星卻和地球只有一面之緣呢？[板書設計]橢圓及其標準方程一橢圓的定義二橢圓的標準方程橢圓標準方程的推導例一例二說明學習的過程是一個將外界的新信息不斷搭建在已有知識上的過程，是認知結(jié)構(gòu)發(fā)生重組和改造的過程。本課在設計中充分考慮到了學生的這一實際情況及學生的認知規(guī)律。為了突破重點，在教學設計中采用了循序漸進、逐層推進的方法：先用多媒體演示神州六號飛船繞地球運行的軌道圖片形象地給出橢圓，使學生對橢圓有一個直觀的了解；再讓學生自己舉例、動手操作“定性”地畫出橢圓和探究歸納定義；最后通過坐標法“定量”地描述橢圓。這種從感性到理性地抽象概括，從而形成概念，推出方程的過程符合學生的認知規(guī)律。為使學生更好地掌握橢圓的標準方程。為突破難點，在設計中通過課堂精心設問：①教師問：化簡含有根號的式子時，我們通常有什么方法？②教師問：對于本式是直接平方好呢還是恰當整理后再平方？這樣，橢圓方程的化簡這一難點也就迎刃而解了。愛因斯坦說過：“單純的專業(yè)知識灌輸只能產(chǎn)生機器，而不可能造就一個和諧發(fā)展的人才”，因此數(shù)學學習的核心是思考，離開思考就沒有真正的數(shù)學。針對這節(jié)課的問題，教師邊演示，邊提問，讓學生邊觀察，邊思考，邊討論，最大限度地調(diào)動學生積極參與教學活動，在教學難點處適當放慢節(jié)奏，給學生充分的時間進行思考與討論，教師適時給予適當?shù)乃季S點撥，必要的可進行大面積提問，讓學生做課堂的主人，充分發(fā)表自己的意見。這樣既有利于化解難點、突出重點，也有利于充分發(fā)揮學生的主體作用，使課堂氣氛更加活躍，讓學生在生生互動、師生互動中掌握知識，提高解決問題的能力?！稒E圓及其標準方程》教案一、教學目標(一)知識教學點使學生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標準方程的推導及標準方程．(二)能力訓練點通過對橢圓概念的引入與標準方程的推導，培養(yǎng)學生分析探索能力，增強運用坐標法解決幾何問題的能力．(三)學科滲透點通過對橢圓標準方程的推導的教學，可以提高對各種知識的綜合運用能力．二、教材分析1．重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．(解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強調(diào)；對橢圓的標準方程單獨列出加以比較．)2．難點：橢圓的標準方程的推導．(解決辦法：推導分4步完成，每步重點講解，關鍵步驟加以補充說明．)3．疑點：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因．(解決辦法：分三種情況說明動點的軌跡．)三、活動設計提問、演示、講授、詳細講授、演板、分析講解、學生口答．四、教學過程(一)橢圓概念的引入前面，大家學習了曲線的方程等概念，哪一位同學回答：問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個步驟必不可少？對上述問題學生的回答基本正確，否則，教師給予糾正．這樣便于學生溫故而知新，在已有知識基礎上去探求新知識．提出這一問題以便說明標準方程推導中一個同解變形．問題3：圓的幾何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的探索？一般學生能回答：“平面內(nèi)到一定點的距離為常數(shù)的點的軌跡是圓”．對同學提出的軌跡命題如：“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡．”“到兩定點距離平方差等于常數(shù)的點的軌跡．”“到兩定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡．”教師要加以肯定，以鼓勵同學們的探索精神．比如說，若同學們提出了“到兩定點距離之和等于常數(shù)的點的軌跡”，那么動點軌跡是什么呢？這時教師示范引導學生繪圖：取一條一定長的細繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(如圖2-13)，當繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，就可以畫出一個橢圓．教師進一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學說：“立體幾何中圓的直觀圖．”有的同學說：“人造衛(wèi)星運行軌道”等……在此基礎上，引導學生概括橢圓的定義：平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距．學生開始只強調(diào)主要幾何特征——到兩定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個方面加以強調(diào)：(1)將穿有鉛筆的細線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學生認識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．(二)橢圓標準方程的推導1．標準方程的推導由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無所知，所以需要用坐標法先建立橢圓的方程．如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設點；(2)點的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡方程等步驟．(1)建系設點建立坐標系應遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關鍵點的坐標、關鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學生認識到下列選取方法是恰當?shù)模詢啥cF1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系(如圖2-14)．設|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．(2)點的集合由定義不難得出橢圓集合為：P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程(4)化簡方程化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學板演，其余同學在下面完成，教師巡視，適當給予提示：①原方程要移項平方，否則化簡相當復雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對稱和諧而引入b，同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要(a＞b＞0)．關于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略．示的橢圓的焦點在x軸上，焦點是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2．2．兩種標準方程的比較(引導學生歸納)0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到．教師指出：在兩種標準方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上．(三)例題與練習例題平面內(nèi)兩定點的距離是8，寫出到這兩定點的距離的和是10的點的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程．解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點是焦點，用F1、F2表示．取過點F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，這個橢圓的標準方程是請大家再想一想，焦點F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分練習1寫出適合下列條件的橢圓的標準方程：練習2下列各組兩個橢圓中，其焦點相同的是[]由學生口答，答案