集合（5大壓軸考法）解析版 -2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)壓軸題攻略

專題01集合

目錄

解題知識必備.......................................

壓軸題型講練........................................................2

題型一、集合的子集、真子集及參數(shù)問題......................................2

題型二、集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及參數(shù)問題....................................5

題型三、韋恩圖及容斥原理的應(yīng)用............................................10

題型四、集合中的結(jié)構(gòu)不良問題...............................................14

題型五、集合中的新定義問題.................................................17

壓軸能力測評（12題）..............................................25

說明：試題或者解析中區(qū)間的概念說明：設(shè)。，6是兩個實(shí)數(shù)，而且我們規(guī)定:

定義名稱符號

\^x\a<x<b^閉區(qū)間[a,b]

{x[a<x<b^開區(qū)間

半閉半開區(qū)間[a,b)

{X[Q<x<b^半開半閉區(qū)間(a,可

8解題知識必備??

一、集合的有關(guān)概念

1.集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性.

2.集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.

3.元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為e；不屬于，記為C.

4.五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N+表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集（或自然數(shù)集），Z表示整數(shù)集,

Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

NQN

二、集合間的基本關(guān)系

(1)子集：一般地，對于兩個集合A,B,如果集合A中任意一個元素，都是集合B中的元素，就稱集合A

為集合B的子集.記作AU8(或B2A).

⑵真子集：如果集合但存在元素xdg,且尤仁A,就稱集合A是集合2的真子集，記作A堂區(qū)

(3)相等：若AU8,且8UA,則A=B.

(4)空集的性質(zhì)：0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

三、集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合

符號表示AUBAAB

A的補(bǔ)集為CuA

S3

圖形表示

AUBJ?

集合表示{x\x^Af或1￡團(tuán){小且工￡3}[x\x^U,B-X^A]

四、集合中的新定義問題

1.集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個要素，結(jié)合集合的知識加

以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識來解題.

2.集合中的新運(yùn)算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個全新的運(yùn)算規(guī)則.按照新的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合數(shù)學(xué)中原

有的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識進(jìn)行計(jì)算或邏輯推理等，從而達(dá)到解答的目的.

3.集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的.我們通過可以結(jié)合相應(yīng)的集合

概念、關(guān)系、運(yùn)算等相關(guān)知識，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題.

4.集合新定義問題處理步驟

①找：要抓住新定義的本質(zhì)——新定義的要素，首先找出新定義有幾個要素，少一個都不是“新的定義”哦;

然后找出要素分別是什么

②看：看所求是什么？

③代：將己知條件代入新定義的要素

④解：結(jié)合數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解答

常用結(jié)論

(1)若有限集A中有〃個元素，則A的子集有2"個，真子集有2"-1個，非空子集有2'-1個，非空真子

集有2'—2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集.

⑶AcB-?AnB=A<=>AU5=B<=>CVBcCVA.

??壓軸題型講練??

【題型一集合的子集、真子集及參數(shù)問題】

一、單選題

1.（2024高一上?全國?專題練習(xí)）已知集合加=卜?=幺詈±45°，建21,P=1|X=￡^±90。,丘Z

則集合M,P之間的關(guān)系為（）

A.M=PB.MPC.P=MD.MoP=0

【答案】B

【分析】化簡集合，由集合間的關(guān)系求解即可.

Ik12f）°]

【詳解】因?yàn)橛葇x=^—±45°,《eZ={x[x=（2左±l）-45°,ZeZ},

所以集合〃中的元素是45。的奇數(shù)倍,

IK1QQ°）

因?yàn)閜=jx|x=^—±90°,左cz1={x|x=（左±2）-45°,%eZ},

所以集合P中的元素是45。的整數(shù)倍，

所以MP.

故選:B.

二、填空題

2.（23-24高一下?湖南長沙?階段練習(xí)）設(shè)集合4={大公…“,}={2,3,…,37},（n>2,〃cN）且A中任意

兩數(shù)之和不能被5整除，則〃的最大值為.

【答案】16

【分析】先根據(jù){2,3,…,37}中的數(shù)除以5的余數(shù)將集合A進(jìn)行分組，然后根據(jù)整除的知識求得正確答案.

【詳解】根據(jù)除以5的余數(shù)，可將A集合分為5組：

4=（5,10,15,20,25,30,35},則card（4）=7,

A={6,11,16,21,26,31,36},則card（A）=7,

4={2,7,12,17,22,27,32,37},則card⑷=8,

A={3,8,13,18,23,28,33},貝!Jcard(A)=7,

A={4,9,14,19,24,29,34},則card(4)=7,

A中的任何兩個數(shù)之和不能被5整除，故4和A,4和A,中不能同時取數(shù)，且4中最多取一個，

.?.最多的取法是取4。4和4中的一個元素，card(A)1rax=7+8+1=16,故〃的最大值為16.

故答案為：16

【點(diǎn)睛】兩數(shù)之和能被5整除，則兩數(shù)分別除以5的余數(shù)之和能被5整除.本題的分析方法是先求得

{2,3,…,37}中所有數(shù)除以5的余數(shù)，從而進(jìn)行分組，分組之后根據(jù)和能被5整除的知識來求得正確答案.

3.(23-24高一上?上海?期中)。是有理數(shù)集，集合川=卜卜=4+退伍a,6eQ,尤#0卜在下列集合中：

①卜卜=^/§7,fe〃}；②{x|無=?,小“}；

③{x[x=石+々，玉eM,X2eAf}；④{尤[x=玉*2eAf}.

與集合M相等的集合序號是.

【答案】④

【分析】集合相等的條件為集合中的元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④中四個集合中元素是否與集

合M一致即可.

【詳解】對于①，因?yàn)閠eM,設(shè)1=a+0b,a,bwQ,

則-\/3?==13a+36b,

不妨取a=2力=0,可知2eA1,而#e卜卜=疝，，已。}，顯然?任加，所以①與集合“不相等；

對于②，令1=a+Kb,a,bcQ,貝！J〃=(a+百6)=a2+3b2+2y/3ab,

顯然-1+百eV,但-1+上任{x|x=/2,fe“},即②與集合M不相等；

對于③，當(dāng)菁=a+66,無2=—a—6b,a,bwQ時,此時x=為+x、=0,艮|J0e{尤|x=%+尤2，%eeA/},

而集合M中不包含元素0,所以③與集合M不相等；

對于④，令占=4+也4(。1，4eQ,芯片0),尤?=%+石優(yōu)(。2也eQ,%*0),

則x=x1x2=(a1a2+3她2)+6(01b2+a2bx),其中01a2+3她，她.+a2bleQ,x^0,

所以④與集合M相等；

故答案為：④

4.(23-24高一上.吉林四平?階段練習(xí))已知集合〃={x|lWxW10,xeZ},對它的非空子集A,將A中的每

個元素上都乘以(-1)'再求和，如4={2,3,6},可求得和為(-1)2X2+(-1)3X3+(-L)6X6=5,試對M的所有

非空子集，求這些和的總和=.

【答案】2560

【分析】考慮集合〃中的元素左VlO/eZ)在總和中出現(xiàn)的次數(shù)，根據(jù)不含“左”的〃子集共有29個,

則可得含“左”的M子集共有2?-29=29個，從而可根據(jù)題意可求得結(jié)果.

[詳解】考慮集合M中的元素k(l<k<10,keZ)在總和中出現(xiàn)的次數(shù)，

因?yàn)镸的子集共有嚴(yán)個，其中不含“左”的M子集共有29個，

所以含“左”的M子集共有2i°-29=29個，

所以，由題意得這些和的總和為

[(-1)X1+(-1)2X2+(-1)3X3+---+(-1)10xl0]x29

=[(2-l)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)]x29

=5x512=2560,

故答案為：2560

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查集合非空子集的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出含“左”的加子集的個數(shù)，考查計(jì)

算能力，屬于較難題.

5.(22-23高二下?北京?期中)己知全集。=｛。,丫)|工€2?€2｝,非空集合S=若在平面直角坐標(biāo)系

中，對s中的任意點(diǎn)p,與p關(guān)于x軸、y軸以及直線，=彳對稱的點(diǎn)也均在s中，則以下命題：

①若(l,3)eS,則(-l,-3)eS；

②若(0,4)wS,則S中至少有8個元素；

③若(0,0)至S,則S中元素的個數(shù)可以為奇數(shù)；

④若｛(X切元+y=4｝口S,則｛(尤,y)||x|+|y|=4｝cS.

其中正確命題的序號為.

【答案】①④

【分析】①根據(jù)定義和點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的性質(zhì)可判斷；

②若(0,4)eS,貝！JS中至少有4個元素，故錯誤；

③若(O,O)eS,貝！JS中元素的個數(shù)一定為成對出現(xiàn)，故為偶數(shù)；

④根據(jù)|x|+lyl=4,顯然圖象關(guān)于X軸，y軸，和y=x軸對稱，判斷即可.

【詳解】S中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)形成的圖形關(guān)于X軸、y軸和直線y=x均對稱.

所以當(dāng)(x,y)eS,則有(x,-y)wS,(-x,y\eS,(y,x)eS,

進(jìn)而有：(-x,-J)eS,(-y,x)eS,(y,r)eS,㈠,-x)eS,

①若(l,3)eS,貝！](T-3)eS,故①正確；

②若(O,4)eS,則(OT)eS,(4,0)eS,(T,0)eS,能確定4個元素，故②不正確；

③根據(jù)題意可知，(x,y)eS,若x=0,y/0能確定4個元素，

當(dāng)尤片0,>=。也能確定4個，當(dāng)XHO,y*0也能確定8個所以(0,0)eS,

則S中元素的個數(shù)一定為偶數(shù)，故③錯誤；

④若{(x,切x+y=4”Z,yeZ}=S,由S中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系無Qy內(nèi)形成的圖形關(guān)于x軸、V軸和直

線y=x均對稱可知，

貝[|{(x,y)|x_y=4,xeZ,yeZ}uS,{(尤,1)|-%+y=4,尤eZ,yez}=S,{(x,y)卜x-y=4,尤eZ,yez}uS,

即{(x,y胭+|y|=4,尤eZ,yeZ}[S,

即{(%刈N+M=4}qS,故④正確，

綜上：①④正確.

故答案為：①④.

【題型二集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算及參數(shù)問題】

一、單選題

1.（23-24高一上.上海嘉定.期中）已知集合P,。中都至少有兩個元素，并且滿足下列條件：①集合P,Q

中的元素都為正數(shù)；②對于任意都有feP；③對于任意eP（awb）,都有MeQ；則

b

下列說法正確的是（）

A.若尸有2個元素，則。有3個元素

B.若P有2個元素，則尸UQ有4個元素

C.若尸有2個元素，則「口。有1個元素

D.存在滿足條件且有3個元素的集合P

【答案】C

【分析】若集合尸中有2個元素，設(shè)「={。2},根據(jù)集合中元素的特性和題設(shè)條件進(jìn)行分析推導(dǎo)，可判斷

出選項(xiàng)ABC；假若尸有3個元素，設(shè)「={044,再根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)分析，可得到尸中還有第四個元素，

推出矛盾，從而可判斷出D選項(xiàng).

【詳解】若P有2個元素，設(shè)2={44（。＞0,6＞0,4*6）,則"wQ,

因?yàn)?。至少?個元素，所以。中除仍外至少還有一個元素，

不妨設(shè)xeQ,x^ab,則x＞0,2eP,茲eP,

abx

若［=或，貝！|/=（。切2且》＞0,4匕＞0,

abx

所以X=仍，與假設(shè)矛盾，所以吃力或，

abx

%ab1—x,ab

所以，二。,一=b^--=b,一=a,

abxabx

當(dāng)二二a,茲=b時，貝!==所以〃=工，

abxa

若。=1,則a=Z?=l,與標(biāo)＞矛盾，所以awl,同理可知bwl,

所以此時尸=卜,1},0={1,。},PUQ=k』,J,PIQ={a};

當(dāng)三="地=。時，則必=1,所以。=g,

abxb

若4=1,則。=6=1,與球力矛盾，所以awl,同理可知bwl,

此時尸={,，，,0={1,耳，PUQ=.』，+，PIQ=.

由上可知，當(dāng)尸有2個元素，則。有2個元素，PUQ有3個元素，PCI。有1個元素，

故A錯誤，B錯誤，C正確；

不妨假設(shè)P有3個元素，設(shè)尸={a,A,c},貝!dc為互不相等的正數(shù)，

由③可知：abeQ,aceQ,bceQ,

又因?yàn)閍,。,c為互不相等的正數(shù)，所以",改,左也為互不相等的正數(shù)，

由②可知：2,￡於5二,2都是集合「={帖,耳的元素，

aabbcc

因?yàn)閍也c為互不相等的正數(shù)，所以?:今;二上都是不等于1的正數(shù)，所以幺噂,￡工3，,，

aabbccabacbc

又因?yàn)榉?。為互不相等的正?shù)，所以，*3,￡二2,

bcaa

考慮到2蟾和34,若也3,則?為互不相等的正數(shù)，

abbcacbac

又因?yàn)椤?,所以好￡,所以￡是與1，2二不相等正數(shù)，

acbaabac

因?yàn)槎际羌鲜脑兀约鲜兄辽儆?個元素，這與假設(shè)矛盾，

abac

ha

因此考慮±=區(qū)的情況，所以"=加，同理可得〃=ac,c2=ab,所以〃=方3=,

ac

所以。=6=c,這與集合中元素的互異性矛盾，所以尸有3個元素不可能成立，故D錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查元素與集合的關(guān)系以及集合運(yùn)算后集合中元素個數(shù)的判斷，本題的難點(diǎn)在

于如何通過假設(shè)推導(dǎo)出矛盾，解答過程中主要利用集合中元素的互異性去檢驗(yàn)元素，從而達(dá)到確定集合中

元素個數(shù)的目的.

2.（23-24高一下.安徽安慶?開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)集A滿足條件:若awA,則手€人，則集合A中所有元素

的乘積為（）

A.1B.-1C.±1D.與。的取值有關(guān)

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，遞推出集合A中所有元素，可得答案.

【詳解】由題意，若aeA,步eA,

l-a

I+〃

1+-----

I-CI--eA,

11+Q

1------a

1—Q

yCl—1

1+-----

〃+]=aGA,

1------

〃+1

I1a—11+〃]

綜上,集合A=

所以集合A中所有元素的乘積為分1.

故選:A.

二、填空題

3.（23-24高一上.上海?期中）設(shè)集合A={1,2,3,4},B={1,2],若C=A且臺0。/0，則所有滿足條件的集

合C的個數(shù)為.

【答案】12

【分析】正面求解復(fù)雜，先求集合A的子集的個數(shù)即可

【詳解】按題意，集合C是A的子集，且與8的交集不為空集

集合A的子集有24=16個

其中與8的交集為空集的子集，即{3,4}的子集，有于=4個

故滿足題意的集合C的個數(shù)為16-4=12

故答案為：12

4.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）若4={1,3,4，2={f,l},AJ5={1,3,%},則實(shí)數(shù)x的值所組成的集合

C為.

【答案】{0,點(diǎn)-8

【分析】依題意有3右4,即/eA,且分類討論求機(jī)的值.

【詳解】因?yàn)锳={1，3,x},B={%2,1},AUB=〃,3,X},

所以A<JB=A9

所以

所以f=3或％2=%，

當(dāng)f=3時，解得x=土百，合題意，

當(dāng)％2=%時，解得％=0或%=1,

若x=0,A={1,3,0},B={0,l）,合題意，

若x=l,A={1,3/},B=不滿足集合中元素的互異性，舍去,

綜上所述，C={0,73,-73）.

故答案為：{0,石，-上}.

三、解答題

5.（24-25高一上?上海?課后作業(yè)）設(shè)集合P={尤1-2<尤<3},Q^{x\3a<x<a+1］；

（1）若。1尸，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

（2）若尸cQ=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴-g，+e］

1

(2)(-8,-3L一,+8

2

【分析】（1）分為Q=0和QW0兩種情形進(jìn)行討論，根據(jù)?？谑?，列不等式組求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

（2）分為Q=0和Qw。兩種情形進(jìn)行討論，根據(jù)尸列不等式組求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

【詳解】（1）由題意，集合尸={引-2<%<3},Q=P,需分為Q=0和兩種情形進(jìn)行討論：

當(dāng)Q=0時，3a>a+l,

解得，6Z>—,滿足題意；

當(dāng)。工0時，

因?yàn)镼q尸，

3〃N—2

所以<a+l<3,

3〃<〃+1

21

解得，

綜上所述，實(shí)數(shù)0的取值范圍為［-早2+8）.

（2）由題意，需分為。=0和。*0兩種情形進(jìn)行討論:

當(dāng)。=。時，3a>a+\,

解得，a~^2,滿足題意；

當(dāng)Q*0時，

因?yàn)椤缚凇?0,

[〃+1?—2

所以?！附獾?。4一3,

[3a<a+l

_[3a>3乙

或,[無解；

[3a<a+l

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為（-應(yīng)-3]口1,+^.

12

6.（24-25IWJ一■上,上海,課后作業(yè)）設(shè)集合SuN,SW0,且滿足xeS,則1H-------￡S.

x-1

⑴求出只含2個元素的集合S；

⑵滿足題設(shè)條件的集合S共有幾個？列舉出來.

【答案】（1）{2,13},{3,7},{4,5}

（2）7個，{2,13},{3,7},{4,5},{2,13,3,7},{2,13,4,5},{3,7,4,5},{2,13,3,7,4,5}

【分析】（1）根據(jù)1+」三的形式，先確定x的取值，再代入驗(yàn)證；

x-1

（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，列舉滿足條件的集合.

12

【詳解】（1）；S只有2個元素，且xeN且1+」土eN,

x-1

12

...x可取2或3或4或5或7或13,代入1+——，

X-1

1919

當(dāng)％=2代入1+1，得13,將13再代入1+1，得2,滿足雙元素集合{2,13},

x-1x-1

1919

當(dāng)尤=3代入1+士；，得7,將7再代入1+產(chǎn)，得3,滿足雙元素集合{3,7},

x-1x-1

1o10

當(dāng)x=4代入1+」一，得5,將5再代入1+3,得4,滿足雙元素集合{4,5},

x-1x-1

5,7,13都是對應(yīng)上述雙元素集合中的元素，不需再代入，不合要求，

所以雙元素集{2,13},{3,7},{4,5}.

（2）滿足題設(shè)條件的集合共有23-1=7（個）,分別是{2,13},{3,7},{4,5},{2,13,3,7},{2,13,4,5},{3,7,4,5},

{2,13,3,7,4,5}.

【題型三韋恩圖及容斥原理的應(yīng)用】

一、單選題

1.（23-24高一上.河南鄭州?階段練習(xí)）某年級先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂講座，其中有75人聽了數(shù)學(xué)講

座，68人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，記

A={x|x是聽了數(shù)學(xué)講座的學(xué)生},8={x|x是聽了歷史講座的學(xué)生},C={x|x是聽了音樂講座的學(xué)生}.

用card（Af）來表示有限集合加中元素的個數(shù)，若card（Ac3）=17,card（AnC）=12,card〈BcC）=9,

Ac3cC=0,貝U（）

A.card（AuB）=143B.card（AuBuC）=166

C.card（BuC）=129D.card（AnBnC）=38

【答案】B

【分析】將已知條件用Venn圖表示出來，然后逐項(xiàng)求解即可判斷.

【詳解】將已知條件用Venn圖表示出來如下圖，

對A：card（AuBuC）=46+42+17+12+9=126,故A錯誤；

對B：card（AuBuC）=46+42+40+17+12+9=166,故B正確；

對C：card（BuC）=42+40+17+12+9=120,故C錯誤；

對D：card（AnBnC）=0,故D錯誤；

故選：B.

\c407

2.（23-24高一上?陜西?階段練習(xí)）下列表示集合M=]xeN|/eN1和雙=卜|（尤2_5x）2=36]關(guān)系的

圖中正確的是（）

A.B.

【答案】A

【分析】由題意先分別把集合M,N求出來，然后對比集合，觀察它們所具有的關(guān)系即可求解.

【詳解】由題意可知集合M是由6的正因數(shù)構(gòu)成的集合，

而6的正因數(shù)有1,2,3,6,

所以"={1,2,3,6},

若（一―5x）~=36,貝！|/一5尤=±6,

即x?-5x+6=0或X?-5x-6=0,

即（x_2）（x_3）=0或（無一6）（尤+1）=0,

分別解得x=2或x=3,無=6或x=-l,

所以N={—1,2,3,6},

從而可知集合M,N是部分交叉的關(guān)系.

故選：A.

3.（23-24高一上?遼寧?階段練習(xí)）杭州第19屆亞運(yùn)會于2023年9月23日至10月8日舉行，經(jīng)調(diào)查，亞

運(yùn)會中球類、田徑類、游泳類比賽深受學(xué)生喜愛.小明統(tǒng)計(jì)了其所在班級50名同學(xué)觀看球類、田徑類、游

泳類比賽情況，每人至少觀看過其中一類比賽，有15人觀看過這3類比賽，18人沒觀看過球類比賽，20

人沒觀看過田徑類比賽,16人沒觀看過游泳類比賽，因不慎將觀看過其中兩類比賽的人的數(shù)據(jù)丟失,記為機(jī)，

則由上述可推斷出山=（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】A

【分析】不妨設(shè)觀看過球類與田徑類比賽的有x人，觀看過球類與游泳類比賽的有y人，觀看過田徑類與

游泳類比賽的有z人，只觀看過球類、田徑類、游泳類比賽的人數(shù)分別為。，b,c,畫出Veen圖結(jié)合題意

求解即可.

【詳解】不妨設(shè)觀看過球類與田徑類比賽的有了人，觀看過球類與游泳類比賽的有，人，

觀看過田徑類與游泳類比賽的有z人，則機(jī)=尤+y+z,

只觀看過球類、田徑類、游泳類比賽的人數(shù)分別為。，b,c,如圖，貝！|a+6+c+x+y+z=50-15=35①，

因?yàn)橛?8人沒看過球類比賽，所以b+c+z=18,

因?yàn)?0人沒觀看過田徑類比賽，16人沒觀看過游泳類比賽，所以a+c+y=20,a+b+x=16,

所以2（a+b+c）+x+y+z=54②，由①②得a+/?+c=19,則〃?=16.

故選：A.

4.（23-24高一上?湖南長沙?期末）已知全集為U,集合M,N滿足MNU,則下列運(yùn)算結(jié)果為。的是

).

A.MuNB.（皆N）u（

C.D.NU（MM）

【答案】D

【分析】根據(jù)〃NU,結(jié)合交并補(bǔ)的運(yùn)算即可判斷選項(xiàng)

【詳解】如圖,

因?yàn)镸NU,所以MUN=NNU,故A錯誤;

因?yàn)椋ㄘ兀＃ā樱?飄"門必=￡/加中。，故B錯誤;

因?yàn)镸NU,所以故C錯誤；

因?yàn)镸NU,所以Nu（dM）=U,故D正確.

故選：D

二、填空題

5.（23-24高一上.陜西?階段練習(xí)）某社區(qū)老年大學(xué)秋季班開課，開設(shè)課程有舞蹈，太極、聲樂.已知秋季班

課程共有90人報名，其中有45人報名舞蹈，有26人報名太極，有33人報名聲樂，同時報名舞蹈和報名

聲樂的有8人，同時報名聲樂和報名太極的有5人，沒有人同時報名三門課程，現(xiàn)有下列四個結(jié)論：

①同時報名舞蹈和報名太極的有3人；

②只報名舞蹈的有36人；

③只報名聲樂的有20人；

④報名兩門課程的有14人.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

【答案】②③④

【分析】畫出Venn圖，結(jié)合圖形求出同時報名舞蹈和報名太極的人數(shù)，再逐一分析即可得解.

【詳解】如圖，設(shè)同時報名舞蹈和報名太極的有x人，

貝！)45+26+33—90=5+8+無，解得x=l,

所以同時報名舞蹈和報名太極的有1人，

只報名舞蹈的有45-8-1=36人，只報名聲樂的有33-8-5=20人，

報名兩門課程的有8+5+1=14人.

故答案為：②③④.

【題型四集合中的結(jié)構(gòu)不良問題】

一、解答題

1.(23-24高一上?湖北孝感?階段練習(xí))在①4=卜|尤2-3%+2=0},②A={尤12/-3x-2=。}這二個條件中

任選一個，補(bǔ)充在下列橫線中，求解下列問題.設(shè)集合,集合8=卜卜2+25+1)》+/-5=()}.

(1)若集合8的子集有2個，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)若4口8=3,求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答記分.

【答案】⑴a=-3

⑵條件選擇見解析，{小—3}

【分析】(1)根據(jù)子集確定集合元素個數(shù)，即可得實(shí)數(shù)。的值；

(2)根據(jù)集合與集合的關(guān)系確定集合8中的元素情況，即可得實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】(1)???集合2的子集有2個，.??集合8元素個數(shù)為1

.-.A=4(a+l)2-4(a2-5)=0,即8(a+3)=0解得：?=-3

(2)選①：集合A={小2一3%+2=0}={1,2}

AoB=B,:.BA

對集合8討論：

當(dāng)A<0時，即。<-3時，B=0,滿足條件;

當(dāng)A=0時，即。=-3,此時8={2},滿足條件；

當(dāng)A>0時，要滿足條件，必有3={1,2},

由根與系數(shù)的關(guān)系有：卜：=此方程組無解，不滿足條件舍去.

1x2=。-5

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是{4aW-3}.

選②:集合&=同2/-3x-2=0}=]-；,2

Ar>B=B,.\BA

對集合B討論：

當(dāng)△<()時，即3時，B=0,滿足條件；

當(dāng)A=0時，即a=—3,此時3={2},滿足條件;

當(dāng)A>0時，要滿足條件，必有8=

--+2=-2(a+l)

2,此方程組無解，不滿足條件舍去

由根與系數(shù)的關(guān)系有：

--X2=CZ2-5

2

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是{布-3}.

2.(23-24高一上?廣東汕頭?階段練習(xí))已知4=口|2。-1<彳<a+1),2={%]-1<》43}.

(1)若a=_g，求AU氏An(43);

(2)在①“xwA”是“xe3”的充分不必要條件；?A<JB=B；③AC3=0；這三個條件中任選一個，補(bǔ)充

在下面問題中，并進(jìn)行解答.

問題：若,求實(shí)數(shù)。的取值范圍構(gòu)成的集合P.

注：如果選擇多個條件分別作答，則按第一個條件的解答計(jì)分.

【答案】（1）AUB={X|-2<XW3},An^B={x|-2<x<-1}

(2)答案見解析

【分析】(1)利用集合補(bǔ)集和交集的概念求解即可；

(2)根據(jù)集合的包含關(guān)系分情況討論即可.

[詳解]⑴當(dāng)a=J時，A=L|-2<x<|j,^B={x\-l<x<3},

所以AU5={X|-2<X<3},={x\x<-l^x>3],

A^B)={x\-2<x<-l}.

(2)選①“xeA”是“xeB”的充分不必要條件，貝!IA共8

若A=0,此時2a—12a+l,解得a22；

若&H0,此時。<2,只需，°(且等號不同時成立)

[a+1W3

解得0Va<2,

所以滿足條件的實(shí)數(shù)a構(gòu)成的集合尸={aIa20}.

選②=則AUB；

若A=0,此時2a—12a+l,解得〃N2；

若Aw0,此時a<2,只需<1八，解得0Wa<2；

[a+l<3

綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)。構(gòu)成的集合P={a|〃20}.

選③AcB=0,

若A=0,此時2a-I2a+l,解得a22；

若Aw0,此時〃<2,只需2〃一123或a+l?-1,

顯然2々一123即2無解，解。+14—1得a4—2；

綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)。構(gòu)成的集合P={，|aW-2或。22}.

3.(22-23高一上.重慶沙坪壩.期中)己知A={尤k2-6X+5=。},B={x|ar-l=0}.

(1)若a=l,求Ac(&B)；

⑵從①AU(%B)=R;②=③8c他A)=0這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面橫線上，并進(jìn)行

解答.

問題：若,求實(shí)數(shù)“的所有取值構(gòu)成的集合C.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.

【答案】⑴Af)={5}

⑵條件選擇見解析，c=jo,|,ij

【分析】(1)當(dāng)。=1時，求出集合8、A,利用補(bǔ)集和交集的定義可求得集合AC&B)；

(2)選①，分。=0、。片0兩種情況討論，在“=0時，直接驗(yàn)證即可；在awO時，求得8={十>，根據(jù)

AU瓜3)=R可得出關(guān)于。的等式，綜合可得出集合C；

選②，分析可知8=A,分“=0、a/0兩種情況討論，在。=0時，直接驗(yàn)證即可;在。/0時，求得8=，，，

根據(jù)3=A可得出關(guān)于。的等式，綜合可得出集合C；

選③，分。=0、"0兩種情況討論，在。=0時，直接驗(yàn)證即可;在"0時，求得2=弓，，根據(jù)BC做A)=0,

可得出關(guān)于。的等式，綜合可得出集合C.

【詳解】⑴解：當(dāng)a=l時，B={X|X-1=0}={1},

又因?yàn)锳={小②_6尤+5=0}={1,5},故AQ(胡)={5}.

(2)解：若選①，當(dāng)。=0時，B=0,則\B=R,滿足AU(-3)=R,

當(dāng)年0時，2=修，若AU低3)=R,則：=1或5,解得“=1或，

綜上所述，c=|o,|,ij;

若選②，-：AC\B=B,則

當(dāng)。=0時，B=0,滿足3g4；

當(dāng)awO時，3=14,因?yàn)?=則工=1或5,解得。=1或9.

綜上所述，C=|o,|,lj;

若選③，當(dāng)。=0時，5=0,滿足Bc(\A)=0；

當(dāng)awO時，貝”=￡}，因?yàn)?c做A)=0,貝[=1或5,解得a=l或1.

綜上所述，c=|o,1,ij.

【題型五集合中的新定義問題】

一、單選題

1.(24-25高一上?上海?單元測試)若X是一個非空集合，"是一個以X的某些子集為元素的集合，且滿足:

(1)X&M,0eM；(2)對于X的任意子集A,B,當(dāng)AeM且Be〃時，有AuBeM；(3)對于X

的任意子集A,B,當(dāng)4?/且3€河時，有AcBeM,則稱M是集合X的一個——集合類”，例如：

〃={0,抄},{耳,松,0},{。,6,0}}是集合*={4,瓦＜7}的一個----集合類”.已知X={a,b,c\,則所有含{b,

c}的——集合類”的個數(shù)為().

A.9B.10C.11D.12

【答案】D

【分析】確定M中一定含有0,{仇c},{4,6,c},再分類討論，一一列舉出能含有的其他元素，綜合即可得答

案.

【詳解】X={a,6,c}的子集有0,M,,{c},{a,b],{a,c},{b,c},{a,b,c),

由題意知M中一定含有0,{仇c},"c},

則M中可以含有的其他元素從剩余的5個集合⑷,㈤,{c},{a,6},伍?中選??；

當(dāng)剩余的5個集合都不選時，M={0,{b,c},{a,b,c}},共1個；

當(dāng)只取1個時，M={0,{a},{6,c},他,6?}或/={0,{勿,{>,<?},{a,6,c}},

或加={0,{c},{瓦c},■力,c}},滿足題意,此時M有3個；

當(dāng)取2個時，/={0,{6},{。,6},{6,。},{。,"。}}或/={0,{6},{。},{6,。},{。,6,。}},

或"={0,{小{。?,協(xié),。},{。,6?},滿足題意，此時M有3個；

當(dāng)取3個時,"={0,{。},{。},{。,。},{仇。},伍,6?}或/={0,{6},?,他?,屹?,伍,6?},

或川={0,{磯,{8},{4,6},{6?,{4,"￡?}}或川={0,{6},?,{°,6},{6?,{4,瓦碇},滿足題意,此時M有4個;

當(dāng)取4個時，沒有符合題意的情況；

當(dāng)5個全選時，M=\0,{a},,{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}},共1個,

故所有含物,。}的“M—集合類”的個數(shù)為1+3+3+4+1=12,

故選：D

2.（23-24高一上?上海?期末）已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若aeS,則當(dāng)且僅當(dāng)。=相+”

（其中正整數(shù)加、〃eS且加片〃）或。=。+4（其中正整數(shù)。、q比S且現(xiàn)有如下兩個命題：①5wS；

②集合{xW=3〃,〃eN*}aS.則下列判斷正確的是（）

A.①對②對B.①對②錯C.①錯②對D.①錯②錯

【答案】A

【分析】根據(jù)集合S的定義即可判斷①是假命題，根據(jù)集合S的定義先判斷5eS,3〃eS,再由VxwA,

有x=3〃+5,3neS,5eS且3a/5,所以xeS,可判斷②是真命題.

【詳解】因?yàn)槿簟癳S,則當(dāng)且僅當(dāng)。=根+〃（其中機(jī),“eS且加工〃），或a=p+q（其中0，4隹5,°,“€2*且

且集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，

所以1史S,2e5,

因?yàn)?=1+2,滿足。=。+4（其中0應(yīng)e5,0應(yīng)€2*且。34）,所以3eS,

因?yàn)?=1+3,且leS,3eS,所以4eS,

因?yàn)?=1+4,US,4e5,所以5wS,故①對；

下面討論元素3n（n>1）與集合S的關(guān)系，

當(dāng)”=1時，3eS；

當(dāng)"=2時，6=2+4,2eS,4e5,所以6eS；

當(dāng)"=3時，9=3+6,3eS,6eS,所以9eS；

當(dāng)〃=4時，12=3+9,3eS,9cS,所以12eS；依次類推，

當(dāng)〃23時，3月=3+3（”—1）,3eS,3（M—1）eS,

所以3〃eS,貝!|{x|x=3",〃eN*}uS,故②對.

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于判斷"S,2eS,3eS,4eS,再根據(jù)集合S的定義求解.

二、填空題

3.(23-24高一上?北京?期中)定義集合尸={尤I。耋圻的“長度”是6一0,其中小bwR.已如集合

13

M={x\m<x<m+-},N={x\n--<x<n},且M,N都是集合{x|1VxV2}的子集，則集合McN的“長度”

的最小值是—；若〃7="|，集合MuN的“長度”大于g,則”的取值范圍是.

【答案】[?SM?2]

【分析】空1：根據(jù)區(qū)間長度定義得到關(guān)于北〃的不等式組，再分類討論即可；空2：代入”=!得到

M=p|<x<^j,再根據(jù)區(qū)間長度大于：，得到關(guān)于〃的不等式組，解出即可.

13

【詳解】集合M={%I根根+耳},?/={x|w--<x<n},且M,N都是集合{x|l<%?2}的子集，

38

由<1—可得14加工=，由<n--5>一l,可得匚W〃K2.

m+—<22/c5

12Vi<2

要使McN的“長度”最小，只有當(dāng)加取最小值、〃取最大或加取最大、〃取最小時才成立.

當(dāng)機(jī)=1,n=2,=“長度”為巧_(=白，

IJ乙I4JAV*

、“38””f尸”，8〕“心旱31

當(dāng)根=5,n=-,=“長度”為y5=5，

故集合MCN的“長度”的最小值是:；

若“6M?=^f-傳</x<J-7|].

要使集合MUN的“長度”大于g,故，一|<[-|或”>|+1,

即”[或〃>：,又沁42,故〃佟2.

故答案為：A；[|《)((2.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是充分理解區(qū)間長度的定義，再根據(jù)交并集的含義得到不等式組，結(jié)合

分類討論的思想即可.

三、解答題

4.（23-24高一上.北京.階段練習(xí)）設(shè)整數(shù)集合A=oo},其中14%%<205,且對于

任意盯若i+則生+“小4.

⑴請寫出一個滿足條件的集合4

⑵證明：任意尤e{101,102,…,200},xgA.

【答案】⑴A={1,2,3,…,100}（答案不唯一）

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)4=〃，滿足條件即可得解；

（2）根據(jù)滿足任意x?{10L102,…,200},要證尤任A的形式，考慮反證法即可證明.

【詳解】（1）令%=〃，滿足IV%<?<…<%oo-205,

當(dāng)仃（1W注JW100）時，若滿足i+則4+%=i+jeA成立，

即可寫出一個滿足條件的集合4={1,2,3,…,100}.

（2）假設(shè)存在一個％e{101,102,...,200）使得/eA,

令％=100+s,其中seN且IWSWIOO,

由題意，得卬為+見仁人，

由久為正整數(shù)，得4oo+4>Goo，這與Goo為集合A中的最大兀素矛盾，

所以任意X€{101,102,…,200},X交A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用反證法證明第二問，假設(shè)存在一個演?{101,102,…,200}使得首先把與拆

成x°=100+s是解題推理的關(guān)鍵，其次利用集合是整數(shù)構(gòu)成的，且4。。最大是解題的另外一個關(guān)鍵點(diǎn).

5.（23-24高一上?上海楊浦?開學(xué)考試）已知數(shù)集4={q,外…凡}<…<?！?〃上2）具有性質(zhì)產(chǎn)：對任

意的U（1V注力,q%與魚兩數(shù)中至少有一個屬于A.

ai

⑴分別判斷數(shù)集{L3,4}與{1,2,3,6}是否具有性質(zhì)尸，并說明理由；

⑵證明：4=1且對任意都是孫的因數(shù)；

⑶當(dāng)〃=5時，若%=2,求集合A.

【答案】（1）{L3,4}