中考數(shù)學(xué)專項復(fù)習：反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)

題型二反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)

【要點提煉】

一、【反比例函數(shù)的概念】

一般地，函數(shù)y=?（k是常數(shù)，kWO）叫做反比例函數(shù)。反比例函數(shù)的解析式也可以寫成

X

了=丘-1的形式。自變量X的取值范圍是XW0的一切實數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實數(shù)。

二、【反比例函數(shù)的圖象】

反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四

象限，它們關(guān)于原點對稱。由于反比例函數(shù)中自變量xWO,函數(shù)yHO,所以，它的圖象與x軸、y

軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。

三、【反比例函數(shù)k的幾何意義】

下列圖形中反比例函數(shù)表達式為了=月，其中涉及兩個反比例函數(shù)的，較大的k用左大表示，較

X

-§2

SAABO-S梯ZDCB

差量圖形

J

I4\\"\\o

?\yT\\rlVV

―r0\T九

ID昌。1

5=k大-左小V"大-左小s=左大,小

3二

2

綜合圖形

IL：

C

r1fz尸7(x>0

~~QAX~0]AXOlc

s陰=S矩-閑s=3網(wǎng)s=k大-標

四、【反比例函數(shù)的性質(zhì)】

反比例

函數(shù)

①x的取值范圍是xWO,①x的取值范圍是xWO,

y的取值范圍是v豐。；y的取值范圍是yWO；

性質(zhì)②當k>o時，函數(shù)圖象的兩個分支分別②當k<0時，函數(shù)圖象的兩個分支分別

在第一、三象限。在每個象限內(nèi)，y在第二、四象限。在每個象限內(nèi)，y

隨x的增大而減小。隨x的增大而增大。

【專題訓(xùn)練】

一.選擇題（共10小題）

1.（2020?蘭州）已知點/（xi，/）,B（刈，"）在反比例函數(shù)〉=一1的圖象上，若則

下列結(jié)論正確的是（）

A.xi〈X2<0B.X2<工1<0C.0<xi<%2D.OVx2Vxi

【解答】解：v-3<o,

...圖象位于第二、四象限，在每一個象限內(nèi)，夕隨x的增大而增大，

XVyi<y2<0,

???圖象在第四象限，

.'.0<Xl<X2,

故選：C.

2.（2020?阜新）若/（2,4）與8（-2,a）都是反比例函數(shù)（U0）圖象上的點，則a的值

是（）

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】B

【解析】解：???/（2,4）與5（-2,都是反比例函數(shù)歹二（（左W0）圖象上的點，

：.k=2X4=-2a,

??a=-4,

故選：B.

7

3.（2020?寧夏）如圖，函數(shù)yi=x+l與函數(shù)”=亍的圖象相交于點“（1，機），N（-2,〃）.若/

>"，則x的取值范圍是（）

A.x<-2或0cx<1B.x<-2或x>l

C.-2<x<0或0<x<lD.-2<x<0或x>l

【答案】D

【解析】解：由一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象可知，當一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象之上時,

所對應(yīng)的無的取值范圍為-2<x<0或x>l,

4.（2020?濰坊）如圖，函數(shù)y=fcr+6"W0）與尸:（加W0）的圖象相交于點/（-2,3）,B（1,

-6）兩點，則不等式依的解集為（）

C.x>lD.x<-2或0<x<l

【答案】D

【解析】解：二,函數(shù)、=依+6（笈W0）與y=f（m40）的圖象相交于點/（-2,3）,2（1,-6）

兩點，

不等式/cx+b>?的解集為：X<-2或0<^<1,

故選：D.

5.（2020?徐州）如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)（x>0）與y=x-1的圖象交于點P（d6）,

則代數(shù)式工-六的值為（）

ab

【答案】c

【解析】解：

法一：由題意得，

4ri+7i7rwi7

r解得，=或=|"口（舍去,，

1+V17V17-1

:.點P（-------，—~~）,

1+717,V17-1

即Bn：a=——，b=——，

.11221

"a~b~1+V17一417-114；

法二：由題意得，

4

函數(shù)歹=：（x>0）與y=x-1的圖象交于點P（a,b）,

Aab=4,b=a-1,

.11b—a1

,abab4'

故選：C.

6.（2020?山西）已知點4（xi,yi）,B（X2,?2）,C（%3，>3）都在反比例函數(shù)y=]（左VO）的圖象

上，且2Vo<%3，則>1，>2，V3的大小關(guān)系是（）

A.yi>y\>y?,B.y3>yi>y\C.y\>yi>y3D.y3>y\>yi

【答案】A

【解析】解：???反比例函數(shù)y=[“<0）的圖象分布在第二、四象限，

在每一象限y隨X的增大而增大,

而Xl<X2<0<X3>

即y2>yi>y3-

故選：A.

417

7.（2020?濱州）如圖，點/在雙曲線上，點8在雙曲線>=苓上，且48〃x軸，點C、。在x

軸上，若四邊形/BCD為矩形，則它的面積為（）

【答案】C

【解析】解：延長A4交y軸于E,則BELy軸,

:點/在雙曲線上，

二四邊形AEOD的面積為4,

:點2在雙曲線線尸?上，且/2〃x軸，

四邊形BEOC的面積為12,

矩形/BCD的面積為12-4=8.

8.（2020?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，矩形/BCD的對角線NC的中點與坐標原點重合，點

E是X軸上一點，連接4E.若/。平分NCME,反比例函數(shù)歹=乙（左>0,x>0）的圖象經(jīng)過ZE

上的兩點4,F,且/尸=ERZUB51的面積為18,則人的值為（

A.6B.12C.18D.24

【答案】B

【解析】解：如圖，連接2。，OF,過點/作NNLOE于N,過點尸作于".

：.MN=ME,

：.FM=^AN,

?：A,斤在反比例函數(shù)的圖象上,

k

,?S^AON-S/\FOM~2，

11

:LON?AN=^?OM?FM,

22

1

：.ON=^OM,

：.ON=MN=EM,

:.ME=^OE,

?1

、?S叢FME=/^FOEf

9：AD平分NO4E,

：.ZOAD=ZEAD,

?四邊形Z5CQ是矩形,

.OA=OD,

：.ZOAD=ZODA=NDAE,

：.AE//BD,

??S”BE=S“OE，

**S/^AOE=18,

?；AF=EF,

.1_

??S/^EOF—~2^/\A0E-9，

.1_

=

??S^FME=^SAEOF3,

k

S^FOM=SAFOE-S^FME=9-3=6=訝,

.?#=12?

故選：B.

9.（2020?黔東南州）如圖，點/是反比例函數(shù)（x>0）上的一點，過點/作軸，垂足

為點C,NC交反比例函數(shù)y=，的圖象于點8,點尸是x軸上的動點，則△E18的面積為（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】A

【解析】解：如圖，連接CM、OB、PC.

?my軸，

??S^APC=S^AOC=2x|6|=3,SABPC=SABOC=4x|2|=l,

=

?'?SAR4BSAAPC-S^BPC=2.

故選：A.

1;

10.（2020?黔西南州）如圖，在菱形4BOC中，AB=2,ZA=60°,菱形的一個頂點C在反比例函

)

3

XD?產(chǎn)丁

【答案】B

【解析】解：：在菱形N2OC中，ZA=60°,菱形邊長為2,

：.OC=2,ZCOB^60°,

過C作CE_LO8于E,

則NOCE=30°,

：.OE=1OC=1,CE=V3,

.,.點C的坐標為（-1,V3）,

k

???頂點。在反比例函數(shù)y-的圖象上,

x

?*-y/3=-得k=-V3,

-i

即尸

二.填空題（共5小題）

11.（2020?大連）如圖，在平面直角坐標系中，正方形/BCD的頂點/與D在函數(shù)尸芯G>°）的

圖象上，軸，垂足為C,點5的坐標為（0,2）,則左的值為8.

【答案】8

【解析】解：連接2。，與/C交于點O

:四邊形/BCD是正方形，/C_Lx軸，

：.BD所在對角線平行于x軸，

:B（0,2）,

：.O'C=2=B0'=A0'=D0',

，點/的坐標為（2,4）,

.,#=2X4=8,

故答案為：8.

12.（2020?宿遷）如圖，點/在反比例函數(shù)y=（（x>0）的圖象上，點8在x軸負半軸上，直線

24c1

交y軸于點C,若7?=不△/。8的面積為6,則左的值為6.

DCL

【答案】6

【解析】解：過點/作軸于。，則△/DCs2\jgoc,

"0C一BC-2’

/C1

V—=/\AOB的面積為6,

DCL

.1

?*^^AOC==2,

.1

,?S“co=qSAAOC=L

???△AOD的面積=3,

根據(jù)反比例函數(shù)人的幾何意義得，||fc|=3,

??.|川=6,

??次>0,

:.k=6.

故答案為：6.

13.（2020?株洲）如圖所示，在平面直角坐標系工。歹中，四邊形O45C為矩形，點4、。分別在x

軸、?軸上，點3在函數(shù)（x>0,左為常數(shù)且左>2）的圖象上，邊與函數(shù)（x>0）

的圖象交于點D,則陰影部分。￡>8C的面積為….（結(jié)果用含后的式子表示）

【解析】解：?.?。是反比例函數(shù)月=家%>0）圖象上一點

1

???根據(jù)反比例函數(shù)左的幾何意義可知：△49。的面積為2=1.

:點2在函數(shù)為=5（x>0,左為常數(shù)且左>2）的圖象上，四邊形0/8C為矩形，

...根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：矩形/3C。的面積為k.

：.陰影部分ODBC的面積=矩形ABCO的面積-△40D的面積=4-1.

故答案為：k-1.

14.（2020?遼陽）如圖，在△48C中，點/在反比例函數(shù)（后>0,x>0）的圖象上，

點B,。在x軸上，延長NC交y軸于點。，連接2D若△BCD的面積等于1,貝（U

的值為3.

【答案】3

【解析】解：作NEL8C于E,連接。/,

；4B=4C,

：.CE=BE,

：OC=

J.OC^^CE,

'JAE//OD,

：./\COD^/\CEA,

^CEA=(C—E)°2=4,

S〉COD”

,?叢BCD的面積等于1,OC=|O5,

.11

,?S/^COD=4s△3CZ)=4,

.1

??SAc￡^—4x^-=l,

1

???OC=^CE,

.11

,,S/^AOC=2s△CE4=2，

?

qL1=3?

??OAJOE=2+2

i

,?*SAAOE=/(k>0),

??左=3,

故答案為3.

15.（2020?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標系中，矩形/5CQ的邊45在y軸上，點C坐標為（2,

-2）,并且/。：50=1：2,點。在函數(shù)y=[G>0）的圖象上，則后的值為2.

【答案】2

【解析】解：如圖，：點C坐標為（2,-2）,

:.矩形O3CE的面積=2義2=4,

,：AO：BO=］：2,

矩形ZOED的面積=2,

:點。在函數(shù)（x>0）的圖象上,

；.左=2,

三.解答題（共6小題）

16.（2020?濟南）如圖，矩形O42C的頂點/,。分別落在x軸，y軸的正半軸上，頂點2（2,2百）,

反比例函數(shù)>=［（x>0）的圖象與3C,N3分別交于。，E,BD=^.

（1）求反比例函數(shù)關(guān)系式和點￡的坐標；

（2）寫出?！昱cNC的位置關(guān)系并說明理由；

（3）點尸在直線/C上，點G是坐標系內(nèi)點，當四邊形為菱形時，求出點G的坐標并判

斷點G是否在反比例函數(shù)圖象上.

【解析】解：⑴,:B（2,2V3）,則8c=2,

1

而BD=彳

1Q3L

；.CD=2一/=會故點〃2汽)，

將點。的坐標代入反比例函數(shù)表達式得：2店=年，解得左=3班,

2

故反比例函數(shù)表達式為了=學(xué)，

33V3

當x=2時，y—故點E(2,——

22

,「3廠-3V3-

(2)由(1)知，D(-,2百)，點E(2,丁)，點B(2,2v5),

則AD=4,2E=孚，

1V3

十斤BD21EBT1BD

故而=5=7而=礪=^=而'

C.DE//AC-,

(3)①當點尸在點C的下方時，

當點G在點b的右方時，如下圖,

過點尸作軸于點X,

:四邊形3CFG為菱形，則BC=CF=FG=5G=2,

在RtZXCMC中，OA=BC=2,OC=AB=2?

貝!]tanNOG4=故/0cL4=30°,

則尸〃=聶。=1,CH=CF-cosZOCA=2x^-=V3,

故點尸(1,V3),則點G(3,V3),

當x=3時，y=辭=百，故點G在反比例函數(shù)圖象上;

②當點尸在點C的上方時，

同理可得，點G（1,3V3）,

同理可得，點G在反比例函數(shù)圖象上；

綜上，點G的坐標為（3,V3）或（1,3V3）都在反比例函數(shù)圖象上.

17.（2020?盤錦）如圖，/、3兩點的坐標分別為（-2,0）,（0,3）,將線段48繞點8逆時針旋

轉(zhuǎn)90°得到線段8C,過點。作垂足為D,反比例函數(shù)＞=］的圖象經(jīng)過點C.

（1）直接寫出點C的坐標，并求反比例函數(shù)的解析式；

（2）點P在反比例函數(shù)y=5的圖象上，當△PCD的面積為3時，求點尸的坐標.

【解析】解：（1）:將線段繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段8C,

:.AB=BC,ZABC=90°,

CDLOB,

:.NCDB=NAOB=NABC=90°,

：.ZABO+ZCBD=ZCBD+ZDCB=90°,

：.ZABO=ZDCB,

:.AABO沿4BCD（AAS）,

:?CD=OB=3,BD=OA=2,

：.OD=3-2=1,

???C點的坐標為（3,1）,

:?k=3X1=3,

反比例函數(shù)的解析式為：y=。；

JX

3

（2）設(shè)P（—，m）,

m

?Uy軸，CD=3,

1

由△尸的面積為3得：-CD-|m-1|=3,

1

x3|m-1|=3,

:?m-1=±2,

???冽=3或m=-1,

33

當加=3時，-=1,當冽=-1時，一=一3,

mm

18.(2020?恩施州)如圖，在平面直角坐標系中，直線歹="-3〃(qWO)與x軸、＞軸分別相交于

4、5兩點，與雙曲線尸會(Q0)的一個交點為C,且5C二夕C.

(1)求點4的坐標；

(2)當S&4oc=3時，求。和左的值.

【解析】解：(1)由題意得：令y=ax-3a(aWO)中歹=0,

BPax-3a=0,解得x=3,

，點4的坐標為(3,0),

故答案為(3,0).

(2)過。點作y軸的垂線交歹軸于M點，作x軸的垂線交x軸于N點，如下圖所示:

顯然，CM//OA,

:?/BCM=/BAO,且N/5O=NC5。，

J△BCMs/\BAO,

BCCM幡1CM

—=---,即：-=---,

BAAO33

JCM=1,

又SNOC=?04,CN=3

1

即：5x3xCN=3,

：.CN=2,

???C點的坐標為(1,2),

故反比例函數(shù)的—1X2=2,

再將點C(1,2)代入一次函數(shù)y=Qx-3a(qWO)中，

即2=a-3a,解得a=-1,

???當5^NOC=3時，a=-1,k=2.

19.(2020?廣州)如圖，平面直角坐標系xOy中，口CM5C的邊。。在x軸上，對角線4C,OB交

于點函數(shù)夕=9(x>0)的圖象經(jīng)過點/(3,4)和點M.

(1)求人的值和點"的坐標；

(2)求口O/BC的周長.

【解析】解：(1):點/(3,4)在y=J上,

:.k=n,

'：四邊形OABC是平行四邊形，

：.AM=MC,

.,.點M的縱坐標為2,

:點加在>=￥的圖象上，

：.M(6,2).

(2)'：AM=MC,A(3,4),M(6,2)

：.C(9,0),

：.OC=9,04=母+42=5,

二平行四邊形CM2C的周長為2X(5+9)=28.

20.(2020?荊州)九年級某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后，進一步研究了函數(shù)

V=卷的圖象與性質(zhì)，其探究過程如下：

U)繪制函數(shù)圖象，如圖1.

列表：下表是x與y的幾組對應(yīng)值，其中m=1；

X.??-3-2-1_11123???

-22

y.??212442m2…

33

描點：根據(jù)表中各組對應(yīng)值G,y),在平面直角坐標系中描出了各點；

連線：用平滑的曲線順次連接各點，畫出了部分圖象.請你把圖象補充完整；

(2)通過觀察圖1,寫出該函數(shù)的兩條性質(zhì)；

①函數(shù)的圖象關(guān)于了軸對稱；

②當x<0時，y隨x的增大而增大，當x>0時，y隨x的增大而減小；

(3)①觀察發(fā)現(xiàn)：如圖2.若直線y=2交函數(shù)y=告的圖象于4,8兩點，連接過點8作

\x\

3c〃。/交X軸于C.則S四邊形。/BC=4；

②探究思考：將①中“直線y=2”改為“直線y=a(a>0)”，其他條件不變，則S四邊形OZBC=

4；

③類比猜想：若直線y=a(tz>0)交函數(shù)夕=備">0)的圖象于/,3兩點，連接04,過點2

作8C〃Q4交x軸于C,貝US,/戒2k.

圖1圖2

【