三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題12三角函數(shù)中的最值模型之胡不歸模型

胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬

考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問題進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析,

方便掌握。在解決胡不歸問題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短。

【模型背景】從前有個少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家.根據(jù)“兩點(diǎn)之

間線段最短”，雖然從他此刻位置/到家8之間是一片砂石地，但他義無反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時，老人

剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”

看到這里很多人都會有一個疑問，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的

一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問題.

【模型解讀】一動點(diǎn)尸在直線外的運(yùn)動速度為匕，在直線放N上運(yùn)動的速度為匕，且匕＜%,/、

B為定點(diǎn),點(diǎn)C在直線上，確定點(diǎn)C的位置使江+與的值最小.（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）

匕匕

B

2）構(gòu)造射線40使得匕—=k,C"=~C,將問題轉(zhuǎn)化為求5C+C”最小值.

AC

3）過8點(diǎn)作交友W于點(diǎn)C,交40于H點(diǎn)，此時3C+C8取到最小值，即2C+HC最小.

【解題關(guān)鍵】在求形如“我+女尸8”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與柱8相等的線段，將“我+女尸8”型問題

轉(zhuǎn)化為“以+PC，型.（若k>l,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）。

【最值原理】兩點(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。

例1.（2023?四川綿陽?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在必△48C中，ZACB=90°,/B=30。,48=4,

點(diǎn)D、/分別是邊8C上的動點(diǎn)，連接C。，過點(diǎn)/作/ELCZ）交5c于點(diǎn)E,垂足為G,連接GR則

例2.（2023上?廣東佛山?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在長方形/BCD中，AB=2,/。=2百，點(diǎn)E在3C

上，連接DE,在點(diǎn)￡的運(yùn)動過程中，8￡+及Z）E的最小值為.

例3.（2023?四川樂山?統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，AB=4,ZADC=U0°,E是對角線/C上的任意

一點(diǎn)，則［CE+BE的最小值為（）.

2

A.百B.2GC.2D.2V3-1

例4.（2023.綿陽市八年級期中）尸是正方形對角線上一點(diǎn)，AB=2,則尸N+P8+PC的最小值為.

D

F

BC

例5.（2023上?福建福州?九年級校聯(lián)考期中）已知如圖，O。中直徑BC=4,方=石=比，點(diǎn)尸是射線

皿上的一個動點(diǎn)、，連接°尸,則"+口2的最小值為——

例6.（2023?廣東深圳??？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=/+3x-4的圖象與x軸交

于/、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)2,若P是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)。（0,2）在了軸上，連接尸。，則尸0+1尸c的最

小值是.

例7.（2022?湖南九年級期中）如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點(diǎn)，將三角形分成兩個三角形，其中一

個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的"自相似分割線”.如圖1,在A/BC中，AB=AC=1,

ZBAC=W8°,OE垂直平分48,且交8c于點(diǎn)。，連接AD.

⑴證明直線/。是A/BC的自相似分割線；（2）如圖2,點(diǎn)尸為直線DE上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動到什么位置時,

PA+PC的值最小？求此時PA+PC的長度.⑶如圖3,射線CF平分NNC3,點(diǎn)。為射線CF上一點(diǎn)，當(dāng)

/Q+'亙CQ取最小值時，求/aC的正弦值.

4

例8.（2023?浙江寧波?九年級開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=分別交x軸、

y軸于/、2兩點(diǎn)，若。為x軸上的一動點(diǎn)，則22C+/C的最小值為.

例9.（2023.重慶九年級一診）如圖①，拋物線了=-gx2+x+4與x軸交于4,8兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

點(diǎn)。為線段NC的中點(diǎn)，直線AD與拋物線交于另一點(diǎn)E,與y軸交于點(diǎn)尸.（1）求直線AD的解析式；（2）

如圖②，點(diǎn)尸是直線BE上方拋物線上一動點(diǎn)，連接PD,PF,當(dāng)APDF的面積最大時，在線段上找一

點(diǎn)G,使得PG-^GE的值最小，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)及PG-^GE的最小值；

課后專項訓(xùn)練

1.（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考二模）如圖，Y/3CD中，ADAB=30°,48=6,BC=2,尸為邊CD上的一動

點(diǎn)’則必+”的最小值等于（）

2.（2023春?廣東廣州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，菱形N3C。的邊長為5,對角線03的長為46,P為OB

上一動點(diǎn)，則/尸+正。尸的最小值等于.

5

3.（2021眉山市?中考真題）如圖，在菱形/BCD中，AB=AC=10,對角線相交于點(diǎn)

點(diǎn)M在線段/C上，且/河=3,點(diǎn)P為線段3。上的一個動點(diǎn)，則+1尸3的最小值是.

2

4.（2023春?浙江?八年級專題練習(xí)）如圖，矩形/BCD中AB=3,BC=。,E為線段48上一動點(diǎn)，連接

CE,則的最小值為.

一也x+地與x軸交于點(diǎn)C,

5.（2023?重慶沙坪壩?八年級校考期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線4：y=

32

與了軸交于點(diǎn)A,分別以O(shè)C、CM為邊作矩形/8CO,點(diǎn)。、￡在直線/C上，且。￡=1,則AD+gcE的

最小值是.

6.（2023?廣東珠海??？既＃┤鐖D，在中，乙4cB=90。，/C=4,8C=3,點(diǎn)。是斜邊上

的動點(diǎn)，則CD+—AD的最小值為.

2

7.（2022?湖南?九年級月考）如圖，在中，ZACB=90°,N/=60°,AB=6,△BCD為等邊三

角形點(diǎn)￡為△3。圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過點(diǎn)E作瓦以〃/5,交直線NC于點(diǎn)M作EN〃/。交直

線AB于點(diǎn)、N,則的最大值為.

8.（2023?內(nèi)蒙古通遼?統(tǒng)考一模）如圖，已知菱形48CD的邊長為8,點(diǎn)M是對角線/C上的一動點(diǎn)，且

ZABC=120°,則MA+MB+MD的最小值是.

9.（2021?山東淄博市?中考真題）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形/BCD,如圖所示.若Na=30。,

則對角線上的動點(diǎn)P到4民。三點(diǎn)距離之和的最小值是

AD

10.（2023春?廣東廣州?八年級?？计谥校┰诹庑?8C。中，ADAB=30°.

（1）如圖1,過點(diǎn)8作于點(diǎn)￡,連接CE,點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，連接8尸，若AE=M，求線段8尸

的長度；（2）如圖2,連接/C.點(diǎn)。是對角線/C上的一個動點(diǎn)，若AB=2娓,求。2+QC+QD的最小值.

圖1圖2

11.（2023?山東濟(jì)南?統(tǒng)考二模）如圖①，在矩形048c中，04=4,0c=3,分別以O(shè)C、04所在的直線為

V

X軸、y軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，連接08,反比例函數(shù)y=—優(yōu)＞0）的圖象經(jīng)過線段的中點(diǎn)D,并與

x

矩形的兩邊交于點(diǎn)E和點(diǎn)F，直線/：產(chǎn)立+6經(jīng)過點(diǎn)￡和點(diǎn)尸.

（1）寫出中點(diǎn)。的坐標(biāo),并求出反比例函數(shù)的解析式；（2）連接?！辍F,求△。斯的面積;

（3）如圖②，將線段03繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)一定角度,使得點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)〃恰好落在x軸的正半軸上,

連接8”,作點(diǎn)N為線段（W上的一個動點(diǎn),求的最小值.

圖②

1L（2023廣西?南寧三中一模）如圖，二次函數(shù)y=o?+6x+l的圖象交x軸于點(diǎn)，（-2,0）、5（1,0）,交了軸

于點(diǎn)C,點(diǎn)。是第四象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)。作你軸交X軸于點(diǎn)E,線段C2的延長線交DE于

點(diǎn)”，連接。河、BD交手點(diǎn)、N,連接/Z）.（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）當(dāng)S“O￡”=S的E時，求點(diǎn)。的

坐標(biāo)及sin/ZUE；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P是x軸上一個動點(diǎn)，求DP+^AP的最小值.

13.（2023春?廣東揭陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形/BCD的對角線/C,8。相交于點(diǎn)。，ACOD關(guān)于CD

的對稱圖形為△CED.

EE

O

（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）連接NE,若CD=6cm,AD=-cm.①求sin/￡4D的值；

②若點(diǎn)P為線段/￡上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)/重合），連接。尸，一動點(diǎn)0從點(diǎn)。出發(fā)，以lcm/s的速度沿線段。尸

勻速運(yùn)動到點(diǎn)尸，再以gcm/s的速度沿線段P/勻速運(yùn)動到點(diǎn)/,到達(dá)點(diǎn)/后停止運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)。沿上述路線

運(yùn)動到點(diǎn)/所需要的時間為K求才的最小值.

14.（2023?吉林長春?統(tǒng)考一模）（1）【問題原型】如圖①，在"BC,AB=AC=5,BC=6,求點(diǎn)C到/8

的距離.

（2）【問題延伸】如圖②，在“3C,AB=AC=10,5c=12.若點(diǎn)“在邊3c上，點(diǎn)尸在線段上，

連結(jié)CP,過點(diǎn)尸作「。工/3于。，則。+尸。的最小值為.

（3）【問題拓展】如圖（3）,在矩形N3C。中，/8=2b.點(diǎn)E在邊/。上，點(diǎn)M在邊48上，點(diǎn)尸在線段

CM上，連結(jié)E尸.若NBCA/=30。，則CF+2防的最小值為.

圖①圖②圖③

15.（2022??達(dá)州市九年級期中）如圖，矩形。18C的頂點(diǎn)A、C分別在x、了軸的正半軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為

（2瓜4）,一次函數(shù)了=-?*+6的圖象與邊OC、48、x軸分別交于點(diǎn)。、E、F,ZDFO=3