高三數(shù)學一輪復習：常用邏輯用語講義

第一章集合與常用邏輯用語

第二節(jié)常用邏輯用語

【課標要求】常用邏輯用語是數(shù)學語言的重要組成部分，是數(shù)學表達和交流

的工具，是邏輯思維的基本語言。本單元的學習，可以幫助學生使用常用邏輯用

語表達數(shù)學對象、進行數(shù)學推理，體會常用邏輯用語在表述數(shù)學內容和論證數(shù)學

結論中的作用，提高交流的嚴謹性與準確性。

教學目標：1.理解必要條件、充分條件、充要條件的意義；

2.理解全稱量詞與存在量詞的意義。

3.能正確對含一個量詞的量詞命題進行否定。

教學重點：1.必要條件、充分條件、充要條件的判斷；

2.含量詞命題真假的判斷

教學難點：1.充要條件的證明；2.量詞的理解及應用

教學過程：

一.知識梳理：(請同學們閱讀教材，完成下列知識填空)

1.充分條件與必要條件

⑴充分條件與必要條件:一般地，“若P,則q為真命題，是指由P通過推理可

以得出q.即由P推出q,記pnq,則說的充分條件,的必

要條件

(2)充分條件、必要條件、充要條件的判斷

定義法判斷集合語言判斷

P是q充分不必要條件且

pnq,A^B

q不能推出P

P是q必要不充分條件

P是q充要條件

A(B)

P是q既不充分也不必要

條件

注：把p研究的范圍看成集合A,把q研究的范圍看成集合B,記4=亞必&)},

B={x|g(x))

⑶充要條件的證明：

證明“P是q充要條件”，要分別從“p=q”和“q=p”兩個方面證明，

即要分別證明充分性和必要性兩個方面，由條件=結論是證明充分性，由結論n

條件是證明必要性.

2、全稱量詞與存在量詞

⑴全稱量詞與全稱量詞命題

語言定義符號表示

全稱量詞短語中—在邏輯中稱為全稱量詞

全稱量詞命含有全稱量詞的命題

題

全稱量詞命⑴判斷全稱量詞命題是真命題，需要對每一個元素X,證明都成立；

題的判斷⑵判斷全稱量詞命題是假命題，舉反例.

(2)存在量詞與存在量詞命題

語言定義符號表示

存在量詞短語中______在邏輯中成為存在量詞

存在量詞命含有存在量詞的命題

題

存在量詞命⑴判斷存在量詞命題是真命題，舉例說明；

題的判斷⑵判斷全稱量詞命題是假命題，需要對每一個元素X,證明都不成立；

(3)量詞的否定

命題形式否定

存在量詞命題

存在量詞命題

全稱量詞命題的否定是存在量詞命題；存在量詞命題的否定是全程量詞

二.考點強化:

考點1:充分必要條件的判斷

例1.(1)(2024年全國甲卷第9題)設向量a=(x+l,x),b=(x,2),貝!!()

A.x=3是a±b的必要條件B.x=3是a//b的必要條件

C.x=0是a，b的充分條件D.x=l+百是a〃b的充分條件

(2)(2021?全國甲卷)等比數(shù)列｛an｝的公比為q,前n項和為Sn.設甲：q>0,

乙:｛Sn｝是遞增數(shù)列則()

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

答案：(1)B.(2)B

方法總結：充分條件、必要條件的兩種判定方法

⑴定義法：根據(jù)pnq,qnp進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題.

⑵集合法：根據(jù)p,q對應的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于條件中涉

及參數(shù)范圍的推斷問題.

跟蹤練習1:

(1)寫使得“2,>4”成立的一個充分條件是;

(2)若“六一mx+4〈0”是“六一4x+3〈0”的必要條件，則實數(shù)m的取值范圍

為.

答案：(l)｛x1x〈0｝的子集均可；(2)m>5

考點2：充要條件的證明及應用

例2.(人教A版必修1教材P22例4)已知：。。的半徑為r,圓心0到直線1

的距離為d.求證：d=r是直線1與。0轄相切的充要條件.

跟蹤練習2：

(1)(人教A版必修1P23第5題)設a,b,cGR.證明：a?+b?+c?=ab+ac+bc的

充要條件是a=b=c.

(2)(人教A版必修1P23第6題改編)設a,b,c分別是4ABC的三條邊，且a

WbWc.請利用邊長a,b,c分別給出AABC為銳角三角形和鈍角三角形的一個充

要條件，并證明.

考點3：含量詞命題真假的判斷：

例3.(新課標2卷第2題)已知命題p:Vxe7?,|x+l|>l；命題q:2x>0,x3

貝I()

A.p和q都是真命題B.「p和q都是真命題

C.p和F都是真命題D.「p和F都是真命題

跟蹤練習3：(1)判斷下列命題真假

①VxeR,——<1；(2)3xeR,—<x+l

X+1X

(2)下列命題是真命題的是.(填序號)

①存在a?R,使函數(shù)丁=2工+入2T在R上為偶函數(shù)；

②任意x?R,函數(shù)y=sinx+cosx+后的值恒為正數(shù)；

③任意x?R,x4<x5；

④存在x?R,x2—2x+lW0

考點4：含一個量詞命題的否定

例4.(1)已知命題p:VxeR,sinx<x,則()

1

A.~P:三％eR,sinx?1B.「P:VxeR,sin%1

C~^P:玉eR,sinx>1D.可：VxeR,sinx>1

(2)命題“存在XoeR,2'。<0"的否定是().(

XX

A.不存在x0eR,2°>0B.存在x0eR,20>0

C.對任意的<0D.對任意的為eR,2，?！?

跟蹤練習4：

寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假。

(1)VaeR,一元二次方程/一a%—1=0有實根；

(2)+1eN.

考點5：量詞在解題中的理解及應用

例5.已知/(%)=1112+1),g(x)=(夕-"，若對任意x￡[0,3],存在xg[1,2],

使得f(xj2g(xz),求實數(shù)m的取值范圍.

答案了+：

變式練習：(1)若將例5中“存在X2?[1,2]”改為“任意X2?[1,2]"，其他條

件不變，則實數(shù)m的取值范圍是

（2）本例中,若將例5中“任意x?[0,3]”改為“存在xP[0,3]”，其他條件

不變，則實數(shù)m的取值范圍是.

三.課堂小結：

（1）請畫出本節(jié)知識結構圖

（2）請梳理出本節(jié)課中自己易錯點、疑難點。

四.課后練習：

1.設x?R,貝ij"x—g<g”是）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.設a,8均為單位向量，則“|a—3回=|3a+b|”是“小廠的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

、叵

3.命題2：cos^=2~）命題0tan8=1,則p是]的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.（多選題）下列命題中的真命題是（）

A.存在xoGR,lgxo-1B.存在xoGR,sinxo—0

C.任意尤GR,x3>0D.任意xdR,2x>0

5.（多選題）命題“所有的矩形都是平行四邊形”的否定正確的有（）

A,并非所有的矩形都是平行四邊形B.存在一個矩形不是平行四邊形

C.所有的矩形都不是平行四邊形D.矩形不都是平行四邊形

6.已知命題p：x2+2x—3>0；命題q：x>a,且q的一個充分不必要條件是

非P，則。的取值范圍是

7.直線y=kx+l與圓爐+V=〉o）有公共點的充要條件是—

8.若“任意xej-工二],根Wtanx+2”為真命題，則實數(shù)機的最大值為

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9.已知/(%)=皿%-2*(％+根+3),g(x)=