空間向量與立體幾何-2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】（含解析）

（7）空間向量與立體幾何

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)易錯重難提升【新高考版】

易混重難知識

1.柱體、錐體、臺體的體積

幾何體體積公式

腺體=S/z（S為底面面積，〃為高），崛柱=兀/入（r為底面半徑，h

柱體

為高）

腺體=，S/z（S為底面面積，h為高）,%錐=1兀/丸（「為底面半徑，

tp：KR3四3

錐體

〃為高）

口=」丸（s'+J^M+s）（s，，s分別為上、下底面面積，〃為高），

臺體

“臺=+叫/2+//+/）（/,廠分別為上、下底面半徑，力為高）

2.球的表面積和體積

（1）球的表面積：設(shè)球的半徑為R,則球的表面積為5=4兀玄，即球的表面積等于它的大圓

面積的4倍.

（2）球的體積：設(shè)球的半徑為R,則球的體積為丫=±兀7?3.

3

3.異面直線所成的角：

（1）定義：已知兩條異面直線”工，經(jīng)過空間任一點(diǎn)。分別作直線/〃b,我們把優(yōu)

與〃所成的角叫做異面直線。與6所成的角（或夾角）.

（2）異面直線所成的角。的取值范圍：0°<0?90°.

（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即。=90°時，。與6互相垂

直，記作a

4.直線和平面所成的角

有關(guān)概念對應(yīng)圖形

一條直線/與一個平面a相交，但不與這個平面a

斜線

垂直，圖中直線E4.

斜足斜線和平面的交點(diǎn)，圖中點(diǎn)A.

//

過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面a引垂線P0,

射影過垂足。和斜足A的直線A0叫做斜線在這個平面歹

內(nèi)的射影.

直線與定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角；

平面所規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角；

成的角一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°的角.

取值范

[0°,90°]

圍

5.二面角的概念

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫

概念

做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.

一丁

圖示

棱為/,面分別為a,"的二面角記為。-

記法也可在內(nèi)（棱以外的半平面部分）分別取點(diǎn)P,Q,記作二面角

P-1-Q.

在二面角。-，的棱/上任取一點(diǎn)。，以點(diǎn)。為垂足，在

文字半平面a和夕內(nèi)分別作垂直于棱/的射線。［和05,則這兩

條射線構(gòu)成的角NAOB叫做這個二面角的平面角.

平面角

圖示

OAua,OBu0,2。/?=/,0el,OAJLI,OB_LI,

符號

nNAOB是二面角。-/-/7的平面角.

范圍0°麴kAOB180°

二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角

規(guī)定是多少度，就說這個二面角是多少度.

平面角是直角的二面角叫做直二面角.

6.空間中直線、平面的平行

①直線與直線平行：設(shè)對,%分別是直線4，，2的方向向量，由方向向量的定義可知，如果

兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那

么這兩條直線也平行，所以4〃，2=〃〃2=,使得〃]=2W2.

②直線與平面平行：設(shè)〃是直線/的方向向量，〃是平面。的法向量，lua,則

I“aou工nou，n=b.

③平面與平面平行：設(shè)外,%分別是平面a,/7的法向量，則a〃/?o/〃%o三丸￡R，

使得/=幾鹿2.

7.空間中直線、平面的垂直

①直線與直線垂直：設(shè)直線乙，4的方向向量分別為%，%，則乙_1_，2=O=。,

②直線與平面垂直：直線/的方向向量為〃，平面a的法向量為小則

使得u=An.

③平面與平面垂直：設(shè)平面a,/7的法向量分別為多,n2,則。_!_/?=%_L〃20/=0.

8.點(diǎn)到直線的距離

如圖，向量衣在直線/上的投影向量為而，設(shè)Q=a,則向量/在直線/上的投影向量

AQ=(au)u.在RtZ\APQ中，由勾股定理，得尸0=-1版『二亞一⑹療.

9.點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面a的法向量為“，A是平面a內(nèi)的定點(diǎn)，P是平面a外一點(diǎn).過點(diǎn)尸作平面a

的垂線/,交平面a于點(diǎn)°,則“是直線/的方向向量，且點(diǎn)P到平面a的距離就是衣在直

線/上的投影向量詼的長度.因止匕尸。=福?二=華;

\AP-n\

InI

10.異面直線所成的角

若異面直線4所成的角為。，其方向向量分別是〃，V，則

cos0=|cos（w,v）|=UV="".

I?llv||?||v|

n.直線與平面所成的角

直線A3與平面e相交于點(diǎn)3,設(shè)直線A3與平面e所成的角為。，直線A3的方向向量為

u,平面a的法向量為〃，則sine=|cos〈〃,〃〉|=""=I".

I?II?I1?11?1

12.二面角

若平面e,4的法向量分別是乙和〃2，則平面a與平面夕的夾角即為向量％和〃2的夾角或其

補(bǔ)角.設(shè)平面a與平面B的夾角為。，貝Ucos9=|cos<〃],〃,〉|="%.

I?iII?21

易錯試題提升

1.已知圓錐的母線為6,底面半徑為1,把該圓錐截成圓臺，使圓臺的下底面與該圓錐的底面

重合，圓臺的上底面半徑為工，則圓臺的側(cè)面積為（）

3

A.—B底11C.—D.8兀

323

2.設(shè)機(jī)，〃是不同的直線，a,夕是不同的平面，則下列命題正確的是（）

A.若向Ia，nil/3,allP,則帆//〃

B.若。尸'm,La?n_L,則加〃幾

C.若。_L尸'mHa>nil/3,則根_L〃

D.若加〃九，n工。,mA.a?貝

3.如圖是一款多功能粉碎機(jī)的實(shí)物圖，它的進(jìn)物倉可看作正四棱臺，已知該四棱臺的上底面

邊長為40cm,下底面邊長為10cm,側(cè)棱長為30cm,則該款粉碎機(jī)進(jìn)物倉的容積為（）

A.8600A/2cm3B.8600Am3C.1050072cm3D.10500A/3cm3

4.如圖，將正四棱柱ABCD-斜立在平面a上,頂點(diǎn)G在平面。內(nèi)，AQ1平面

a,2A3=6.點(diǎn)尸在平面。內(nèi)，且PG=g.若將該正四棱柱繞AC1旋轉(zhuǎn)，則PC的最

大值為（）

C-3V6D-V51

5.如圖,在直三棱柱ABC-4耳￡中，所有棱長都相等，D,E,R分別是棱A3,BC，B?

的中點(diǎn)，則異面直線DR與GE所成角的余弦值是（）

1379

A.—B.—C.—D.—

10101010

6.在三棱錐尸-ABC中，AB+2PC=9,E為線段AP上更靠近P的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)E作平行

于A3,PC的平面，則該平面截三棱錐尸-ABC所得截面的周長為（）

A.5B.6C.8D.9

7.在四邊型ABCD中（如圖1所示），AB=AD^ZABD=45。，BC=BD=CD=2,將四邊

形A3CD沿對角線3。折成四面體A5CO（如圖2所示），使得NA;BC=90。，則四面體

ABCD外接球的表面積為（）

8.已知四面體ABCD的每個頂點(diǎn)都在球。（。為球心）的球面上，△ABC為等邊三角形,

AB=BD=2,AD=42,且4。，班?,則二面角A—CD—O的正切值為（）

9.（多選）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A4C1A中，Q為線段BjC］的中點(diǎn)，P為線段

CG上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）

A.P為中點(diǎn)時，過。，P,Q三點(diǎn)的平面截正方體ABCD-所得的截面的面積為:

B.存在點(diǎn)P,使得平面DPQH平面ABtC

C.DP+PQ的最小值為75+72

D.三棱錐P-CRQ外接球表面積最大值為9TI

10.（多選）如圖1,在菱形ABCD中，AB=^,ZBAD=60°,沿對角線3。將△板）折

起，使點(diǎn)A,C之間的距離為2形，如圖2,若P,Q分別為直線3D,CA上的動點(diǎn)，則下列

說法正確的是（）

A.平面平面BCD

J14

B.當(dāng)AQ=QC,4Po=DB時，點(diǎn)。到直線PQ的距離為昔

C.線段PQ的最小值為夜

D.當(dāng)P,。分別為線段3D,CA的中點(diǎn)時，PQ與AD所成角的余弦值為手

11.已知向量a=（—l,l,0）,8=（1,0,〃。，且依+。與a—2〃平行，則上=.

12.已知點(diǎn)S,A,B,C均在半徑為2的球面上，△ABC是邊長為3的等邊三角形，平

面A3C,則止.

13.在四棱錐p—ABCD中，底面A3CD是邊長為2應(yīng)的正方形，P在底面的射影為正方形的

中心。，尸0=4,。點(diǎn)為A。中點(diǎn).點(diǎn)T為該四棱錐表面上一個動點(diǎn)，滿足以、3。都平行于

過QT的四棱錐的截面，則動點(diǎn)T的軌跡圍成的多邊形的面積為.

14.如圖，圓柱上，下底面圓的圓心分別為。，。廠該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱

ABC-A3]G的三條側(cè)棱均為圓柱的母線，且A5=AC=，￡oq，點(diǎn)P在軸上運(yùn)動.

6

(1)證明：不論P(yáng)在何處，總有6C_LPA；

(2)當(dāng)P為。a的中點(diǎn)時，求平面與平面男尸8夾角的余弦值.

15.如圖，等腰梯形ABCD中，AD//BCAB=BC=CD=2,A￡>=4，現(xiàn)以AC為折痕把

△ABC折起，使點(diǎn)3到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且B4_LCO.

(1)證明：平面Q4C_L平面ACD；

(2)M為尸。上的一點(diǎn)，若平面ACM與平面ACD的夾角的余弦值為撞，求點(diǎn)尸到平面

ACM的距離.

答案以及解析

1.答案：C

解析：假設(shè)圓錐半徑凡母線為/,則尺=1.設(shè)圓臺上底面為「，母線為4,則由已知可

3

得，工=逆=2，所以/=6.

311

如圖，作出圓錐，圓臺的軸截面則有3=二=工，所以4=4.

IR3

所以圓臺的側(cè)面積為兀(R+r)4=4x11+；卜=?兀，

故選：C.

2.答案：D

解析：對于A,若加〃￡，〃邛,al1(3>則直線機(jī)與〃可能相交，也可能平行，還可能是異

面直線，A錯誤；

對于B,若a_1_回根_1_則相_L〃，B錯誤；

對于C,若a_L6,zn//a,〃///，直線機(jī)與〃可能平行，

如直線機(jī)，〃都平行于a,夕的交線，且maa，〃.尸，滿足條件，而加〃〃，C錯誤；

對于D,若mlIn，n10，則/w_L/?,又加_Lcz，因此al10,D正確.

故選：D

3.答案：C

解析：畫出滿足題意的正四棱臺ABCD-4耳￡￡>],如圖所示，

則與〃=400cm,8。=100cm.過點(diǎn)。作。EL用2于點(diǎn)E,則AE=150cm,

DE=由。2—(15小)2=15&cm,所以該正四棱臺的容積為

V=1x(402+102+10x40)x1572=10500&(cm3).故選C.

4.答案：D

解析：過點(diǎn)C作CELAC],垂足為E,連接AC,可知CE〃平面a,

所以點(diǎn)C到平面?的距離為GE,

由題意AC=372,AG=Jg+y=3底,

CE==2G,QE=JcCf-CE2=2A/6-

ACqN

過點(diǎn)c作CG，平面。，垂足為G，

因為點(diǎn)P在平面。內(nèi)，且pci=6,即點(diǎn)P在以G為圓心，百為半徑的圓上，

當(dāng)。2，。1，P三點(diǎn)共線時，且C2P時，尸。取最大值，

最大值為JCE+CG+C/J={CE+(CE+GP)2=A/51?

故選：D.

5.答案：D

解析：連接因為在直三棱柱ABC-A5cl中，E,R分別是棱3C,3c的中點(diǎn),

WC[FIIBE,QF=BE,即四邊形5EC/為平行四邊形，

所以BF//C*,則ZDFB即為異面直線DF與QE所成角或其補(bǔ)角；

直三棱柱ABC-A5cl中，所有棱長都相等，設(shè)其棱長為2,

連接EF,DE,則跖=2，EF//BB,,而平面ABC,故跖,平面ABC,

OEu平面ABC,故EhDE，

。是棱AB的中點(diǎn)，故DE=；AC=1,則DF=[EF?+DE?=小，

而BF=dEF2+BE?=6，又DB=1，

故在Z\DBF中，cosZDFB=0‘+一5+5-1_9

2DFBF2-V5-V5-10

由于異面直線所成角的范圍為大于0。，小于等于90。，

故異面直線DF與QE所成角的余弦值是2,

10

故選：D

6.答案：B

解析：如圖所示，在三棱錐尸-ABC中，過點(diǎn)E分別作跖〃/R,EHHPC,再分別過點(diǎn)R

H悍HGIIAB,FG//PC,可得E,F,G,H四點(diǎn)共面，所以EF//HG,EH//FG.因為ABU

平面EFGW,EFu平面EFGH,所以〃平面EFGW.同理可證PC〃平面EFGH,所以截

面即為平行四邊形EEGH.又因為E為線段AP上更靠近P的三等分點(diǎn)，且AB+2PC=9,所

17

以所=-AB,EH=-PC,所以平行四邊形EFGH的周長為

33

2

2.(E/+E“)=g.(AB+2PC)=6.故選B.

7.答案：D

解析：,AB=AD^ZAB￡>=45°>A'B=AD,ZBA。=90°，

又,；BC=BD=CD=2,則AB2+A7)2=4，A'B=A'。=/，

可知△A'BC且△ADC，則ZABC=ZADC=90°，

取Ac的中點(diǎn)。，連接BO,DO,則5。=。。=LAC,

2

所以點(diǎn)。為四面體45co外接球的球心，

則外接球的半徑為：R=gAc=gNAB?+=g“q+22=乎,

所以四面體45co外接球的表面積5=4兀4=4兀xj乎)=6TI-

故選：D.

8.答案：A

解析：取AC的中點(diǎn)E,連接BE,DE,?.?△ABC為等邊三角形，.〔BE，AC,

AC±BD,BEC\BD=B,..AC_L平面

又DEu平面B￡)E,：.AC±DE,

由題意得，BE=M,AE=DE=CE=1,又BD=2,

.-.DE2+BE2=BD2,:.BE上DE,

y.AC^\BE=E,AC,5Eu平面ABC,

.?.DE，平面ABC,又DEu平面AC。，

二平面ACD,平面ABC,

易知。C=&,則。。2+4￡)2=4?2,故△的)€：為等腰直角三角形，

綜上，四面體ABCD的球心。為△ABC的中心，即點(diǎn)。是3E上靠近E的三等分點(diǎn).

以E為原點(diǎn)，ED,EC,EB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

則E(0,0,0),D(1,O,O),C(O,1,O),O

———

.-.CD=(1,-1,O),OD=1,0,-—,

I3J

設(shè)平面0co的一個法向量為m=(x,y,z),

x-y=0,

in-CD=0,

則即《A/3

m-OD=0,x------z—0,

3

令1二1,貝！Jy=l,z=6，m=(1,1,A/3),

又平面ACD的一個法向量〃=(0,0,1)，二二面角A-CD-O的余弦值為

ic=也人岑=巫,

\m\\n\y/55

半，故二面角A-CD-O的正切值為

二面角A-CD-O的正弦值為

710V15_V6

-1-丁飛"一§

9.答案：AD

解析：A選項：連接A。，4Q,5c由三角形中位線性質(zhì)和正方體性質(zhì)可知，PQHA.D,且

=所以過。，P,。三點(diǎn)的截面為梯形AQPD，

易知AQ=￡＞尸=6，PQ=后，AD=2也

作則

所以梯形AQPD的面積S=g(0+20)x之，=g，A正確;

B選項：若存在點(diǎn)P,使得平面DPQ〃平面AB。，則由平面A4GDA平面A3iC=A51,

平面ABiCQn平面?？芍狣Q//A51，顯然。。，AB1不平行，故B錯誤;

C選項：將側(cè)面展開如圖，顯然當(dāng)Q、P、。三點(diǎn)共線時，。尸+PQ取得最小值，最小值為

JQD；+DD；=打+2?=而,C錯誤；

D選項：由題知，a。，G2，￡尸兩兩垂直，所以三棱錐p-GAQ外接球，

即為以G。，GA，CP為共頂點(diǎn)的三條棱的長方體的外接球，記其半徑為凡

貝12R=JGO+CQI+CIP?="+。尸，

顯然，當(dāng)點(diǎn)尸與C重合時，R取得最大值3,此時外接球表面積取得最大值4兀尺2=9兀，D正

2

確.

故選：AD.

10.答案：ACD

解析：取3。的中點(diǎn)。，連接。4,OC,由題意可知Q4=OC=2,AC=2亞,因為

OA'+OC^AC-,所以Q4LOC,又OALBD,OC^BD=O,所以。4,平面BCD,因為

Q4u平面A3。，所以平面平面BCD,故A正確；

以。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則3—,0,0,C(0,2,0),A(0,0,2),

、34

D一半，。，0，當(dāng)AQ=QC,4。。=〃時，Q(0」,l),P一與0,0,區(qū)=

麗=j#,o,oj,所以點(diǎn)。到直線尸。的距離為d=J|麗|2-二邕二=+《=呼

故B錯誤；

設(shè)尸(a,0,0),由詼=幾瓦，得0(0,2-22,22),則瓶=(—。,2—242幾)，

故同1=亞+Q—22)2+(22)2=J/+&卜_J+2,

當(dāng)。=0,幾=；時，|超露n=拒，故C正確；

當(dāng)P,。分別為線段3D,C4的中點(diǎn)時，P(0,0,0),2(0,1,1),PQ=(0,1,1),

</T、_A/6

AD=-^9-,0,-2,設(shè)PQ與AD所成的角為夕，則cos9=\PQAD\^2

I3)?哂畫一成

即加與AD所成角的余弦值為手‘故D正確.故選ACD.

n.答案：」

2

解析：ka+b=(l-k,k,rri),。-2〃=(一3』,一2根).因為kz+〃與〃一2辦平行，所以當(dāng)加=0時,

匕七=K,解得左=—4；當(dāng)加wo時，匕&=V=/L,左=一匕綜上，k=-L

-312-31-2m22

12.答案：2

解析：如圖，將三棱錐S-ABC轉(zhuǎn)化為正三棱柱SAW-ABC，

設(shè)△ABC的外接圓圓心為。i，半徑為「，

_AB_3c

則9sin/aaT走”,可得一百，

~2

設(shè)三棱錐S-ABC的外接球球心為。，連接。4，。。]，則。4=2，OO]=gsA，

因為OR?=00；+01人2,即4=3+；SR2,解得5A=2.

故答案為：2.

13.答案：延

2

解析：取AD的中點(diǎn)E,PD的中點(diǎn)R,P。的中點(diǎn)R,P3的中點(diǎn)N,

連接QR延長交PC與點(diǎn)M,依次連接E,F,M,N,G,

可知￡F〃PA，RQHPA,NG//PA^^EFHRQHNG,而EG/IFN，

所以E,F,G,Q,N,R共面，所以E,F,M,N,G共面，

因為底面ABCD是邊長為2夜的正方形，

所以對角線4。=5￡)=4，49=2，

因為P在底面的射影為正方形的中心，可得20,面43。。,

因為AOu面A3CD,所以P0,49，

因為PO=4，40=2，所以PA=122+42=26

因為E、R分別為A。、PD的中點(diǎn)，

所以所二工叢二石，旦EFHPA，

2

因為PA.平面ERMG,所匚平面后五）3不

所以K4//平面EFMG,同理BD//平面EFMG,

所以平面EFMG即為所求截面.

又因為平面APCD平面耳MG=QM,上4u平面APC,所以QM//AP,

因為Q為A。的中點(diǎn)，可得QC=：AC，

所以QM=（AP，QR=^AP，RM=QM—QR=：AP=與,

因為N、R分別為尸3、PD的中點(diǎn)，所以FN//BD，F(xiàn)N,BD，

2

所以FN//EG，F(xiàn)N=EG，所以四邊形EKVG是平行四邊形，

因為EG_LPO，EG±ACPOC\AC=O,所以EG,平面APC,

因為QMu平面APC,可得EG_LQ0,所以EGJ_GN，

所以四邊形E五NG是矩形，

所以動點(diǎn)T的軌跡圍成的多邊形的面積為&X2+LX2X@=延.

222

故答案為：也

2

14.答案：（1）見解析

（2）包

11

解析：（1）證明：連接A。并延長，交BC于M,交圓柱側(cè)面于N.

因為AB=AC，OB=OC，AO=AO>所以△AOBg^AOC，所以Na4M=NC4M，

因為AB=AC，AM=AM^所以△ABMgZiACM，所以=即〃為3C中點(diǎn),

所以。4J.3C

又在圓柱。。1中，相，平面ABC,BCu平面A3C,所以

因為AOppM,=A，AO,AO,A4]u平面AOOiA，所以BCL平面AOQA.

因為不論P(yáng)在何處，總有P^u平面AOO]A，所以3CJ.P4

（2）設(shè)OO]="=AN=a（a〉0）,則A5=AC------U.

6

5

在中，AM=ACcosZCAM=ACx—=-CL，

AN6

則（W=ga所以CM=3Af=J[粵a-

-----Q.

6

如圖，以。?為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系a-書，z,其中4G〃x軸，y軸是用G的垂直平分

線，

則A,—ga,o],與1骼a,ga,0,L]'-a,—a,a,P]O,O,—a],

所以察=,a[a,a,乖=[o,g11—>(e11)

7,大〃，B,B=(0,0,^)>B]P=—a.——a.—a

2J1632J

2),

設(shè)平面AlPB的一個法向量為m=(x,y,

貝(=。

J{6ax+—ay+az5+5az—0?。?1，得m=Q,小，-布).

設(shè)平面PB的一個法向量為淀=僅,c,d