陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三年級上冊第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

陜西省教育聯(lián)盟2025屆高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=卜?可丁<4},3={-1,0,1,2,3},則4口3=()

A.{1,2}B.{0,1,2}

C.{-2,-1,0,1,2,3}{-1,0,1,2}

2.已知復(fù)數(shù)z滿足(4—3i)z=l+2i,則|z|=()

A.立B.-C.-D.正

5555

3.已知雙曲線C的漸近線方程為2x±3y=0,且C經(jīng)過點卜6,20),則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

AYy2TB爐VX2y2_Vy2

1889481849

4.“四書五經(jīng)”是我國9部經(jīng)典名著《大學(xué)》《論語》《中庸》《孟子》《周易》《尚書》《詩經(jīng)》

《禮記》《春秋》的合稱.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校計劃在讀書節(jié)活動期間舉辦“四書五經(jīng)”

知識講座，每部名著安排1次講座，若要求《大學(xué)》《論語》《周易》均不相鄰，則排法種數(shù)

為()

A.A；A；B.A；A；C.A；A；A；D.A；A；

5.已知tana=3,tan(a+0=-5,則tan(2a+Q)=()

A.8B.—8C.D.—

6.為弘揚我國優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，某市教育局對全市所有中小學(xué)生進行了言語表達測試，經(jīng)

過大數(shù)據(jù)分析，發(fā)現(xiàn)本次言語表達測試成績服從N(70,64),據(jù)此估計測試成績不小于94的

學(xué)生所占的百分比為()

參考數(shù)據(jù).P—。<X<〃+。)穴0.6827,—2b<X<〃+2b)p0.9545,—3。vX<

〃+3cr)e0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

7.已知定義在R上的函數(shù)滿足/(X+3)=—/(x),且/(一1)=2,則/(2024)=()

A.-4B.-2C.4D.2

8.如圖，在直三棱柱ABC用G中，AB=AC=AAl=2,NBAC=￡，點、P,E分別為

棱AG，AA上的動點（不包括端點），若AE=a尸，則三棱錐瓦-A/E的體積的最大值為

()

二、多選題

9.已知事件滿足尸（A）=0.6,P伊）=0.3,則下列說法正確的是（）

A.若3=A,則P（Au3）=0.9

B.若A與8互斥，則尸（4叫=0.9

C.若P（AB）=0.18,則A與8相互獨立

D.若A與8相互獨立，貝|P（Au3）=0.9

10.已知函數(shù)/■（尤）=|1華2|1-尤||,若函數(shù)g（x）=/2（x）+/（x）+處有6個不同的零點，且最

小的零點為-1,則下列說法正確的是（）

A.g（x）的所有零點之和是6B.a+b=-l

C.a=0D.b=—l

11.已知曲線乙的方程為V=y,匕是以點4（0,。）為圓心、1為半徑的圓位于'軸右側(cè)的部分,

則下列說法正確的是（）

A.曲線乙的焦點坐標(biāo)為4,0）

B.曲線小過點（La）

C.若直線y=x+2被乙所截得的線段的中點在心上，則。的值為三正

試卷第2頁，共4頁

D.若曲線「2在乙的上方,則

三、填空題

12.一組數(shù)據(jù)24,78,47,39,60,18,28,15,53,23,42,36的第75百分位數(shù)是.

13.在VABC中，已知反=3而，P為線段AD的中點，若麗=彳麗+〃血，則<+'=.

14.已知函數(shù)y=2sin(ox+9)[0>O,OV"W|J的圖象經(jīng)過點倒,行)，且在V軸右側(cè)的第一

個零點%，當(dāng)xe[0,2句時，曲線y=siii￥與y=2sin(0x+9)的交點有個，

四、解答題

15.已知VABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為

a,b,c,asin(B+C)=/?sin(A+C)+csin(A+B)—bsinC.

(1)求角A;

⑵若6=1,AABC的面積為求。的長.

2

16.已知函數(shù)=在點(1,/⑴)處的切線與直線x+4y+2024=0垂直.

⑴求。的值；

(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.

17.如圖，已知平行六面體ABC。-A瓦G2的所有棱長均相等，平面AB瓦A,P為DG

的中點，且PD=PC.

⑴求證：CQ±BD；

(2)求平面CTO與平面DPB的夾角的正弦值.

22

18.己知橢圓C:三+斗=1(。>6>0)的左、右焦點分別為F2,右頂點為A,且

cib

|明|+|A用=4,離心率為;.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知Af,N是C上兩點（點M,N不同于點A）,直線AAf,AN分別交直線x=-l于P,

______9

。兩點，^FlP-FlQ=--,證明：直線肱V過定點.

19.隨著大數(shù)據(jù)時代來臨，數(shù)據(jù)傳輸安全問題引起了人們的高度關(guān)注，國際上常用的數(shù)據(jù)加

密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密鑰長度也不同，其中RSA的密鑰長度較長,

用于傳輸敏感數(shù)據(jù).在密碼學(xué)領(lǐng)域，歐拉函數(shù)是非常重要的，其中最著名的應(yīng)用就是在RSA

加密算法中的應(yīng)用.設(shè)P，4是兩個正整數(shù)，若p,q的最大公約數(shù)是1,則稱p,q互素.對于

任意正整數(shù)”歐拉函數(shù)是不超過〃且與〃互素的正整數(shù)的個數(shù)，記為。（九）.

⑴試求°（1）+°（9）,。（7）+0（21）的值；

（2）設(shè)p,q是兩個不同的素數(shù)，試用p,4表示9（p［（keN*）,并探究9（的）與9（P）和夕⑷

的關(guān)系；

⑶設(shè)數(shù)列｛%｝的通項公式為勺=加底夕（3"'）（meN*）,求該數(shù)列的前m項的和空.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BAADDABDBCAB

題號11

答案BCD

1.B

【分析】解不等式可得集合A,進而可得AcB.

【詳解】A={xeN|X2<4}={0,1,2},B={-1,0,1,2,3},

所以A「3={0,l,2},

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求z,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式運算求解.

【詳解】因為/、則=l口+2i=(l+2小i)(4+3i)211.

(-)zdW,zK----------1------1,

2525

所以目=

5

故選：A.

3.A

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程，可設(shè)雙曲線方程，將點的坐標(biāo)代入，求得參數(shù)，即可得

答案.

【詳解】因為雙曲線C的漸近線方程為2x±3y=0,

22

故可設(shè)雙曲線方程為方-'=%,(Aw0),

又C經(jīng)過點卜6,2立)，故7一號匚=匕.4=2,

22

故雙曲線方程為土-匕=1，

188

故選：A

4.D

【分析】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次講

座，再將《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座插空，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，可得答案.

【詳解】先排《中庸》《孟子》《尚書》《詩經(jīng)》《禮記》《春秋》這6次經(jīng)典名著的講座，

答案第1頁，共13頁

共有A：種排法;

再從7個空位中選3個，排《大學(xué)》《論語》《周易》這3次講座，有A；種排法,

故總共有A；A；種排法；

故選：D.

5.D

【分析】由tan(2a+0=tan[(a+6)+a]利用兩角和的正切公式計算可得

【詳解】因為tantz=3,tan(a+Q)=-5,

/、1tan(a+￡)+tana_5+3]_

所以tan(2a+/)=tan「(a+/)+a]=-、/)小-------=-7—=

、7H?-I]—tan(a+,)tanal-(7-5)x38

故選：D

6.A

【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.

【詳解】依題意〃=70,b=8,94=〃+3。，

1-09973

所以測試成績不小于94的學(xué)生所占的百分比為：x100%=0.135%.

2

故選：A.

7.B

【分析】根據(jù)題意，求得〃2)=-2且〃x+6)=/(x),結(jié)合函數(shù)的周期性，即可求解.

【詳解】因為/(x+3)=-/⑺且/(—1)=2,可得〃2)=-〃-1)=一2,

由〃x+3)=—〃x),可得/(x+6)=―/(x+3)=/(x),

所以函數(shù)〃x)的一個周期為6,則〃2024)=〃6X337+2)=H2)=—2.

故選：B.

8.D

【分析】由題意可得4E為三棱錐￡-4男尸的高，設(shè)==re(0,2),由

%-APE.AE表示出錐體的體積，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】在直三棱柱ABC-A4G中，A4，平面A耳C，

答案第2頁，共13頁

故\E為三棱錐E-A用尸的高，

設(shè)AE=4P=r,Ze（0,2）,貝l]AE=2-f,

TT

由/BAC=5，得ABIAC,故A81，AC，

則S"81P=；4尸、44=3

故為1-APE=%-A8iP=§S4AB[P.AE=$（2-0=_；?T）2+g,

故當(dāng)r=i時，三棱錐瓦-APE的體積有最大值;.

故選：D.

9.BC

【分析】由互斥事件、對立事件以及相互獨立事件的概率公式逐項判斷即可.

【詳解】因為3aA.所以P（AU3）=尸（A）=。.6.故A錯誤；

若A與8互斥.則P（Au3）=P（A）+P（B）=0.9,故B正確；

因為尸（鈣）=尸（A）尸（8）.所以A與8相互獨立.故C正確：

因為A與8相互獨立.所以P（AB）=P（A）P（B）=0.18.

所以P（Au3）=尸⑷+尸（B）-尸（幽=0.72,故D錯誤.

故選：BC.

10.AB

【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)y=/（*）的圖象關(guān)于直線x=l對稱，令

t=f（x）,得到關(guān)于/的方程產(chǎn)+〃+2）=0,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由函數(shù)y=bg2x的圖象，經(jīng)過＞軸翻折變換，可得函數(shù)y=iog2|x|的圖象，

再向右平移1個單位，可得y=log?|尤-1|=1十2|1-工的圖象，

最終經(jīng)過X軸翻折變換，可得了（xHlogzIlrl|的圖象，如圖所示，

則函數(shù)y=/（久）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，令t=/（X）,

因為函數(shù)g（x）=/2（x）+/（x）+?最小的零點為-1,且=

故當(dāng)〃力=1時，方程gO）=0有4個零點，

答案第3頁，共13頁

所以要使函數(shù)g(x)=/2(x)+/(x)+仍有6個不同的零點，且最小的零點為x=-L,則

〃x)=?；颉▁)=l,

由/(x)=。,可得*=0或3=2,

設(shè)/(%)=1的四個根從小到大依次為無3，X4，無5，%，

由函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線X=1對稱，可得％+無6=匕+無5=2,

所以g(x)的所有零點之和是6,故A正確；

關(guān)于t的方程r+at+2b=Q的兩個實數(shù)根為。和1,

由韋達定理，得a=T,6=0,。+匕=一1,所以B正確，C、D錯誤.

故選：AB.

【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，可得判定A錯誤；把點(La)代入圓G的方程，可判定B

正確；12+(?-?)2=1,所以圓心過點(l,a),所以B正確；設(shè)y=x+2被乙所截得的線段

為OE,中點為G,聯(lián)立方程組，求得G的坐標(biāo)，代入心，可判定C正確；根據(jù)圓與拋物

線的位置關(guān)系，聯(lián)立方程組，結(jié)合A<0,可判定D正確.

【詳解】對于A中，由曲線和：，=y,拋物線L的焦點坐標(biāo)為所以A錯誤；

對于B中，圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2+(y-a)2=l(x>0),

點(l,a)代入圓乙的方程得F+(。-。)2=1，所以圓4過點(La),所以B正確；

對于C中，設(shè)>=》+2被乙所截得的線段為DE,中點為G,

fy=x+2[x+x=1

聯(lián)立方程組，，整理得f一彳一2=0,可得n"￡P(guān)、,

[廠=V"D無E=-2

答案第4頁，共13頁

故為=%+2=|"，所以Gj_5

則%

2?2

代入：r"+（i）2=i,可得;+（|_/=],解得.=言叵，所以c正確;

對于D中如圖所示，曲線八在二的上方時，拋物線和圓無交點,

聯(lián)立方程組卜；+5-"）=L整理得^+（1-24）丫+〃_1=0,

x=y

由△=（1—2。）2-4（/-1）＜0,解得所以D正確.

''4

故選：BCD.

【點睛】方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略：

1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離（拋物

線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離）進行等量轉(zhuǎn)化.如果問題中涉及拋物

線的焦點和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題.因此，涉及拋物

線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準(zhǔn)線的距離，這樣就

可以使問題簡單化.

2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根

與系數(shù)的關(guān)系，合理進行轉(zhuǎn)化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中

的應(yīng)用.

12.50

【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.

【詳解】先按照從小到大排序：15,18,23,24,28,36,39,42,47,53,60,78.

共12個數(shù)據(jù)，12x75%=9,第9,10個數(shù)據(jù)分別為47,53,則第75百分位數(shù)為%尹=50.

故答案為：50

13.10

答案第5頁，共13頁

【分析】根據(jù)題意，由向量的線性運算公式可得加=:麗+9而，由平面向量基本定理可得

2、〃的值，進而計算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，在VA3C中，己知覺=3麗，則麗=：而，

由于尸為線段AO的中點，

貝誨=麗+麗=麗+工屈=麗+!(麗-麗)=|麗+!防」麗+，血,

_1］

y.BP=ABA+juBC,麗、交不共線，故幾=彳，"=一，

28

所以：+l=2+8=10.

ZJU

故答案為：10.

【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)的解析式為y=2sin0x+：J,畫出y=sinx與y=2sin［3尤+：］

在區(qū)間［0,2可上的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.

【詳解】因為函數(shù)y=2sin(@x+°)的圖象經(jīng)過點心,后)，可得2sin夕=0,即.夕=孝，

又因為04夕4］,所以夕=:,

因為y=2sin(0尤+；］(°>0)在y軸右側(cè)的第一個零點為所以：“+；=兀，

I4J444

解得0=3,所以y=2sin(3x+：J,

畫出y=sinx與y=2sin，x+：］在區(qū)間［0,2兀］上的圖象，如圖所示，

由圖可知曲線y=sinx與y=2sin(3x+；］的交點有6個.

答案第6頁，共13頁

71

5(若

⑵百

【分析】(1)根據(jù)三角形的內(nèi)角和的性質(zhì)，以及正弦定理，得到〃一片+°2=/，結(jié)合余弦

定理，即可求解；

(2)根據(jù)題意，利用面積公式，求得c=2,結(jié)合余弦定理，即可求解.

【詳解】(1)解：由A+B+C=7T,KTWsin(B+C)=sinA,sin(A+C)=sinB,sin(A+B)=sinC,

因為asin(5+C)=Z?sin(A+C)+csin(A+23)-bsinC

所以tzsinA=bsinB+csinC—bsinC,

又由正弦定理得〃—/+,2=次，根據(jù)余弦定理得cosA="+七〃=

2bc2

jr

又因為。＜4＜兀，所以A=§.

(2)解：因為6=1,AA3C的面積為必，

2

KTW'SABC=-&csinA=—csin—=^-,所以c=2,

"甌2232

由余弦定理可知。2=62+c2-26ccosA=E+22-2xlx2xg=3,所以°=

16.⑴。=一3

⑵單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1)和(3,+8)，單調(diào)遞增區(qū)間為(T3),“X)的極大值為/(3)=4;

極小值為了(T)=-2e2.

【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，利用直線垂直列式求解即可；

(2)求出導(dǎo)數(shù)方程的根，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系列表即可得解.

/、2xex~l~(x2+a\ex~12x-x2-a

【詳解】(1)因為〃x)=—,所以尸(x)=-----/1V—=—q—,

e"T卜)e

則/")=1-。，因為函數(shù)〃耳=口中在點處的切線與直線x+4y+2024=0垂直,

故=-1,解得a=-3；

(2)因為〃同=三，所以尸(x)=+3_一(x；),+l),

答案第7頁，共13頁

令r(%)=。,解得%=3或%=一1,令/'(%)＜。得%＞3或％＜—1,令/'(%)＞。得一lv光＜3,

列表如下：

(-00,-1)-1(-13)3(3,+8)

尸3—0+0—

極小值/極大值

故“X)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1)和(3,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,3),

“X)的極大值為〃3)=5，極小值為/(-1)=-2e2.

17.(1)證明見解析

⑵與

【分析】(1)設(shè)。是C。的中點，先根據(jù)題目條件得出CG〃尸Q,PQLCD,進而得出

CQ1CD；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和平行六面體的性質(zhì)得出CQ1AD.再根據(jù)線面垂直的判

定定理得出CQ±平面ABCD；最后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得出CQ±BD.

(2)先建立空間直角坐標(biāo)系，寫出平面CP3與平面DP3的法向量；再根據(jù)空間面面所成角

的向量計算方法求出平面CPB與平面DPB的夾角的余弦值，進而可得夾角的正弦值.

【詳解】(1)設(shè)。是C。的中點，連接PQ,

因為尸是G2的中點，則C￡〃尸Q.

因為尸D=PC,所以PQLCD,所以CG，C。

因為AD平面ABB】A,AAtu平面ABBlAx,

所以ADLAA，

答案第8頁，共13頁

由平行六面體的性質(zhì)可得：CG〃9,

所以CG，AD.

又因為CDnAD=D,CD,ADU平面ABC。,

所以CC]_L平面A3CD

又BDu平面ABC。，所以CC|_LB。.

(2)因為">"L平面,ABu平面AB814，

所以

則四邊形ABCD是正方形，

結(jié)合(1)的結(jié)論可知D4,DC,兩兩垂直，

以。為原點，DA,DC,所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系：

不妨設(shè)AD=2,

則0（0,0,0）,尸（0,1,2）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,

所以加=（0,1,2）,麗=（2,2,0）,CB=（2,0,0）,CP=（0,-1,2）.

設(shè)平面DP3的一個法向量為沅=(x,y,z),

m-DP=y+2z=0,

則

fh?DB=2x+2y=0,

令y=-2,可得用=(2,-2,1).

設(shè)平面CP3的一個法向量為元=(a,4c),

答案第9頁，共13頁

n-CB=2。=0

，令c=l,可得為=（0,2,1）.

n-CP=-b+2c=Q

設(shè)平面a歸與平面DPB的夾角為。，

\m-fi\3

則cos0=

|m|-|n|3x755

所以sin0=A/1-COS2d=~~~

即平面CPB與平面DPB的夾角的正弦值為工.

5

r22

18.⑴工+上v=1

43

（2）證明過程見解析

【分析】（1）由題意列出關(guān)于c的方程組，解之即可得解；

（2）顯然斜率不為0且不過點A,從而可設(shè)MN的方程為*=到+（/力2,5工0）,

Ma，yJ,N（%,%），將其與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理可用SJ表示出

xlx2,xl+x1,yiy1,yi+y1,由尸三點共線、4MQ三點共線可用不,%,尤表示出P,。的

坐標(biāo)，從而由4尸-耳。=-：可得一個關(guān)于S,/的條件等式，化簡即可得解.

a=2

【詳解】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為C,由題意得,解得6=后,

22

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為上+工=1.

■>

X

由（1）知F1（-1,0）,由題意可知直線的斜率不為0,否則尸,。位于X軸同側(cè)，鏟電＞0,

答案第10頁，共13頁

不符合題意；

22

設(shè)"N的方程為》=S、+《7彳2）,代入?+1_=1,得

（352+4）/+65（y+3r-12=0,

由A=36s2/一4(3/+4)(3/一12)>0n3S2+4-產(chǎn)>0,

設(shè)V(為,X),N(%,為),貝IJ%+%=,

8.

所以3+無2=S(%+%)+2/=3$2+4,

22

xlx2=(syI+t)(sy2+t)=sy1y2+st(yl+y2)+t=]1:'

直線4〃的方程為>=V(x-2),令x=—l,得丫=-鼻

玉一2再一2

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