2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：含新信息問題的求解

第98煉含新信息問題的求解

一、基礎(chǔ)知識：

所謂“新信息背景問題”，是指題目中會介紹一個“課本外的知識”，并說明它的規(guī)則，

然后按照這個規(guī)則去解決問題。它主要考察學(xué)生接受并運用新信息解決問題的能力。這類問

題有時提供的信息比較抽象，并且能否讀懂并應(yīng)用“新信息”是解決此類問題的關(guān)鍵。在本

文中主要介紹處理此類問題的方法與技巧

1、讀取“新信息”的步驟

（1）若題目中含有變量，則要先確定變量的取值范圍

（2）確定新信息所涉及的知識背景，尋找與所學(xué)知識的聯(lián)系

（3）注意信息中的細節(jié)描述，如果是新的運算要注意確定該運算是否滿足交換律

（4）把對“新信息”的理解應(yīng)用到具體問題中，進行套用與分析。

2、理解“新信息”的技巧與方法

（1）可通過“舉例子”的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對新信

息的理解

（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述“新信息”所表達的內(nèi)容，如果能夠清晰描述，那么說明對此信

息理解的較為透徹。

（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律

（4）如果“新信息”是書本知識上某個概念的推廣，則要關(guān)注此信息與原概念的不同之處,

以及在什么情況下可以使用原概念。

二、典型例題

例1：設(shè)P,Q是兩個集合，定義集合P—Q={x|xeP且xeQ},如果尸={x|log2%<l},

Q={九||x—2|<1},則P—Q等于（）

A.1%|O<X<1}B.{xI0<X<1}C.{x|1<X<2）D.{x|2<x<3}

思路：依尸一Q={x|xwP且xeQ}可知該集合為在P中且不屬于。中的元素組成，或者

可以理解為P集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。P:

log,%<1=>0<%<2,2：|%-2|<1^>1<%<3,所以尸=從而可得：

P-Q=（o』

答案：B

例2：y=/（x）在（-OO,+CQ）內(nèi)有定義。對于給定的正數(shù)K,定義函數(shù)

f(x\f(x)<K

力(x)=<

K,〃x)〉K

取函數(shù)/（X）=2+x-e*。若對任意的xe（-oo,+oo）,恒有力（％）=/（x），則（）

A.K的最大值為2B.K的最小值為2C.K的最大值為1D.K的最小值為1

思路：由所給分式函數(shù)力（%）可知，若〃尤）WK,則取"了）,如果/（九）〉K,就取K,

由這個規(guī)則可知，若或（X）=/（%）恒成立，意味著X/xW（-8,+8）,均有恒成

立，從而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，即1mx，下面求了（%）的最大值：

f（x）=1-ex,可知在（一8,0）單調(diào)遞增，在（0,+8）單調(diào)遞減，所以

/（x）^=/（0）=1,從而KN1,即K的最小值為1

答案：D

例3：設(shè)集合S={4，A，4，A}，在s上定義運算十為：a十&=4,其中左為，+/被

4除的余數(shù)，，，/=0,1,2,3,則滿足關(guān)系式（x十力十4=4的九eS）的個數(shù)為（）

A.4B.3C.2D,1

思路：本題的關(guān)鍵在于讀懂規(guī)則，“十”運算的結(jié)果其實與角標(biāo)和除以4的余數(shù)相關(guān)，如果

理解文字敘述較為抽象不如舉幾個例子，例如：4十A，按照要求，（1+3）除以4的余數(shù)

為o,所以a十A=4。掌握規(guī)律后再看所求關(guān)系式：要求得x,則需要先解出（x十尤），

將其視為一個整體4,,可知a“+4=4，即（加+2）除以4的余數(shù)為o,可推斷加=2,

即x十x=4，不妨設(shè)x=4，即（"+〃）除以4的余數(shù)為2,則〃的值為1,3,所以x=A

或者x=A，共有兩個解

答案：C

例4：定義兩個平面向量斯的一種運算￡合叼麗卜in。，其中夕為海的夾角，對于這

種運算，給出以下結(jié)論：①a?b=b?a；②A\a?b\-\Za\?b；③

+石）③c=（a（8）c）+e（8）c）；④若〃=（項,%）石=（如為），則a區(qū)，=上%-％2yli

你認為恒成立的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

思路：本題的新運算a=忖忸卜吊6,即行的模長乘以夾角。所以對于結(jié)論①，

S??=|S||?|sin^=|?||S|smO=a?b；對于②，〃區(qū)B）二丸,八小由^，而

=|1^||^|sm0=岡?忖|萬卜1116,顯然當(dāng)2<0時等式不成立；對于③，

（〃+石）名）（:二卜+q-|c|與口卜十瓦,（其中sin（a+B,c）表示a+b.c的夾角），而

（〃（8）C）+（B（8）C）=’,sink,c）+WWsin（￡c）,顯然等式不會恒成立（也可舉特殊情

況如。=-石，左邊為0,而右邊大于等于0）；對于④，可代入坐標(biāo)進行運算，為了計算簡

便考慮將左邊平方，從而sin26^^l-cos2^,可與找至U聯(lián)系：

2222

（a?可=|a||S|sinO=\a\^\（1-cos6）=.（用_口.邛=卜；+娟代+￡）

_（玉龍2+X%）?=（玉%，即=一%2%|。綜上所述，①④正確

答案：B

例5：如果函數(shù)/（%）對任意兩個不等實數(shù)./式。，》），均有

Xif（X1）+X2/（X2）>Xl/（X2）+Xlf（X1）,在稱函數(shù)/（%）為區(qū)間（a,。）上的"G"函數(shù),

給出下列命題：

①函數(shù)/（x）=2x—sinx是R上的“G”函數(shù)

x~+4xx>0

②函數(shù)〃x）=，一是R上的“G”函數(shù)

~2工r>1

③函數(shù)y（x）=（，—是（—3,6）上的“G”函數(shù)

\2x+l,x<1

④若函數(shù)/（x）=e*—?―2是R上的“G”函數(shù)，則a<0

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D,4

思路：本題看似所給不等式復(fù)雜，但稍作變形可得：

%1[/(%1)-/(%2)]+^[/(^)-/(^1)]>0,所以(七一工2)[/(七)一/(%2)]>。即

(%1一々)與"(％1)一/(%2)]同號，反映出/(%)是(。力)上的增函數(shù)，從而從單調(diào)性的角

度判斷四個命題：①：/'(%)=2—cosx>0恒成立，所以/(%)是R上的增函數(shù)

②③：可通過作出函數(shù)的圖像來判斷分段函數(shù)是否在給定區(qū)間上單調(diào)遞增，通過作圖可知②

正確，③不正確

④：若了(%)是“G函數(shù)”，則/(%)是R上的增函數(shù)，所以/'(x)="—a20即aKe*恒

成立，因為/e(O,a),所以可得：a<0,④正確

綜上所述：①②④正確，共有三個命題

答案：C

例6：對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組(/；*，???，)，其中〃22,“eN*,如果在p<q時，

有。則稱"i.與展'是該數(shù)組的一個“順序”，一個數(shù)組中所有“順序”的個數(shù)稱為

此數(shù)組的“順序數(shù)”，例如：數(shù)組(2,4,3,1)中有順序“2,4”，“2,3”，其“順序數(shù)”等于2,

若各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組(/,%,%,%，%)的“順序數(shù)”是4,則(生,。4，。3，％，《1)的“順

序數(shù)”是()

A.7B.6C,5D,4

思路：本題中對于“順序”的定義為p<q=>ip<iq,即序數(shù)小的項也小。要得到“順序數(shù)”

則需要對數(shù)組中的數(shù)兩兩進行比較，再進行統(tǒng)計。在所求數(shù)組中可發(fā)現(xiàn)(。5，。4，。3，。2，/)剛

好是(GM2M3，。4，。5)進行倒序的排列，所以原先數(shù)組的"順序”在新數(shù)組中不成立，而原

先數(shù)組不成"順序"的(即p<qnap>aq)反而成為所求數(shù)組的"順序”。在五元數(shù)組

中任意兩個數(shù)比較大小，共有C；=10組，在(GM2M3M4M5)中"順序”有4個，貝I非“順

序”有6個,所以到了(生,。4，。3，%，。1)中，順序數(shù)即為6

答案：B

小煉有話說：本題也可以通過特殊的例子得到答案：例如由(4,4，。3，。4，。5)的“順序數(shù)”

是4,假設(shè)。]<生,。1<的，。1<。4，。1<%，其余各項。2>。3〉。4>%，則在

(a5M4，。3，%，,)中即可數(shù)出順序數(shù)為6

a(a<b)

例7：對任意實數(shù)定義運算*如下：〃*/?=《，則函數(shù)

b(a>b)

/(%)=log2(3x-2)*logix的值域為()

2

A.[0,+co)B.(-co,0]C.|^log21,0jD.|^log21,+oo

[a(a<b)(、

思路：本題可將〃描述成取〃,6中較小的數(shù)，即,所以對于

b(a>b)

/(%)=log2(3x-2)*logxx,即/(x0)為log2。/—2)/ogix0中較小的數(shù)。解不等式

22

3x—2>0

/、2

log2(3x-2)>logAXn<x>0=>%>1,貝Ilog2(3%—2)<log11n—<%<1,

3

215

3x-2>-

log2(3x-2),x>1

所以/(%)=]2,從而可解得值域為(fo,0]

log!x,—<X<1

、23

答案：B

小煉有話說：本題也可以利用數(shù)形結(jié)合的方式，/(x)=log2(3x—2)*logix的圖像為將

2

y=log2(3x-2),y=log1％的圖像畫在同一坐標(biāo)系下，取位于下方的部分，從而作出

2

/(%)的圖像，其中y=log2(3x—2),y=logi%的交點通過計算可得x=l,所以結(jié)合圖

2

像即可得到/(X)的值域為(TOJ(1)],即(—8,0]

例8：已知平面上的線段/及點尸，任取/上一點。，線段PQ長度的最小值稱為尸至I"的

距離，記作

(1)求點尸(1,1)到線段/：x-j-3=0(3<%<5)的距離d(P,l)

(2)設(shè)/是長為2的線段，求點的集合。={?|1(尸,/)<1}所表示的圖形面積

思路：首先要明確新定義的“距離”，即線段上的點到該點的最小值。此時可做幾個具體的

圖形來理解定義?？砂l(fā)現(xiàn)過尸作線段/的垂線，若垂足在線段上，則垂線段最短，與傳統(tǒng)的

定義相同；若垂足在線段的延長線上，則需找線段上距離P點最近的，即線段的某個端點。

在第(1)問中，作出圖像可得P在線段/上的垂足位于線段延長線上，所以只需比較尸到

兩個端點的距離即可；在第(2)問中，先作出d(P,/)=l的圖形，表示的圖形是長為2,

寬為2的正方形和兩個半徑是1的半圓的組合圖形，則。為該圖形的內(nèi)部，再求出面積即

可

解：(1)設(shè)線段/的端點4(3,%),3(5,%)，代入直線方程可得：

%=0,%=2.^(3,0),5(5,2)

■■\AP\=7(3-1)2+(0-1)2=45,\BP\=7(5-1)2+(2-1)2=屈

:.d(P,l)=\P^=45

(2)若d(P,/)=l,則P點的軌跡為長。=2,寬〃=2的正方形和兩個半徑廠=1的半

圓的組合圖形

1,

/.S-2'—7ir+a?b=?+4

2

例9：設(shè)[司表示不超過x的最大整數(shù)(如[2]=2,[]]=1),對于給定的“eN*,定義

C,f=4———一H一1,+00),則當(dāng)xe—,3時，函數(shù)/■(x)=q的值域為

—1J?,—+1)_4)

()

.3232C.4,|32luff,28

A.B.D.

47片5U*5

n(n-\\---(n-\x\+\\

思路：由定義的式子C；=———㈠~H~(可知分子分母含多少項與[x]的取值有

x(x-l)---(x-[x]+l)

川分為

關(guān)，即分子分母分別為[刃個項的乘積，所以根據(jù)[x]的定義將xe、卜

所以了(%)在:2卜勺值

[2,3)兩段進行考慮。當(dāng)xe:時，[x]=l,所以Cj=_

4)x

域為(4,%];當(dāng)xw[2,3)時，[x]=2,所以第={7T_=——56_,

V5Xyx—1)x—x(1)1

[X~2J-4

(28~

從而了(%)在[2,3)單調(diào)遞減，.-./(x)ely,28,綜上所述可得：

“同啕唁回

答案：B

例10：在實數(shù)集R中，我們定義的大小關(guān)系“〉”為全體實數(shù)排了一個“序”，類似的，我

們這平面向量集合。={￡|￡=(%y)心氏”在}上也可以定義一個稱為“序”的關(guān)系，

記為"〉”。定義如下：對于任意兩個向量7=(%1，%),之=(無2，%)，當(dāng)且僅當(dāng)

“演〉々”或“/%且％〉%”，按上述定義的關(guān)系"〉”，給出下列四個命題：

①若.=（1,。）怎=（。,1）,6=（0,0）,則6>02>6

②若>%，%>。3，則a\>。3

1>2，ae￡),

③若。。則對于任意的ai+a>a2+a

④對于任意的向量〃>0,其中0=(0,o),若。1>%,則。?〃]>〃?%

其中命題正確的序號為

思路：從題意中可發(fā)現(xiàn)比較向量的“序”主要比較的是坐標(biāo)，其中優(yōu)先比較橫坐標(biāo)，若橫坐

標(biāo)相等則再比較縱坐標(biāo)，結(jié)合這個規(guī)律便可分析各個命題：(為方便說明，任一向量￡的橫

坐標(biāo)記為九(〃),縱坐標(biāo)記為

①：顯然%(ej〉%,)，所以,>62，%年)二%⑼，y(4)>y(可，所以外〉。，綜上

可得：4>">6

(2)：由〉生可知：%(。])〉X(。2)或“％(%)=1(〃2)且,(％)>