蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題（原卷版+解析）

專題04難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題

聚焦考點(diǎn)

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題

類型二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題

類型三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題

例題：（2021?山東臨沂?八年級(jí)期中）如圖，垂足為點(diǎn)A,射線LAB,垂足為點(diǎn)B,AB=12cm,

AC-6cm.動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)O在射線上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)

動(dòng)，始終保持EO=CB.若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為々＞0）,則當(dāng)t=個(gè)秒時(shí)，QEB與YBCA全等.

【變式訓(xùn)練】（2021.全國?七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在長(zhǎng)方形98中，48=6,40=10延長(zhǎng)sc到點(diǎn)

E,使CE=4,連接OE,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BC-CD-以向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),

設(shè)點(diǎn)廠的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，當(dāng)，的值為時(shí)，AAB/和AOCE全等.

類型二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題

例題：（2019?江蘇?宜興市周鐵中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，ZB=90°AB//DF,AB=3cm,BD=Scm,

點(diǎn)C是線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線DF上一動(dòng)點(diǎn)，且始終保持AC±CE,若AC=CE，則DE的長(zhǎng)為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2020?江蘇?泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AABC中，點(diǎn)。在邊上，DE±ABE,DH

_LAC于H,且滿足。尸為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，滿足。G=Z）R若AE=4cm,貝UAG=

_____cm.

2.（2021?重慶八中八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在RfAABC中，ZACB^90°,AC=6,BC=8,AB=10,A。平分/

CAB交BC于。點(diǎn)，E,歹分別是AD,AC上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+所的最小值為

類型三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題

例題：（2022?遼寧葫蘆島?八年級(jí)期末）如圖，在AABC中，/BAC=90。,AB=AC.點(diǎn)。是直線BC上一動(dòng)

點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)8,C重合），ZDAE=90°,AD=AE,連接CE.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段3c上時(shí)，直接寫出8C,8與CE之間的數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在邊3C的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段BC,8與CE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由;

（3）如圖3,若點(diǎn)。在邊CB的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)A,E分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若C￡>=10,3C=6,

直接寫出CE的長(zhǎng)度.

【變式訓(xùn)練】（2022?遼寧葫蘆島?八年級(jí)期末）如圖①，點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C不與A,3重合），分別以

AC,BC為邊在A8同側(cè)作等邊入4口）和等邊△8CE,連接AE,BD交于點(diǎn)、P.

（1）觀察猜想：

1.AE與BD的數(shù)量關(guān)系為；

2./APD的度數(shù)為；

（2）數(shù)學(xué)思考：

如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段A3外時(shí)，（1）中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)

你寫出正確結(jié)論再給予證明.

j課后訓(xùn)練：

??

一、填空題

1.（2022.江蘇?景山中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，CA±BC,垂足為C,AC=2cm,BC=6cm,射線

垂足為8,動(dòng)點(diǎn)尸從C點(diǎn)出發(fā)以2c7Ms的速度沿射線CQ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射線上一動(dòng)點(diǎn)，滿足尸N=AB,

隨著尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，ABC4與AP8N全等.

2.（2021.貴州?北京市日壇中學(xué)貴陽分校七年級(jí)期中）如圖，B,C都是直線BC上的點(diǎn)，點(diǎn)A是直線BC上

方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4d4。得到右筋。，D,E分別為AC,上的點(diǎn)，且AD=B"AE=3C,DE=DC.當(dāng)

線段AC與BC具有的位置關(guān)系時(shí)滿足DELAB.

3.（2022?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，A8=AC,。為線段5c上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)&C重合）,

連接AD,作=且AD=AE,連接CE,當(dāng)CE〃A8,ZBAr>=36。時(shí)，ZDEC=度.

BDC

4.（2020?廣西?桂林市田家炳中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E、尸分別為AD、

BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+EP的最小值的是

二、解答題

5.（2020?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在MAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、0是邊AC、BC上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，POLAB于點(diǎn)。，QELA8于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是f秒（。0）.若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿

CA以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)

。從點(diǎn)2出發(fā)沿BC以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)r為何值時(shí)，&APD

和△QBE全等.

6.（2020?山東濟(jì)南?七年級(jí)期末）如圖，在AA5c中，ZACS=90°,AC=BC=2,點(diǎn)。是射線8c上一動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)8作BELAD,垂足為點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)P.

圖(1)圖⑵

(1)如圖(1),若點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)E在線段AO上，試猜想AP,CD,8C之間的數(shù)最關(guān)系,

并說明理由;

(2)如圖(2),若點(diǎn)D在線段BC上，試猜想AP,CD,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))AABC中，AB=AC,點(diǎn)。是射線C2上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)2、C重合),

以AD為一邊在AD的右側(cè)作AADE,使AD=AE,/DAE=NBAC,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段上，且/BAC=90。時(shí)，那么/OCE=________度；

(2)設(shè)NBAC=a,4DCE=B.①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C3上，/氏4690。時(shí)，請(qǐng)你探究。與￡之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段的延長(zhǎng)線上，/54個(gè)90。時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整,

寫出此時(shí)a與夕之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

8.(2022?云南?景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級(jí)期末)如圖1,點(diǎn)P,。分別是等邊AABC邊

AB,8c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從頂點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度

都相同.

A

A

Q

Q圖i圖2

(1)連接A。，CP交于點(diǎn)M則在尸、。運(yùn)動(dòng)的過程中，NCMQ的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若

不變，則求出它的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線A8,8c上運(yùn)動(dòng)，直線AQ、CP交點(diǎn)為M,則NCA/Q的大

小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

9.(2020?全國?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，在AABC中，。為AB的中點(diǎn)，AB^AC^lOcm,BC=8cm.動(dòng)點(diǎn)

尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿3c方向以3c〃z/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿C4方向以3c機(jī)/5的速

度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是笈.

(1)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)C位于線段尸。的垂直平分線上時(shí)，求出/的值；

(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)VBPD0VCQP時(shí)，求出，的值；

(3)是否存在某一時(shí)刻入使ABP。絲ACPQ?若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10.(2019?內(nèi)蒙古?赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))已知：如圖，4=90。，AB//DF,AB=3cm,

比＞=8cm,點(diǎn)C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線DR上一動(dòng)點(diǎn)，且始終保持ACLCE.

(1)證明：ZACB=NCED；

(2)若點(diǎn)C在線段8。上滿足AC=CE時(shí)，求DE的長(zhǎng)？

(3)在線段HD的延長(zhǎng)線上，是否存在點(diǎn)C,使得AC=CE,若存在，請(qǐng)求出8c的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

11.(2022?安徽?九年級(jí)期末)如圖，R/AAC8中，ZACB=90°,AC=BC,E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)

AE,i^AFlAES.AF^AE.

(1)如圖1,過/點(diǎn)作即LAC交AC于。點(diǎn)，求證：FD=BC；

(2)如圖2,連結(jié)2尸交AC于G點(diǎn)，若AG=3,CG=1,求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn).

(3)當(dāng)E點(diǎn)在射線上，連結(jié)8尸與直線AC交子G點(diǎn)，若8C=4,BE=3,則=7=.(直接寫

出結(jié)果)

12.(2022?福建?廈門市松柏中學(xué)八年級(jí)期末)如圖所示，已知2(-2,0),C(2,0),A為y軸正半軸上

的一點(diǎn)，點(diǎn)。為第二象限一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在8。的延長(zhǎng)線上，C。交A8于點(diǎn)E且/5DC=/BAC.

y

w

⑴求證：ZABD^ZACD；

(2)求證：A￡＞平分NCDE；

(3)若在。點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，始終有。C=D4+D8,在此過程中，/BAC的度數(shù)是否發(fā)生變化？如果變化,

請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出/BAC的度數(shù).

專題04難點(diǎn)探究專題：全等三角形中的動(dòng)態(tài)問題

聚焦考點(diǎn)

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題

類型二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題

類型三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題

類型一利用分類討論思想求全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)中的時(shí)間問題

例題：（2021?山東臨沂?八年級(jí)期中）如圖，CALAB,垂足為點(diǎn)A,射線垂足

為點(diǎn)8,AB=12cm,AC=6cm.動(dòng)點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)以3cm/s的速度沿射線AN運(yùn)動(dòng)，動(dòng)

點(diǎn)D在射線上，隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),始終保持瓦>=.若點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t{t>0）,

則當(dāng)t=個(gè)秒時(shí)，.DEB與YBCA全等.

【答案】2或6或8

【解析】

【分析】

分兩種情況：①當(dāng)E在線段AB上時(shí)，②當(dāng)E在BN上,再分別分成兩種情況AC=BE,AB=BE

進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：①當(dāng)E在線段上，AC=BE^,AACB-BED

AC=6,

，BE=6,

AE=12-6=6,

「?點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6+3=2（秒）.

②當(dāng)E在BN上，AC=BE時(shí),AACB濟(jì)BED

???AC=6f

二.BE=6,

AE=12+6=18.

；?點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為18+3=6（秒）.

③當(dāng)E在2N上，AB=BE^S,AACB三ABDE

,AE=12+12=24.

.??點(diǎn)￡的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為24+3=8（秒）

④當(dāng)E在線段上，時(shí)，AACBMABDE這時(shí)E在A點(diǎn)未動(dòng)，因此時(shí)間為0秒不符

合題意.

故答案為：2或6或8.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、S4S、ASA、A4S、

HL.注意：A4A、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，

若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

【變式訓(xùn)練】（2021?全國?七年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，在長(zhǎng)方形A8CD中，AB=6,AD=10

延長(zhǎng)3C到點(diǎn)E,使CE=4,連接OE,動(dòng)點(diǎn)廠從點(diǎn)8出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿

8C-CD-ZM向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒，當(dāng)/的值為時(shí)，△鉆/和

△DCE全等.

【答案】2或11

【解析】

【分析】

分兩種情況討論，根據(jù)題意得出BF=2t=4和AF=26-2t=4即可求得答案.

【詳解】

解：:△DCE為直角三角形，

且AB=DC,

.?.當(dāng)時(shí)，

有BF=2t=CE=4,

解得：1=2；

當(dāng)△BAbgAOCE時(shí)，

WAF=CE=4,

此時(shí)臚=BC+CD+DA-2t=10+6+10-2t=26-2t=4,

解得：t=ll,

故答案為：2或11.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定，注意到"XE為直角三角形，且A2=Z）C,故只有BF=2u4和

AF=26-2t=4兩種情況.

類型二利用全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)及最值問題

例題：（2019?江蘇?宜興市周鐵中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，ZB=90°AB//DF9AB=3cm,

8。=8°利，點(diǎn)。是線段班）上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線O尸上一動(dòng)點(diǎn)，且始終保持ACLCE,若

AC=C&貝ljDE的長(zhǎng)為.

【答案】5

【解析】

【分析】

根據(jù)全等得出對(duì)應(yīng)邊相等，即可得出答案.

【詳解】

解：VZB=90°,AB//DF,

：.ZD=ZB=90°9

VAC±CE,

???ZACE=90°,

AZECD+ZCED=90°,NACB+NEC7>90。，

???ZACB=ZCED；

???在△ABC和△COE中

NACB=/CED

<NB=ND

AC=CE

ZXABC^ACDE（AAS）,

.'.AB=CD=3cmf

DE=BC=8cm-3cm=5cm

故答案為5.

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2020?江蘇?泰州中學(xué)附屬初中八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，A48C中，點(diǎn)。在邊BC上，DE

_L4B于E,DHLACH,且滿足。E為AE的中點(diǎn)，G為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，滿

足DG=DF,若AE=4cm貝UAG=cm.

H

E,

B，-------------D-------------------------C

【答案】2或6.

【解析】

【詳解】

?：DE±AB,DH±AC,

：.ZAED=ZAHE=9Q°.

在AAOE和△AOH中，

??AD=AD,DE=DH,：.ZXAOE絲△ADH(HL),

.'.AH=AE=4cm.

:尸為AE的中點(diǎn)，Z.AF=EF=2cm.

在AF￡)E和△G￡)8中，

??DF=DG,DE=DH,：./\FDE^AGDH(HL),

GH=EF=1cm.

當(dāng)點(diǎn)G在線段AH上時(shí)，AG=AH-GH=4-2=2cm-

當(dāng)點(diǎn)G在線段HC上時(shí)，AG=AH+GH=A+2=6cm-,

故AG的長(zhǎng)為2或6.

2.（2021?重慶八中八年級(jí)開學(xué)考試）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=6,BC=8,AB=10,

AD平分NC4B交8C于。點(diǎn),E,尸分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則CE+E尸的最小值為.

24

【答案】y

【解析】

【分析】

在AB上取點(diǎn)F,^AF'=AF,過點(diǎn)C作CHLA2,垂足為凡因?yàn)镋F+CE=EF+EC,推出

當(dāng)C、E、9共線，且點(diǎn)尸與H重合時(shí)，F(xiàn)E+EC的值最小.

【詳解】

解：如圖所示：在A2上取點(diǎn)尸，^AF'=AF,過點(diǎn)C作CHLAB,垂足為H.

：&￡)平分/CAB,

：.ZCAD=ZBAD,

又AE=AE,

/.△AEF^AAEF(SAS),

：.FE=EF',

"：EF+CE=EF'+EC,

24

...當(dāng)C、E、尸共線，且點(diǎn)尸與〃重合時(shí)，F(xiàn)E+EC的值最小，最小值為g,

24

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線,

明確當(dāng)C、E、9共線，且點(diǎn)尸與點(diǎn)H重合時(shí)，CE+EB的值最小.

類型三全等三角形中的動(dòng)點(diǎn)綜合問題

例題：(2022?遼寧葫蘆島?八年級(jí)期末)如圖，在AABC中,ZBAC=90°,AB=AC.點(diǎn)。是

直線BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)8,C重合)，ZDAE=90°,AD=AE,連接CE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上時(shí)，直接寫出3C。與CE之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在邊3c的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段8C。與CE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)

系？并說明理由；

(3)如圖3,若點(diǎn)。在邊CB的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)4￡分別在直線的兩側(cè)，其他條件不變，若

CD=10,8C=6,直接寫出CE的長(zhǎng)度.

【答案】(l)CE+a)=BC,證明見解析

(2)CE=BC+CD,證明見解析

⑶CE=4

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件A2=AC,ZBAC=90°,AD=AE,ZDAE=90°,判定之A4CE(SAS),

即可得出BO和CE之間的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得至IJCE+CO=BC；

(2)根據(jù)已知條件，判定及43￡)絲/VICE(SAS),得出2D=CE,再根據(jù)即可

得至UCE=BC+CD；

(3)根據(jù)條件判定(SAS),得出8O=CE,即可解決問題.

(1)

解：如圖1,

圖1

ZBAC=ZDAE=90°,

：.NBAD=/CAE,

AB^AC

在△A2D和"CE中，\ZBAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^/\ACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BC=BD+CD=CE+CD,

(2)

線段BC,CD與CE之間存在的數(shù)量關(guān)系為BC=CE-a>.

理由：如圖2中，由(1)同理可得，

E

7

BCD

圖2

ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即ZBAD=ZCAE,

AB=AC

：.在4ABD和△ACE中，］/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.^ABD^AACE(SAS),

：.BD=CE,

：.BD=BC+CD,即CE=BC+CD.

(3)

如圖3,

由（1）同理可得，VZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC-ZBAE=ZDAE-ZBAE,即ZBAD=ZEAC,

同理，AABD咨AACE（SAS）,

：.BD=CE,

VCD=10,BC=6,

：.DB=DC-BC=4,

；.CE=4.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì).解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)

相等的兩個(gè)三角形全等.解題時(shí)注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等.

【變式訓(xùn)練】（2022.遼寧葫蘆島.八年級(jí)期末）如圖①，點(diǎn)C在線段AB上（點(diǎn)C不與A,B

重合），分別以AC,BC為邊在AB同側(cè)作等邊"CD和等邊ABCE,連接AE,交于點(diǎn)尸.

⑴觀察猜想：

LAE與BD的數(shù)量關(guān)系為；

2.NAPD的度數(shù)為；

⑵數(shù)學(xué)思考：

如圖②，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB外時(shí)，(1)中的結(jié)論①，②是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；

若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明.

【答案】⑴①②60°

(2)上述結(jié)論成立.ZAP￡)=60°,證明見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)已知條件只要證明AOCB學(xué)/XACE,即可證明出AE于BO的數(shù)量關(guān)系，以及NAP。

的角度；

(2)根據(jù)△AC。，ABCE均為等邊三角形，可知=AC,BC=EC,NDCA=NBCE=60。,

進(jìn)而可知N￡)CA+NACB=NACB+N2CE,即NZ)CB=NACE,從而可證AOCB咨△ACE'

(SAS),貝ljDB=AE,NCDB=NCAE,根據(jù)NOCA=以=60°可證NAPD=60°.

(1)

解：?.?△AC。和ACBE都是等邊三角形，

：.AC=DC,CE=CB,ZACD=ZECB=60°,

,：ZACE=ZACD+ZDCE,ZDCB=ZDCE+ZECB,

：.ZDCB=ZACE,

：./\DCB^AACE,

：.AE=BD,ZBDC=ZCAE,

又：ZDOP=ZCOA,

：.ZAPD=ZACD=60°,

故答案是：AE=BD,60°；

(2)

上述結(jié)論成立，

VAACD,A8CE均為等邊三角形,

：.DC=AC,BC=EC,ZDCA=ZBCE=60°,

：.ZDCA+NACB=ZACB+ZBCE,即/DCB=ZACE,

DC=AC

在4DCB和CE中，＜NDCB=ZACE,

CB=CE

.-.△DCB^AACE(SAS),

：.DB=AE,

ZCDB=ZCAE,

如圖，設(shè)8。與AC交于點(diǎn)。，易知/OOC=NAOP(對(duì)頂角相等),

/.ZCDB+ZDCA=ZCAE+ZDPA,

：.ZDCA^ZDPA=60°,即/APZ)=60°.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)，能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與

判定是解決本題的關(guān)鍵.

i課后訓(xùn)練j

一、填空題

1.（2022?江蘇?景山中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，CAA.BC,垂足為C,AC^2cm,BC=6cm,

射線垂足為B,動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以2cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N為射

線2M上一動(dòng)點(diǎn)，滿足PN=AB,隨著尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，ABG4與

AP8N全等.

【答案】0或2或4或6

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可分點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)和右側(cè)進(jìn)行分類求解即可.

【詳解】

解：設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒，由題意得：CP=2tcm,

①當(dāng)uO時(shí)，即點(diǎn)C與點(diǎn)P重合，滿足4ACB咨ANBP,

②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，且滿足AC=BP=2cm,

'：PN=AB,

:.AACB'PBN（HL）,

CP=2tcm,

BP=（6-2?）cm,即6-2/=2,

解得：t=2；

③當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，且滿足AC=BP=2cm,則AACB^APBN,

：.5P=（2r-6）cm,即2，一6=2,

解得：r=4；

④當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)8的右側(cè)時(shí)，且滿足8c=8P=6cm,則AACB/

BP=（2r-6）cm,即2/—6=6,

解得：t=6；

綜上所述：當(dāng)1=2或?；?或6秒時(shí)，A5G4與APBN全等.

故答案為?；?或4或6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2021.貴州?北京市日壇中學(xué)貴陽分校七年級(jí)期中）如圖，B,C都是直線3c上的點(diǎn)，點(diǎn)

A是直線BC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AB,AC得到AABC,D,E分別為AGA3上的點(diǎn)，且

AD=BD,AE=BC,DE=DC.當(dāng)線段AC與3C具有的位置關(guān)系時(shí)滿足DE±AB.

【答案】AC1BC

【解析】

【分析】

利用“SSS，證明△AEZ）和△BC。全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/AEZANC,再根據(jù)

垂直的定義證明即可.

【詳解】

當(dāng)AC_LBC時(shí)，DELAB-,

"：AC±BC,

.\ZC=90°,

AD=BD

,：在"西和△BCD中|AE=BC,

DE=DC

AAED咨ABCD（SSS），

：.ZAED=ZC=90°,

：.DE±AB.

故答案為：AC±BC.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題

的關(guān)鍵.

3.（2022?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在AABC中，AB=AC,D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與

點(diǎn)、B、C重合），連接AD,作=且=連接CE,當(dāng)CE11AB/BAD=36

時(shí)，/DEC=______度.

【答案】24

【解析】

【分析】

由“SAS'可證AAaDg/XACE,可得/8=NACE,可證zvlBC是等邊三角形，可得/BAC=/

DAE=ZACB=ZACE=60°,即可求解.

【詳解】

解：VZDAE=ZBAC,

：.ZBAC-ZCAD=ZDAE-ZCAD,

即NBAD=NCAE,

AB=AC

在和AACE中I/BAD=ZCAE,

AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

/B=/ACE,

'JCE//AB,

ZBAC=ZACE,

:./BAC=/B,

：.AC=BC,

.?.△ABC是等邊三角形，

/BAC=NDAE=/ACB=/ACE=6。。,

.?.△D4E是等邊三角形，

ZAED=60°,

：.ZD￡C=180°-36o-60o-60o=24°,

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明AABC是等邊三角形

是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?廣西?桂林市田家炳中學(xué)八年級(jí)期末）如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，E、

廠分別為AD、BC的中點(diǎn)，P為對(duì)角線3。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AP+EP的最小值的是

【答案】2君

【解析】

【分析】

連接CP,當(dāng)點(diǎn)￡,P,C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即

可.

【詳解】

解：如圖，連接CP,

由AO=CD,ZADP=ZCDP=45°,DP=DP,可得尸（SAS）,

：.AP=CP,

：.AP+PE=CP+PE,

，當(dāng)點(diǎn)E,P,C在同一直線上時(shí)，AP+PE的最小值為CE長(zhǎng)，

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.AD=CD=AB=4,ZADC=90°,

是AD的中點(diǎn)，

：.ED=2,

由勾股定理得：CE=Jcr＞2+DE，="+2?=2遙，

故答案為：2石.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是軸對(duì)稱，最短路線問題，根據(jù)題意作出A關(guān)于2。的對(duì)稱點(diǎn)C是解答此題的

關(guān)鍵.

二、解答題

5.（2020?全國?八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在RfAABC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,P、。是

邊AC、8C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDLA8于點(diǎn)。，于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)產(chǎn)、。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是才

秒（/＞（））.若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿C4以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后

立刻以原來的速度沿AC返回到點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)沿8c以每秒1個(gè)單位的

速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)C后停止運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)t為何值時(shí)，△4PD和AQBE全等.

二

apc

【答案】2s或4s

【解析】

【分析】

Q

分兩種情況：①時(shí)，點(diǎn)尸從C到A運(yùn)動(dòng)，貝UAP=AC-CP=8-3f,BQ=t,求得Z=2,

Q

②侖§時(shí)，點(diǎn)P從A到C運(yùn)動(dòng)，貝|AP=3f-8,BQ=t,求得仁4.

【詳解】

Q

解：①0勺＜§時(shí)，點(diǎn)P從C到A運(yùn)動(dòng)，貝UAP=AC-CP=8-3t,BQ=t,

當(dāng)AADPdQBE時(shí)，

則AP=BQ,

即8-3t=t,解得：Z=2,

Q

②侖3時(shí)，點(diǎn)P從A到C運(yùn)動(dòng)，貝qAP=3f-8,BQ=t,

當(dāng)AADP0MBE時(shí)，

則AP=BQ,

即3t-8=3

解得：t=4,

綜上所述：當(dāng)/=2s或4s時(shí)，△ADPWLQBE.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了全等三角形的判定，正確進(jìn)行分類討論，不要漏解以及找到全等三角形對(duì)應(yīng)

邊相等列出方程是解題的關(guān)鍵.

6.(2020?山東濟(jì)南?七年級(jí)期末)如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,點(diǎn)。是射

線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)8作BELA。，垂足為點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)P.

圖(1)

(1)如圖(1),若點(diǎn)。在BC的延長(zhǎng)線上，且點(diǎn)E在線段AO上，試猜想AP,CD,BC之

間的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；

(2)如圖(2),若點(diǎn)。在線段上，試猜想AP,CD,BC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】(1)BC=AP+CD,理由見解析；(2)AP=BC+CD,理由見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題意可得根據(jù)“ASA”可證△ACE^ZiBCP,可得CD=CP,即可求

出AP,CD,BC之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)由題意可得NB4E=NPBC,根據(jù)“ASA”可證△ACD四△BCP,可得C￡)=CP,即可求出

AP,CD,BC之間的數(shù)量關(guān)系.

【詳解】

解：(1)BC=AP+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZD+ZDAC=90°,ZD+ZDBE=90°,

：.ZDAC=ZDBE,S.ZACB=ZACD,AC=BC,

AACD絲ABCP(ASA),

：.CD=CP,

'：BC^AC^CP+AP,

：.BC=AP+CD,

(2)AP=BC+CD,

理由如下：VZACB=90°,BELAD,

：.ZP+ZPAE^90°,ZP+ZPBC^90°,

；./PAE=NPBC,且/ACB=NBCP,AC=BC,

：.AACD^ABCP(ASA),

：.CD=CP,

VAP^AC+CP,

：.AP=BC+CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的兩銳角互余，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判

定與性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵.

7.(2022?江蘇?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))"8C中，A8=AC,點(diǎn)O是射線CB上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)

B、C重合)，以A。為一邊在的右側(cè)作使AO=AE,ZDAE^ZBAC,連接CE.

DB

(D如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段CB上，且NBAC=90。時(shí)，那么NQCE=________度；

⑵設(shè)NBAC=a,ZDCE=P.①如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段上，NA4cM0。時(shí)，請(qǐng)你探究

。與夕之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長(zhǎng)線上，Z

8AC切0。時(shí)，請(qǐng)將圖3補(bǔ)充完整，寫出此時(shí)。與月之間的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】⑴90

⑵①a+夕=180。，證明見解析；②a=尸，證明見解析

【解析】

【分析】

(1)易證即可證明ABAD也可得/ACE=NB,即可解題；(2)

易證NBA￡?=NC4E,即可證明△BAD注△CAE,可得NACE=NB,根據(jù)NB+/ACB=180。

-a即可解題；

(3)易證/BAO=NC4E,即可證明ABA。q△◎￡,可得/ACE=N8,根據(jù)NADE+/

AED+a=180°,NCZ)E+/CED+2=180。即可解題.

(1)?：ZBAD+ZDAC^90°,ZDAC+ZCAE^90°,AZBAD^ACAE,在△24。和ACAE

AB=AC

中，lzBAD=ZCAE,：./\BAD^/\CAE(SAS),：.ZACE^ZB,VZB+ZACB=90°,

AD=AE

：.ZDCE^ZACE+ZACB^90°；故答案為90.

⑵①?.,/?BAO+NZX4C=a,ZDAC+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在△血!￡）和ACAE

AB^AC

中，＜NBAD=NCAE,：.^BAD^/\CAE(SAS),AZACE=ZB,'：ZB+ZACB=180°

AD=AE

ZBAD+ZBAE=a,ZBAE+ZCAE=a,：.ZBAD=ZCAE,在ABAO和ACAE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,.?.△BAO也△CAE(S4S),AZAEC=ZADB,'：ZADE+ZAED+a=

AD=AE

180°,ZCDE+ZCED+°=180°,NCED=ZAEC+ZAED,：.a=p.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證A54Z)之

△C4E是解題的關(guān)鍵.

8.(2022?云南?景谷傣族彝族自治縣教育體育局教研室八年級(jí)期末)如圖1,點(diǎn)P,。分別是

等邊AABC邊AB,8C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從頂點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，

兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都相同.

(1)連接AQ,CP交于點(diǎn)M則在P、。運(yùn)動(dòng)的過程中，的大小發(fā)生變化嗎？若變化，

則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù)；

⑵如圖2,若點(diǎn)P、。在運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)后繼續(xù)在射線AS8C上運(yùn)動(dòng)，直線A。、CP交點(diǎn)為M,

則NCMQ的大小發(fā)生變化嗎？若變化，則說明理由，若不變，則求出它的度數(shù).

【答案】⑴不變；60°

⑵不變；120°

【解析】

【分析】

(1)通過證明△ABQ名△(24P(&4S)得到ZBAQ=ZACP,再利用三角形外角的性質(zhì)即可求

解；

(2)同樣通過證明△AfiQ絲AC4P(&4S)得到ZBAQ=ZACP,再利用三角形外角的性質(zhì)和

三角形內(nèi)角和的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

(1)

解：(1)點(diǎn)P、。在運(yùn)動(dòng)的過程中，NCW不變.

ABC是等邊三角形，

/.ZABQ=ZCAP=60°,AB^CA,

又：點(diǎn)尸、。運(yùn)動(dòng)速度相同，

/.AP=BQ,且NABQ=NC4P,AB=AC,

：.^ABQ^^CAP(SAS),

：.ZBAQ=ZACP.

?：ZQMC=ZACP+ZMAC,

ZQMC=ZBAQ+Z.MAC=ABAC=60°

(2)

點(diǎn)尸、。在運(yùn)動(dòng)的過程中，NCMQ不變.

由(1)可知：△ABQ=ACAP,

/.ZBAQ=ZACP,

ZQMC=NBAQ+ZAPM,

/.ZQMC=ZACP+ZAPM=180°-APAC=180°-60°=120°,

...點(diǎn)P、。在運(yùn)動(dòng)的過程中，NCMQ不變.

【點(diǎn)睛】

本題考查了動(dòng)點(diǎn)問題，涉及到了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)和三角形的內(nèi)

角和是180。等知識(shí)，解題關(guān)鍵是正確找到全等三角形.

9.(2020?全國?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，在AABC中，。為AB的中點(diǎn)，AB=AC^10cm,

BC=8cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)，沿BC方向以3c〃z/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C

出發(fā)，沿C4方向以3c機(jī)/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間是ts.

(1)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)C位于線段PQ的垂直平分線上時(shí)，求出/的值；

(2)在運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)VBPZJWC。尸時(shí)，求出/的值；

(3)是否存在某一時(shí)刻入使ABPDJCPQ?若存在，求出f的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

D.

Q

B^=TP--------1c

4

【答案】(1)t=2時(shí)，點(diǎn)C位于線段尸。的垂直平分線上；(2)，=1；(3)不存在，理由見

3

解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意求出8P,CQ,結(jié)合圖形用含f的代數(shù)式表示CP的長(zhǎng)度，根據(jù)線段垂直平分

線的性質(zhì)得到CP=CQ,列式計(jì)算即可；

(2)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算；

(3)根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等列式計(jì)算，判斷即可.

【詳解】

解：(1)由題意得BP=CQ=3t,

則CP=8—3t,

當(dāng)點(diǎn)C位于線段PQ的垂直平分線上時(shí)，CP=CQ,

***8-3t=3t9

4

解得，/=

3

則當(dāng)/=?4時(shí)，點(diǎn)。位于線段的垂直平分線上；

3

(2)???。為45的中點(diǎn)，A4Ag0,

JBD=5,

?.,NBPDKCQP,

???BD=CP,

8—3^—5,

解得，，=1,

則當(dāng)VBPD2VCQ尸時(shí)，片1；

(3)不存在，VABPD^ACPg,

BD=CQ,BP=CP,

則3%=5,3/=8—3，

4

解得，

3

不存在某一時(shí)刻t,使ABPDg△CPQ.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是幾何動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問題、全等三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形

的性質(zhì)，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

10.（2019?內(nèi)蒙古?赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）已知：如圖，4=90。，AB//DF,

AB=3cm,BD=8cm,點(diǎn)C是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是直線￡）廠上一動(dòng)點(diǎn)，且始終保持

ACLCE.

（1）證明：ZACB=NCED；

（2）若點(diǎn)C在線段3D上滿足AC=CE時(shí)，求。E的長(zhǎng)？

（3）在線段8。的延長(zhǎng)線上，是否存在點(diǎn)C,使得AC=CE,若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度;

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）5cm；（3）存在，11。"

【解析】

【分析】

（1）由題意易得ND=N3=90。，進(jìn)而可證NECD+/CED=90。，ZACB+ZECD=90°,

然后問題得證；

（2）由題意可證AABC絲ACDE,則有AB=CD=3cm,然后根據(jù)線段的和差關(guān)系可求解;

（3）由題意易得NCDE=N3=90。，進(jìn)而可證/后。。=N3AC,當(dāng)CD=AB=3cm時(shí)，

AC=CE,則有AABC絲ACDE,最后根據(jù)線段的關(guān)系可求解.

【詳解】

解：⑴VZB=90°,AB//DF,：.ZD=ZB=90°,

VACLCE,：.ZACE=90°,

NECD+ZCED=90°,ZACB+NECD=90°,

ZACB=NCED

ZACB=ZCED

(2)???在AABC和ACDE中｛/8=ND

AC=CE

：.\ABCACDE(A4S),AAB=CD=3cm,

DE=BC=8cm—3cm=5cm

(3)存在，理由如下：

VZB=90°,AB//DF,/.ZCDE=ZB=90°9

VACLCE,???ZACE=90。，

???NECD+ZACB=90。，ZACB+N胡C=90。，：.ZECD=ZBAC；

ZB=ZCDE

9：在\ABC和\CDE中<ZBAC=ZECD

AC=CE

：.AABC名ACDE(AAS),

???AC=CE,

*.*AB=3cm,BD=8cm

BC=BD+CD=BD+AB=8cm+3cm=11cm.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)及

全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

11.(2022?安徽?九年級(jí)期末)如圖，RdACB中，ZACB=90°,AC^BC,E點(diǎn)為射線C2

上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AE,作且AP=AE.

(1)如圖1,過F點(diǎn)作見LAC交AC于。點(diǎn)，求證：FD=BC；

(2)如圖2,連結(jié)8/交AC于G點(diǎn)，若AG=3,CG=1,求