全國(guó)重點(diǎn)高中2025屆高三年級(jí)9月模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案）

九師聯(lián)盟?全國(guó)重點(diǎn)高中2025屆高三年級(jí)9月模擬預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知P：3%<0,3%>1；q：Vx>0,Inx>0,貝!|（）

A.p和q均是真命題B.-ip和q均是真命題

C.p和->q均是真命題D.rp和均是真命題

2.已知集合A={a,|a|},B={x|x2-3x-4<0},若力C\B=A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.[-1,1]B.（-1,0）C,[-1,0]D.[-1,0）

3.為應(yīng)對(duì)塑料袋帶來(lái)的白色污染，我國(guó)于2008年6月1日起開(kāi)始實(shí)施的“限塑令”明確規(guī)定商場(chǎng)、超市和集

貿(mào)市場(chǎng)不得提供免費(fèi)塑料購(gòu)物袋，并禁止使用厚度小于0.025毫米的塑料購(gòu)物袋.“限塑令”實(shí)施后取得

了一定的成效，推動(dòng)了環(huán)保塑料袋產(chǎn)業(yè)的發(fā)展.環(huán)保塑料袋以易降解為主要特點(diǎn).已知某種環(huán)保塑料袋的

降解率"與時(shí)間t（月）滿足函數(shù)關(guān)系式V=a〃（其中a,b為大于零的常數(shù)）.若經(jīng)過(guò)2個(gè)月，這種環(huán)保塑料袋降

解了20%,經(jīng)過(guò)4個(gè)月，降解了60%,那么這種環(huán)保塑料袋要完全降解，至少需要經(jīng)過(guò)（）（結(jié)果保留整數(shù)）（

參考數(shù)據(jù)：1g3=0.48,1g5?0.70）

A,5個(gè)月B.6個(gè)月C,7個(gè)月D.8個(gè)月

4.函數(shù)/（%）=3/°953T）的圖象大致是（）

/(2023)+/(2024)4-7(2025)=()

A.-2B.0C.-6D.-4

6.已知a>0,h>0,且a+b=1,貝+§的最小值為

A.4B.5C學(xué)D.

7.若函數(shù)/(%)=+bln(J/+1_%)+3(a>0且。。1,b為常數(shù))在［—c,0］(c為常數(shù))上有最小值一5,

則/(%)在［0,0上()

第1頁(yè)，共8頁(yè)

A.有最大值12B.有最大值6C.有最小值-5D.有最小值-8

,ex--x2+3a,0<x<2,

8.若函數(shù)/㈤=d+電爐_24久22在(。，+8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

.2，一

A.[-y，e]B.[-j,o]C,[-f,o]D,

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足aVb<0<c<d,貝！J

A.a+d<b+cB.a2d2>b2c2C.a—d<b-cD.

10.已知函數(shù)〃久)=｛二室i；1?；金片。'關(guān)于久的方程嚴(yán)⑺一⑺+2避)/(久)+2^2m=0,下列命題正

確的是()

A.若2<機(jī)<3,則方程恰有4個(gè)不同的解

B.若1<機(jī)<2,則方程恰有5個(gè)不同的解

C.若方程恰有2個(gè)不同的解，則zn〉3或爪=2也

D.若方程恰有3個(gè)不同的解，則mWl

11.已知函數(shù)/(%)=ax-xlnx+x+2(a〉0且aJ1),/''(%)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列命題錯(cuò)誤的是()

A.若a=6,則/'’(久)是增函數(shù)B.若。=6,則/■(>)是增函數(shù)

C.若/Q)有極大值，則a>lD.若/O)有極大值，則0<a<l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知幕函數(shù)/'(X)=ax"+。-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,8),則a+b+c=.

13.已知定義在R上的函數(shù)/1(%)滿足:Vx,yER,f(xy)+/(x)/(y)=0,f(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減，

/(-l)=1,則滿足|/(x)|<1的％的取值范圍為.

14.已知定義域均為D的函數(shù)f(x),g(x),若VxeD,/(x)>ax+b>^(x),則稱(chēng)直線y=ax+6為曲線

y=/(刀)和？=g(x)的隔離直線.若/'(久)=x2+x-xlnx-3(x>1),g(x)=-x2+4x-4(x>1),則曲線

y=/0)和，=g(x)的隔離直線的方程為.

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

x-1

已知a>1,函數(shù)/'(X)=a+x-3,g(x)=logQx+x-2.

(1)若fOo)=9(久0)=T，求久o的值;

(2)若久i，%2分別為f(%)，。(久)的零點(diǎn)，求％1+比2的值.

16.(本小題12分)

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已知函數(shù)/(%)=ax2—(a+2)%+In%+1(。eR).

⑴當(dāng)a=1時(shí)，求"%)的極值；

2

(2)若Wxi，X2e(0,+8),當(dāng)X1KX2時(shí)，寫(xiě)E詈>—2恒成立，求a的取值范圍.

17.(本小題12分)

設(shè)a>0且aW1,函數(shù)/(%)=loga(x-l),g(x)=loga(2x+t)(teR).

(1)當(dāng)t=1時(shí)，求不等式2/(%)<g(x)的解集；

(2)若函數(shù)九(%)=篦(%)+觀2+2七+2在區(qū)間(1,3］上有零點(diǎn)，求t的取值范圍.

18.(本小題12分)

已知函數(shù)/'(%)=axlnx--%--+2(aeR).

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與直線2y+3=0平行，求f。)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)x21時(shí)，/(x)>0,求a的取值范圍.

19.(本小題12分)

已知函數(shù)人%)的定義域和值域分別為4B,若函數(shù)g(x)滿足：(i)。(久)的定義域?yàn)锽；(ii)g(x)的值域?yàn)?/p>

A；(iii)VxEB,x=y(gO)),Vx6A,x=5(/(%)),則稱(chēng)g(%)與f(%)具有N關(guān)系.

(1)若fO)=2x,判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否與f(x)具有N關(guān)系，并說(shuō)明理由；

①y=210g2X；②y=log2x.

(2)若以久)與/(x)具有N關(guān)系，證明：函數(shù)g(X)的圖象與/(約的圖象關(guān)于直線y=%對(duì)稱(chēng)；

(3)已知函數(shù)F(x)=e\GQ)與F(x)具有N關(guān)系，令/(x)=F(x)G(x)-l.

①判斷函數(shù)人尤)的單調(diào)性；

②證明：Vx>2,“久：1)>x2

第3頁(yè)，共8頁(yè)

參考答案

1.D

2.D

3.X

4.B

5.C

6.D

7.4

8.C

9.BCD

10.BC

11.ACD

12.6

13.（-1,1）

14.y=2x-3

15.解：（1）因?yàn)?（久0）=-1,所以loga久0+孫-2=-1,

即log/o=1-劭，所以涼-工。=%，

因?yàn)?'（X。）=-L所以必廠1+%0-3=-1，即必廠1=2r0,

因?yàn)楸?。?1-/。=a0—1,

所以久o（2-xo）=1,解得%o=1.

（2）因?yàn)?1，尤2分別為/（久），的零點(diǎn)，

所以/'（久1）=0,即必111+久1-3=0,

x-1

所以於111+logaai-2=0,所以9（必1-1）=0,

因?yàn)閍>1,所以9（久）=logax+久一2在（0,+8）上單調(diào)遞增，

又。（%2）=0,所以％2=戶(hù)1—1,

因?yàn)楸?-1+句-3=0,所以肛+%2=3.

16.解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，/（x）=%2—3x+Inx+1,

/。）的定義域?yàn)椋?,+8）,1⑶=2久-3+"2工｛（I）,久>0.

11

令,（%）>0,得0<%<5或］>1,令［（X）<0,得萬(wàn)<%<1,

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所以八支)在(01)和(1，+8)上單調(diào)遞增，在&1)上單調(diào)遞減,

所以/(%)在％處取得極大值，在％=1處取得極小值.

所以/(%)極大值=/(1)=一亨一仇2,/(%)極小值=/(I)=-1.

(2)因?yàn)閂xi，XG(0,+8),當(dāng)％]力久2時(shí)，筆E戶(hù)>一2恒成立，

2九1

所以VX1，X2G(0,+8),當(dāng)比17X2時(shí)，代工。+2〉二，了2)+2工21>0恒成立,

所以函數(shù)y=/(%)+2%在(0,+8)單調(diào)遞增，

令9(%)=/(%)+2%=ax2—ax+In%+1,

貝!Jd(%)=2ax-a+￡=2收?。?1,

所以2a%2-Q%+1)0在(0,+8)上恒成立，

若a=0顯然符合題意；

若aH0,因?yàn)楹瘮?shù)y=2ax2-ax+1圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為％=).

(a>0

所以,(才-a[+1)(T解得：0<a48,

綜上，a的取值范圍為[0,8].

17.解：⑴當(dāng)t=l時(shí),不等式2/(久)49(久),

可化為210ga(K—l)410ga(2x+1),

,X-1>0

若0<a<1,則,2x+1>。，

.(x—1)2》2X+1

解得x》4,

不等式2/(x)《g(x)的解集為[4,+8).

,x-1>0

若a>1,貝小2x+1>0,

,(x—1)2<2X+1

解得1<x44,

不等式2f(x)《g(x)的解集為(1,4].

綜上所述：

當(dāng)0<a<l時(shí)，2/(x)4g(x)的解集為[4,+8)；

當(dāng)a>l時(shí)，2/O)&g(x)的解集為(1,4],

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(2)由題意知:h(x)=+tx2+2t+2

=x—1+tx2+2t+2=tx2+x+2t+1,

令+%+2t+1=0,BPt(x2+2)=—(%+1),

x6(1,3］,?,?%+1E(2,4］,

r1T"2-4-Q

???tH0,x2+2HO,-=----

tx+1

設(shè)TH=%+1G(2,4得=+2__0n_|_m+2,

因?yàn)楹瘮?shù)y=-(m+§+2在(2,4］上單調(diào)遞減，

所以一?《:<—1?所以一■!<［《一白?

4-CZD11

故實(shí)數(shù)t的取值范圍為

Q1QI

18.解：(1)/(%)=ax\nx--x--+2(a6R),/'(%)=alnx+a--+

乙乙人乙乙人

曲線y=f(久)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與直線2y+3=0平行,

((1)=a—1=0今a=1,則/''(X)=lnx—1+去.

令g。)=In久一打表則g'(x)=;_*=4導(dǎo)，

當(dāng)xG(0,1)時(shí)，g'(x)<0,當(dāng)xG(1,+8)時(shí)，“(X)>0,

???。(久)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

g(x)min=g(l)=。，即VxG(0,+OO),g(x)>0,即/''(X)>0,

/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間.

3131

(2)/(%)=a%ln%—/一五+2(%>1),/'(%)=alnx+。一,+詬，

令h(%)=alnx+a-1+^7(x>l),則h'Q)=:==收,%>1),

當(dāng)。<0時(shí)，h!{x)<0,h(%)在［L+8)上單調(diào)遞減，又h(l)=V0,

???h(x)<0,即1(%)<0,f(%)在［1,+8)上單調(diào)遞減,

又/(I)=0,貝行(%)<0,不合題意.

當(dāng)a>0時(shí)，令兄⑶=0,得久=口負(fù)根舍),

若0<a<l,則Jj>l，則旗久)在(1,9)上單調(diào)遞減，在(耳，+8)上單調(diào)遞增,

第6頁(yè)，共8頁(yè)

又九(l)=a—1<0,所以在(I，5上/i(x)<0,即/(幻<0,

又/(I)=0,所以在(1,白)上人式)<0,與題意不符；

若a21,則J|wi,則九'(%)20,故%(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增，

又八⑴=a—120,所以%。)20,即f(x)20在［1,+8)上恒成立,

所以f(x)在［1,+8)上單調(diào)遞增,又f(l)=0,所以VxG［1,+8),/(X)>0.

綜上所述，a的取值范圍是［1,+8).

19.(1)解：y=21og2%與/'(久)=2*不具有N關(guān)系，y=log2%與/'(%)=2工具有N關(guān)系.

理由如下：因?yàn)?1(X)=2工,則其定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+8),y=21og2%和y=log2%的定義域均為

(0,+oo),值域均為R,滿足條件①和(譏)，

x

若g(x)=21og2x,則f(g(x))=2。(*)=221幅工=X2,。(/⑶)=21og22=2x,不滿足條件(M),故y=2

log2久與/■(>)不具有N關(guān)系；

laxx

若g(x)=log2x,則Vxe(0,+oo),f(g(x))=2^=x,VxeR,g(/Q))=log22=x,滿足條件

(1五),故y=log2%與/'(久)具有N關(guān)系.

(2)證明：在函數(shù)g(x)的圖象上任取一點(diǎn)P(?n,g(ni)),mEB,g(m)6A,其關(guān)于直線y=乂的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

因?yàn)閂xeB,X=F(g(X)),所以f(g(m))=m,即點(diǎn)P'(gO),m)在函數(shù)f(x)的圖象上,

在/'(久)的圖象上任取一點(diǎn)QO/O)),nEA,f(n)EB,其關(guān)于直線y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。(/(冗),")，

因?yàn)閂xeA,X=g(/(x)),所以g(/(n))=n,即點(diǎn)Q'(/(X),?1)在函數(shù)g(x)圖象上，

所以9(x)的圖象和f(>)的圖象關(guān)于直線y=久對(duì)稱(chēng).

(3)①解:由題意,/(x)=ex\nx-l,其定義域?yàn)?0,+8),

((久)=ex\nx+^ex=^-(xlnx+1).

1

令g(%)=xlnx+1,則“(%)=Inx+1,易知g'(工)=