北京市大興區(qū)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

高一數(shù)學(xué)本試卷共4頁，150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.設(shè)集合，則不正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，再根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系及子集的性質(zhì)逐一判斷.【詳解】，顯然A正確；B不正確；因?yàn)槭侨魏渭系淖蛹?；任何集合都是它本身的子集，故C、D正確；故選：B.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定結(jié)構(gòu)直接判斷即可【詳解】命題“”的否定為：.故選：D3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且值域?yàn)榈氖牵ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷定義域，再判斷函數(shù)奇偶性，最后再根據(jù)定義域得到值域即可求出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A，定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)不是奇函數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于B，定義域?yàn)?，，所以該函?shù)不為奇函數(shù)，該選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于C，定義域?yàn)椋?，則該函數(shù)為奇函數(shù)，又值域?yàn)?，該選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D，定義域?yàn)?，，則該函數(shù)為奇函數(shù)，但值域?yàn)?，該選項(xiàng)不符合題意；故選：C.4.已知，且，則的最小值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】對(duì)條件變形，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故選：C.5.設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，則“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，，a=2，．【詳解】根據(jù)不等式的可加性可得成立；反之不成立，例如取，，a=2，，滿足，但是不成立，∴是的充分不必要條件，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求解函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合題給的區(qū)間求解參數(shù)的范圍，最后得出答案.【詳解】根據(jù)題意，.設(shè)，且，，.時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)，在上單調(diào)遞減.根據(jù)題意，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，.故選：B.7.下列四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義依次分析各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，a2>b2?對(duì)于B選項(xiàng)，，兩者互為充要條件，故不成立；對(duì)于C選項(xiàng)，，反之，不然，故滿足條件；對(duì)于D選項(xiàng)，，故是的必要不充分條件，不滿足；綜上，只有C正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查充分不必要條件，是基礎(chǔ)題.8.若不等式對(duì)任意的恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】令，將問題轉(zhuǎn)化為，分類討論與兩種情況討論，得到關(guān)于的不等式，解之即可得解.【詳解】令，的對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，，所以，則，故；當(dāng)，即時(shí)，，所以，則，故；綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.9.定義在上的偶函數(shù)滿足：，且對(duì)任意的，都有，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判斷單調(diào)性，結(jié)合奇偶性，分和討論即可得解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的，都有，所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，當(dāng)時(shí)，，可得0<x<2；當(dāng)時(shí)，，可得.綜上，不等式的解集為.故選：C10.已知函數(shù)，集合，則（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知判斷二次函數(shù)的開口方向和的范圍，利用韋達(dá)定理求的根，然后可得的解集，利用二次函數(shù)單調(diào)性即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，又，所以，所以，因?yàn)椋?，所以的一個(gè)根為1，由韋達(dá)定理可得，的另一個(gè)根為，所以的解集為，所以，由單調(diào)性可知恒成立.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于利用韋達(dá)定理求解不等式的解集，然后結(jié)合單調(diào)性即可得解.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)得到不等式，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，即函?shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧椋?2.設(shè)，則與的大小關(guān)系是______．【答案】【解析】【分析】用作差法比較大小即可．【詳解】，所以．故答案為：．13.函數(shù)則______；不等式的解集為______．【答案】①.0②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出的值，即可求得的值；根據(jù)分段函數(shù)的解析式，對(duì)自變量進(jìn)行討論，解不等式即可得到答案.【詳解】因?yàn)椋?，即；依題意，不等式等價(jià)于：或，解，得：；解，得：；綜上可得：或，故原不等式的解集為.故答案為：0，14.定義域相同，值域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同的兩個(gè)函數(shù)可以是______，______．【答案】①.（不唯一）②.（不唯一）【解析】【分析】根據(jù)定義域、值域相同即可得解.【詳解】根據(jù)定義域、值域相同，可取，兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域都為.故答案為：；（答案不唯一）15.已知函數(shù)定義域?yàn)?，若滿足：對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，總有成立，則稱為單函數(shù)．給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）不是單函數(shù)；（2）是單函數(shù)；（3）若為單函數(shù)，則在定義域上一定是單調(diào)函數(shù)；（4）若為單函數(shù)，則對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)，總有成立．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．【答案】（1）（2）（4）【解析】【分析】取特殊值，根據(jù)新定義判斷（1），根據(jù)新定義推理可判斷（2），舉反例判斷（3），反證法判斷（4）.【詳解】對(duì)（1），因?yàn)?，，不滿足單函數(shù)定義，所以不是單函數(shù)，故（1）正確；對(duì)（2），，當(dāng)時(shí)，可得，即，所以是單函數(shù)，故（2）正確；對(duì)（3），為單函數(shù)，可取，但是在定義域上不單調(diào)，故（3）錯(cuò)誤；對(duì)（4），當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則由單函數(shù)定義，可得，矛盾，故，故（4）正確.故答案為：（1）（2）（4）三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）求在區(qū)間上的最大值與最小值；（3）設(shè)，求證：．【答案】（1）（2）最大值為5，最小值為（3）證明見解析【解析】【分析】（1），即，解一元二次不等式即可；（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，利用單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）利用作差法即可得證.【小問1詳解】由，可知，即，解得或，所以的解集為.【小問2詳解】因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，.【小問3詳解】因?yàn)椋?，所以，?17.已知集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）再從條件（1）、條件（2）這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求取值范圍．條件（1）：；條件（2）：“”是“”的充分條件．注：如果選擇條件（1）和條件（2）分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）；（2）答案見解析；【解析】【分析】（1）由集合的交并補(bǔ)運(yùn)算得到結(jié)果即可；（2）選條件（1）時(shí)由補(bǔ)集和集合間的包含關(guān)系計(jì)算即可；選條件（2），先由充分條件得到，再計(jì)算即可；【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，或，所以，【小問2詳解】選條件（1），或，，因?yàn)?，所以，即；選條件（2），因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞謼l件，所以，所以，即.18.已知函數(shù)．（1）判斷的奇偶性，并說明理由；（2）用單調(diào)性定義證明在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）若的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，求的取值范圍．【答案】（1）是偶函數(shù)，理由見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】（1）求出定義域，找出的關(guān)系；（2）利用四步證明，取值，作差變形，定號(hào)，下結(jié)論；（3）根據(jù)偶函數(shù)及在上單調(diào)遞減，要使，與軸交于正半軸且將代入函數(shù)值小于．【小問1詳解】解：的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)；【小問2詳解】解：且，且，，，，，則，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減；【小問3詳解】解：的圖象與軸交于兩點(diǎn)，且，則，解得：．19.已知經(jīng)過年某汽車的總花費(fèi)由購車費(fèi)、維修費(fèi)和其他費(fèi)用組成，其中購車費(fèi)用是22.5萬元，使用年的維修費(fèi)為萬元，且每年的其他費(fèi)用為0.8萬元．（1）求經(jīng)過2年該車的總花費(fèi)為多少萬元；（2）設(shè)經(jīng)過年該車的年平均花費(fèi)為萬元，寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求的最小值．【答案】（1）經(jīng)過2年該車的總花費(fèi)為萬元；（2），的最小值為萬元【解析】【分析】（1）設(shè)總花費(fèi)為萬元，根據(jù)題意列出總費(fèi)用的表達(dá)式，再將代入計(jì)算即可；（2）利用，再利用基本不等式求最值．【小問1詳解】解：設(shè)總花費(fèi)為萬元，則，當(dāng)，（萬元），答：經(jīng)過2年該車總花費(fèi)為萬元；【小問2詳解】解：由題意得：，，，當(dāng)且僅當(dāng)：，即，等號(hào)成立，故的最小值為萬元．20.已知函數(shù)．令函數(shù)（1）若，求的值；（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，當(dāng)時(shí)，．（i）直接寫出當(dāng)時(shí)，的解析式；（ii）對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)值求得的值；（2）（i）根據(jù)對(duì)稱求出解析式；（ii）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)可求出取值.【小問1詳解】當(dāng)，即，解得或，當(dāng)，即，解得，所以，當(dāng)或，若，即，解得，矛盾，當(dāng)，若，即，解得，（舍），所以當(dāng)時(shí)，；【小問2詳解】（i）設(shè)，則，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)，即時(shí)，，則，當(dāng)，即時(shí)，，則，所以；（ii）根據(jù)以上條件可得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以該函數(shù)在和1,+∞上為增函數(shù)，在?1,1上為減函數(shù)，又，由（1）可知當(dāng)時(shí)，時(shí)，求得，不存在的值，當(dāng)時(shí)，，令，求得，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以的取值范圍為.21.若含有4個(gè)元素的數(shù)集能滿足，則稱數(shù)集具有性質(zhì)．給定集合.（1）寫出一個(gè)具有性質(zhì)的集合，并說明理由；（2）若，證明：集合和不可能都具有性質(zhì)；（3）若集合有4個(gè)元素，，且，，證明：這個(gè)集合不可能同時(shí)都具有性質(zhì)．【答案】（1）（2）答案見解析（3）答案見解析【解析】【分析】（1）需要根據(jù)性質(zhì)的定義，在給定集合中找出滿足條件的四個(gè)元素組成集合，并驗(yàn)證.（2）需要假設(shè)它們都具有性質(zhì)，然后推出矛盾.這里要用到性質(zhì)的定義以及集合的相關(guān)性質(zhì).（3）可以采用反證法，假設(shè)這個(gè)集合都具有性質(zhì)，然后根據(jù)集合的并集、交集性質(zhì)以及性質(zhì)的定義推出矛盾.【小問1詳解】取，滿足，所以是具有性質(zhì)的集合.【小問2詳解】因?yàn)?，所以和中一個(gè)為奇數(shù)，一個(gè)為偶數(shù).所以中至多