北京中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)訓(xùn)練：平行線與相交線 專項(xiàng)練習(xí)（含答案）

專題16平行線與相交線2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練（北京

專用）

一'單選題

1.（2022?朝陽模擬）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶按圖折疊，則N1的度數(shù)等于

（）

A.65°B.70°C.75°D.80°

2.（2022?朝陽模擬）如圖，Z1=42,ZD=50°,貝此8的度數(shù)為（)

A.50°B.40°C.100°D.130°

3.（2021七上?石景山期末）如圖，測量運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)成績選取的應(yīng)是圖中

A.線段PA的長度B.線段PB的長度

C.線段PM的長度D.線段PH的長度

4.（2021八上?東城期末）如圖，BD是△ABC的角平分線，DE||BC,交AB于點(diǎn)

E.若乙4=30°,乙BDC=50°,貝iJzBDE的度數(shù)是（）

A.10°B.20°C.30°D.50°

5.（2021八上.朝陽期末）點(diǎn)P在NAOB的平分線上（不與點(diǎn)O重合），PCLOA于點(diǎn)

C,D是OB邊上任意一點(diǎn)，連接PD.若PC=3,則下列關(guān)于線段PD的說法一定正確

的是（）

A.PD=POB.PD<3

C.存在無數(shù)個(gè)點(diǎn)D使得PD=PCD.PD>3

6.（2022?門頭溝模擬）如圖，AB||CD.點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F在直線CD上，

過點(diǎn)E作GE1EF于E,如果乙GEB=120°,那么Z.EFD的大小為（）

G

A------------B

'-D

A.60°B.50°C.40°D.30°

7.（2022?平谷模擬）如圖，直線48〃CD,點(diǎn)尸是CD上一點(diǎn)，ZEFG=90°,EF交

A3于若/CTG=35。，則/AME的大小為（）

A.35°B.55°C.125°D.130°

8.（2022?順義模擬）如圖，直線allb,點(diǎn)B在直線a上,AB1BC,若Nl=40°,則N

2的度數(shù)為（）

9.（2022七下?海淀期末）如圖，直線AB||CD,CB平分NACD,21=50。，則N2的度

10.（2022?昌平模擬）如圖，。。的直徑AB1CD,垂足為E,乙4=30。，連接C。并延

長交。。于點(diǎn)F,連接FC,則ZCFC的度數(shù)為（)

A.30°B.45°C.60°D.75°

二'填空題

11.（2021七上誕慶期末）如圖所示，點(diǎn)A,B,C,D在同一條直線上.在線段PA,

PB,PC,PD中，最短的線段是,理由是.

12.（2021七上?通州期末）如圖，從人行橫道線上的點(diǎn)P處過馬路，下列線路中最短的

是線路，理由是

13.（2021八上?懷柔期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M（2,t-2）與點(diǎn)N關(guān)于過點(diǎn)

（0,t）且垂直于y軸的直線對稱.

（1）當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為；

（2）以MN為底邊作等腰三角形MNP.

①當(dāng)t=l且直線MP經(jīng)過原點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為；

②若AMNP上所有點(diǎn)到x軸的距離都不小于a（a是正實(shí)數(shù)），貝Ut的取值范圍是一

（用含a的代數(shù)式表示）

14.（2021七上?昌平期末）如圖，點(diǎn)P是直線1外一點(diǎn)，從點(diǎn)P向直線1弓|尸4PB,

PC,PD幾條線段，其中只有線段PC與直線1垂直.這幾條線段中，的長度

最短.

I

ABCD

15.（2021七上?密云期末）/AOB的大小可由量角器測得（如圖所示），則NAOB的補(bǔ)

角的大小為度.

16.（2021七上?房山期末）如圖，在公園綠化時(shí)，需要把管道1中的水引到A,B兩

處.工人師傅設(shè)計(jì)了一種又快又節(jié)省材料的方案如下:

B.

A.

畫法：如圖，

⑴連接AB；

⑵過點(diǎn)A畫線段AC1直線1于點(diǎn)C,所以線段AB和線段AC即為所求.

請回答：工人師傅的畫圖依據(jù)是.

17.（2021八上,石景山期末）如圖，點(diǎn)D是乙40B的平分線OC上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作。E||

0B交射線OA于點(diǎn)E,則線段DE與OE的數(shù)量關(guān)系為：DEOE（填“>”或

18.（2021九上?燕山期末）下面給出了用三角尺畫一個(gè)圓的切線的步驟示意圖，但順序

需要進(jìn)行調(diào)整，正確的畫圖步驟是

19.（2021九上?豐臺(tái)期末）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，E為直徑AB延長線上一

點(diǎn)，且ABIIDC,若NA=70。，貝吐CBE的度數(shù)為.

20.（2022七下,通州期末）如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線上，請你寫出一個(gè)能使

4B||CD成立的條件：.（只寫一

個(gè)即可，不添加任何字母或數(shù)字）

三、綜合題

21.（2022?朝陽模擬）已知等腰直角AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,以A為頂點(diǎn)

作等腰直角AADE,其中AD=DE.

（1）如圖1,點(diǎn)E在BA的延長線上，連接BD,若/DBC=30。，若AB=6,求

BD的值；

（2）將等腰直角AADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,連接BE,CE,過點(diǎn)D作DFL

CE交CE的延長線于F,交BE于M,求證：BM=1BE；

（3）如圖3,等腰直角AADE的邊長和位置發(fā)生變化的過程中，DE邊始終經(jīng)過BC

的中點(diǎn)G,連接BE,N為BE中點(diǎn)，連接AN,當(dāng)AB=6且AN最長時(shí)，連接NG并

延長交AC于點(diǎn)K,請直接寫出AANK的面積.

22.（2021八上?門頭溝期末）已知，如圖，在AABC中，ZC=90°,AD平分/BAC

交BC于D,過D作DE〃AC交AB于E.

c

D

(1)求證：AE=DE；

(2)如果AC=3,AD=2V3,求AE的長.

23.(2021八上?延慶期末)尺規(guī)作圖:

已知：如圖1,直線MN和直線MN外一點(diǎn)P.

求作：直線PQ,使直線PQIIMN.

小智的作圖思路如下：

①如何得到兩條直線平行？

小智想到，自己學(xué)習(xí)線與角的時(shí)候，有4個(gè)定理可以證明兩條直線平行，其中有“內(nèi)

錯(cuò)角相等，兩條直線平行”.

②如何得到兩個(gè)角相等？

小智先回顧了線與角的內(nèi)容，找到了幾個(gè)定理和1個(gè)概念，可以得到兩個(gè)角相

等.小智又回顧了三角形的知識(shí)，也發(fā)現(xiàn)了幾個(gè)可以證明兩個(gè)角相等的定理.最后，

小智選擇了角平分線的概念和“等邊對等角”.

③畫出示意圖：

④根據(jù)示意圖，確定作圖順序.

(1)使用直尺和圓規(guī)，按照小智的作圖思路補(bǔ)全圖形1(保留作圖痕跡);

(2)完成下面的證明：

證明：：AB平分NPAN,

.\ZPAB=ZNAB.

VPA=PQ,

AZPAB=ZPQA(①).

Z.ZNAB=ZPQA.

.,.PQHMN(②).

(3)參考小智的作圖思路和流程，另外設(shè)計(jì)一種作法，利用直尺和圓規(guī)在圖2中

完成.(溫馨提示：保留作圖痕跡，不用寫作法和證明)

24.(2022?朝陽模擬)如圖，已知AABC中，乙4cB=60。，BC<AB<AC.

(1)求作NPBC,使得“BC=30。且點(diǎn)P在AC上：要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保

留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，若4B=4/，乙4=45。，求ZC的長度.

25.(2021九上?朝陽期末)對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P給出如下定

義：Q為圖形M上任意一點(diǎn)，若P,Q兩點(diǎn)間距離的最大值和最小值都存在，且最大

值是最小值的2倍，則稱點(diǎn)P為圖形M的“二分點(diǎn)”.

已知點(diǎn)N(3,0),A(1,0),B(0,V3).C(V3,-1).

(1)①在點(diǎn)A,B,C中，線段ON的“二分點(diǎn)”是；

②點(diǎn)D(a,0),若點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，求a的取值范圍；

(2)以點(diǎn)O為圓心，r為半徑畫圓，若線段AN上存在。。的“二分點(diǎn)”，直接寫出

r的取值范圍.

26.(2022?海淀模擬)如圖，。。是AABC的外接圓，AB是。。的直徑，點(diǎn)D為力C的

中點(diǎn)，。。的切線DE交OC延長線于點(diǎn)E.

(1)求證：DE-,

(2)連接BD交AC于點(diǎn)P,若ZC=8,COSTI=求DE和BP的長.

27.(2021七上?燕山期末)如圖，已知NMON=60。，點(diǎn)A在射線OM上，點(diǎn)B在射線

ON下方.請選擇合適的畫圖工具按要求畫圖并回答問題.(要求：不寫畫法，保留畫

圖痕跡)

(1)過點(diǎn)A作直線1,使直線1只與NMON的一邊相交；

(2)在射線ON上取一點(diǎn)C,使得OC=OA,連接AC,度量NOAC的大小

為°;(精確到度)

(3)在射線ON上作一點(diǎn)P,使得AP+BP最小，作圖的依據(jù)

是.

28.(2021八上?豐臺(tái)期末)下面是小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖，在RtZkABC中，ZABC=90。.

求作：點(diǎn)使得點(diǎn)。在BC邊上，且到4B和4c的距離相等.

作法：①如圖，以點(diǎn)力為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AB,4c于點(diǎn)M,N；

②分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于4MN為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P;

③畫射線4P,交BC于點(diǎn)D.

所以點(diǎn)。即為所求.

根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程，

(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；(保留作圖痕跡)

(2)完成下面的證明.

證明：過點(diǎn)。作DE14C于點(diǎn)E,連接MP,NP.

在△AMP和△ANP中，

"JAM=AN,MP=NP,AP=AP,

:.AAMP義AANP(SSS).

Z____________▲____________=Z____________

,：ZABC=90°,

：.DBLAB.

,：DE1XC,

：.DB=DE(A).

29.(2022七下?豐臺(tái)期末)閱讀下列材料：

如圖1,AB||CD,E,尸分別是AB,CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P在AB,CD之間，連接PE,

PF.用等式表示乙4EP,ZEPF與NCFP的數(shù)量關(guān)系.

小剛通過觀察，實(shí)驗(yàn)，提出猜想：乙EPF=LAEP+乙CFP.

接著他對猜想的結(jié)論進(jìn)行了證明，證明思路是：

過點(diǎn)P作PMIIAB,由ABIICD,可得PM||CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得21=

2LAEP,Z2=乙CFP,從而證得NEPF=^AEP+乙CFP.

圖1

請你利用小剛得到的結(jié)論或解題思路，完成下列問題.

已知AB||CD,E,F分別是AB,CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P在AB,CD之間，連接PE,PF.

(1)如圖2,若乙4EP=45。，ZEPF=80°,則乙PF。的度數(shù)為；

圖2

(2)如圖3,"EP與NCFP的平分線交于點(diǎn)Q,用等式表示“P尸與乙EQF的數(shù)量關(guān)

系，并證明；

圖3

(3)如圖4,NAEP與"FP的平分線交于點(diǎn)Q,直接用等式表示NEP尸與NEQF的數(shù)

量關(guān)系.

30.(2021九上?平谷期末)如圖，ZMAN=45°,B是射線AN上一點(diǎn)，過B作BC_L

AM于點(diǎn)C,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，作射線AD,過B作連接CE.

(1)依題意補(bǔ)全圖形；

(2)求證：NCAE=NDBE；

(3)用等式表示線段CE、BE、AE的數(shù)量關(guān)系，并證明.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖，

?.?AB〃CD,

.,.ZBAC+ZACD=180°,

VZACD=40°,

AZBAC=140°,

VZ1=Z2,

???N1=；NBAC=7O。，

故答案為：B.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)解決問題即可。

2.【答案】D

【解析】【解答】丁/2=NDFA,N1=N2,

AZ1=ZDFA,

???AB〃CD,

AZB+ZD=180°,

VZD=50°,

.\ZB=130o,

故答案為：D

【分析】先證明AB〃CD,再根據(jù)平行線的性質(zhì)求出NB。

3.【答案】D

【解析】【解答】解：如圖所示：

過點(diǎn)P作PHXAB于點(diǎn)H,PH的長就是該運(yùn)動(dòng)員的跳遠(yuǎn)成績,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)所給的圖片，求出運(yùn)動(dòng)員跳遠(yuǎn)成績即可。

4.【答案】B

【解析】【解答】解：(1)VZA=30°,NBDC=50。，NBDC=NA+NABD,

二ZABD=ZBDC-ZA=50°-30°=20°,

VBD是AABC的角平分線，

.*.ZDBC=ZABD=20o,

VDE//BC,

.,.ZEDB=ZDBC=20°,

故答案為：B.

【分析】先利用三角形的外角的性質(zhì)求出NABD=NBDC-NA,再根據(jù)角平分線的性

質(zhì)可得/DBC=NABD=20。，最后利用平行線的性質(zhì)可得NEDB=/DBC=20。。

5.【答案】D

【解析】【解答】解：?.?點(diǎn)P在/AOB的平分線上，PCLOA于點(diǎn)C,PC=3,

.??點(diǎn)P到OB的距離為3,

?.?點(diǎn)D是OB邊上的任意一點(diǎn)，根據(jù)垂線段最短，

/.PD>3.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，再利用垂

線段最短的性質(zhì)可得答案為3.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：?.?NGEB=120。，

，ZGEA=180°-ZGEB=60°,

'：GEA_EF,

，ZGEF=90°,

：.NAEF=30。,

'：AB//CD,

：.ZEFD=Z.AEF^0°

故答案為：D

【分析】先利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出NAEG=60。，再求出NAEF=30。，再根據(jù)平行線的

性質(zhì)可得ZEFD=ZAEF=30°。

7.【答案】B

【解析】【解答】解：?.?/EPG=90°,ZCFG=35°,

：.ZCFE=ZEFG-ZCFG=55°,

'：AB//CD,

：.ZAME=ZCFE=55°,

故答案為：B.

【分析】先求出NCFE的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)可得NAME=NCFE=55。。

8.【答案】B

【解析】【解答】解：如圖可得：Zl+23+90。=180。，

Z3=50°,

a\\b,

Z2=Z3=50°（兩直線平行同位角相等）.

【分析】因?yàn)閮删€平行，同位角相等，可知N2=N3,而N1與N3互余，即可得到答

案

9.【答案】A

【解析】【解答】解：4B||CD,zl=50。，

乙BCD=21=50°,

???CB平分"CD,

Z2=乙BCD=50°,

故答案為：A.

【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得ZBCD=21=50。，再利用角平分線的定義可得

Z2=4BCD=50°o

10.【答案】C

【解析】【解答】解：???OA=OC,

/.ZOCA=ZA=30°,

二ZBOC=ZOCA+ZA=60°,

YCF是。O的直徑，

...ZCDF=90。，即FD_LCD,

又：AB_LCD,

AABHDF,

AZCFD=ZBOC=60°.

故答案為：C.

【分析】先求出NBOC=NOCA+NA=60。，再利用平行線的性質(zhì)可得/CFD=/BOC

=60°o

11.【答案】PC；垂線段最短

【解析】【解答】解：：PC，AD,PA,PB,PD都不垂直于AD,

由垂線段最短可得，最短的線段是PC,

理由是：垂線段最短.

故答案為：PC；垂線段最短.

【分析】根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)求解即可。

12.【答案】PC；垂線段最短

【解析】【解答】解：???點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，

..?從人行橫道線上的點(diǎn)P處過馬路，線路最短的是PC,

故答案為：PC.

【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短，求解即可。

13.【答案】(1)(2,-1)

(2)(-2,1)；t2a+2或t9a-2

【解析】【解答】(1)過點(diǎn)(0,t)且垂直于y軸的直線解析式為y=t

?.?點(diǎn)M(2,t-2)與點(diǎn)N關(guān)于過點(diǎn)(0,t)且垂直于y軸的直線對稱

，可以設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(2,n),且MN中點(diǎn)在y=t上

2=記得n—t+2

.?.點(diǎn)N坐標(biāo)為(2,t+2)

.?.當(dāng)t=-3時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2,-1)

(2)①I?以MN為底邊作等腰三角形MNP,且點(diǎn)M(2,t-2)與點(diǎn)N直線y=t對稱.

，點(diǎn)P在直線y=t上，且P是直線OM與y=l的交點(diǎn)

當(dāng)t=l時(shí)M(2,-1),N(2,3)

/.OM直線解析式為y=

,當(dāng)y=l時(shí)1=一寺％,x=-2

；.P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,1)

②由題意得，點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,t-2),點(diǎn)N坐標(biāo)為(2,t+2),點(diǎn)P坐標(biāo)為(P,t)

Vt-2<t<t+2,AMNP上所有點(diǎn)到x軸的距離都不小于a

.只需要|t-2|>a或者|t+2\>a

當(dāng)M、N、P都在x軸上方時(shí)，0<t—2<t<t+2,此時(shí)t—22a,解得t2a+2

當(dāng)AMNP上與x軸有交點(diǎn)時(shí)，此時(shí)AMNP上所有點(diǎn)到x軸的距離可以為0,不符合要

求；

當(dāng)M、N、P都在x軸下方時(shí)，t-2<t<t+2<0,it匕時(shí)|t+2|2a,解得t9a-2

綜上t>a+2或t<-a-2

【分析】(1)先求出嘩Z=t,再求出點(diǎn)N坐標(biāo)為(2,t+2),最后求解即可；

(2)①先求出OM直線解析式為=再求點(diǎn)的坐標(biāo)即可；

②先求出|t-2|Na或|t+2|Na,再分類討論計(jì)算求解即可。

14.【答案】PC

【解析】【解答】解：直線外一點(diǎn)P與直線1上各點(diǎn)連接的所有線段中，最短的是PC,

依據(jù)是垂線段最短，

故答案為：PC.

【分析】根據(jù)垂線段最短，作答即可。

15.【答案】140

【解析】【解答】解：由題意，可得/AOB=40。，

則NAOB的補(bǔ)角的大小為：180。-/AOB=140。.

故答案為：140.

【分析】根據(jù)量角器可得NAOB=40。，再利用補(bǔ)角的定義可得180。-/AOB=140。。

16.【答案】兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短

【解析】【解答】解：由于兩點(diǎn)之間距離最短，故連接AB,

由于垂線段最短可知，過點(diǎn)A作ACJ_直線1于點(diǎn)C,此時(shí)AC最短，

故答案為：兩點(diǎn)之間，線段最短；垂線段最短.

【分析】根據(jù)題意作圖，再根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短和垂線段最短求解即可。

17.【答案】=

【解析】【解答】解：：ED〃OB,

.\ZEDO=ZDOB,

VD是NAOB平分線OC上一點(diǎn)，

.\ZEOD=ZDOB,

/.ZEOD=ZEDO,

，DE=OE,

故答案為：=.

【分析】先求出NEDO=/DOB,再求出NEOD=NEDO,最后求解即可。

18.【答案】②③④①

【解析】【解答】解：第一步：先根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，確定圓的一條直徑與

圓的交點(diǎn)，即圖②，

第二步：畫出圓的一條直徑，即畫圖③；

第三邊：根據(jù)切線的判定可知，圓的一條切線與切點(diǎn)所在的直徑垂直，確定切點(diǎn)的位

置從而畫出切線，即先圖④再圖①，

故答案為：②③④①.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，再利用尺規(guī)作圖即可得出答案。

19.【答案】110°

【解析】【解答】解：???四邊形ABCD內(nèi)接于。0,

，乙4+ZC=180°,

?.Z=70°,

AZC=110°,

AB||DC,

:.乙CBE=ZC=110°；

故答案為：110。.

【分析】首先利用平行線的性質(zhì)求得NC=110。，在利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得答案

即可。

20.【答案】Zl=ZB或N2+乙B=180。或ZA+2。=180°

【解析】【解答】解：當(dāng)Nl=NB或N2+ZB=180?；騈4+ND=180。時(shí)，AB||CD,

故答案為：zl=NB或Z2+乙B=180?；騔A+ND=180°.

【分析】根據(jù)平行線的判定方法逐項(xiàng)判斷即可。

21.【答案】（1）解：如圖1,過點(diǎn)B作BT_LDA交DA延長線于T,

圖1

???△ABC、AADE都是等腰直角三角形，

?.ZEAD=ZABC=45°,

ADT/ZBC,

AZBAT=ZABC=45°,ZADB=ZDBC=30°,

VZT=90°,AB=6,

/.BT=AT=3V2，

.,.BD=2BT=6VI;

(2)證明：如圖2,延長ED到R,使DR=DE,連接AR、BR,延長RB交CF的延

長線于J,

R,

J

圖2

*.?ZADE=90°,

AAD±ER,

VDR=DE,

AAD垂直平分RE,

?'?AR=AE,

TAD=DR=DE,

JNRAE=NBAO90。，

JNRAB=NEAC,

VAR=AE,AB二AC,

AARAB^AEAC(SAS),

ZABR=ZACE,

VZABR+ZABJ=180°,

AZACJ+ZABJ=180°,

JZJ+ZBAC=180°,

VZBAC=90°,

JZJ=90°,

VDF±CF,

???NDFC=NJ=90。，

???DF〃RJ,

.DE_EM

U9RD~MB"

〈DE=DR,

.\EM=BM,

：.BM=1BE；

(3)解：SAANK=.+2；南，

【解析】【解答］解：（3）取AB的中點(diǎn)Q,連接QN、QG,取QG的中點(diǎn)P,連接

PA、PN、CE,

?AB=AC,NBAO90。，點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，

,NAGC=NAGB=90。，NAEG=NACG=45。，AG=BG=CG,

?A、G、E、C四點(diǎn)共圓，

?NAEC=NAGC=90。，

?BN=NE,BG=GC,BQ=AQ,

?NG〃CE,QN〃AE,

?NQNG=NAEO90。，

?GA=GB,AQ=QB,ZAGB=90°,

?GQ=QA=QB=3,ZAQG=90°,

.PQ=PG=I，

?NP=1QG=|,AP*Q2+Qp2=竽,

*AN<PA+PN,

.當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大，最大值為|十苧，過點(diǎn)G作GMLAC于M,

?PN=PG,

,NPNG=NPGN,

?BG=GC,BQ=AQ,

.GQ//AC,

.ZPGN=ZAKN,

,NPNC=NAKN,即ZANK=ZAKN,

?AK=AN=3+地

2十2

*ZAGC=90°,AG=GC,GM±AC,

.GM=/AC=3,

?C_1,3,3V5,?_9,9V5

?，SAAGK=2x（2+-^-）xv3=4+飛-，

?.?PQ=PG,

，SAAPG二SAAQP=$AQ?PQ=JX3X4=2,

ZZZ4

C.nr3135/5^r=

S~AP~3V5—5丁「

'AAPG丁

=痣+l）X?=舞+/

'^AANG:

??SAANK-SAANG+SAAGK-2+10

【分析】(1)過點(diǎn)B作BTLDA交DA延長線于T,證明NBAT=NABC=45。，Z

ADB=ZDBC=30°,求出BT,可得BD=2BT；

(2)延長ED到R,使DR=DE,連接AR、BR,延長RB交CF的延長線于J,證

明ARAB絲AEAC(SAS),再證明DF〃:RJ,根據(jù)平行線分線段成比例定理可得蔡=

KU

器可證BM*BE；

(3)取AB的中點(diǎn)Q,連接QN、QG,取QG的中點(diǎn)P,連接PA、PN、CE,先證明

A、G、E、C四點(diǎn)共圓，再證明當(dāng)A、P、N三點(diǎn)共線時(shí)，AN最大，最大值為|十

3整,過點(diǎn)G作GM_LAC于M,再求出S^/GK和SlANG，即可求出Sq/NK。

22.【答案】(1)證明：???DE〃AC,

???NCAD=NADE.

VAD平分NBAC,

???NCAD=NEAD.

ZEAD=NADE.

???AE=DE.

(2)解：過點(diǎn)D作DFLAB于F.

C

/^\D

EB

VZC=90°,AC=3,AD=2遍,

.?.在RtAACD中，由勾股定理得AC2+DC2=AD2.

-,-DC=V3.

「AD平分NBAC,

.*.DF=DC=V3.

又：AD=AD,ZC=ZAFD=90°,

/.RtADAC^RtADAF.

，AF=AC=3.

/.RtADEF中，由勾股定理得EF2+DF2=DE2.

設(shè)AE=x,則DE=x,EF=3—x,

A(3-%)2+(V3)2=/,

.?.x=2?

/.AE=2.

【解析】【分析】(1)先求出NCAD=NADE,再求出NCAD=NEAD,最后證明即

可；

(2)利用勾股定理求出DC=遍，再求出RtADAC^RtADAF,最后計(jì)算求解即

可。

(2)解：證明：：AB平分/PAN,

ZPAB=ZNAB.

VPA=PQ,

/.ZPAB=ZPQA(等邊對等角).

ZNAB=ZPQA.

/.PQIIMN（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）.

故答案為：等邊對等角；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行;

（3）解：如圖2,PQ為所求.

JH.

MN

圉2

【解析】【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）利用角平分線的定義以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可;

（3）根據(jù)要求作圖即可。

24.【答案】（1）解：如圖，ZPBC即為所求（過點(diǎn)B作BPLAC）

(2)解：如圖，由(1)得4APB=4BPC=90°,

：.^ABP=45°,

在Rt△ABP中，AP=BP=AB?sin450=4&義導(dǎo)=4,

在RtABPC中，Z.PBC=30°,PC=BP-tan30°=4X

,..4^/312+4^3

,?AACr=AAPD+PnCr=4A-1—=--3---

【解析】【分析】(1)過點(diǎn)3作3P1力。于P即可；

(2)解直角三角形求出AP、PC即可。

25.【答案】(1)解：①B和C

②若0<a〈g時(shí)，如圖所示:

點(diǎn)C到0D的最小值為c。=J_砌2+12,最大值為。C=2,

???點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，

2J(V3—a)2+1=2，

解得：a=V3；

若b<a<2百，如圖所示：

點(diǎn)C到OD的最小值為1,最大值為。C=2,滿足題意;

若a>2K時(shí)，如圖所示:

點(diǎn)C到OD的最小值為1,最大值為CD=(a-遍A+住,

???點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”,

??2=J(a—V3)2+

解得：a—2V3(舍);

若a<0時(shí)，如圖所示:

點(diǎn)C到0D的最小值為OC=2,最大值為CD=J(b一a)2+12,

'..點(diǎn)C為線段OD的“二分點(diǎn)”，

,'-4=J(V3—a)2+

解得：方=b—或。2=8+蟲下(舍)，

綜上所得：a的取值范圍為8<a<2遮或a=V3—V15;

(2)!<r<1或3<rW9

【解析】【解答】解：(1)①

?.?點(diǎn)A在ON上，故最小值為0,不符合題意，

點(diǎn)B到ON的最小值為OB=y/3,最大值為BN=舊+(V3)2=28，

.?.點(diǎn)B是線段ON的“二分點(diǎn)”，

點(diǎn)C到ON的最小值為1,最大值為OC=J(V3)2+I2=2，

二點(diǎn)C是線段ON的“二分點(diǎn)”，

故答案為：B和C；

(2)

如圖所示，設(shè)線段AN上存在。。的“二分點(diǎn)”為M(m,0)(1<m<3),

當(dāng)0<丁<1時(shí)，最小值為：m-r,最大值為：m+r,

/.2(m—r)=m+r,即丁=-m,

Vl<m<3,

"wrWl

**?^<r<1;

當(dāng)lVr<3,TH<丁時(shí)，最小值為：r-m,最大值為：r+m,

/.2(r—m)=r+m,即丁=3m,

Vl<m<3,

A3<r<9,

Vl<r<3,

不存在；

當(dāng)1<丁<3,m>丁時(shí)，最小值為：m-r,最大值為：m+r,

—r)=m+r,即r=-m9

<r<1,

VI<r<3,

?“不存在；

當(dāng)r>3時(shí)，最小值為：r—m,最大值為：m+r,

/.2(r—m)=m+r,即丁=3m,

A3<r<9,

Vr>3,

.*.3<r<9,

綜上所述，r的取值范圍為g<r<1或3<rW9.

【分析】（1）①根據(jù)圖示即可得出答案；②若0＜awVI時(shí)，若a＞2遮時(shí)，若a＜0

時(shí)，分三種情況討論即可；

（2）當(dāng)0＜?。?時(shí)，當(dāng)1＜廠＜3,時(shí)，當(dāng)1〈廠＜3,7?1＞丁時(shí)，當(dāng)廠＞3時(shí)，

由此即可得出r的取值范圍。

26.【答案】（1）證明：連接0D,

??,點(diǎn)D是4c的中點(diǎn),

AODXAC,

???DE是。O切線，

.\DE_LOD,

:?DE〃AC

(2)解：設(shè)OD與AC交點(diǎn)為F,連接AD,則NCAD=NCBD,

VDE/7AC,

AZE=ZOCA,

,.?OA=OC,

AZOAC=ZOCA,

JNOAC=NE,

???AB是。O的直徑，

JZACB=90°,

.\ZACB=ZEDO=90o,

AAABC^AEOD,

.OD_DE

?,前二痔

VcosZB?lC=^j=1,AC=8,

???AB=10,

:?BC=7AB2一402=6,OD=5,

.5DE

"6="8"

.「「20

??DE=~2~9

?：0F二BC=3,

??.DF=OD-OF=5-3=2,

i

AF=AC=4,

--AD=^AF2+DF2=2后

.4F42

,.coszCXD=^=^==?=,

.".cosZ-CBD-篇=5=專，

:.BP=3V5

【解析】【分析】（1）連接OD,因?yàn)镺D和AC、DE均垂直，根據(jù)平行的判定可證明

（2）連接AD,構(gòu)造直角三角形。證明三角形相似AABCs^EOD,根據(jù)cosA和勾

股定理可知AF=CF=4,OA=5,OF=3,BC=6,利用相似線段比例關(guān)系式求出DE,在

直角三角形AADF中，用勾股定理求AD和cosNCAD,因?yàn)?CAD=/CBD,利用余

弦值就可以求出BP

27.【答案】（1）解：過點(diǎn)A作直線1如圖所示：

M,

P\C

（2）60

（3）兩點(diǎn)之間，線段最短

【解析】【解答】（2）解：利用直尺先測量出OA長度，然后以點(diǎn)O為左端點(diǎn)，在射線

ON上找出點(diǎn)C,連接AC,如圖所示；

經(jīng)過測量：^OAC=60°,

故答案為：60；

（3）解：連接AB,與射線ON交于點(diǎn)P,即為所求，

依據(jù)兩點(diǎn)