北京市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)期中考試數(shù)學(xué)試卷

北京十一學(xué)校2023?2024學(xué)年第3學(xué)段高一年級(jí)

數(shù)學(xué)1教與學(xué)診斷

(2024.4)

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

一、選擇題(共12道小題，每題5分，共60分)，請(qǐng)將答案填寫(xiě)到答題卡規(guī)定的位置

tan6)=—tan^+―=

1.已知3,則\)

A.9+1°后B.1C.2D.3

172

【答案】C

【解析】

【分析】借助兩角和的正切公式計(jì)算即可得.

兀1

/\tan8+tan--+1

【詳解】tane+-\=---------------4-=^—=2.

Ii_tan3tan烏1」

43

故選：C.

2.在AABC中，A=45°,C=60°,i?=10,貝|c=()

A.5A/6B.5C.572D.5邪

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理計(jì)算即得.

【詳解】“WC中，A=45°,C=60°,?=10,由正弦定理得一L=」-,

sinAsinC

10sin60°床

所以c=------------=5V6.

sin45°

故選：A

3A

3.在&45C中，cosA=—,貝Ucos—=()

52

A.6

B.-A/5L.------D.--A/5

5555

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的余弦公式計(jì)算即得.

【詳解】在AABC中，cosA=-,則0<A〈二，cos->0,

522

.4c2A1/曰A/1+cosAP_2y/[

由cosA=2cos-----1,得cos—=J-----------

22V2\5~^~

故選：B

4.已知tana=2,則sin2。+sin?a=()

【答案】B

【解析】

【分析】利用二倍角的正弦公式，結(jié)合正余弦的齊次式法計(jì)算即得.

2sinacosa+sin2a2tana+tan2or_2x2+228

【詳解】由tana=2,^#sin2cif+sin2a=

sin2<7+cos2atan2a+122+15

故選：B

5.在AABC中，已知B=120°,AC=2退,AB=2,則BC=()

A.1B.73C.4D.2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理列出方程并求解即得.

【詳解】在AABC中，B=120°,AC=2y/3,AB=2,由余弦定理，得

AC2=AB?+BC2-2AB-BCcosB，

則12=4+5C2—4.gCcosl20°，整理得5c?+25C—8=0，而5c>0,

所以3C=2.

故選：D

6.函數(shù)①/(x)=sinx+cosx,②/(x)=sinxcosx,③/(x)=2cos2(x+—)-1中，周期是兀且為奇

4

函數(shù)的所有函數(shù)的序號(hào)是()

A.①②B.②C.③D.②③

【答案】D

【解析】

【分析】利用輔助角公式及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式并逐一判斷即得.

【詳解】對(duì)于①，/(x)=V2sin(x+-)顯然/(一卞=0,%=拒，

4"

因此函數(shù)/(x)=sinx+cosx不是奇函數(shù)，①不是；

對(duì)于②，/(x)=gsin2x的定義域?yàn)镽,/(-%)=sin2(-x)=-^sin2%=-7(%),

函數(shù)/(%)=sinxcosx是奇函數(shù)，周期為兀，②是；

JT

對(duì)于③，/(x)-cos(2x+—)=-sin2x的定義域?yàn)镽,/(-x)=-sin2(-x)=sin2x=-f(x),

函數(shù)/(x)=2cos2(x+3—1是奇函數(shù)，周期為兀，③是，

4

故選：D

7T

7.如圖是函數(shù)/(%)=45也(。％+夕)(4＞0,。＞0,|9上萬(wàn))的部分圖象，則該函數(shù)解析式為()

.兀

B.y=2sin(2x+—)

7171

C.y=2sin(2x+—)D.y=2sin(2x-—)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用五點(diǎn)法作圖求出各參數(shù)即可.

27r7L2冗

【詳解】觀察圖象知，A=2,函數(shù)/⑺的周期T=2(--------)=71,則。=——=2,

36T

由=2,得2義工+0=3+2版,左eZ,而|°|＜四，則左=0,夕=巴

6226

7T

所以/(x)=2sin(2尤+-).

O

故選：B

，2_/

8.已知A/RC的內(nèi)角4B、C的對(duì)邊分別為。、b、c,若AABC的面積為^—-——,則。=

4

（）

71717c3兀

A.—B.—C.—D.—

6424

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)三角形面積公式列出相應(yīng)等式，結(jié)合余弦定理化簡(jiǎn)，即可得到答案.

2*4

【詳解】由題意可得：-1absinC=-c-?—a『—b匕?，

24

口廠17?^cosC….

即一aZ?smC二---------，貝UtanC=-l，

22

377

由于C￡（0,?）,故。二工,

4

故選：D

9.設(shè)函數(shù)/（x）=cos[°x-2卜?！?）.若/5bl，則①的最小值為

【答案】C

【解析】

【分析】借助余弦型函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.

JTJT

【詳解】由題意可得—%=2E（左eZ）,

22

即G=§+8左（左￡Z）,又G>0,故@min=§.

故選：C.

10.在AA5c中，AD為5c邊上的中線，E為AZ）的中點(diǎn).則麗二（

3__,a

A.-AB--ACB,-AB--ACC.-AB+-ACD.-AB+-AC

44444444

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)锳ABC中，AD為邊上的中線，E為A。的中點(diǎn)，

所以麗=西+荏=_g礪+通=_gxg陰+時(shí)+通=；血_；/,

故選：A.

A

7T,則“sinB<變”是“AABC是鈍角三角形”的(

11.在國(guó)。中，4二

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】先判斷如果sin5<4Z能不能推出AABC是鈍角三角形,

2

再判斷如果AABC是鈍角三角形，是否一定有sin6<走即可.

2

【詳解】如果sin3<YZ,由于B是三角形的內(nèi)角，并且4=工，則0<3<f,

244

71

A+B<-,44BC是鈍角三角形,

2

所以sinB<Y2是充分條件;

2

如果AABC是鈍角三角形，不妨設(shè)3=至,則sinB=3〉走，

322

所以sinB〈也不是必要條件;

2

故選：A.

12.已知/。)=3$111(2%+0)(。€11)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，若y=/(%+m)為奇函數(shù),

y=/(%+〃)為偶函數(shù)，則|相|+|〃|的最小值為()

71兀c兀

A.兀B.-C.1D.-

248

【答案】c

【解析】

【分析】利用函數(shù)奇偶性，結(jié)合誘導(dǎo)公式及五點(diǎn)作圖法分析計(jì)算得解.

7T

【詳解】依題意，而且o+E/eZ,函數(shù)“盼的最小正周期丁=兀，

ITTT

令。0滿足。0c（0,5）U（5,兀），且。=2左兀+穌（尢eZ）,則/（x）=3sin（2x+°o）,

由2x+0o=0,得五點(diǎn)作圖法的最左邊端點(diǎn)為（-義,0），

2

由f(x+m)=3sin(2x+2m+/)是奇函數(shù)，得|m|min=min(|—^-|,|兀|)=min吟,無(wú)；。),

由/'（x+九）=3sin（2x+2〃+%）是偶函數(shù)，得|n|min=|—粵+巴|=|"乎\,

244

當(dāng)供€嗚）時(shí),1mlmm吟，1mtm0=「一；:，此時(shí)（I川+1川焉=:;

—

、“/兀、1..R_（pc..2（Pn一冗ltrziii兀一71兀

當(dāng)外e（5,7l）時(shí)，\m\mn=~^,|磯皿=巧一，此時(shí)+巧一=『

所以Iml+1"I最小值為士IT.

4

故選：C

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：用“五點(diǎn)法”作，=45也（。葉。）的簡(jiǎn)圖，主要是通過(guò)變量代換，設(shè)Z=OX+0,由z

TT3兀

取0,一,兀,一,2兀來(lái)求出相應(yīng)的X,通過(guò)列表，計(jì)算得出五點(diǎn)坐標(biāo).

22

二、填空題（共6個(gè)小題，每題5分，共30分），請(qǐng)將答案填寫(xiě)到答題卡規(guī)定的位置

13.函數(shù)/（x）=tan（2尤-711）的單調(diào)遞增區(qū)間為；

【答案】（一三+=k7i,近瑜,keZ

122122

【解析】

【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性，直接代換即可求出.

（JTJT、

【詳解】因?yàn)閥=tanx的單調(diào)增區(qū)間是一耳+A肛耳+左"，左eZ,

.TC-TCTC7C157r1_

由----F7kji<2x---<—Fk1ji,解在r----1—k7兀<尤<----1—7kji,7keZ,

232122122

故函數(shù)/（x）=tan（2x--）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一2+!左肛區(qū)+工左乃），左eZ.

3122122

【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行代換是常用的解題方法.

14.已知向量逐共線，且同=2忖=2,則卜+）=.

【答案】1或3

【解析】

【分析】借助向量共線，分向量同向與反向計(jì)算即可得.

【詳解】由向量共線，故向量落B可能同向、可能反向，

當(dāng)向量癡同向時(shí)，由同=2忖=2,則,+q=忸+可=3,

當(dāng)向量。，加反向時(shí)，由同=2打=2,則卜+"=卜25+.=1.

即卜+可可能為1或3.

故答案為：1或3.

15.能使“cos(o+/7)=coso+cos/?”成立的一組a，/3的值可以為.

JTJT

【答案】?=——,/?=-(答案不唯一)

33

【解析】

【分析】根據(jù)給定的等式，寫(xiě)出一組夕的值并代入驗(yàn)證作答.

兀兀兀兀]]

【詳解】取。=一彳,尸=§,貝|cos(0+/?)=cosO=l,cosa+cos(3=cos(--)+cosJ=2+=,

因此cos(a+￡)=cosa+cos0成立.

故答案為：oc=—>B=—

33

16.已知函數(shù)〉=5足(2%+9)(-2<0<2)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則9的值為_(kāi)_______.

323

7T

【答案】一:

6

【解析】

【分析】

n7127r71

將兀=￡代入函數(shù)中，得了(一)=sin(—+0)=±l,化簡(jiǎn)得：(p=k7i—H,keZ,進(jìn)一步求出夕的值.

3336

7T2乃

詳解】由題意得/(§)=sin(T+0)二±l,

.2萬(wàn)丁萬(wàn)丁7

??---\-(p-K7l~\——eZ,

32

(p-k7i——，左￡Z

?.①（一抬），

71

???取左￡0得0二—二.

6

71

故答案為：一二.

6

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a與角夕均以3為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，若cosa=；,

則cos（。一/）=.

【答案】0.5##-

2

【解析】

【分析】分a為第一象限角及a為第四象限角進(jìn)行討論，并結(jié)合兩角差的余弦公式、三角函數(shù)基本關(guān)系計(jì)

算即可得.

【詳解】由cosa=—,故a為第一或第四象限角,則夕為第二或第三象限角，

2

當(dāng)a為第一象限角時(shí)，sina=A/1-COS2a二，

2

1

sinP=sin（兀-a）=,cos/=cos（兀-a）=-

止匕時(shí)cos（a_0）=cosacos/?+sinasin/?=gx11、66、

.2J222

3,

當(dāng)a為第四象限角時(shí)，sina=-A/1-COS2a-

）=《

sinf3—sin（3兀一a）——'c°sB~cos（3兀一a

止匕時(shí)cos（a—夕）=cosacos，+sinasin尸=gx]會(huì)昌H-上

故cos（q一,）=;.

故答案為：一.

2

18.如圖，A,B,C,。都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B,。為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測(cè)量船于

水面A處測(cè)得8點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75。,30。，于水面C處測(cè)得8點(diǎn)和。點(diǎn)的仰角均為60°,

AC=1km.則3,。的距離為km.

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出A。，再利用正弦定理、余弦定理求出

【詳解】依題意，在AACD中，ZCAD=30°,ZACD=120°,貝|NADC=30°,CD=AC=1,

AD=2ACcos30°=百，在AABC中，N3AC=105°,ZAC3=60°,則ZABC=15。，

而cos75°=sin15°=sin(45°-30°)=—x—-—x-=網(wǎng)-亞

22224

173

lx——

ACsinNACB3亞+屈

由正弦定理得AB=2

sinZABC\/6—5/22

4

在中，ZBAD=15°,由余弦定理得

BD=J(3&+C)2+(6)2_2><3五+#=3二+6.

V2242

故答案為：

2

三、解答題(五個(gè)大題，一共60分)，請(qǐng)將答案填寫(xiě)到答題卡規(guī)定的位置

45

19.已知85。=一］,?！?0,兀),口/=一店,尸是第三象限角，求：

(1)sin。,cos/5的值；

(2)sin(a+/?)和tan2o的直

312

【答案】（1）sinct=—,cos/3=---；

513

（2）sin（^z+0）=----，tan2a=-----.

657

【解析】

【分析】（1）根據(jù)平方關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)的符號(hào)求解可得；

（2）利用正弦的兩角和公式求sin（o+，），利用商數(shù)關(guān)系求tan。，再由正切的二倍角公式求tan2g即可.

【小問(wèn)1詳解】

45

因?yàn)閏ostz=e（0,兀）,sin/=-百，萬(wàn)是第三象限角，

【小問(wèn)2詳解】

JT

20.已知函數(shù)函(x)=sin(2x——)+根過(guò)原點(diǎn)(0,0).

（1）求加的值；

4冗

（2）求函數(shù)/⑺在上的零點(diǎn)；

（3）下表是應(yīng)用“五點(diǎn)法”進(jìn)行的列表，請(qǐng)?zhí)顚?xiě)表中缺失的數(shù)據(jù).

兀5兀

X

I~6

c兀713兀

2x----0712兀

62~2

sin(2x-*010-10

2_J_

y

~22~2

【答案】(1)m=-；

2

，一、2兀

(2)07—，兀；

3

(3)填表見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)把原點(diǎn)坐標(biāo)代入求出加值.

(2)由(1)的解析式，結(jié)合零點(diǎn)的意義及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出零點(diǎn).

(3)根據(jù)五點(diǎn)法作圖完善表格.

【小問(wèn)1詳解】

兀1

依題意，f(0)—0,即sin(—)+m=0,即根—=0,

62

所以機(jī)=L

2

【小問(wèn)2詳解】

jr17rl

由(1)知，f(x)—sin(2x)4—，由/(%)=。，得sin(2x—)=—,

6262

、r,rr\4兀_717l571rEtc兀兀_txc兀7兀.兀11兀

當(dāng)xw[0,——]時(shí)，2%——e[r——,——],則2x——=——或2%——=——或2%——=---,

3662666666

解得％=0或%=胃2冗或％=兀，

47r971

所以函數(shù)人尤)在[0,—]上的零點(diǎn)為0,—,兀.

33

【小問(wèn)3詳解】

根據(jù)“五點(diǎn)法”作圖，填表如下：

兀兀7兀5兀1371

X

12I12~6~L2

c九713兀

2x----0712兀

62~2

sin(2x-.010-10

2

y

222~22

(1)求cosNABD；

(2)求3C的長(zhǎng).

【答案】(1)顯;

9

⑵瓜

【解析】

【分析】(1)計(jì)算出sinA、sinZADB,利用兩角和的余弦公式可求得cos/45。的值.

(2)在血中，利用正弦定理可求出6D的長(zhǎng)，然后在△3CD中利用余弦定理可求得的長(zhǎng).

【小問(wèn)1詳解】

在中，cosA=—?cosZADB=-,貝i」A、NADS均為銳角，

33

則sinA=A/1-COS2A=>sinNADB=Jl-cos?/ADB=2后,

33

cosZABD=COS(TT-A-/ADB)=-cos(A+/ADB)=sinAsin/ADB-cosAcosZADB

_V|2V2V6176

一^--3r-3-v

【小問(wèn)2詳解】

.D..2瓜x(chóng)也

在ZiA血中，由正弦定理得———=圾-,ABsmA=J__3_=

sinZADBsinAsinZADB2V2

丁

由AB//CD,得NBDC=/ABD,在八BCD中,由余弦定理得：

23.布普=11，

BC?=BD?+CD?-2BDCDcosNBDC=9+6-

所以BC=JTL

22.已知函數(shù)f(x)-cosx(2y/3sinx+cos%)-sin2%.

(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小正周期；

(2)填寫(xiě)由函數(shù)y=2sinx的圖象變換得到的圖像的過(guò)程：

TT

先將y=2sinx圖象上的所有點(diǎn),得到y(tǒng)=2sin(x+—)的圖象；

6

7TJT

再把y=2sin(x+—)的圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)______,得到/(尤)=2sin(2x+$的圖象.

66

7T

(3)若當(dāng)xw[0,,]時(shí)，關(guān)于尤的不等式,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

請(qǐng)選擇①和②中的一個(gè)條件，補(bǔ)全問(wèn)題(3),并求解.

其中，①有解；②恒成立.

71JT

【答案】(1)[-----kku,—I-kji]{kGZ),兀；

36

(2)左平移囚個(gè)單位長(zhǎng)度，變?yōu)樵瓉?lái)的J；

6~

(3)答案見(jiàn)解析.

【解析】

7T

【分析】(1)先將函數(shù)整理，得到/(尤)=2sin(2x+：),利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性，即可求出其單調(diào)

遞增區(qū)間與最小正周期；

(2)由(1)中函數(shù)，利用三角函數(shù)圖象變換求解即得.

(3)若選①，可得mW/(%)1mX，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在給定區(qū)間的最大值，即可得出結(jié)

果；若選②，可得加</(尤)1nhi，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在給定區(qū)間的最小值，即可得出結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，/(x)=sinxcosx+cos2x-sin2x=^/3sin2x+cos2x=2sin(2x+—),

6

所以函數(shù)的最小正周期T=7T;

兀7LTC7L7C

由----F《21H—<—F2ATI,kGZ,得----Fkit<x<—Fkit,kGZ,

26236

jrjr

所以函數(shù)/⑺的單調(diào)增區(qū)間為[——+E,—+E](左￡Z).

36

【小問(wèn)2詳解】

TT7T

先將y=2sinx圖象上的所有點(diǎn)向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)=2sin(x+-)的圖象；

66

再把y=2sin(x+H)的圖象上的所有點(diǎn)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的;，得到/(x)=2sin(2x+?的

626

圖象.

【小問(wèn)3詳解】

若選擇①，不等式7（x）2根有解，即根W/（x）gx，

由xe[O,烏],得+

2666

則當(dāng)2犬+巴=巴，即％=四時(shí)，/（無(wú)