湘豫聯(lián)考2024-2025學(xué)年新高考適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題解析

絕密★啟用前

湘豫名校聯(lián)考

2024—2025學(xué)年新高考適應(yīng)性調(diào)研考試

數(shù)學(xué)

注意事項：

1.本試卷共6頁.時問120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填

寫在試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，然后認(rèn)真核對條

形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對

應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知x，yeR，i為虛數(shù)單位，則“x=Ty=2”是“x+M=（2+i）i”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法及復(fù)數(shù)相等求出蒼y,再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.

【詳解】由x+=（2+i）i=2i+i?=-l+2i,x,yeR,得x=-l,y=2,

所以“尤=T,y=2”是“x+yi=（2+i）i”的充要條件.

故選：C

22

2.已知雙曲線C：^匕=1的離心率為出，則m的值為（）

9m

A.18B.3A/2C.27D.2布

【答案】A

【解析】

【分析】借助雙曲線離心率定義計算即可得.

【詳解】由題可得實半軸長。=3,所以半焦距c=Qx3=3jG，

所以機(jī)=@代')—32=18.

故選：A.

3.數(shù)據(jù)7,3,6,5,10,14,9,8,12的第60百分位數(shù)為()

A.14B.9.5C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】由百分位數(shù)的概念求解即可.

【詳解】數(shù)據(jù)從小到大依次排列為：3,5,6,7,8,9,10,12,14,共9個數(shù)據(jù).

由于9x60%=5.4,所以第60百分位數(shù)第6個數(shù)據(jù)，即為9.

故選：D.

4已知函數(shù)/小、曰lo…g,x,七x＞＜0。

g(x)=/(-%)+1,則g(x)的圖象大致是()

【答案】C

【解析】

【分析】計算出尤＞0時，g(x)=(x—1『+1,可排除A、B、D.

【詳解】令x>0,則—x<0,所以/(—x)=(—x+l)2,

g(x)=+1=(無-1)-+1,故可排除A、B、D.

故選：c.

5.在等比數(shù)列｛4｝中，記其前〃項和為s“，已知。3=—g+2%,則，的值為（）

A.2B.17C.2或8D.2或17

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得4=1或q=-2,再利用等比數(shù)的求和公式求解即可.

【詳解】解：由等比數(shù)列的通項公式可得為/=一/q+2%,

整理得『+”2=0,

解得4=1或4=-2.

當(dāng)4=1時，寸=蝠=2;

a\(■-1)

當(dāng)q=—2時，^-==^-^=^4+1=17.

s，磯4-1)q-1

9一1

所以當(dāng)

的值為2或17.

故選：D.

6.在一個不透明箱子中裝有10個大小、質(zhì)地完全相同的球，其中白球7個，黑球3個.現(xiàn)從中不放回地依

次隨機(jī)摸出兩個球，已知第二次摸出的是黑球，則第一次摸出的是白球的概率為（）

7725

A.—B.-C.—D.一

10936

【答案】B

【解析】

【分析】由條件概率的計算公式，先求出條件事件的概率，由公式即可得出答案.

【詳解】設(shè)第一次摸出白球為事件A,第二次摸出黑球為事件3,則第一次摸出黑球為事件彳.

_73323

P(B)=P(AB)+P(AB)=—x—+——x—=

109109To

73

一x—

11097

??"(A上篇39

io

故選:B.

7.已知關(guān)于%的不等式(x-2a)[f—(2a+l)x+l]?0對任意xe(O,+s)恒成立，則實數(shù)。的取值范圍

是()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)判別式進(jìn)行分類討論，結(jié)合一元二次不等式的解法、根與系數(shù)關(guān)系等知識確定正確答案.

【詳解】對于函數(shù)y=*—(2a+l)x+l,A=(2a+l)2—4.

3i

①令A(yù)=(2a+1)2—4<0,即——<a<-,滿足y=d—(2〃+1)%+120恒成立,

3

因此，只需2a<0,即〃《0,所以——<a<0.

2

13

②令A(yù)=(2a+1)2—4〉0,即a〉5或a<—萬.

設(shè)方程f一(2。+1卜+1=0的兩根分別為和々，則占+々=2。+1,%々=1.

當(dāng)時，方程(2a+l)x+l=0有兩個正根，

存在xe(O,y),使得(x—2a)[x2—(2a+l)尤+1]<0,不符合題意，舍去；

3

當(dāng)——時，方程(2a+l)x+l=0有兩個負(fù)根，

3

因此，只需2a<0,即〃<0,所以—,

2

綜上所述，。的取值范圍為(—8,0].

故選：C

8.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為10,g],圓C：(x—5『+[y—g]=1,點(diǎn)T?,0)為了軸上一動

點(diǎn).現(xiàn)由點(diǎn)尸向點(diǎn)T發(fā)射一道粗細(xì)不計的光線，光線經(jīng)無軸反射后與圓C有交點(diǎn)，則f的取值范圍為

)

15107107271527

A.T,TB.了54，-8-D.

【答案】A

【解析】

【分析】作點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)g),方法一、利用直線與圓的關(guān)系計算圓心到反射光線的距離

即可；方法二、利用反射光線與圓相切作臨近值，借助兩點(diǎn)距離公式、正切的和差角公式計算反射光線的斜

率范圍，再利用截距的意義計算即可.

【詳解】方法一：作點(diǎn)P關(guān)于％軸的對稱點(diǎn)g),則直線P'T與圓C有交點(diǎn).

又T?,0),所以直線PT的方程為y=上x—上，即y—9=0.

由題知圓C的圓心為c[5,g],半徑為1,

直線P'T與圓C有交點(diǎn)，即圓心C到直線P'T的距離小于等于1,

方法二：作點(diǎn)尸關(guān)于％軸的對稱點(diǎn)P(0,-則直線P'T與圓C有交點(diǎn)，

臨界情況為直線P7與圓C相切.

設(shè)切點(diǎn)為。，令&=tan/QPC,易得|「為|=J(0_5)2+1_|_g]=5直,

所以左=

因為直線PC的斜率為左1=1,

所以直線尸。的斜率左e卜一+.

1+k1左21—左左12_|1_43_

易得直線PQ的方程為y=依一彳.所以/￡—x~.

24232o3

故選：A

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對于光線的反射問題一般作對稱點(diǎn)由入射光線得出反射光線所在直線，再利用直線與圓

的位置關(guān)系計算即可，法二、計算反射光線與圓相切時的斜率從而得出反射光線的斜率范圍，再結(jié)合直線的

截距意義計算，計算略顯復(fù)雜，但也是一種很好的方向.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知”>2,且〃eN*，下列關(guān)于二項分布與超幾何分布的說法中，錯誤的有()

A.若乂~3(%!)，則E(2X+l)=g〃+l

14

B.若X?則。(2X+1)=§”

C.若X則尸(X=l)=尸(X=〃-1)

D.當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二項分布的期望、方差公式及期望、方差的性質(zhì)計算判斷AB；利用二項分布的概率公式計算

判斷C；利用二項分布與超幾何分布的關(guān)系判斷D.

112

【詳解】對于A,由X?得E(X)=§〃，則E(2X+1)=§〃+1,A正確；

11222

對于B,由％~5(〃,§),得。(X)=§x§〃=§〃，則。(2X+1)=4D(X)=§〃，B錯誤；

11221

對于C,由X~B(n,~),得P(x=1)=C；,X-X(-)"-1,P(X=n-l)=C：-1x-x(-)?-1,故

P(X=1)WP(X=〃—1),C錯誤；

對于D,當(dāng)樣本總數(shù)遠(yuǎn)大于抽取數(shù)目時，可以用二項分布近似估計超幾何分布，D正確.

故選：BC

10.一塊正方體形木料如圖所示，其棱長為3,點(diǎn)尸在線段4G上，且A￡=GPG，過點(diǎn)尸將木料鋸

A.PCLBD

B.截得的兩個幾何體分別是三棱柱和四棱臺

C.截面的面積為6月

3兀

D.以點(diǎn)A為球心，A3長為半徑的球面與截面的交線長為一

2

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A：通過證明3。1平面ACGA得PCLBD；對B：作出截面5cMN,截得的兩個幾何體

分別是三棱柱和四棱柱；對C：求出矩形3CW各邊長得面積；對D：過A作AOLBN于點(diǎn)。，球面與

截面的交線為以點(diǎn)。為圓心，80長為半徑的半圓弧，求其弧長即可.

【詳解】對于A,如圖，連接AC,由CG，平面ABCD,8￡>U平面得CCJBD.

又AC_LBD,ACryCCx=C,ACu平面ACC^jCQu平面ACC^,

又PCu平面ACGA，所以PCLBD，正確.

對于B,過點(diǎn)尸作直線平行于40,分別交A用,GQ于兩點(diǎn)，連接BN,CM,

顯然MN〃BCi//BC,所以四邊形為過點(diǎn)P及直線5c的正方體的截面,

截得的兩個幾何體分別是三棱柱和四棱柱，錯誤.

對于C，由選項B，得黑■=??=%，則。陽=&CM=J(后+32=2技

因此截面矩形BCAW的面積S=3CCM=6jL正確.

對于D,過A作49J_5N于點(diǎn)。，

由BC，平面ABB^,AOu平面ABBXA,,得AO，5C.

又BNcBC=B,BNu平^面BCMN,BCu平^面BCMN,所以49,平面5QW,

所以點(diǎn)。為以點(diǎn)A為球心，A3長為半徑球面被平面3cMz所截小圓圓心，

球面與截面的交線為以點(diǎn)。為圓心，BO長為半徑的半圓弧，

顯然/540=/用珈=30。,8。=—48=—,因此交線長為三，D正確.

222

故選：ACD.

11.已知。為全集，集合A,3,C,D滿足：A8,C為U的非空子集，且

A<JB<JC=U；^D=C,(AuB)(AnB)=D.對所有滿足上述條件的情形，下列說法一定錯誤的有

()

A.CcZ)w0B.BuC=U

C.(AoB)nC=0D.e(AuB)不包含于C

【答案】AD

【解析】

【分析】由集合交、并、補(bǔ)的運(yùn)算，逐項判斷即可.

【詳解】由gD=C,知CcO=0,A錯誤；

當(dāng)5=0,有時，￡>=砥⑷(AC3)=BA^C=^D=B(7BA)=A,滿足條件，且

B2c=U,所以B不一定錯誤；

當(dāng)口時，又所以此時,所以不

43=0D=^B)[AOB)=A<JB,CcO=0,(AD5)CC=0C

一定錯誤；

因為qAuB)(Ac6)=￡>,所以￡>￡(AD5),所以瘠(ADB)1聲=。,D錯誤.

故選:AD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

3x

12.設(shè)正實數(shù)尤,V滿足孫=10,lgx」gy=-—,則1g—=_________.

.........4y

【答案】及

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則與性質(zhì)化簡即可得解.

【詳解】由孫=10,得lgx+lgy=lg孫=1.

所以1g2=Igx_Igy=±J(Igx+-41gx?lg\=±2.

y

故答案為：±2

13.如圖，函數(shù)/(x)=J^sin(0x+o)(0>O,O<o<7i)的部分圖象如圖所示，已知點(diǎn)A。為/(九)的

圖象與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)氏C分別為/(%)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，l.ABDC=-1|AB|2,則函數(shù)

5兀

【答案】—

6

【解析】

【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的周期及向量數(shù)量積公式計算可得0,再由函數(shù)零點(diǎn)即可得0.

【詳解】由題圖可得又7=生,

71

又69>0,所以。

2

JT1JT

所以一x—十0二航(左wZ),解得夕二----GZ).

236

5兀

因為0<0<兀，所以。二一

6

5兀

故答案為:

~6

14.已知方程1(加￡R)有四個不同的實數(shù)根a,Z?,c,d,滿足a</?<O<c<d,且在區(qū)間(a,。)

和(c,d)上各存在唯一整數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍為

ln2+l

【答案】

4

【解析】

【分析】方法一:l(x^O,meR)可以化為歷國+1—如:？=0(x^0).令

/z(x)=ln|%|+l-z7a2,x^O,易得八(久)為偶函數(shù)，所以只需考慮%>0時，入⑴=lnx+l-加？有兩個

]nY-I-1InY-4-1

零點(diǎn)、C,d,且在區(qū)間(c,d)上存在唯一的整數(shù).若〃(％)=0,則——=m.令g(x)=——,x^0,

XX

根據(jù)導(dǎo)數(shù)得到g(x)的單調(diào)性，根據(jù)在區(qū)間(C,d)上存在唯一的整數(shù)，列出不等式組即可.

得出間+1

方法二:由L21=1(%w°，加￡R)，=mx^x豐0)令

X

/z(x)=nvc,xw0,g(x)=I”國+1,%/0,易得〃(x),g(x)均為奇函數(shù)，所以只需考慮%>0時，

g(x)=ln%—與/i(%)=的圖象有兩個交點(diǎn)(Gg(c))，(d，g(d))且在區(qū)間(c,d)上存在唯一的整數(shù),

通過求導(dǎo)得到g(x)的單調(diào)性，根據(jù)直線/z(x)=g過特殊點(diǎn)時加的值即可得到加的取值范圍.

1x1

2

方法三：i=l(x0,meR)<?ln|x|=mx0).令

e

/z(x)=ln國,xwO,0(尤)=小2_],%。0,作圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得加的取值范圍.

||

【詳解】方法一：:xI=1(%工0,加￡R)<?ln|x|+l-/nx2=0(%w0).

令網(wǎng)%)=如國+1-痛2,%工0,則%(一%)=所以以%)為偶函數(shù).

所以只需考慮x>0時，/z(￡)=hix+l一有兩個零點(diǎn)c,d,且在區(qū)間(c,d)上存在唯一的整數(shù)即可.

當(dāng)x>0時，令h(x)=O,得購：1=加.

x

人/、lnx+1m，/、21nx+1

令匹犬)=大廠，貝U/(x)=一一

當(dāng)xw0,”時，g'(x)>0,所以g(x)在0,”上單調(diào)遞增;

\7\7

<_1\(二A

當(dāng)%we5,+”時,gr(x)<0,所以g(x)在e2,+8上單調(diào)遞減.

I7

因為在區(qū)間(c,d)上存在唯一的整數(shù),

1。I[

所以g(2)Wm<g(l),即笠/<加<1.

In2+1)

所以加的取值范圍為4，)

_M_ln|x|+l

方法二:1(%w0,mG)=w0).

/nr2—1Ro

Cx

令g(x)=lnN+l,xwO,貝[|g(-x)=—g(x),所以g(x)為奇函數(shù).

因為/z(x)=/nx也是奇函數(shù)，

所以只需考慮x>0時，g(x)=生匚也與人(%)=〃式的圖象有兩個交點(diǎn)(c,g(c)),(d,g(d)),且在區(qū)間

X

(G")上存在唯一的整數(shù).

易知g'(x)=￥，當(dāng)xe(0,1)時，g'(￡)>0,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

X

當(dāng)X6(1,+8)時，g'(%)<0,所以g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

當(dāng)直線人(%)=〃四過點(diǎn)(1,1)時，7"=1;

當(dāng)直線A(x)=mx過點(diǎn)［2，nj+1時，嚕庶擔(dān)

4

因為g(x)與無(X)的圖象有兩個交點(diǎn)，且在區(qū)間(c,d)上存在唯一的整數(shù),

oln|x|=mx2-1.

令/z(x)=lnN，xwO,0(x)=7"2-l,xwO,兩函數(shù)均為偶函數(shù),

所以只需考慮x>0時，八(均與奴幻的圖象有兩個交點(diǎn)(cM(c)),(d,〃(d)),

且在區(qū)間(G〃)上存在唯一整數(shù).

如圖，作/z(x),0(x)的部分圖象，根據(jù)圖象易得l<dW2,

ln2<4/w-l,l+ln2,

所以《解得-------<m<l,

m-l<0,4

l+ln2]

所以加的取值范圍為

4，'

l+ln2

故答案為:

4，

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的常用方法

(1)分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)

于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍.

(2)分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個數(shù)是否符合題意,

將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍.

(3)將函數(shù)y=/(%)-g(x)的化為/(x)=g(x)的形式，將函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為y=f(久)與y=g(x)

圖象交點(diǎn)的個數(shù)問題.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，角C所對的邊分別為。，仇。，己知c=2,/+02一〃=1|；-2cosajbc.

(1)求6的值；

(2)設(shè)/B4C的平分線交6C于點(diǎn)。，若VA3C的面積為3百，求線段的長.

【答案】(1)6(2)AD=上叵或4。=』

22

【解析】

【分析】(1)由余弦定理化簡即可得解；

(2)由角平分線的性質(zhì)及三角形面積求出。到邊A5和邊AC的距離，再由正弦定理得解.

【小問1詳解】

在VABC中，由余弦定理得2歷cosA=^+c2—片，

代入已知條件，得/+c?—/=|匕。—僅2+02—/).

整理，得2c2=2人。，所以》=3。=6.

3

【小問2詳解】

由于=-bcsmZBAC.所以sin/BAC=型3=3?

“2be2

又NH4Ce(O,7i),所以NR4C=1或段.

所以sin^NBACn!或且，

222

由點(diǎn)。在ZBAC的平分線上，知點(diǎn)D到邊AB和邊AC的距離相等.

設(shè)這個距離為d,則5鉆0=L0+。)1,所以〃=空&=々a叵=之叵.

A2、)b+c2+64

AD=—1-----3月3

所以2或一,

sm-ZBAC22

2

16.如圖，己知三棱柱A5C—ABIG的所有棱長均為1，且A3I=AC]=1.

(1)求直線AA|與平面ABC所成角的正弦值;

(2)求點(diǎn)A到平面54cle的距離.

【答案】(1)顯

3

⑵克

2

【解析】

【分析】(I)由題意得到四面體A-A4C是正四面體，從而過A作平面44cl的垂線AH,利用正四面體

的性質(zhì)易得NHAA為所求線面角.

(2)所求距離可看成四棱錐A-8qGC的高，利用等體積法，將四棱錐A-B4GC的體積轉(zhuǎn)化為三棱柱

ABC-A.B.Q的體積減去三棱錐A—431cl的體積，根據(jù)四棱錐A-的體積和底面積54cle從

而求出距離.

【小問1詳解】

由題意，得四面體A-A旦G是正四面體.

如圖，過點(diǎn)A作平面44cl的垂線AH,交平面44G于點(diǎn)〃，

連接AH,B[H,CIH.

由對稱性知，點(diǎn)”為正三角形44G的中心.

易得=120°，48=4”,

所以A^H=gA4cosW=

因為A”，平面A3iG，A"u平面4耳￡,所以

所以直線M與平面4與￡所成的角為/碼A.

因為sin/9A=迫='"一4"、逅,

4A41A43

又平面ABC〃平面4耳￡,

所以直線A&與平面ABC所成角的正弦值為限.

因為A”，平面4用C，與Cu平面4耳￡,

所以A”,耳￡.

又44_L5c1，且AHcA//="，

所以31G，平面A41H.

又A&u平面A4",所以用C]，A&.

又A4〃53]〃cq,所以31cl±cq.

所以四邊形為矩形.

所以S矩形B4GC=lx1=1

因為V=V_V=昱昱員工=顯

一V四棱錐A-網(wǎng)GC_V三棱柱ABC-A4GV三棱錐A-440—43433~69

所以點(diǎn)A到平面3片GC的距離為3?棱—"Ge="

3矩形BMGC2

17.已知函數(shù)/(x)=e*,g(x)=Ax+Z?(k,/2eR).

(1)令人(%)=/(x)—g(x),討論函數(shù)拉⑺的單調(diào)性；

⑵若左>0,且“X)2g(力在R上恒成立，求g(2)的最大值.

【答案】(1)答案見解析

2

(2)e

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)，對左的正負(fù)討論求解得力(力的單調(diào)性；

(2)根據(jù)題意得人<8"-0n左，所以可得g(2)=2左+AW2左+6.一如左=3左一曲很，令

p(k)=3k-ldnk,k>0,利用導(dǎo)數(shù)求出p(左)的最大值，得解.

【小問1詳解】

因為/z(x)=/(x)_g(x)=eX_Ax_6,

所以〃(x)=e"-左.

當(dāng)左W0時,〃'⑺>0恒成立，在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)左>0時,令〃(%)=0,則尤=ln左，

當(dāng)x<In左時，“(X)<0,/z(x)在(一8,InZ)上單調(diào)遞減；

當(dāng)尤>In%時，〃(x)>0,人(%)在(1成,+。)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)左W0時，/?(X)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)左>0時，力(尤)在(—8,1*)上單調(diào)遞減，在(Ink,+“)上單調(diào)遞增.

【小問2詳解】

結(jié)合(1)與題意可得〃(1U"O,即e1^—神次—武0,即8<建—0n人.

所以g(2)=2k+b<2k+e^nk-ldnk=3k-ldnk.

令p(k)=3k-ldnk,k>U,則/(左)=2—Ink,

今p")=0,則左=e?.

當(dāng)左e(0,e2)時，/(左)>0,p(左)在(Od)上單調(diào)遞增；

當(dāng)左6卜2,+00)時,0，(左)<0,p(左)在舊+動上單調(diào)遞減.

所以P(4)max=P(e2)=e?.

所以2左+』Ve2,即g(2)的最大值為e2.

221

18.已知橢圓G：=r+二=1(?！等恕?)與拋物線。2：丁=4%有一個公共焦點(diǎn)，且G的離心率為；，設(shè)

a"b2

G與C2交于A3兩點(diǎn).

(i)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程及線段AB的長；

(2)設(shè)P為G上一點(diǎn)(不與A3重合)，滿足直線尸/4,尸3均不與c?相切，設(shè)直線PA,尸5與C2的另一

個交點(diǎn)分別為M,N,證明：直線過定點(diǎn).

【答案】(1)—+^=1；巫

433

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用拋物線的定義先確定焦點(diǎn)，再利用橢圓的性質(zhì)計算可得橢圓方程，聯(lián)立橢圓與拋物線方程

計算可得線段A3的長；

(2)分別設(shè)直線尸4尸5的斜率為勺&，并利用參數(shù)先表示A僅2,27),3年,—2。，利用點(diǎn)斜式表示直線

PA,PB,與拋物線聯(lián)立得出M,N坐標(biāo)，分類討論當(dāng)匕+左2=0時，得出P點(diǎn)坐標(biāo)及",從而確定M,N

橫坐標(biāo)，再討論匕+42/0時，根據(jù)點(diǎn)斜式得出直線肱V的方程并用占，左2表示其橫截距，聯(lián)立直線A4與

直線PB的方程，得出尸點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合P在橢圓上得出定值即可.

【小問1詳解】

設(shè)橢圓的半焦距為C,易得拋物線。2：/=4x的焦點(diǎn)為F(l,0),

所以c=l.

又G的離心率為上，所以e=￡=^=L.

2aa2

所以〃=2,所以。2=〃2_/=3.

22

所以橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

43

22

2

y=4x,X~3,x-1

聯(lián)立解得《或<

2762屈

y=—y=-------

33

所以線段AB的長為生色.

3

【小問2詳解】

由(1)不妨設(shè)A3的坐標(biāo)分別為

〔33J〔33J

記半=2/,則：=/,A(t\2t\B(t\-2t).

易知直線R4,尸3斜率存在且不為0,

2

設(shè)直線PA的斜率為左,則直線PA的方程為y=kxx-kxt+2t,

與拋物線方程聯(lián)立,得：(/x—A1t2+2/)=4x,△=166廠一32Aq/+16>0.

、2

…2(2

解得石=，，％2=t----

I%"

\2/

2

所以點(diǎn)Af的坐標(biāo)為，一丁,一2t——

7

2

同理，設(shè)直線PB的方程為y=k2x-k2t-2t,A=16k“2+32k2t+16>0.

貝山的坐標(biāo)為人邦2/-

2

k2.〃

若左+左2=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-2,0)或(2,0),

所以匕=手,一手或…半,&=旦(均滿足△>()).

2

所以點(diǎn)M,N的橫坐標(biāo)均為6,

此時直線肱V的方程為x=6,過點(diǎn)(6,0).

f/、

,+△+212

2C\2

kkJ2

若左+左2/0,則直線的方程為丁=，——H

\2x—t-

(2[)

t——

z、2

2—]I2]

t——

\2<“1’<“1’

(27

今y=o,解得％=

+-7、

%])21/+2〕+2t—二2

%2?卜1>

\2

(2)2)(2)2

J-2+t——/+——t——t+——:一』xKL」

左2)<卜kkk

ki>1,kJ、2)3k[k?3x2

4/_2《匕+攵2)

聯(lián)立直線B4與直線PB的方程，解得%>=*

k1—k，2k[—k，2

(24(Yr2t(k1+k2)

由點(diǎn)尸橢圓G上，知]-]——k,-k2

4+3

..e新E/Hk、—k,2^6416

化簡，整理得二~Lx^^+——=——

2

勺左3kxk23

從而對直線MN,y=。時，x=6.

故直線MN過定點(diǎn)（6,0）.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（七,%）,（%，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x（或V）的一元二次方程，注意△的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問題或