2025年中考數學復習之三角形

2025年中考數學復習新題速遞之三角形

選擇題（共10小題）

1.（2024?青秀區(qū)校級開學）以下各組數據為邊長，能構成直角三角形的是（）

A.12,15,20B.1,V3,4C.5,8,10D.3,4,5

2.（2024春?來賓期中）某校在消防主題公園周邊修了3條小路，如圖，小路8C,AC恰好互相垂直，小

路AB的中點M剛好在湖與小路的相交處.若測得8C的長為1200相，AC的長為900根，則CM的長為

（）

A.750mB.800mC.900mD.1000m

3.（2024?海淀區(qū)校級開學）如圖，△ABC中，AE是中線，A。是角平分線，AF是高，ZBAD=50°,則

A.BE=CE

B.ZC+ZCAF=90°

C.SAAEC=S/^ABE

D.當/C=NBA。時，ZADF=10°

4.（2024?淮陰區(qū)校級模擬）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，貝U/ABC

5.（2023秋?德慶縣期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）

A.△ABC的三條中線的交點

B./XABC三條角平分線的交點

C.△ABC三條高所在直線的交點

D.△ABC三邊的中垂線的交點

6.（2024春?來賓期中）如圖，某校綜合實踐小組為測量校內人工湖的寬度A3,在岸邊選一點C,并分別

找到AC和BC的中點。，E,測得。E=16米，則人工湖的寬度48為（）

7.（2023秋?南陽期末）如圖，BD與CE交于O,AE=AD,添加一個條件，仍不能使△ABOgAACE的

是（）

A.BE=DCB.CE=BDC.Z1=Z2D.ZABC=ZACB

8.（2024春?來賓期中）在△ABC中，ZA,ZB,/C所對的邊分別是a,b,c,且/A：ZB：ZC=1：

2：3,則下列等式正確的是（）

A.b2=cr+c2B.2a2=c2C.2b2=c2D.2a=c

9.（2023秋?攀枝花期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=V2,/8AC=90°.點。、E都在邊上，Z

DAE=45°.若BD=2CE,則。E的長是（）

B

D.3-V5

10.（2024春?福田區(qū)校級期中）等腰三角形的一邊長為3%另一邊長為7cm,則它的周長為（）

A.13cmB.17cm

C.22cmD.13c〃z或17cMi

二.填空題（共5小題）

11.（2024春?南崗區(qū)校級期中）在RtAABC中，ZC=90°,斜邊AB=U,若AC=5,貝！JBC

12.（2024春?武侯區(qū)校級期中）如圖，在RtA4BC中，ZABC=90°,BD是高,E是△ABC外一點，BE

=BA,NE=NC,若。E=5,AD=12,BD>DE,則△BOE的面積為.

BC

13.（2024?海淀區(qū)校級開學）如圖，AB^AC,點。，E分別在A2與AC上，CD與BE相交于點?只填

一個條件使得添加的條件是：.

14.（2024春?灤南縣校級期末）如圖，D、E分別是△ABC邊A2、BC上的點，AD=2BD,BE=CE,連

接AE、CD交于點F,連接若△2。尸的面積為4,則陰影部分的面積=

A

15.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，已知/B=20°,ZC=25°,若PM和QN分別垂直平分A8和

AC,則NB4Q=0.

三.解答題（共5小題）

16.（2024?汕頭一模）如圖，△A8C和△￡＞（五都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,AC=BC,

DC=EC,連接A。，BE.

（1）求證：AACD沿ABCE；

（2）直接寫出A。和BE的位置關系.

17.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,CD平分/ACB,交45于點

D,求證：△AC。是等腰三角形.

18.（2024春?秦都區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AC=8,點。，E分別在8C,AC上，尸是3。的中

點，連接AD和ER若EF=EC,求所的長.

19.（2024?西安校級一模）如圖，點8、E、F、。在同一直線上，BE=DF,AB//CD,AB=CD.求證:

AF//CE.

B

20.（2024春?西安校級期中）如圖，在RtzXABC中，/ABC=90°,點D在BC的延長線上，且8DAB.過

點B作BELAC,與BD的垂線DE交于點E.

(1)求證：AABC咨4BDE

(2)若AB=12,DE=5,求C￡>的長.

A

2025年中考數學復習新題速遞之三角形（2024年9月）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

1.（2024?青秀區(qū)校級開學）以下各組數據為邊長，能構成直角三角形的是（）

A.12,15,20B.1,V3,4C.5,8,10D.3,4,5

【考點】勾股定理的逆定理.

【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】根據勾股定理的逆定理和三角形的三邊關系分別對各個選項進行判斷即可.

【解答］解：V122+152^202,

，三邊長為12,15,20的三角形不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

B、Vl+V3<4,

以1,V3,4為邊長不能構成三角形，故此選項不符合題意；

C、V52+8M102,

...三邊長為5,8,10的三角形不能組成直角三角形，故此選項不符合題意；

。、：32+42=52,

，三邊長為3,4,5的三角形能組成直角三角形，故此選項符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的逆定理以及三角形的三邊關系等知識，如果三角形的三邊長a,b,c

滿足/+廿=°2,那么這個三角形就是直角三角形.熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關鍵.

2.（2024春?來賓期中）某校在消防主題公園周邊修了3條小路，如圖，小路3C,AC恰好互相垂直，小

路AB的中點〃剛好在湖與小路的相交處.若測得8C的長為1200相，AC的長為900根，則CM的長為

（）

A.750mB.800mC.900mD.1000m

【考點】勾股定理；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】先根據勾股定理求出1500加，再根據直角三角形斜邊上的中線性質即可得出結論.

【解答】解：小路BC,AC恰好互相垂直，

AZACB=90°,

：.AB=yjAC2+BC2=V9002+12002=1500（m）,

:點M是小路48的中點，

1

：.CM=AB=750m,

故選：A.

【點評】本題考查的勾股定理以及直角三角形斜邊上的中線性質等知識，熟練掌握勾股定理以及直角三

角形斜邊上的中線性質是解題的關鍵.

3.（2024?海淀區(qū)校級開學）如圖，△ABC中，AE是中線，是角平分線，AF是高，ZBAD=50°,則

下列說法錯誤的是（）

A.BE=CE

B.ZC+ZCAF=90°

C.SAAEC~S^ABE

D.當時，NA。尸=70°

【考點】角平分線的性質；三角形的面積.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】由中線的性質可得BE=CE,S^AEC=SMBE,由AF是△ABC的高，可得NC+/CAF=90°,

由角平分線的定義可得當時，根據NR4D=50°可計算出尸的度數,

再計算出/ADF的度數即可.

【解答】解：???AE是中線，

'.BE=CE,S^AEC=S^ABE,

故A、C說法正確；

：A尸是△ABC的高,

AZAFC=90°,

：.ZC+ZCAF=90°,

故2說法正確；

：是角平分線，

：.ZBAD=ZCAD,

.?.當/C=N8AO=50°時，ZCAF=40°,

：.ZFAD=ZDAC-ZFAC=50°-40°=10°,

AZADF=90°-Z￡）AF=90°-10°=80°,

故。說法錯誤；

故選：D.

【點評】本題考查了三角形面積、角平分線等知識，熟記三角形面積公式、角平分線定義是解題的關鍵.

4.（2024?淮陰區(qū)校級模擬）如圖，在網格中，小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，則NABC

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理；銳角三角函數的定義.

【答案】C

【分析】連接AC,根據勾股定理求出AC、BC、AB的長，根據勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三

角形，根據正切的定義計算即可.

【解答】解：連接AC,

由網格特點和勾股定理可知，

AC=Vl2+I2=V2,AB=2戊,BC=V32+l2=V10,

AC2+AB2=\0,BC2=10,

:.AC2+AB2=BC2,

:.AABC是直角三角形，

：.tanZABC^^4=

AB2V2

【點評】本題考查的是銳角三角函數的定義、勾股定理及其逆定理的應用，熟記銳角三角函數的定義、

掌握如果三角形的三邊長。，b,C滿足/+廿=02,那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵.

5.（2023秋?德慶縣期末）如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼

亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）

A.△ABC的三條中線的交點

B.△ABC三條角平分線的交點

C./XABC三條高所在直線的交點

D.△ABC三邊的中垂線的交點

【考點】角平分線的性質.

【專題】應用題.

【答案】B

【分析】由于涼亭到草坪三條邊的距離相等，所以根據角平分線上的點到邊的距離相等，可知是AABC

三條角平分線的交點.由此即可確定涼亭位置.

【解答】解：.??涼亭到草坪三條邊的距離相等，

/.涼亭選擇△ABC三條角平分線的交點.

故選：B.

【點評】本題主要考查的是角平分線的性質在實際生活中的應用.主要利用了利用了角平分線上的點到

角兩邊的距離相等.

6.（2024春?來賓期中）如圖，某校綜合實踐小組為測量校內人工湖的寬度AB,在岸邊選一點C,并分別

找到AC和BC的中點Z）,E,測得。E=16米，則人工湖的寬度為（

A.30米B.32米C.36米D.48米

【考點】三角形中位線定理.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】直接利用三角形的中位線定理，進行求解即可.

【解答】解：：。，E分別是AC和8C的中點，

DE是△ABC的中位線，

.?.A8=2OE=32米；

故選：B.

【點評】本題考查三角形的中位線定理的應用，熟練掌握三角形中位線定理是解題的關鍵.

7.（2023秋?南陽期末）如圖，BD與CE交于O,AE^AD,添加一個條件，仍不能使△A8Z屋AlCE的

是（）

A.BE=DCB.CE=BDC.Z1=Z2D.ZABC=ZACB

【考點】全等三角形的判定.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】B

【分析】要使△ABE四△AC。，已知具備了一組邊和一組角對應相等，還缺少邊

或角對應相等的條件，結合判定方法及圖形進行選擇即可.

【解答】解：AE^AD,

：.當BE=CD時，則AB=AC,依據SAS即可得到

當CE=BD時，則和△ACE全等條件是SSA,不能判定△ABO0AlCE；

當/1=/2時，由于NEO8=/QOC,則/ABO=/ACE,依據ASA即可得到△ABE絲△AC。；

當NABC=NACB時，貝!IA3=AC,依據SAS即可得到△ABE0ZkACZ）；

故選：B.

【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,

HL.添加時注意：A4A,SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據已知結合圖形及判定方法選擇

條件是正確解答本題的關鍵.

8.（2024春?來賓期中）在△ABC中，ZA,/B,/C所對的邊分別是a,b,c,且/A：ZB：ZC=1：

2：3,則下列等式正確的是（）

A.tr-cr+c1B.2a1—c2C.2b1—c1D.2a—c

【考點】勾股定理；三角形內角和定理；含30度角的直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】設/A=x,ZB=2x,/C=3x,根據三角形內角和定理可得△4BC是直角三角形，且c是斜

邊,從而得到/+廬=02,c=2a,即可求解.

【解答】解：設ZB—lx,NC=3x,

x+2x+3x=180°,

解得：％=30°,

ZA=30°,ZB=60°,ZC=90°,

???△ABC是直角三角形，且。是斜邊，

.,.a2+b2=c2,c=2a,

故選項A,B,C錯誤，選項D正確.

故選：D.

【點評】本題主要考查了含30°直角三角形的性質，勾股定理，三角形內角和定理，掌握直角三角形

的性質是關鍵.

9.（2023秋?攀枝花期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=夜，NBAC=90°.點。、E都在邊BC上，Z

DAE=45°.若BD=2CE,則。E的長是（)

B

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉與對稱；推理能力.

【答案】C

【分析】由等腰直角三角形性質和勾股定理求出NABC=NC=45°,BC=2,根據旋轉的性質得出AF

=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,求出/胡。=/ZME=45°,證△物△EAD,由全等

三角形的性質可得。尸=。￡,設EC=x,則8F=x,BD=2x,DF=DE=V5x,根據8c=2,列方程，

求出無即可.

【解答】解：:△ABC中，AB=AC=?ZBAC=90°,

：.ZABC=ZC=45°,

：.BC=7AB2+ac2=VT+2=2,

把△AEC繞A點旋轉到△人■?,使45和AC重合，連接。足

貝i」AP=AE,ZFBA=ZC=45°,ZBAF=ZCAE,

VZDAE=45°,

AZFAD=ZFAB+ZBAD=ZCAE+ZBAD=ABAC-ZDAE^90°-45°=45°,

：.ZFAD^ZDAE=45°,

在△物。和△EA。中，

AD=AD

Z-FAD=Z.EAD，

AF=AE

：./\FAD^/\EAD(SAS),

:?DF=DE,BF=EC,

設EC=x,貝!！BF=x,BD=2x,

：.DF=\BF2+BD2=V5,

,:BC=2,

2X+V5X+X=2,

：.DE=V5x=3*-5,

故選：C.

【點評】本題考查了全等三角形的性質和判定，旋轉的性質，等腰直角三角形的應用，添加恰當輔助線

構造全等三角形是本題的關鍵.

10.（2024春?福田區(qū)校級期中）等腰三角形的一邊長為3c"2,另一邊長為7cm,則它的周長為（）

A.13cmB.17cm

C.22cmD.13c根或17cm

【考點】等腰三角形的性質；三角形三邊關系.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】B

【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3c機和7cm,而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討

論，還要應用三角形的三邊關系驗證能否組成三角形.

【解答】解：分兩種情況：

當腰為3c加時，3+3=6<7,所以不能構成三角形；

當腰為7cm時,3+7>7,所以能構成三角形，周長是：3+7+7=17（cm）.

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系，熟知以上知識是解題的關鍵.

填空題（共5小題）

11.（2024春?南崗區(qū)校級期中）在RtZVIBC中，NC=90°,斜邊AB=12,若AC=5,貝!I

【考點】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力.

【答案】V119.

【分析】由勾股定理計算即可得出答案.

【解答】解：由勾股定理得：BC=7AB2—AC?=V122-52=V119,

故答案為：V119.

【點評】本題考查了勾股定理，解答本題的關鍵是熟練運用勾股定理解決問題.

12.（2024春?武侯區(qū)校級期中）如圖，在RtA4BC中，90°,BD是高,E是△ABC外一點，BE

=BA,NE=NC,若。E=5,AD=12,BD>DE,則△BDE的面積為30.

BC

【考點】三角形的面積；垂線段最短.

【答案】30.

1

【分析】根據SAS證明△ABE與ABED全等，BF=DE=5,然后利用5"加=S^ABF=jBF-4D代數

求解即可.

【解答】解：；3。是高，

AZADB=ZBDC=90Q,

VZABD+ZBAD=ZBAD+ZC=90°,

NABD=NC=/E,

在2。上截取2尸=OE,如圖所示：

BC

在AABF與ABED中

AB=BE

4ABD=乙E,

.BF=DE

.'.△ABF冬ABED(SAS),

:.BF=DE=5,

11

；.SABDE=S^ABF=?BF?AD=x5x12=30.

故答案為：30.

【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，作出輔助線，根據SAS證明全等

是解題的關鍵.

13.（2024?海淀區(qū)校級開學）如圖，AB^AC,點、D,E分別在AB與AC上，C。與8E相交于點?只填

一個條件使得添加的條件是：NB=/C（答案不唯一）.

【考點】全等三角形的判定.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】/B=NC（答案不唯一）.

【分析】根據題意，已經有一組邊相等，一個公共角，結合圖形，根據兩個三角形全等的判定定理，添

加一組角相等，構成ASA,即可得到兩個三角形全等.根據其他的判定定理，也可添加其他的條件.

【解答】解：?；NB=NC,AB=AC,ZA^ZA,

：.AABE^^ACD（ASA）,

故答案為：ZB=ZC（答案不唯一）.

【點評】本題主要考查的是全等三角形的判定定理，根據全等三角形的判定定理添加條件即可.

14.（2024春?灤南縣校級期末）如圖，D、E分別是△ABC邊AB、BC上的點，AD=2BD,BE=CE,連

接AE、CD交于點F,連接8尸，若△8AF的面積為4,則陰影部分的面積=3.

【考點】三角形的面積；三角形的角平分線、中線和高.

【答案】3.

【分析】根據AO=28。得到5△4。尸=2必如尸=8,SAADC=2SABDC,再由三角形中線平分三角形面積得

至!JS陰影=SABEF,SAABE—S^ACE,S陰影=S^BEF=X,則SABDC=2X+4,根據三角形面積之間的關系推出S

△ACE=5尤，則5x=x+8+4,解方程即可得到答案.

【解答】解：

??S/\ADF=2sABDF=8，SAADC=2s△BOC，

■:BE=CE,

??S陰影S/\ABE=S/\ACEJ

設S陰影=SABM=X,貝！JS/\BDC=2x+4f

.'.5AACD=4X+8,

.*.SAACF=4X,

??S/^ACE=5XJ

:.5x=x+8+4,

解得x=3,

故答案為：3.

【點評】本題主要考查了三角形的面積，三角形的角平分線、中線和高，掌握等底同高的三角形面積相

等是解題的關鍵.

15.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，己知/B=20°,NC=25°,若PM和0N分別垂直平分A8和

AC,則/B40=90°.

【考點】線段垂直平分線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；三角形；運算能力.

【答案】90.

【分析】先由PM和QN分別垂直平分和AC,得出/2=/B,Z1=ZC,根據三角形內角和性質

列式作答即可.

【解答】解：如圖：

,/PM和QN分別垂直平分AB和AC,

：.AP=PB,AQ=QC,

：.42=4B,N1=NC,

VZB=20°,ZC=25°,

.,.Z3=180°-2(ZB+ZC)=90°,

故答案為：90.

【點評】=本題考查了垂直平分線的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

三.解答題(共5小題)

16.(2024?汕頭一模)如圖，△ABC和△Z5CE都是等腰直角三角形，ZACB^ZDCE^90°,AC^BC,

DC=EC,連接ADBE.

(1)求證：△AC。烏△BCE；

(2)直接寫出AO和BE的位置關系.

【考點】全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形.

【專題】圖形的全等；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)AD±BE.

【分析】(1)先證明NAC￡)=NBCE,然后根據SAS即可證明△AC。絲△BCE；

(2)延長AD交BE于點R交BC于點N,由全等三角形的性質得NC4￡>=NCBE,由NC4O+/ANC

=90°可證/CBE+N〃VF=90°,進而可證結論成立.

【解答】(1)證明：,：ZACB=ZDCE=90°,

：.ZACB-/BCD=ZDCE-ZBCD,

：.ZACD^ZBCE,

:AC=BC,DC=EC,

：.AACD^ABCE(SAS)；

(2)解：延長AO交BE于點F,交BC于點、N,

'：△AC?？誂BCE,

:.NCAD=NCBE

VZACB=90°,

：.ZCAD+ZANC^90°,

?.*/ANC=ZBNF,

/CBE+/BNF=9T,

：.ZBFN=90°,

：.AD±BE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質，直角三角形兩銳角互余，對頂角相等，證明

BCE是解答本題的關鍵.

17.（2024春?衡南縣校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=36°,CD平分/ACB,交48于點

D,求證：AACr）是等腰三角形.

【考點】等腰三角形的判定；等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】證明見解析.

【分析】根據等腰三角形的性質及三角形內角和定理求出/ACD度數，即可得到繼而得

證.

【解答】證明：NA=36°,

1

ZACB=/B”（180°-Z4）=72°.

平分NAC8,

ZACD=/DCB=^/.ACB=36°.

又：/A=36°,

ZA^ZACD,

：.CD=AD,即△ACZ）是等腰三角形.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定及性質，三角形內角和，角平分線的定義，關鍵是根據等腰三角

形的性質及三角形內角和定理求出NAC。度數解答.

18.（2024春?秦都區(qū)校級月考）如圖，在△4BC中，AC=8,點。，E分別在BC,AC上，F是8。的中

點，連接和EF,若4B=A。，EF=EC,求EE的長.

BFD

【考點】直角三角形的性質；余角和補角；等腰三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】4.

【分析】連接AR在△ABC中，由“等腰三角形三線合一”可得NAFC=90°,由“等邊對等角”可

得/EFC=/C,由"等角的余角相等”可得由此可得E4=EF=EC=^AC,即可求

就出EF的長.

【解答】解：連接AR

"：AB=AD,廠是2。的中點，

：.AF±BD,

：.ZAFD=90°,

：.ZEAF+ZC^90°,NAFE+/EFC=90°,

；EF=EC,

：.ZEFC=ZC,

：./EAF=Z.AFE,

1

.'.EA=EF=EC==4.

【點評】本題主要考查了直角三角形的性質、余角和補角、等腰三角形的性質，熟練掌握以上知識是解

題的關鍵.

19.（2024?西安校級一模）如圖，點8、E、F、。在同一直線上，BE=DF,AB//CD,AB=CD.求證:

AF//CE.

B

【專題】線段、角、相交線與平行線；圖形的全等；推理能力.

【答案】見解析過程.

【分析】由“SAS”可證△A87名△CDE,可得NA尸B=NCM,可得結論.

【解答】證明：??,3E=OF,

；?BE+EF=DF+EF,

；.BF=DE,

'：AB//CD,

；?/B=/D,

在AAB尸和△CDE中，

AB=CD

Z-B—Z-DJ

BF=DE

：.AABF^ACDE(SAS),

???/AFB=/CED,

J.AF//CE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質，平行線的性質，證明三角形全等是解題的關鍵.

20.(2024春?西安校級期中)如圖，在Rt^ABC中，/A8C=90°,點。在8C的延長線上，且過

點8作BE±AC,與BD的垂線DE交于點E.

(1)求證：AABC咨4BDE

(2)若AB=12,DE=5,求CD的長.

【考點】全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；運算能力；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)CZ)=7.

【分析】(1)根據等角的余角相等，證明再根據ASA即可證明△ABCg△BOE；

(2)根據全等三角形的性質即可得出42=。+。石，即可求解.

【解答】(1)證明：

?.ZA+ZABE=90°,

VZABC=90°,

：.ZDBE+ZABE^90°,

/A=/DBE,

在△ABC和△BOE中，

‘ZA=/DBE

-BD=AB，

^ABC=乙BDE=90°

:.△ABgABDE(ASA)；

(2)解：AB^DE+CD,

理由：由(1)證得，△ABC經△BOE,

：.AB=BD,BC=DE,

,;BD=CD+BC,

：.AB=CD+DE.

\'AB=12,DE=5,

：.CD^AB-DE=12-5=7.

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題.

考點卡片

1.余角和補角

（1）余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角.即其中一個角是另一個角的余角.

（2）補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角.即其中一個角是另一個角的補

角.

（3）性質：等角的補角相等.等角的余角相等.

（4）余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯(lián).

注意：余角（補角）與這兩個角的位置沒有關系.不論這兩個角在哪兒，只要度數之和滿足了定義，則它

們就具備相應的關系.

2.垂線段最短

（1）垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

（2）垂線段的性質：垂線段最短.

正確理解此性質，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短.它是相對于這點與直

線上其他各點的連線而言.

（3）實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據應從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩

個中去選擇.

3.三角形的角平分線、中線和高

（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高.

（2）三角形一個內角的平分線與這個內角的對邊交于一點，則這個內角的頂點與所交的點間的線段叫做

三角形的角平分線.

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線.

（4）三角形有三條中線，有三條高線，有三條角平分線，它們都是線段.

（5）銳角三角形的三條高在三角形內部，相交于三角形內一點，直角三角形有兩條高與直角邊重合，另

一條高在三角形內部，它們的交點是直角頂點；鈍角三角形有兩條高在三角形外部，一條高在三角形內部，

三條高所在直線相交于三角形外一點.

4.三角形的面積

（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S4=筵x底義高.

（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

5.三角形三邊關系

(1)三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.

(2)在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短

的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形.

(3)三角形的兩邊差小于第三邊.

(4)在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，

容易忽略.

6.三角形內角和定理

(1)三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內角，且每個內角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內角和定理：三角形內角和是180°.

(3)三角形內角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角.在轉化中借助平

行線.

(4)三角形內角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數.①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

7.全等三角形的判定

(1)判定定理1：SSS--三條邊分別對應相等的兩個三角形全等.

(2)判定定理2：SAS--兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等.

(3)判定定理3：ASA--兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等.

(4)判定定理4：AAS--兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

(5)判定定理5：乩--斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

方法指引：全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應

相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾

邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊.

8.全等三角形的判定與性質

(1)全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關鍵是選擇恰當的判定條件.

(2)在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角

形.

9.角平分線的性質

角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有

時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，

在NAOB的平分線上，C￡>_LOA,CE工OB：.CD=CE

10.線段垂直平分線的性質

(1)定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

(2)性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距

離相等.

11.等腰三角形的性質

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論.

12.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等.【簡稱：等角對等邊】

說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法.

②等腰三角形的判定和性質互逆；

③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線;

④判定定理在同一個三角形中才能適用.

13.直角三角形的性質

(1)有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形.

(2)直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一