畢業(yè)設計建模new2

1、四旋翼飛行器的建模本章的主要內(nèi)容是對四旋翼飛行器進行理論建模。闡述了四旋翼飛行器的基本原理，分析了其控制方式和特點。根據(jù)牛頓歐拉定律，分析了作用在四旋翼上的各個外力和外力矩，推導出四旋翼飛行器的動力學模型。對驅(qū)動四旋翼飛行器的直流無刷電機進行了模型推導。1.四旋翼飛行器原理分析四旋翼飛行器通常具有兩種不同的飛行方式：X 型與十字型。X 型飛行方式的四旋翼飛行器的姿態(tài)改變方向與機身成 45 度，十字型飛行方式四旋翼飛行器姿態(tài)改變方向與飛行器機身相同。X 型飛行方式的飛行器有更好的控制靈敏度與穩(wěn)定性，十字型飛行方式的飛行器的螺旋槳分布在機體坐標系的坐標軸上，因此方便理論分析與控制。故本文采用十字飛

2、行。如圖 1 為十字型與 X 型四旋翼飛行器模式示意圖。2.X型四旋翼飛行器的飛行控制方式飛行器的動力學模型如圖2所示1。飛行器載體坐標系B，原點固連于飛行器的重心，以坐標軸xB，yB，zB表示，分別指向飛行器的前(橫滾軸) 、右(俯仰軸) 和下(偏航軸) 方向。選取導航坐標系N為參考坐標系(地面坐標系)，以坐標軸xN，yN，zN表示，分別指向北，東和當?shù)卮咕€向下方向。M和F 分別代表飛行器受到轉(zhuǎn)矩和升力。圖1：兩種飛行器飛行模式示意圖圖2：四旋翼飛行器動力學模型四旋翼飛行器產(chǎn)生基本動作的原理為: 電機1和3逆時針旋轉(zhuǎn)驅(qū)動兩個正槳產(chǎn)生升力，電機2和4順時針旋轉(zhuǎn)驅(qū)動兩個反槳產(chǎn)生升力。反向旋轉(zhuǎn)的兩

3、組電機和槳使其各自對機身產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩相互抵消，保證4個電機轉(zhuǎn)速一致時機身不發(fā)生轉(zhuǎn)動- 通過對四個旋翼轉(zhuǎn)速的控制可以實現(xiàn)飛行器的起飛、降落、懸停、俯仰、滾轉(zhuǎn)以及偏航運動(1)起飛、降落和懸停的時，首先要保證四個旋翼的轉(zhuǎn)速相同，使其俯仰、滾轉(zhuǎn)和偏航力矩為零，同時改變四個旋翼的轉(zhuǎn)速從而改變旋翼的拉力，當四個旋翼的合拉力大于飛行器自身重力時，飛行器將上升起飛；當四個旋翼的合拉力等于自身重力時，飛行器將保持懸停；而當四個旋翼的合拉力小于自身重力時，飛行器無法獲得足夠的升力將開始下落。 即4個電機轉(zhuǎn)速同時增大(減小)-如圖3所示（示意圖中Left為電機1，Back為電機2，Right圖3.四旋翼飛行器垂直運

4、動示意圖圖4.四旋翼飛行器俯仰運動示意圖為電機3，F(xiàn)ont為電機4）圖5.四旋翼飛行器翻滾運動示意圖圖6.四旋翼飛行器偏航運動示意圖(2) 要使四旋翼飛行器進行俯仰，需要在飛行器相應軸上施加力矩，可通過改變該軸兩端旋翼的轉(zhuǎn)速產(chǎn)生相應力矩，但是在進行旋翼調(diào)速時還需要保證飛行器偏航軸上的力矩為零，這就需要使加速的旋翼所增大的反扭矩與減速的旋翼所減小的反扭矩相等，從而保持整體扭矩不發(fā)生變化。即電機4轉(zhuǎn)速減小(增大) ，同時電機2轉(zhuǎn)速增大(減小)，如圖4所示。滾轉(zhuǎn)運動則是電機3轉(zhuǎn)速減小(增大) ，同時電機1轉(zhuǎn)速增大(減小) ，如圖5所示。令俯仰角為，翻滾角為（3）要進行偏航運動，則需要在偏航軸上施加力

5、矩，但同時要保持飛行器俯仰和滾轉(zhuǎn)軸上的力矩為零同時保持四個旋翼的合升力不變。由于四旋翼飛行器俯仰軸和滾轉(zhuǎn)軸兩端分別使用旋轉(zhuǎn)方向相反的兩對旋翼，因此同時增加某一個軸上兩個旋翼的轉(zhuǎn)速并減小另一個軸上兩個旋翼的轉(zhuǎn)速可以保持俯仰和滾轉(zhuǎn)力矩為零同時在偏航軸上產(chǎn)生偏航力矩。對角線的電機1和3轉(zhuǎn)速增大，另一組電機2和4轉(zhuǎn)速減小產(chǎn)生自身旋轉(zhuǎn)運動。如圖6所示。令偏航角為。3.坐標系建立根據(jù)坐標系之間的轉(zhuǎn)換推導可得地面坐標系E到機體坐標系B的轉(zhuǎn)換矩陣為2：3-1機體坐標系B到地面坐標系E的轉(zhuǎn)換矩陣為 3-24.外力平衡方程 根據(jù)牛頓第二定律可知，地面坐標系下四旋翼的質(zhì)心運動方程為： 4-1式中，m為四旋翼的質(zhì)量，

6、為四旋翼無人機質(zhì)心相對于地面坐標系的速度矢量，為作用在四旋翼上的合外力的矢量。對于四旋翼無人機，作用在飛行器機體上的外力包括重力、旋翼升力和阻力。重力表示為： 4-2根據(jù)參考文獻3，電機旋翼產(chǎn)生的力與其轉(zhuǎn)速的平方成正比。因此，單個旋翼產(chǎn)生的力可以表示為： 4-3其中，b是電機拉力轉(zhuǎn)換系數(shù)，其中為空氣密度、為旋翼半徑、為旋翼旋盤面積，Ct為升力系數(shù)。是第i個電機的轉(zhuǎn)速。由此可得旋翼產(chǎn)生的總的升力為： 4-45.旋翼揮舞運動4旋翼揮舞運動對于飛行器的建模來說是非常重要的。如圖所示飛行器在空中平移時，朝飛行方向轉(zhuǎn)動的槳葉（前進槳葉）旋轉(zhuǎn)的速度會比轉(zhuǎn)動相反的旋翼（后退槳葉）更快。也就是說前進槳葉產(chǎn)生升

7、力將增大，后退槳葉產(chǎn)生的升力將減小，從側(cè)面觀察可知飛行器平移飛行的時候，旋翼并不是在與機身垂直的平面上旋轉(zhuǎn)，而是與其有一個夾角，這個夾角稱為“旋翼揮舞角”。圖7.四旋翼平移飛行時的旋翼揮舞運動圖8.旋翼揮舞角示意圖如圖所示，通過建立旋翼坐標系，x，y，z軸方向和飛行器機體坐標系方向一致。當旋翼旋轉(zhuǎn)到x軸正上方時，與x軸的夾角為a1s稱為縱向揮舞角， 旋翼旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸正上方時，與y軸的夾角為b1s稱為橫向揮舞角。每一個旋翼中心在地坐標系下的運動速度: 5-1其中V是質(zhì)心的速度 ，di (i=N，S，E，W):表示在機體坐標系下旋翼的方位。 5-2其中可得平行于旋翼構造平面的速度系數(shù)，即前進比為:

8、5-4其中為旋翼轉(zhuǎn)動角速度，r為旋翼半徑。也可知垂直于旋翼構造平面的速度系數(shù)，即流入比為 5-5旋轉(zhuǎn)方位角為 5-6令j=可得旋轉(zhuǎn)矩陣 5-7u1s和v1s是旋翼坐標系下的縱向揮舞角和橫向揮舞角，通過與旋轉(zhuǎn)正交坐標系到靜止正交坐標系的旋轉(zhuǎn)矩陣J的乘積得到機身坐標系下的縱向揮舞角和橫向揮舞角。 5-8又 5-9其中，是理想的旋翼扭轉(zhuǎn)下的槳葉傾斜角，是槳葉的葉根角，是槳葉的扭轉(zhuǎn)角，CT是升力因數(shù)，是空氣密度，是旋翼升力曲線斜率。根據(jù)相關文獻4，即得 5.10 對其進行近似化處理可得 5-11根據(jù)坐標系之間的轉(zhuǎn)換矩陣可知，槳葉坐標系相對于機身坐標系是通過繞x軸旋轉(zhuǎn)a1s，再繞y軸旋轉(zhuǎn)b1s。其變換矩

9、陣為 5-12 5-13慣性坐標系下四旋翼所受外力的平衡方程為： 5-14繼而，四旋翼飛行器在地面坐標系下的線運動方程可以表示為 5-156.外力矩平衡方程根據(jù)牛頓第二定律，描述飛行器轉(zhuǎn)動的歐拉方程為5： 6-1式中M為飛行器的合外力矩，為四旋翼無人機相對于機體坐標系的轉(zhuǎn)動角速度矢量，為四旋翼飛行器相對質(zhì)心的慣性矩陣假設四旋翼飛行器結(jié)構具有很好的對稱性，認為其質(zhì)心位于機體中心，我們可以得到慣性積為，繞x、y、z坐標軸的轉(zhuǎn)動慣量不為0，四旋翼飛行器的機體慣性矩陣J表示為:。分別為對應軸的轉(zhuǎn)動慣量。式6-1的左邊第二項可以寫成 6-2結(jié)合6-1得到 6-3Mx ，My ，Mz分別為飛行器在x，y，

10、z三個坐標方向上的合外力矩分量。其中作用在無人機上的合外力矩M主要有阻力力矩、旋翼力矩和陀螺力矩。由于飛行器進行低速飛行，所以忽略掉空氣阻力力矩的影響旋翼力矩是由旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的拉力和空氣阻力共同引起的。四旋翼無人機是軸對稱的，因此俯仰通道和滾轉(zhuǎn)通道近似對稱，滾轉(zhuǎn)力矩是由 1，3號旋翼拉力差所引起的，俯仰力矩是由 2，4號旋翼拉力差所引起。偏航力矩是由于1，3與2，4號旋翼拉力不同引起的。故滾轉(zhuǎn)力矩，俯仰力矩偏航力矩分別用表示。 6-4其中d為飛行器的質(zhì)心到旋翼旋轉(zhuǎn)軸之間的距離，為飛行過程中四旋翼在Z軸所受的力矩，表示為: 6-5其中為旋翼的力矩轉(zhuǎn)換系數(shù)，其中為空氣密度、為旋翼半徑、為旋翼旋盤面

11、積、反扭矩系數(shù)。對6-4，6-5整理得 6-6陀螺力矩6是指飛行過程中受到由旋翼旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的陀螺效應。因為旋翼分兩組，一組順時鐘高速旋轉(zhuǎn)，另一組逆時鐘高速旋轉(zhuǎn)。當飛行器做俯仰或翻滾運動時，會改變旋轉(zhuǎn)飛行器的角動量的方向，從而產(chǎn)生力矩。當旋翼轉(zhuǎn)速的代數(shù)和不等于零時，將引起機體的不平衡，即產(chǎn)生一個陀螺力矩，使機體進行旋轉(zhuǎn)運動。 6-7其中分別為前后左右旋翼的轉(zhuǎn)速，jr為旋翼的轉(zhuǎn)動慣量。對6-7進行化簡可得 6-8其中，為四個旋翼轉(zhuǎn)速的代數(shù)和，即對6-3，6-4，6-5，6-8整理可得即 6-9接下來討論歐拉角速率與三軸角速率的關系，四旋翼飛行器系統(tǒng)的運動學方程組相似于其他飛行器，由旋轉(zhuǎn)理論可以將地面

12、坐標系下姿態(tài)角速率與機體坐標系下的三軸角速度分量( p , q ,r )的關系表示如下2:上式也可寫成 6-10這個方程也稱為系統(tǒng)運動學方程的旋轉(zhuǎn)運動，反映了姿態(tài)角速率與機體坐標系的三個角速度分量之間的關系。結(jié)合公式5-15,6-9，6-1,可以給出四旋翼系統(tǒng)動力學的最終模型為6-117. 無刷直流電機的數(shù)學模型四旋翼飛行器采用的是無刷直流電機來驅(qū)動，其電機模型分為兩部分：1）無刷直流電機穩(wěn)態(tài)模型，即 PWM 波占空比與電機穩(wěn)定轉(zhuǎn)速的關系。2）電機動態(tài)建模，即無刷電機響應給定的轉(zhuǎn)速的動態(tài)過程的建模。1.無刷直流電機的穩(wěn)態(tài)模型要建立無刷直流電機的穩(wěn)態(tài)模型，只須測量并記錄 PWM 波及對應的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)

13、速，對其進行曲線擬合即可。建立無刷直流電機穩(wěn)態(tài)模型的具體框架如圖9所示。圖中 PC 機主要用于 DSP控制程序的調(diào)試，通過改變輸出的PWM 波占空比的大小實現(xiàn)電機的調(diào)速。電源采用的是普通用航模3S電池，電壓為 11.1V。電調(diào)將兩相直流電轉(zhuǎn)換為三相交流電，輸出給電機。通過接收到的 PWM 波控制電調(diào)中開關管的開關頻率，可以實現(xiàn)無刷電機的轉(zhuǎn)速可調(diào)。轉(zhuǎn)速測量由光電開關來完成。PWMPC機DSP電調(diào)無刷電機電源圖92.無刷直流電機的動態(tài)模型在四旋翼飛行器中，旋翼是由無刷直流電機驅(qū)動的。設加在直流電機電樞回路兩端的控制電壓為u,電流為i，電機轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為m ，則電樞回路的電壓平衡方程: 7-1其中Rm

14、ot、L分別為電機的等效電阻和電感，ke為電機的電勢系數(shù)。電機轉(zhuǎn)動的力矩平衡方程 7-2其中，Jm為電機軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量,Mfr為電機的負載力矩，Mem為電機的力矩。Mem=kmi。由于使用的小電機具有很低的感應系數(shù)L，這里忽略L，則式7-1變?yōu)椋?7-3帶入上式得： 7-4方程等效為： 7-5在旋翼的變速的情況下，電機的力矩可以根據(jù)經(jīng)驗得出： 7-6是旋翼的角速度，是變速的效率，是下降比例。本設計為涉及用齒輪箱對旋翼進行變速，故其等效為： 7-7電機的轉(zhuǎn)動慣量為： 7-8是旋翼作用在電機上的轉(zhuǎn)動慣量。電機的方程式可以寫成： 7-9如果設為電機的總轉(zhuǎn)動慣量，則寫成： 7-10令，方程簡化為：

15、 7-11在某個工作點附近，使用一階泰勒級數(shù)展開，線性化為: 7-12其中：從而可知直流電機的動態(tài)模型可近似為慣性環(huán)節(jié)。近似的慣性環(huán)節(jié)可表示為： 7-13由于電壓和占空比之間呈線性關系，故可將其簡化成： 7-14其中k1為電壓和占空比之間的比例系數(shù)，Tm ，k分別為電機時間常數(shù)和增益。時間常數(shù)Tm可通過系統(tǒng)的單位階躍響應曲線求得，即響應上升到響應曲線幅值的 0.632 時所用的時間如圖4（橫坐標代表采樣次數(shù)，縱坐標代表轉(zhuǎn)速）。實驗通過DSP控制輸出一路PWM驅(qū)動電調(diào)使電機工作，一路采用ECAP（捕獲模塊）對裝在電機上的碼盤進行數(shù)據(jù)采集，通過采集到的時間進行換算成電機轉(zhuǎn)速，時間常數(shù)的測定過程通過

16、軟件完成，當電機運行到內(nèi)同步后，軟件給定電機一個初始占空比（即轉(zhuǎn)速），將電機的工作點設定在 850rad/s，穩(wěn)定運行一段時間后，增大控制電壓占空比，這相當于給定了電機一個電壓階躍信號，當電機轉(zhuǎn)速再次穩(wěn)定在1200rad/s后，測量螺旋槳轉(zhuǎn)速的變化曲線即可求得電機的時間常數(shù)。由于CCS軟件是每0.5s采集一次數(shù)據(jù)，根據(jù)測試結(jié)果計算可得到電機的時間常數(shù)Tm=0.7。圖10電機時間常數(shù)測量圖采用 MATLAB Curve Fitting 工具對記錄的 PWM 波占空比及轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)進行曲線擬合，如圖5 所示。，故增益k為2540。圖11 電機增益測量圖 所以直流電機的動態(tài)模型為 7-15參考文獻1 張廣玉.張洪濤.李隆球.王林.四旋翼微型飛行器設計J.哈爾濱理工大學2012年1月.110114.2秦永元.慣性導航(第二版)M.科學出版社，2014年1月.47 .3 Norafizah Abas, Ari Legowo, Rini Akmeliawati . Parameter Identification of an Autonomous Quadrot