第2章直線與直線方程（期中考-考點(diǎn)精講）（原卷版）

第2章直線與圓的方程（考點(diǎn)精講）知識(shí)點(diǎn)①直線的傾斜角★★☆知識(shí)點(diǎn)②直線的斜率★★☆知識(shí)點(diǎn)③傾斜角與斜率的關(guān)系★★☆知識(shí)點(diǎn)④直線的方向向量★★☆知識(shí)點(diǎn)⑤兩條直線平行與垂直的判定★★★拓展①求傾斜角大小（或范圍）的方法★★☆拓展②求直線斜率（或斜率的取值范圍）的方法★★☆拓展③斜率公式的應(yīng)用★★★拓展④兩條直線的平行的判定與應(yīng)用★★★拓展⑤兩條直線的垂直的判定與應(yīng)用★★★拓展⑥斜率在實(shí)際生活中的應(yīng)用★★☆知識(shí)點(diǎn)①直線的方程★★☆知識(shí)點(diǎn)②直線方程的幾種形式★★★知識(shí)點(diǎn)③兩條直線的位置關(guān)系★★★拓展①求傾斜角大?。ɑ蚍秶┑姆椒ā铩铩锿卣耿谇笾本€斜率（或斜率的取值范圍）的方法★★★拓展③斜率公式的應(yīng)用★★★拓展④兩條直線的平行的判定與應(yīng)用★★★拓展⑤兩條直線的垂直的判定與應(yīng)用★☆☆拓展⑥斜率在實(shí)際生活中的應(yīng)用★★★知識(shí)點(diǎn)①兩條直線的交點(diǎn)★★☆知識(shí)點(diǎn)②距離公式★★★知識(shí)點(diǎn)③平面內(nèi)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式★★★拓展①求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)★★★拓展②解決與距離有關(guān)的問(wèn)題★★★拓展③直線恒過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題★★★拓展④經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線方程★★★拓展⑤線段垂直平分線的方程★★★拓展⑥點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題★★★拓展⑦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題★★★拓展⑧直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題★★★拓展⑨直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題★★★拓展⑩利用距離的幾何意義求最值★★★拓展①①光的反射問(wèn)題★★★拓展①②實(shí)際生活中與直線有關(guān)的問(wèn)題★★☆拓展①③新定義問(wèn)題★★☆知識(shí)點(diǎn)①圓的定義★★☆知識(shí)點(diǎn)②圓的標(biāo)準(zhǔn)方程★★★知識(shí)點(diǎn)③圓的一般方程★★★知識(shí)點(diǎn)④幾種特殊位置的圓的方程★★☆知識(shí)點(diǎn)⑤點(diǎn)與圓的位置關(guān)系★★☆拓展①圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法★★★拓展②圓的一般方程的求法★★★拓展③阿波羅尼斯圓★★☆拓展④以線段為直徑的圓的方程★★☆拓展⑤巧用圓系方程解決問(wèn)題★★☆拓展⑥與圓有關(guān)的最值問(wèn)題★★★拓展⑦生活中的圓的問(wèn)題★★☆知識(shí)點(diǎn)①直線與圓的位置關(guān)系★★★知識(shí)點(diǎn)②圓與圓的位置關(guān)系★★★拓展①直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法★★★拓展②與圓的切線有關(guān)的問(wèn)題★★★拓展③直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)問(wèn)題★★★拓展④兩圓相交時(shí)的公共弦★★★拓展⑤與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題★★★拓展⑥與圓有關(guān)的數(shù)形結(jié)合問(wèn)題★★★拓展⑦直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用★★☆§2.1直線的傾斜角與斜率1.傾斜角與斜率：傾斜角：當(dāng)直線與軸相交時(shí)，以軸為基準(zhǔn)，軸正向和直線向上的方向之間所成的角叫直線的傾斜角，取值范圍為.斜率：直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率通常用來(lái)表示.斜率公式：如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn),則.直線的方向向量：斜率為的直線的一個(gè)方向向量是,若斜率為的直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為，則.2.兩條直線平行和垂直的判定斜率分別為的兩條不重合的直線，有.斜率分別為的兩條直線，有.（2021秋?福清市期末）若直線l的斜率為，則l的傾斜角為（）A． B． C． D．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）若直線過(guò)點(diǎn)（1，2），（4，2+），則此直線的傾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°（2021秋?福州期末）直線x+y+2＝0的傾斜角α是（）A． B． C． D．﹣（馬尾區(qū)校級(jí)期末）若直線的傾斜角為120°，則直線的斜率為（）A． B． C． D．（2021秋?福州期中）設(shè)點(diǎn)A（1，3），B（3，2），若直線ax﹣y﹣2＝0與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．（2021秋?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)校級(jí)月考）直線x﹣y﹣3＝0的傾斜角為（）A． B． C． D．（2021秋?福州期中）直線l：x﹣3y+1＝0的傾斜角為（）A．0 B． C． D．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）經(jīng)過(guò)A（0，2），B（﹣1，0）兩點(diǎn)的直線的方向向量為（1，λ），則λ＝（）A．1 B．2 C． D．（鼓樓區(qū)校級(jí)期末）如果三點(diǎn)A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）在同一直線上，則（）A．a(chǎn)＝3，b＝﹣3 B．a(chǎn)＝6，b＝﹣1 C．a(chǎn)＝3，b＝2 D．a(chǎn)＝﹣2，b＝1（2021秋?長(zhǎng)樂(lè)區(qū)校級(jí)月考）直線x+y﹣1＝0的傾斜角是．（2021秋?福清市校級(jí)月考）若直線l被直線l1：x﹣y+1＝0與l2：x﹣y+3＝0截得的線段長(zhǎng)為，則直線l的傾斜角θ（0°≤θ＜90°）的值為．§2.2直線的方程1.直線方程：⑴點(diǎn)斜式：（不能表示斜率不存在的直線）⑵斜截式：（不能表示斜率不存在的直線，是直線與軸的交點(diǎn)縱坐標(biāo)（即軸上的截距））⑶兩點(diǎn)式：⑷截距式：（是直線在軸上的截距，且）⑸一般式：（不同時(shí)為0）2.給定直線方程判斷直線的位置關(guān)系：（一）對(duì)于直線有：⑴；⑵和相交；⑶和重合；⑷.（二）對(duì)于直線：（1）與直線垂直的一個(gè)向量為，平行的一個(gè)向量為.（2）對(duì)于直線有：；和相交；.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）直線l1：ax+3y+1＝0，l2：2x+（a+1）y+1＝0，若l1∥l2，則a＝（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2（臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）傾斜角為45°，在y軸上的截距為﹣1的直線方程是（）A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y+1＝0（2021秋?連江縣期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．已知平面直角坐標(biāo)系中△ABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（0，0），B（8，0），C（0，6），則△ABC的“歐拉線”方程為（）A．3x+4y﹣3＝0 B．3x﹣4y＝0 C．3x﹣4y+3＝0 D．3x+4y＝0（2021秋?連江縣期中）直線4x﹣ay+2＝0與直線2x﹣y+7＝0平行，則a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）若直線ax+y﹣a+1＝0與直線（a﹣2）x﹣3y+a＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或﹣3 D．1或3（2021秋?福州期中）已知直線l1：（a﹣1）x+2y+1＝0與直線l2：3x+ay﹣1＝0平行，則a等于（）A．3或﹣2 B．﹣2 C．3 D．2（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期中）已知直線l1：ax+2y﹣1＝0，直線l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．±4 B．﹣4 C．4 D．±2（多選）（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．截距相等的直線都可以用方程表示 B．方程x+my﹣2＝0（m∈R）能表示平行y軸的直線 C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，1），傾斜角為θ的直線方程為y﹣1＝tanθ（x﹣1） D．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線方程（y2﹣y1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）（y﹣y1）＝0（2021秋?福州期末）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2+（y+2）2≤3，若將軍從點(diǎn)A（﹣4，0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為x+y﹣1＝0，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則“將軍飲馬”的最短總路程為．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）設(shè)兩直線l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m與l2：2x+（5+m）y＝8．若l1∥l2，則m＝．（2022春?閩侯縣校級(jí)月考）已知A（2，﹣3），B（4，﹣2），則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知直線l過(guò)定點(diǎn)A（2，1）．（1）若直線l與直線x+2y﹣5＝0垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程．§2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式（1）兩點(diǎn)間距離公式：已知，則.（2）點(diǎn)到直線距離公式：到直線的距離為：.（3）兩平行線間的距離公式：：與：間的距離為：.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）原點(diǎn)到直線l：3x+4y﹣2+λ（2x+y+2）＝0的距離的最大值為（）A． B． C． D．（2021秋?福州期末）已知直線l1：3x﹣4y+7＝0與直線l2：6x﹣（m+1）y+1﹣m＝0平行，則l1與l2之間的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4（2021秋?福州期中）過(guò)點(diǎn)P（1，2）引直線，使A（3，2），B（4，﹣5）兩點(diǎn)到直線的距離相等，則這條直線的方程是（）A．7x+y﹣9＝0 B．7x+5y﹣17＝0 C．7x+y﹣9＝0或7x+5y﹣17＝0 D．7x+y﹣9＝0或7x﹣5y+3＝0（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知直線x﹣2y+1＝0與直線2x﹣my﹣2m＝0平行，則它們之間的距離為（）A． B． C． D．4（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）在一個(gè)平面上，機(jī)器人從與點(diǎn)C（1，﹣4）的距離為5的地方繞點(diǎn)C順時(shí)針而行，在行進(jìn)過(guò)程中保持與點(diǎn)C的距離不變．它在行進(jìn)過(guò)程中到過(guò)點(diǎn)A（﹣6，0）與B（0，8）的直線的最近距離為（）A．3 B．4 C．5 D．6（長(zhǎng)樂(lè)市校級(jí)月考）若直線l1：x+ay+6＝0與l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，則l1與l2間的距離為（）A． B． C． D．（福州期末）若兩平行直線l1：x﹣2y+m＝0（m＞0）與l2：2x+ny﹣6＝0之間的距離是，則m+n＝（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）直線l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒過(guò)定點(diǎn)．（2021秋?福州期中）經(jīng)過(guò)直線3x﹣2y+1＝0和直線x+3y+4＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x+3y+4＝0的直線方程為．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）已知直線x﹣2y+3＝0與直線3x+y+2＝0交于點(diǎn)P，本題所求直線方程均寫(xiě)出一般式．（1）求過(guò)點(diǎn)P且平行于直線3x+4y﹣5＝0的直線l1的方程，并求出兩平行線之間的距離；（2）求過(guò)點(diǎn)P并且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線l2的方程．（2021秋?福州期中）已知直線方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．（1）當(dāng)m變化時(shí)，求點(diǎn)Q（3，4）到直線的距離的最大值及此時(shí)的直線方程；（2）若直線分別與x軸、y軸的負(fù)半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及此時(shí)的直線方程．（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知直線l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m＝0．（1）求證：不論m為任何實(shí)數(shù)，直線l恒過(guò)一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)M（﹣1，﹣2）作一條直線l1，使l1夾在兩坐標(biāo)軸之間的線段被M點(diǎn)平分，求直線l1的方程．§2.4圓與方程1.圓的方程：⑴標(biāo)準(zhǔn)方程：(其中圓心為，半徑為.)⑵一般方程：.().（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期中）已知圓x2+y2﹣4y﹣1＝0，則該圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A．（0，2），5 B．（0，﹣2），5 C．（0，2）， D．（0，﹣2），（倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）圓（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1關(guān)于直線x﹣y﹣2＝0對(duì)稱的圓的方程為（）A．（x﹣4）2+（y+1）2＝1 B．（x+4）2+（y+1）2＝1 C．（x+2）2+（y+4）2＝1 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝1（2021?鼓樓區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）圓心在（2，﹣1）上，半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝3 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝9 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝3 D．（x+2）2+（y﹣1）2＝9（福州期末）已知圓C：（x﹣3）2+（y+2）2＝9，點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，2），設(shè)點(diǎn)P是圓C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定義：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和叫做“離差平方和”，記作D2，令D2＝|PA|2+|PB|2，則D2的最小值為（）A．6 B．8 C．12 D．16（2021秋?連江縣期中）已知圓心為（a，0）的圓C與傾斜角為的直線相切于點(diǎn)，則圓C的方程為．（倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）已知以C（0，﹣2）為圓心的圓截直線2x﹣y+3＝0所得弦長(zhǎng)為4，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是．（閩侯縣校級(jí)期中）已知圓C過(guò)兩點(diǎn)M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圓心C在直線2x﹣y﹣2＝0上．（Ⅰ）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)（﹣2，5）且與圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，若直線l的斜率k大于0，求k的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，是否存在直線l使得弦AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)P（3，﹣1），若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．§2.5直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1.直線與圓的位置關(guān)系:（表示圓心到直線的距離）;;.2.直線和圓相交弦長(zhǎng)公式：（表示圓心到直線的距離）3.兩圓位置關(guān)系：（1）外離：；（2）外切：；（3）相交：；（4）內(nèi)切：（）；（5）內(nèi)含：（（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓x2+y2＝9上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P（1，1），且PA⊥PB，則|AB|的最大值為（）A．3+2 B．3+ C．5﹣ D．4+（2021秋?福清市期末）圓C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9與圓C2：（x+1）2+（y+1）2＝1的公切線的條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4（2021秋?福州期末）圓x2+y2﹣6y+8＝0與圓x2+y2﹣8x＝0的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．外離（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知過(guò)點(diǎn)P（2，2）的直線與圓x2+（y﹣1）2＝5相切，且與直線ax﹣y+1＝0垂直，則a＝（）A． B． C．﹣2 D．2（2022春?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）若直線ax+y＝0始終平分圓x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0的周長(zhǎng)，則a的值為（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1（2021秋?福州期中）圓x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0與圓（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置關(guān)系為（）A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離（2021秋?福州期中）圓C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝6截直線l：（a+1）x﹣y﹣a+1＝0的最短弦長(zhǎng)為（）A．2 B． C．4 D．8（多選）（2022春?鼓樓區(qū)校級(jí)月考）已知圓x2+y2＝4上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離