專題11雙曲線（重難點(diǎn)突破）（原卷版）-2021年秋季高二數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版）

專題11雙曲線一、考情分析二、考點(diǎn)梳理考點(diǎn)一雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)(小于eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2)))的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{Meq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF1))))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(MF2))))＝2a}，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(F1F2))＝2c，其中a，c為常數(shù)，且a>0，c>0.(1)當(dāng)a＜c時，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)a＝c時，點(diǎn)P的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)a＞c時，點(diǎn)P不存在．

考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸，對稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(A1A2))＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(B1B2))＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長考點(diǎn)三、常用結(jié)論1、過雙曲線的一個焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長為eq\f(2b2,a)，也叫通徑．2、與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝t(t≠0)．3、雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.4、若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.三、題型突破重難點(diǎn)題型突破一雙曲線的定義及其應(yīng)用例1、（1）、雙曲線的漸近線方程是（）A． B．C． D．(2)、設(shè)雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2|的最小值為__________．(3)、（2022·全國高三專題練習(xí)）已知方程－＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練11】、（2021·全國高三月考（文））雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)（）A． B． C． D．、【變式訓(xùn)練12】、已知是雙曲線上一點(diǎn)，是左焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)，與的內(nèi)切圓切于點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．【變式訓(xùn)練13】、（2021·銀川三沙源上游學(xué)校高二期末（理））命題“”是命題曲線表示雙曲線的（）A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件例2．（1）、（2021·全國高二課時練習(xí)）動點(diǎn)到點(diǎn)及點(diǎn)的距離之差為，則當(dāng)和時，點(diǎn)的軌跡分別是（）A．雙曲線和一條直線 B．雙曲線和一條射線C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線（2）．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知的頂點(diǎn)，，且的內(nèi)切圓的圓心在直線上，求頂點(diǎn)的軌跡方程.【變式訓(xùn)練21】、（2021·全國高二課時練習(xí)）已知，為平面內(nèi)兩個定點(diǎn)，為動點(diǎn)，若（為大于零的常數(shù)），則動點(diǎn)的軌跡為（）A．雙曲線 B．射線C．線段 D．雙曲線的一支或射線【變式訓(xùn)練22】、（2021·全國高二課時練習(xí)）已知動圓與圓，圓中的一個外切?一個內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程.

重難點(diǎn)題型突破二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3、(1)已知，分別為雙曲線：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)是右支上一點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）A． B．4 C．5 D．(2)過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)，且切點(diǎn)為，已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（點(diǎn)在切點(diǎn)的右側(cè)），若的周長為，則雙曲線的漸近線的方程為()A． B． C． D．【變式訓(xùn)練31】、（2021·東城·北京二中高二月考）過雙曲線的一個焦點(diǎn)作其漸近線的平行線，直線與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為雙曲線的虛軸端點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為___________.【變式訓(xùn)練32】、已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為（）A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,3)＝1

例4、（2021·全國高二課時練習(xí)）設(shè)動圓的半徑為，分別求滿足下列條件的動圓的圓心的軌跡方程．（1）與圓內(nèi)切，且過點(diǎn)；（2）與圓外切，且與圓內(nèi)切．【變式訓(xùn)練41】、（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，實(shí)軸長為4，（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上存在一點(diǎn)使得，求的面積．

重難點(diǎn)題型突破三雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用例5、（1）(2020·福建廈門一模)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一個焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(3)x B．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±2x D．y＝±eq\f(1,2)x（2）、（2021·內(nèi)蒙古包頭·（理））設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，若C的焦距為12，則當(dāng)?shù)拿娣e最大時，C的方程為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練51】、（2021·湖北）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)為，過的直線交雙曲線右支于，若，且，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練52】、（2021·嘉峪關(guān)市第一中學(xué)（理））如果雙曲線的離心率為，我們稱該雙曲線為黃金分割雙曲線，簡稱為黃金雙曲線．現(xiàn)有一黃金雙曲線，則該黃金雙曲線C的虛軸長為（）A．2 B．4 C． D．

例6．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線的右支上一點(diǎn)．（1）求，的最小值；（2）若右支上存在點(diǎn)P，滿足，求雙曲線的離心率的取值范圍．【變式訓(xùn)練61】、（2021·全國高二課時練習(xí)）設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，且，一條漸近線的傾斜角為60°．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）求分別以，為左、右頂點(diǎn)，短軸長等于雙曲線虛軸長的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

四、定時訓(xùn)練（30分鐘）1．（2021·貴州貴陽·高三月考（文））雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為_______.2．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為____________，離心率為____________.3．（2021·東城·北京二中高二月考）雙曲線的焦距為___________.4．（2021·全國高二課時練習(xí)）與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．5．（2021·榆林市第十中學(xué)（理））已知雙曲線（，），直線與的右支分別交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn).若，則的漸近線方程為______.6．（2021·全國）經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程為（）A． B． C． D．7．（2021·江蘇高二專題練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（1）焦點(diǎn)在軸上，，經(jīng)過點(diǎn)；（2）經(jīng)過、兩點(diǎn)．

8．（2020·江蘇）已知．（1）若表示雙曲線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且是中的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．9．（2021·全國高二課時練習(xí)）已知雙曲線E：＝1（a＞0，b＞0）的