第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析單元總結(jié)（思維導(dǎo)圖知識(shí)記誦能力培養(yǎng)）（含解析）高二數(shù)學(xué)下學(xué)期（人教A版2019選擇性）

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析知識(shí)點(diǎn)一、變量間的相關(guān)關(guān)系1.變量與變量間的兩種關(guān)系：（1）函數(shù)關(guān)系：這是一種確定性的關(guān)系，即一個(gè)變量能被另一個(gè)變量按照某種對應(yīng)法則唯一確定．例如圓的面積．S與半徑r之間的關(guān)系S=πr2為函數(shù)關(guān)系．（2）相關(guān)關(guān)系：這是一種非確定性關(guān)系．當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定的隨機(jī)性，這兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。例如人的身高不能確定體重，但一般來說“身高者，體重也重”，我們說身高與體重這兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系．2.相關(guān)關(guān)系的分類：（1）在兩個(gè)變量中，一個(gè)變量是可控制變量，另一個(gè)變量是隨機(jī)變量，如施肥量與水稻產(chǎn)量；（2）兩個(gè)變量均為隨機(jī)變量，如某學(xué)生的語文成績與化學(xué)成績．3.散點(diǎn)圖：將兩個(gè)變量的各對數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)而得到的圖形叫做散點(diǎn)圖．它直觀地描述了兩個(gè)變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系．這是我們判斷的一種依據(jù)．4.回歸分析：與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析。知識(shí)點(diǎn)二、線性回歸方程：1．回歸直線如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。2．回歸直線方程對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，，……，，其回歸直線的截距和斜率的最小二乘法估計(jì)公式分別為：，其中表示數(shù)據(jù)xi（i=1，2，…，n）的均值，表示數(shù)據(jù)yi（i=1，2，…，n）的均值，表示數(shù)據(jù)xiyi（i=1，2，…，n）的均值．、的意義是：以為基數(shù)，x每增加一個(gè)單位，y相應(yīng)地平均變化個(gè)單位．3．求回歸直線方程的一般步驟：①作出散點(diǎn)圖由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系，若存在線性相關(guān)關(guān)系，進(jìn)行第二步。②求回歸系數(shù)、計(jì)算，，，，利用公式求出，再由求出的值；③寫出回歸直線方程；④利用回歸直線方程預(yù)報(bào)在x取某一個(gè)值時(shí)y的估計(jì)值。知識(shí)點(diǎn)三、相關(guān)性檢驗(yàn)（1）相關(guān)系數(shù)r的定義對于變量x與y隨機(jī)抽取到的n對數(shù)據(jù)，，……，，稱為x與y的樣本相關(guān)系數(shù)。（2）相關(guān)系數(shù)r的作用樣本相關(guān)系數(shù)r用于衡量兩個(gè)變量之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱：①越接近1，表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；越接近0，表明兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越弱。②當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)，即x增加，y隨之相應(yīng)地增加，若x減少，y隨之相應(yīng)地減少．當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，即x增加，y隨之相應(yīng)地減少；若x減少，y隨之相應(yīng)地增加．若r=0，則稱x與y不相關(guān)。③當(dāng)，認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。④當(dāng)大于時(shí)，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這時(shí)求回歸直線方程有必要也有意義，當(dāng)時(shí)，尋找回歸直線方程就沒有意義。（3）利用相關(guān)系數(shù)r檢驗(yàn)的一般步驟：法一：①作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。②根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r的值。③比較與0.75的大小關(guān)系，得出統(tǒng)計(jì)結(jié)論。如果，認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。法二：①作統(tǒng)計(jì)假設(shè)：x與y不具有線性相關(guān)關(guān)系。②根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式算出r的值。③根據(jù)小概率0.05與n2在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出r的一個(gè)臨界值（n未數(shù)據(jù)的對數(shù)）。④比較與，作統(tǒng)計(jì)推斷，如果，表明有95%的把握認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。如果，我們沒有理由拒絕原來的假設(shè)，即不認(rèn)為x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。這時(shí)尋找回歸直線方程是毫無意義的。知識(shí)點(diǎn)四、線性回歸分析與非線性回歸分析1．線性回歸分析對于回歸分析問題，在解題時(shí)應(yīng)首先利用散點(diǎn)圖或相關(guān)性檢驗(yàn)判斷x與y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果線性相關(guān)，才能求解后面的問題．否則求線性回歸方程沒有實(shí)際意義，它不能反映變量x與y，之間的變化規(guī)律．只有在x與y之間具有相關(guān)關(guān)系時(shí)，求線性回歸方程才有實(shí)際意義．相關(guān)性檢驗(yàn)的依據(jù)：主要利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（其中化簡式容易記也好用）求出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的樣本相關(guān)系數(shù)，再利用r的性質(zhì)確定x和y是否具有線性相關(guān)關(guān)系，r具有的性質(zhì)為：|r|≤1且|r|越接近于1，線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近于0，線性相關(guān)程度越弱．2.線性回歸分析的一般步驟（1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量；（2）判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系①作散點(diǎn)圖由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布來判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。②求相關(guān)系數(shù)r當(dāng)，認(rèn)為x與y之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系。（3）若兩變量存在線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)所求的線性回歸方程為，求回歸系數(shù)、。（4）寫出回歸直線方程；（5）利用回歸直線方程預(yù)報(bào)在x取某一個(gè)值時(shí)y的估計(jì)值。3．非線性回歸分析（1）對于非線性回歸分析問題，如果給出了經(jīng)驗(yàn)公式可直接利用換元，使新元與y具有線性相關(guān)關(guān)系，進(jìn)一步求出，，對新元的線性回歸方程，換回x即可得y對x的回歸曲線方程．（2）非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式，這時(shí)按以下步驟求回歸方程：①畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，看是否是線性回歸分析問題，如果不是，把它與必修數(shù)學(xué)中學(xué)過的函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等）圖像作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，采用適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q，把非線性回歸分析問題化為線性回歸分析問題．②作相關(guān)性檢驗(yàn)，即判斷尋找線性回歸方程是否有意義．③當(dāng)尋找線性回歸方程有意義時(shí)，計(jì)算系數(shù)，，得到線性回歸方程．④代回x得y對x的回歸曲線方程．知識(shí)點(diǎn)五列聯(lián)表1.列聯(lián)表用表格列出的分類變量的頻數(shù)表，叫做列聯(lián)表。2.2×2列聯(lián)表對于兩個(gè)事件A，B，列出兩個(gè)事件在兩種狀態(tài)下的數(shù)據(jù)，如下表所示：事件B事件合計(jì)事件Aaba+b事件cdc+d合計(jì)a+cb+da+b+c+d這樣的表格稱為2×2列聯(lián)表。知識(shí)點(diǎn)六卡方統(tǒng)計(jì)量公式為了研究分類變量X與Y的關(guān)系，經(jīng)調(diào)查得到一張2×2列聯(lián)表，如下表所示Y1Y2合計(jì)X1aba+bX2cdc+d合計(jì)a+cb+dn=a+b+c+d統(tǒng)計(jì)中有一個(gè)有用的（讀做“卡方”）統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式是：（為樣本容量）。知識(shí)點(diǎn)七獨(dú)立性檢驗(yàn)1.獨(dú)立性檢驗(yàn)通過2×2列聯(lián)表，再通過卡方統(tǒng)計(jì)量公式計(jì)算的值，利用隨機(jī)變量來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。2.變量獨(dú)立性的判斷通過對統(tǒng)計(jì)量分布的研究，已經(jīng)得到兩個(gè)臨界值：3.841和6.635。當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，在統(tǒng)計(jì)中，用以下結(jié)果對變量的獨(dú)立性進(jìn)行判斷：①如果≤3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的。②如果＞3.841時(shí)，有95%的把握說事件A與事件B有關(guān)；③如果＞6.635時(shí)，有99%的把握說事件A與事件B有關(guān)；3．獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟及簡單應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：要推斷“A與B是否有關(guān)”，可按下面步驟進(jìn)行：（1）提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0：事件A與B無關(guān)（相互獨(dú)立）；（2）抽取樣本（樣本容量不要太小，每個(gè)數(shù)據(jù)都要大于5）；（3）列出2×2列聯(lián)表；（4）根據(jù)2×2列聯(lián)表，利用公式：，計(jì)算出的值；（5）統(tǒng)計(jì)推斷：當(dāng)＞3.841時(shí)，有95％的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)＞6.635時(shí)，有99％的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)＞10.828時(shí)，有99.9％的把握說事件A與B有關(guān)；當(dāng)≤3.841時(shí)，認(rèn)為事件A與B是無關(guān)的．類型一回歸分析及相關(guān)檢驗(yàn)例1根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)3456784.02.50.5得到的回歸方程為，則（）A． B． C． D．解析：樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖如圖31.由散點(diǎn)圖可知，.答案：B規(guī)律總結(jié)：由散點(diǎn)圖不僅可以直觀地看出兩個(gè)變量是否相關(guān)，而且可以判斷兩個(gè)線性相關(guān)的變量是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)．當(dāng)兩個(gè)變量正相關(guān)時(shí)，；當(dāng)兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，．例2假設(shè)某農(nóng)作物基本苗數(shù)與有效穗數(shù)之間存在相關(guān)關(guān)系，今測得5組數(shù)據(jù)如下:15．025．830．036．644．439．442．942．943．149．2(1)以為解釋變量，為預(yù)報(bào)變童，畫出散點(diǎn)圖；(2)求與之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)56．7預(yù)報(bào)有效穗數(shù)；(3)計(jì)算各組殘差；(4)求，并說明隨機(jī)誤差對有效穗數(shù)的影響占百分之幾?解:(1)散點(diǎn)圖如圖32所示．(2)由圖看出，樣本點(diǎn)呈條狀分布，有比較好的線性相關(guān)關(guān)系因此可以用線性回歸方程來建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系．設(shè)線性回歸方程為，由表中數(shù)據(jù)可得，，．故與之間的回歸方程為．當(dāng)時(shí)，．估計(jì)有效穗數(shù)為．(3)各組數(shù)據(jù)的殘差分別為e:二0．39，(4)故解釋變量(農(nóng)作物基本苗數(shù))對有效穗數(shù)的影響約占了83．2%所以隨機(jī)誤差對有效穗數(shù)的影響約占．規(guī)律總結(jié):進(jìn)行線性回歸分析的關(guān)鍵是先畫出樣本點(diǎn)的散點(diǎn)圖，確定出變量具有線性相關(guān)關(guān)系，再求出線性回歸方程．如果，的線性相關(guān)關(guān)系具有統(tǒng)計(jì)意義，就可以用線性回歸方程作出預(yù)測和控制．預(yù)測是指對于的取值范圍內(nèi)的任一個(gè)，取相應(yīng)值的估計(jì)；控制是指通過控制的值把的值控制在指定范圍內(nèi)．類型二獨(dú)立性檢驗(yàn)例3某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；(2)規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．1的前提下認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”分析:(1)利用列舉法列出基本事件，結(jié)合古典概型求解；(2)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)公式計(jì)算求解．解:(1)由已知可得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名，所以樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中，25周歲以上組工人有(人)，記為；25周歲以下組工人有(人)，記為．從中隨機(jī)抽取2名工人，所有的可能結(jié)果共有10種，分別是其中，至少有一名“25周歲以下組”工人的可能結(jié)果共有7種，分別是故所求的概率．(2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手有(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手有(人)，據(jù)此可得列聯(lián)表如下:生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手總計(jì)25周歲以上組15456025周歲以下組152540總計(jì)3070100所以代入公式，得的觀測值為因?yàn)?，所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0．1的前提下認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”解后反思：解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問題的基本步驟:(1)找出相關(guān)數(shù)據(jù)，作列聯(lián)表；(2)求隨機(jī)變量的觀測值；(3)判斷可能性，注意與臨界值進(jìn)行比較，得出事件有關(guān)的可信度．例4為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)．將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B．(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；(2)下表1和表2分別表示注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果(皰疹面積單位:)．表1:注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)頻數(shù)30402010表2:注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)頻數(shù)1025203015①完成下面頻率分布直方圖(圖34和圖35)，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小；注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖②完成下面列聯(lián)表，并回答能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.表3：皰疹面積小于皰疹面積不小于總計(jì)注射藥物A注射藥物B總計(jì)分析：（1）利用排列組合知識(shí)及古典概型求解；（2）先根據(jù)頻數(shù)分布表完成頻率分布直方圖和列聯(lián)表，再計(jì)算的觀測值，并與臨界值比較后進(jìn)行判斷.解析：（1）甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為.（2）①頻率分布直方圖如圖所示.注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖可以看出注射藥物A后的皰疹面枳的中位數(shù)在6